第一章 勾股定理检测题
一、选择题
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 已知a , b , c 是三角形的三边，则a +b =c B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，所以a 2+b 2=c 2
D. 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，所以a 2+b 2=c 2
3. 如图，已知正方形B 的面积为144，如果正方形C 的面积为169，那么正方形A 的面积为（ ）
A.313 B.144 C.169 D.25
B
A
C
第4题图
4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若AC ＝5 cm，BC ＝12 cm，则Rt △ABC 斜边上的高CD 的长为（ ）
A.6 cm B.8.5 cm C.
2
2
2
6030cm D. cm 1313
5分别满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A. 三内角之比为1︰2︰3 B. 三边长的平方之比为1︰2︰3 C. 三边长之比为3︰4︰5 D. 三内角之比为3︰4︰5 6. 如图，一圆柱高8 cm，底面半径为
6
cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最π
短路程是（）
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12cm 二、填空题
2. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝17 cm，BC ＝16 cm，AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝_______.
3. 在△ABC 中，若三边长分别为9，12，15，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积 为________.
三、解答题
1. 在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答．．．．．．．．．．．．．．．
过程． ．．
2. 如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m 处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
3. 如图，在长方体ABCD -A 'B 'C 'D '中，AB =BB '=2，AD ＝3，一只蚂蚁从A 点出发，沿长方体表面爬到C '点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是多少？
第一章 勾股定理检测题参考答案
1. Ｃ 解析：A. 不确定三角形是不是直角三角形，故A 选项错误；B. 不确定第三边是不是斜边，故B 选项错误；C. ∠C =90°，所以其对边为斜边，故C 选项正确；D. ∠B =90°时，有b 2＝a 2＋c 2，所以a 2＋b 2＝c 2不成立，故D 选项错误.
2.B 解析：设原直角三角形的两直角边长分别是a ，b ，斜边长是c ，则a 2＋b 2＝c 2，则扩大后的直角三角形两直角边长的平方和为(2a )+(2b )=4斜边长
（a +b ）=
4c ，2
2
2
2
2
的平方为(2c )=4c 2，即斜边长扩大到原来的2倍，故选B.
3.B 解析：在△ABC 中，由AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，可推出AB 2＋AC 2＝BC 2. 由勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选B ．
4.D 解析：设三个正方形A ，B ，C 的边长依次为a ，b ，c ，因为三个正方形的边组成一个直角三角形，所以a 2＋b 2＝c 2，故S A ＋S B ＝S C ，即S A ＝169－144＝25.
5.C 解析：由勾股定理可知AB =AC +BC =5+12=169，所以AB =13 cm,再由三角形的面积公式，有
2
2
2
2
2
2
AC ⋅BC 6011
=cm ）AC ⋅BC =AB ⋅CD ，得CD =. AB 1322
6.D 解析：在A 选项中，求出三角形的三个内角分别是30°，60°，90°；在B ，C 选项
中，都符合勾股定理的条件，所以A ，B ，C 选项中的三角形都是直角三角形. 在D 选项中，求出三角形的三个内角分别是45°，60°，75°，所以不是直角三角形，故选D ． 7.C 解析：在Rt △ABC 中，AC ＝40，BC ＝9，由勾股定理得AB ＝41. 因为BN =BC ＝9，
，所以.
8.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图，
∵ 为的中点，则就是蚂蚁爬行的最短路径. ∵ ∴
（cm ）．
2
2
2
2
2
（cm ），
∵ cm ，∴ AB =CB +AC =6+8=100（cm ），
∴ AB = 10cm,即蚂蚁要爬行的最短路程是10 cm． 9.B 解析：由整理，得即符合
，所以
，所以这个三角形一定是直角三角形.
，
，
，
10. Ａ解析：因为a ∶b ＝3∶4，所以设a ＝3k ，b ＝4k （k ＞0）. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, 由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2.
因为c ＝10，所以9k 2＋16k 2＝100，解得k ＝2，所以a ＝6，b ＝8，
11
所以S △ABC ＝ab ×6×8＝24. 故选A .
