苏州市初二数学2012学年第二学期期中试卷----压轴题 姓名
（张家港市）28．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线y=3x- 4经过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线y k 也经过A 点。
x
(1) 求点A 坐标； (2) 求k 的值； (3) 若点P 为x 正半轴上一动点，在点A 的右侧的双曲线上是否存在一点M ，使得△PAM 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形。若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。
(4) 若点P 为x 负半轴上一动点，在点A 的左侧的双曲线上是否存在一点N ，使得△PAN 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形。若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
备用图
（吴中区）28. （
12分）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动，某化工厂2011年1月的利润为200
万元，设2011年1月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2011年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例，到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
(1) 分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． (2) 治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2011年1月的水平？
(3) 当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
（太仓市）27．（本题9分）已知：如图，正比例函数y ＝ax 的图象与反比例函数y ＝ (1) 确定上述正比例函数和反比例函数的表达式
k
的图象交于点A(3，2) ． x
(2) 根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
(3) M(m，n) 是反比例函数图象上的一个动点，其中0
AC//y轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．
（太仓市）28．（本题9分）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的活动随学习时间的变化而变化，开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指标数），随时间x （分钟）的变化规律如下图所示（其中AB 、BC 为线段，CD 为双曲线的一部分）．
(1)分别求出当x ≤10，10
(3)某数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提
高．”其中重点环节“自主探索，合作交流”这一过程需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的课堂学习设计安排是否合理？并说明理由．
（立达中学）27．如图，Rt △ABC 在中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ．
（1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2） 求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3） 是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．
A
R
D B
E
C
B
D
A
R
E
H Q H Q
C
备用图
（苏州模拟1）27．（12分）已知：在△ABC 中，BC=2AC, ∠DBC=∠ACB,BD=BC,CD交线段AB 于点E 。 （1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为 。 （2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE;
（3）如图3，在（2）的条件下，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于点G , △DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点B 的对称点是点K ）, 延长DK 交AB 于点H ，若BH=10，求CE 的长。
（苏州模拟2）28．（10分）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝相交于点F ．
（1）当AB ＝AC 时，（如图1），
① ∠EBF ＝_______°； ② 探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明； （2）当AB ＝kAC 时（如图2），求 B
1
2
∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB
BE
的值（用含k 的式子表示）． FD
E
A
A
E D
C
B
F
图1
D C
图2
（青云中学）29．（7分）如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数
于点C ．
（1） 求m 的取值范围； （2） 若点A 的坐标是（2，－4），且
y =
4-2m
（x>0）图象于点A 、B ，交x 轴x
BC 1
=，求m 的值和C 点的坐标；
AB 3
（昆山市）26．（8分）如图，在直角坐标系xoy 中，直线y ＝
1
x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第二2
象限内作矩形ABCD ，使AD
(1)求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；
(2)过点D 作DH ⊥x 轴，垂足为点H ，求证：△ADH ∽△BAO ； (3)求点D 的坐标．
（园区）29、已知：在矩形AOBC 中，OB=4,OA=3．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B,C 重合），过F 点的反比例函数
y
k
x
的图象与AC 边交于点E ．现进行如下操作：
将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上的D 点处，过点E 作EM ⊥OB ，垂足为M 点． （1）用含有k 的代数式表示：E （ ， ），F （ ， ）； （2）求证：△MDE ∽△FBD ，并求（3）求出F 点坐标．（本题9分）
（新区）28．（9分）如图，一条直线与反比例函数y ＝
垂足为C ．
(1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n 的值；（2分）
(2)如图乙，若点E 在线段AD 上运动，连结CE ，作∠CEF ＝45°，EF 交AC 于F 点． ①试说明△CDE ∽△EAF ；（4分）
②当△ECF 为等腰三角形时，请求出F 点的坐标．（3分）
ED
DF
的值；
M D
k
的图象交于A(1，5) ，B(5，n) 两点，与x 轴交于D 点，AC ⊥x 轴，x
（常熟市）27．（本题9分）如图，直线y ＝x 与双曲线y ＝曲线上的点B （a ，1），且交y 轴于点C 。 (1)求点A 的坐标及直线BC 的解析式； (2)求四边形AOCB 面积；
4
在第一象限的交点为点A ，将直线沿y 轴向下平移使其经过双x
(3)在x 轴上确定点P ，使△ABP 是以AB 为直角边的直角三角形。
（常熟市）28．（本题10分）如图，Rt △ABC 置于平面直角坐标系中，使直角顶点B 与坐标原点O 重合，边AB 、BC 分别落在y 轴、x 轴上，AB ＝9，CB ＝12。直线y ＝－
4x
＋4交y 轴、y 轴分别于点D 、E 。点M 是斜边AC 上的一个动点，3
连接BM ．点P 是线段BM 上的动点，始终保持∠BPE ＝∠BDE 。 (1)直接写出点D 和点E 的坐标； (2)证明：∠BPE ＝∠ACB ；
(3)设线段OP 的长为y 个单位，线段OM 的长为x 个单位，请你写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(4)请你求出线段OP 长度的最大值。
（张家港市）29．（本题满分10分）如图①，双曲线y ＝
k
（k>0）与直线y ＝k' x 交于A 、B 两点，点A 在第一象限． x
k
（k>0）于P 、Q 两点，点P 在第一象限． x
(1)若点A 的坐标为(4，2) ，则点B 的坐标为_______．若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为_______． (2)如图②，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y ＝ ①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；
②设点A 、P 的横坐标分别为m 、n ，四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，请直接写出m 、n 应满足
的条件；若不可能，请说明理由．
（相城区）26．(本题满分6分) 如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数
y =
k x
(x＞0) 的图象经过点B ．
(1) 求k 的值； (2) 将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别
与函数
y =
k x
(x＞0) 的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．
（相城区）27．(本题满分10分) 如图，在Rt ∆ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∆ABE 、∆ACF 是等边三角形． （1）试说明： ∆ABD ∽∆CAD ；
（2）连接DE 、DF 、EF ，判断∆DEF 的形状，并说明理由．
E
A
F
B D C
（景范中学）26．(本题8分) 已知，正方形DEFG 内接于△ABC 中，且点E ，F 在BC 上，点D ，G 分 别在AB ，AC 上，
(1)如图①，若△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，∠A =90°, S ∆ADG
=2, 则S ∆ABC = .
(2)如图②, 若△ABC 是直角三角形，∠A =90°，AB =4，AC =3，求正方形的边长. (3)如图③, 若△ABC 是任意三角形，S ∆ADG 为 .
(4)如图④, 若△ABC 是任意三角形，求证：S 正方形DEFG
A
G D
（景范中学）27．（本题9分）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，且OA ＝OB ＝1．这条曲线是函数y ＝
B
E
F
C
=1，S ∆BDE =3，S ∆FCG =1，则正方形的边长
1