22
11.30 cm 解析：当50 cm长的木棒构成直角三角形的斜边时，设最短的木棒长为x cm （x ＞0），由勾股定理，得x
2
+40=50, 解得x =30.
22
12.15 cm 解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及
顶角的平分线互相重合，
∴ BD =
1
BC . 2
11
BC =⨯16=8. 22
∵ BC ＝16，∴ BD =
∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB =90°.
在Rt △ADB 中，∵ AB ＝AC ＝17，由勾股定理，得
AD =AB -BD =17-8=225. ∴ AD =15 cm．
22222
13.108 解析：因为，所以△是直角三角形，且两条直角边长分别为9，
.
12，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为
14. 612 解析：由勾股定理，得楼梯的底面至楼梯的最高层的水平距离为12 ｍ, 所以楼道
上铺地毯的长度为5＋12＝17（ｍ）. 因为楼梯宽为2 ｍ, 地毯每平方米18元，所以铺完这个楼道需要的钱数为18×17×2＝612（元）. 15.6 解析：∵ △ABH ≌△BCG ≌△CDF ≌△DAE ，∴ AH ＝DE . 又∵ 四边形ABCD 和EFGH 都是正方形， ∴ AD =AB =10，HE =EF =2，且AE ⊥DE . ∴ 在Rt △ADE 中，∴
+
=
，∴
+
=
，∴ AH =6或AH = - 8（不合题意, 舍去）.
16.126或66 解析：本题分两种情况． （1）如图（1），在锐角△ABC 中，AB =13，AC =20，BC 边上的高AD =12，
第16题答图（1）
在Rt △ABD 中，AB =13，AD =12，由勾股定理，得∴ BD =5.在Rt △ACD 中，AC =20，AD =12， 由勾股定理，得
∴ CD =16，∴ BC 的长为BD +DC =5+16=21， △ABC 的面积=·BC ·AD =×21×12=126.
（2）如图（2），在钝角△ABC 中，AB =13，AC =20，BC 边上的高AD =12，
=25，
=256，
第16题答图（2）
在Rt △ABD 中，AB =13，AD =12，由勾股定理，得
=25，∴ BD =5.
在Rt △ACD 中，AC =20，AD =12，由勾股定理，得
=256，∴ CD =16.∴ BC =DC -BD =16-5=11.
△ABC 的面积=·BC ·AD =×11×12=66. 综上，△ABC 的面积是126或66.
17.49 解析：正方形A ，B ，C ，D 的面积之和是最大的正方形的面积，即49 18.4 解析：在Rt △ABC 中，∠C =90°，由勾股定理，得所以AB =5.他们仅仅少走了
（步）．
2
2
．
=4+3=25，
19. 解：如图，在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13， 设BD =x ，∴ CD =14-x ．
由勾股定理，得AD 2=AB 2-BD 2=152-x 2，
AD 2=AC 2-CD 2=132-(14-x ) 2， ∴ 152-x 2=132-(14-x ) 2， 解得x =9． ∴ AD =12．
11
∴ S ∆ABC =BC AD =⨯14⨯12=84．
2220. 解：在Rt △
2
2
第19题答图
中，由勾股定理，得AB =AC +BC ，
2
222
即5=AC +4，解得AC =3,或AC =－3（舍去）. 因为每天凿隧道0. 2km ，
所以凿隧道用的时间为3÷0. 2＝15（天）．
答：15天才能把隧道AC 凿通.
21. 解：（1）因为三个内角的比是1︰2︰3，
所以设三个内角的度数分别为k ，2k ，3k （k ≠0）. 由k ＋2k ＋3k ＝180°，得k ＝30°，
所以三个内角的度数分别为30°，60°，90°.
（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为1，斜边长为
2.
设另外一条直角边长为x ，则x +1=2，即x =3.
所以另外一条边长的平方为3.