S ∆ABC 2
D
≤
A
G
B E F A
D
G
C
图① 图② A
D
G
B
E F C
B E F C
图③ 图④
1
的图像在第一象限的一个分支，点P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a 、b ) ，2x
由点P 向x 轴、y 轴作垂线PM 、PN ，垂足是M 、N ，直线AB 分别交PM 、PN 于点E 、F ．
(1) 点E 坐标是F 坐标是a 的代数式表示点E 的坐标，用含b 的代数式表示点F 的坐标）
(2) 求△OEF 的面积（结果用含a 、b 的代数式表示）；
(3) △AOF 与△BOE 是否相似，若相似，请证明；若不相似，请简要说明理由． (4) 当点P 在曲线y ＝
1
上移动时，△OEF 随之变动，指出在△OEF 的三个内角中，大小始终保持不变的那个角，并求出2x
此角的大小，同时证明你的结论．
（张家港市）28、解：（1）作AD ⊥x 轴于D ∵△AOB 为等腰直角三角形 ∴OD=AD=BD 设A （a ，a ），则a=3a-4 a=2
∴点A （2，2） „„„2分 （2）又点A 在
y =
k
x
上，∴k=4，反比列函数为
y =
4x
„„„4分
（3）存在 „„„5分 设M （m ，n ）
∵∠PAM=∠OAB=900 ∴∠OAP=∠BAM ∵OA=OB AP=AM ∴△OAP ≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=450 ∴∠OBM=900 即MB ⊥x 轴 ∵OB=4 且M 在
y =
4
x
上
∴M （4，1） „„„7分 （4）不存在 „„„8分 由（3）中所证易知：
若三角形PAN 为等腰直角三角形 则：△PAB ≌△NAO ∴∠NOA=∠PBA=450 ∴∠NOB=900 则点N 在y 轴上，∴点N 不在双曲线上 ∴点N 不存在 „„10分
（吴中区）28. (1)①y =月
200
②y ＝20x －60 (2)治污改造工程顺利完工后经过8个月后，该厂利润达到200万元；(3)6个x
（苏州模拟1）27．（1）DE=2EC
（2）证明：如图1，∵∠DBC=∠ACB=120° DB=BC
∴∠D=∠BCD=30° ∴ ∠ACD=90° 过点B 作BM ⊥DC 于M 则DM=MC BM=1
2
BC
∵AC=
12
BC ∴BM=AC 又∵∠BMC=∠ACM=90° ∠MEB=∠CEA
∴△BME ≌△ACE ∴ME=CE=
1
2
CM ∴DE=3EC
（3）如图2： 过点B 作BM’ ⊥DC 于M’，过点F 作FN ⊥DB 交DB 的延长线于点N,
设BF=a
∵∠DBF=120° ∴∠FBN=60° ∴FN=
2
a BN=
12a
∵DB=BC=2BF=2a ∴DN=DB+BN=52a
∴DF=52DN 2+FN 2=(a ) 2+（a ）=7a 22
1
2BC BF=∵AC=12BC ∴BF=AC
∴△DBF ≌△BCA ∴∠BDF=∠CBA
又∵∠BFG=∠DFB ∴△FBG ∽△FDB FG BF BG ==BF DF DB
∴BF 2=FG·FD ∴a 2=FG ∴FG=7a·7a 7
∴DG=DF-FG=67FG ∙DB 27a BG==a 7BF 7
BG GF =DG GH ∵△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称 ∴∠GDH=∠BDF ∴∠ABC=∠GDH 又∵∠BGF=∠DGH ∴△BGF ∽△DGH ∴ ∴GH =DG ∙GF 3=a BG 7
∵BH=BG+GH=57a =10 ∴a=2∴BC=2a=47 CM’=BC·cos30°=221 7
121 ∵ DE=3EC ∴CE=DC =21 4
1BE 1FD ；(2) =k 2FD 2∴DC=2CM’=4 （苏州模拟2）28．(1)①22.5；②BE =
（青云中学）29（1）因反比例函数的图象在第四象限，所以4－2m ＜0，解得m ＞2；（2）因点A (2，－4) 在反比例函数图象
4-2m ，解得m ＝6，过点A 、B 分别作A M ⊥OC 于点M ，B N ⊥OC 于点N ，所以∠B N C ＝∠A M C ＝90°，又因为2
BN BC BC 1BC 1BN 1==，所以=，即=，因为A M ＝4，∠BC N ＝∠A M C ，所以△BC N ∽△AC M ，所以，因为AM AC AB 3AC 4AM 4上，所以－4＝
所以B N ＝1，所以点B 的纵坐标为－1，因为点B 在反比例函数的图象上，所以当y ＝－1时，x ＝8，所以点B 的坐标为（8，
1⎧⎧2k +b =-4⎪k =－1），因为一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点A (2，－4) ，B (8，－1) ，所以⎨，解得⎨2，所以一次函数
⎩8k +b =-1⎪⎩b =-5
的解析式为y ＝
（昆山）简单-无
11 12x －5,C(10,0)
（园区）29、（本题9分） (1)E ⎛k , 3⎫F ⎛ 4, k ⎫⎪ ED =421⎫
⎝3⎪⎭⎝4⎭ (2) DF 3 (3)F ⎛
⎝4, 32⎪⎭
M D
新区
12
（常熟市） （常熟市） 13
14
（常熟市）
（张家港市）29、（1）B (-4，-2) „„1分 B (-m , -8
m ) „„2分
（2）证明平行四边形„„3分
可以是矩形 mn =k „„ 2分
不可能是正方形 相关理由„„2分
15
（相城区）27. 证明：
（1）∵在RT △ABC 中，AD 为高
∴∠ADB=∠ADC=90°
∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3 2′
∴△ABD ～△CAD
（2）△DEF 为直角三角形 4′
理由如下
∵△ABE 与△ACF 为正三角形
∴∠BAE=∠ACF=60°
∵∠1=∠2
∴∠BAE+∠1=∠ACF+∠2
即 ∠EAD=∠DCF 6′
∵△ABD ～△CAD ∴AB AD CA =CD 即 AE CF =AD CD 7′ ∴△AED ～△CFD 8′
∴∠4=∠5
∵∠5+∠6=90° ∴∠4+∠6=90°
即 ∠EDF=90° 9′
∴△DEF 为直角三角形 10′
（景范中学）26．(本题8分) (1) 18 (2) 6037 （景范中学）27．（本题9分）(1) E (a ,1-a ) F (1-b , b )
(2) 1112a +2b -2
(3) 相似，证明略
(4) ∠EOF ＝45°, 证明略
(3) 2 (4)证明略16
苏州市初二数学2012学年第二学期期中试卷----压轴题 姓名
（张家港市）28．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线y=3x- 4经过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线y k 也经过A 点。
x
(1) 求点A 坐标； (2) 求k 的值； (3) 若点P 为x 正半轴上一动点，在点A 的右侧的双曲线上是否存在一点M ，使得△PAM 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形。若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。
(4) 若点P 为x 负半轴上一动点，在点A 的左侧的双曲线上是否存在一点N ，使得△PAN 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形。若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
备用图
（吴中区）28. （
12分）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动，某化工厂2011年1月的利润为200
万元，设2011年1月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2011年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例，到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
(1) 分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． (2) 治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2011年1月的水平？
(3) 当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
（太仓市）27．（本题9分）已知：如图，正比例函数y ＝ax 的图象与反比例函数y ＝ (1) 确定上述正比例函数和反比例函数的表达式
k
的图象交于点A(3，2) ． x
(2) 根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
(3) M(m，n) 是反比例函数图象上的一个动点，其中0
AC//y轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．
（太仓市）28．（本题9分）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的活动随学习时间的变化而变化，开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指标数），随时间x （分钟）的变化规律如下图所示（其中AB 、BC 为线段，CD 为双曲线的一部分）．
(1)分别求出当x ≤10，10
(3)某数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提
高．”其中重点环节“自主探索，合作交流”这一过程需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的课堂学习设计安排是否合理？并说明理由．
（立达中学）27．如图，Rt △ABC 在中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ．
（1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2） 求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3） 是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．
A
R
D B
E
C
B
D
A
R
E
H Q H Q
C
备用图
（苏州模拟1）27．（12分）已知：在△ABC 中，BC=2AC, ∠DBC=∠ACB,BD=BC,CD交线段AB 于点E 。 （1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为 。 （2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE;
（3）如图3，在（2）的条件下，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于点G , △DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点B 的对称点是点K ）, 延长DK 交AB 于点H ，若BH=10，求CE 的长。
（苏州模拟2）28．（10分）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝相交于点F ．
（1）当AB ＝AC 时，（如图1），
① ∠EBF ＝_______°； ② 探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明； （2）当AB ＝kAC 时（如图2），求 B
1
2
∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB
BE
的值（用含k 的式子表示）． FD
E
A
A
E D
C
B
F
图1
D C
图2
（青云中学）29．（7分）如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数
于点C ．
（1） 求m 的取值范围； （2） 若点A 的坐标是（2，－4），且
y =
4-2m
（x>0）图象于点A 、B ，交x 轴x
BC 1
=，求m 的值和C 点的坐标；
AB 3
（昆山市）26．（8分）如图，在直角坐标系xoy 中，直线y ＝
1
x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第二2
象限内作矩形ABCD ，使AD
(1)求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；
(2)过点D 作DH ⊥x 轴，垂足为点H ，求证：△ADH ∽△BAO ； (3)求点D 的坐标．
（园区）29、已知：在矩形AOBC 中，OB=4,OA=3．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B,C 重合），过F 点的反比例函数
y
k
x
的图象与AC 边交于点E ．现进行如下操作：
将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上的D 点处，过点E 作EM ⊥OB ，垂足为M 点． （1）用含有k 的代数式表示：E （ ， ），F （ ， ）； （2）求证：△MDE ∽△FBD ，并求（3）求出F 点坐标．（本题9分）
（新区）28．（9分）如图，一条直线与反比例函数y ＝
垂足为C ．
(1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n 的值；（2分）
(2)如图乙，若点E 在线段AD 上运动，连结CE ，作∠CEF ＝45°，EF 交AC 于F 点． ①试说明△CDE ∽△EAF ；（4分）
②当△ECF 为等腰三角形时，请求出F 点的坐标．（3分）
ED
DF
的值；
M D
k
的图象交于A(1，5) ，B(5，n) 两点，与x 轴交于D 点，AC ⊥x 轴，x
（常熟市）27．（本题9分）如图，直线y ＝x 与双曲线y ＝曲线上的点B （a ，1），且交y 轴于点C 。 (1)求点A 的坐标及直线BC 的解析式； (2)求四边形AOCB 面积；
4
在第一象限的交点为点A ，将直线沿y 轴向下平移使其经过双x
(3)在x 轴上确定点P ，使△ABP 是以AB 为直角边的直角三角形。
（常熟市）28．（本题10分）如图，Rt △ABC 置于平面直角坐标系中，使直角顶点B 与坐标原点O 重合，边AB 、BC 分别落在y 轴、x 轴上，AB ＝9，CB ＝12。直线y ＝－
4x
＋4交y 轴、y 轴分别于点D 、E 。点M 是斜边AC 上的一个动点，3
连接BM ．点P 是线段BM 上的动点，始终保持∠BPE ＝∠BDE 。 (1)直接写出点D 和点E 的坐标； (2)证明：∠BPE ＝∠ACB ；
(3)设线段OP 的长为y 个单位，线段OM 的长为x 个单位，请你写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(4)请你求出线段OP 长度的最大值。
（张家港市）29．（本题满分10分）如图①，双曲线y ＝
k
（k>0）与直线y ＝k' x 交于A 、B 两点，点A 在第一象限． x
k
（k>0）于P 、Q 两点，点P 在第一象限． x
(1)若点A 的坐标为(4，2) ，则点B 的坐标为_______．若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为_______． (2)如图②，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y ＝ ①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；
②设点A 、P 的横坐标分别为m 、n ，四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，请直接写出m 、n 应满足
的条件；若不可能，请说明理由．
（相城区）26．(本题满分6分) 如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数
y =
k x
(x＞0) 的图象经过点B ．
(1) 求k 的值； (2) 将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别
与函数
y =
k x
(x＞0) 的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．
（相城区）27．(本题满分10分) 如图，在Rt ∆ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∆ABE 、∆ACF 是等边三角形． （1）试说明： ∆ABD ∽∆CAD ；
（2）连接DE 、DF 、EF ，判断∆DEF 的形状，并说明理由．
E
A
F
B D C
（景范中学）26．(本题8分) 已知，正方形DEFG 内接于△ABC 中，且点E ，F 在BC 上，点D ，G 分 别在AB ，AC 上，
(1)如图①，若△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，∠A =90°, S ∆ADG
=2, 则S ∆ABC = .
(2)如图②, 若△ABC 是直角三角形，∠A =90°，AB =4，AC =3，求正方形的边长. (3)如图③, 若△ABC 是任意三角形，S ∆ADG 为 .
(4)如图④, 若△ABC 是任意三角形，求证：S 正方形DEFG
A
G D
（景范中学）27．（本题9分）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，且OA ＝OB ＝1．这条曲线是函数y ＝
B
E
F
C
=1，S ∆BDE =3，S ∆FCG =1，则正方形的边长
1
S ∆ABC 2
D
≤
A
G
B E F A
D
G
C
图① 图② A
D
G
B
E F C
B E F C
图③ 图④
1
的图像在第一象限的一个分支，点P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a 、b ) ，2x
由点P 向x 轴、y 轴作垂线PM 、PN ，垂足是M 、N ，直线AB 分别交PM 、PN 于点E 、F ．
(1) 点E 坐标是F 坐标是a 的代数式表示点E 的坐标，用含b 的代数式表示点F 的坐标）
(2) 求△OEF 的面积（结果用含a 、b 的代数式表示）；
(3) △AOF 与△BOE 是否相似，若相似，请证明；若不相似，请简要说明理由． (4) 当点P 在曲线y ＝
1
上移动时，△OEF 随之变动，指出在△OEF 的三个内角中，大小始终保持不变的那个角，并求出2x
此角的大小，同时证明你的结论．
（张家港市）28、解：（1）作AD ⊥x 轴于D ∵△AOB 为等腰直角三角形 ∴OD=AD=BD 设A （a ，a ），则a=3a-4 a=2
∴点A （2，2） „„„2分 （2）又点A 在
y =
k
x
上，∴k=4，反比列函数为
y =
4x
„„„4分
（3）存在 „„„5分 设M （m ，n ）
∵∠PAM=∠OAB=900 ∴∠OAP=∠BAM ∵OA=OB AP=AM ∴△OAP ≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=450 ∴∠OBM=900 即MB ⊥x 轴 ∵OB=4 且M 在
y =
4
x
上
∴M （4，1） „„„7分 （4）不存在 „„„8分 由（3）中所证易知：
若三角形PAN 为等腰直角三角形 则：△PAB ≌△NAO ∴∠NOA=∠PBA=450 ∴∠NOB=900 则点N 在y 轴上，∴点N 不在双曲线上 ∴点N 不存在 „„10分
（吴中区）28. (1)①y =月
200
②y ＝20x －60 (2)治污改造工程顺利完工后经过8个月后，该厂利润达到200万元；(3)6个x
（苏州模拟1）27．（1）DE=2EC
（2）证明：如图1，∵∠DBC=∠ACB=120° DB=BC
∴∠D=∠BCD=30° ∴ ∠ACD=90° 过点B 作BM ⊥DC 于M 则DM=MC BM=1
2
BC
∵AC=
12
BC ∴BM=AC 又∵∠BMC=∠ACM=90° ∠MEB=∠CEA
∴△BME ≌△ACE ∴ME=CE=
1
2
CM ∴DE=3EC
（3）如图2： 过点B 作BM’ ⊥DC 于M’，过点F 作FN ⊥DB 交DB 的延长线于点N,
设BF=a
∵∠DBF=120° ∴∠FBN=60° ∴FN=
2
a BN=
12a
∵DB=BC=2BF=2a ∴DN=DB+BN=52a
∴DF=52DN 2+FN 2=(a ) 2+（a ）=7a 22
1
2BC BF=∵AC=12BC ∴BF=AC
∴△DBF ≌△BCA ∴∠BDF=∠CBA
又∵∠BFG=∠DFB ∴△FBG ∽△FDB FG BF BG ==BF DF DB
∴BF 2=FG·FD ∴a 2=FG ∴FG=7a·7a 7
∴DG=DF-FG=67FG ∙DB 27a BG==a 7BF 7
BG GF =DG GH ∵△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称 ∴∠GDH=∠BDF ∴∠ABC=∠GDH 又∵∠BGF=∠DGH ∴△BGF ∽△DGH ∴ ∴GH =DG ∙GF 3=a BG 7
∵BH=BG+GH=57a =10 ∴a=2∴BC=2a=47 CM’=BC·cos30°=221 7
121 ∵ DE=3EC ∴CE=DC =21 4
1BE 1FD ；(2) =k 2FD 2∴DC=2CM’=4 （苏州模拟2）28．(1)①22.5；②BE =
（青云中学）29（1）因反比例函数的图象在第四象限，所以4－2m ＜0，解得m ＞2；（2）因点A (2，－4) 在反比例函数图象
4-2m ，解得m ＝6，过点A 、B 分别作A M ⊥OC 于点M ，B N ⊥OC 于点N ，所以∠B N C ＝∠A M C ＝90°，又因为2
BN BC BC 1BC 1BN 1==，所以=，即=，因为A M ＝4，∠BC N ＝∠A M C ，所以△BC N ∽△AC M ，所以，因为AM AC AB 3AC 4AM 4上，所以－4＝
所以B N ＝1，所以点B 的纵坐标为－1，因为点B 在反比例函数的图象上，所以当y ＝－1时，x ＝8，所以点B 的坐标为（8，
1⎧⎧2k +b =-4⎪k =－1），因为一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点A (2，－4) ，B (8，－1) ，所以⎨，解得⎨2，所以一次函数
⎩8k +b =-1⎪⎩b =-5
的解析式为y ＝
（昆山）简单-无
11 12x －5,C(10,0)
（园区）29、（本题9分） (1)E ⎛k , 3⎫F ⎛ 4, k ⎫⎪ ED =421⎫
⎝3⎪⎭⎝4⎭ (2) DF 3 (3)F ⎛
⎝4, 32⎪⎭
M D
新区
12
（常熟市） （常熟市） 13
14
（常熟市）
（张家港市）29、（1）B (-4，-2) „„1分 B (-m , -8
m ) „„2分
（2）证明平行四边形„„3分
可以是矩形 mn =k „„ 2分
不可能是正方形 相关理由„„2分
15
（相城区）27. 证明：
（1）∵在RT △ABC 中，AD 为高
∴∠ADB=∠ADC=90°
∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3 2′
∴△ABD ～△CAD
（2）△DEF 为直角三角形 4′
理由如下
∵△ABE 与△ACF 为正三角形
∴∠BAE=∠ACF=60°
∵∠1=∠2
∴∠BAE+∠1=∠ACF+∠2
即 ∠EAD=∠DCF 6′
∵△ABD ～△CAD ∴AB AD CA =CD 即 AE CF =AD CD 7′ ∴△AED ～△CFD 8′
∴∠4=∠5
∵∠5+∠6=90° ∴∠4+∠6=90°
即 ∠EDF=90° 9′
∴△DEF 为直角三角形 10′
（景范中学）26．(本题8分) (1) 18 (2) 6037 （景范中学）27．（本题9分）(1) E (a ,1-a ) F (1-b , b )
(2) 1112a +2b -2
(3) 相似，证明略
(4) ∠EOF ＝45°, 证明略
(3) 2 (4)证明略16