22. 分析：旗杆折断的部分、未折断的部分和折断后原旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．
解：设旗杆未折断部分的长为x m ，则折断部分的长为（16－x ）m ， 根据勾股定理, 得解得
24. 分析：（1）因为将△
的长，从而（2）由于
，
翻折得到△
，所以
，则在Rt △
中，可求得
，即旗杆在离底部6m 处断裂．
的长可求； ，可设
的长为，在Rt △
中，利用勾股定理解直角三角形即
2222
可．
解：（1）由题意, 得AF ＝AD ＝BC ＝10cm ， 在Rt △ABF 中，∠B ＝90°， ∵ ∴
（2）由题意, 得在Rt △
，设
cm ，∴BF =AF -AB =10-8=36, BF =6 cm,
（cm ）． 的长为，则
.
2
2
2
2
2
中，∠C ＝90°，
2
2
2
由勾股定理, 得EC +FC =EF ，即，
解得，即的长为5 cm．
25. 分析：要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 解：蚂蚁沿如图（1）所示的路线爬行时，长方形长为，宽为， 连接
，则构成直角三角形.
2
2
2
2
2
由勾股定理, 得AC '=AC +CC '=5+2=29. 蚂蚁沿如图（2）所示的路线爬行时，长方形长为连接
，则构成直角三角形.
2
2
2
2
2
，宽为，
由勾股定理, 得AC '=AD +DC '=3+4=25, .
蚂蚁沿如图（3）所示的路线爬行时，长方形ABC 'D '长为BB '+B 'C '=5，宽为AB =2，连接AC '，则构成直角三角形.
由勾股定理，得AC '2=AB 2+BC '2=22+52=29.
∴ 蚂蚁从点出发穿过A'D' 到达C '点时路程最短, 最短路程是5．
第一章 勾股定理检测题
一、选择题
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 已知a , b , c 是三角形的三边，则a +b =c B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，所以a 2+b 2=c 2
D. 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，所以a 2+b 2=c 2
3. 如图，已知正方形B 的面积为144，如果正方形C 的面积为169，那么正方形A 的面积为（ ）
A.313 B.144 C.169 D.25
B
A
C
第4题图
4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若AC ＝5 cm，BC ＝12 cm，则Rt △ABC 斜边上的高CD 的长为（ ）
A.6 cm B.8.5 cm C.
2
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6030cm D. cm 1313
5分别满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A. 三内角之比为1︰2︰3 B. 三边长的平方之比为1︰2︰3 C. 三边长之比为3︰4︰5 D. 三内角之比为3︰4︰5 6. 如图，一圆柱高8 cm，底面半径为
6
cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最π
短路程是（）
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12cm 二、填空题
2. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝17 cm，BC ＝16 cm，AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝_______.
3. 在△ABC 中，若三边长分别为9，12，15，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积 为________.
三、解答题
1. 在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答．．．．．．．．．．．．．．．
过程． ．．
2. 如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m 处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
3. 如图，在长方体ABCD -A 'B 'C 'D '中，AB =BB '=2，AD ＝3，一只蚂蚁从A 点出发，沿长方体表面爬到C '点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是多少？
第一章 勾股定理检测题参考答案
1. Ｃ 解析：A. 不确定三角形是不是直角三角形，故A 选项错误；B. 不确定第三边是不是斜边，故B 选项错误；C. ∠C =90°，所以其对边为斜边，故C 选项正确；D. ∠B =90°时，有b 2＝a 2＋c 2，所以a 2＋b 2＝c 2不成立，故D 选项错误.
2.B 解析：设原直角三角形的两直角边长分别是a ，b ，斜边长是c ，则a 2＋b 2＝c 2，则扩大后的直角三角形两直角边长的平方和为(2a )+(2b )=4斜边长
（a +b ）=
4c ，2
2
2
2
2
的平方为(2c )=4c 2，即斜边长扩大到原来的2倍，故选B.
3.B 解析：在△ABC 中，由AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，可推出AB 2＋AC 2＝BC 2. 由勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选B ．
4.D 解析：设三个正方形A ，B ，C 的边长依次为a ，b ，c ，因为三个正方形的边组成一个直角三角形，所以a 2＋b 2＝c 2，故S A ＋S B ＝S C ，即S A ＝169－144＝25.
5.C 解析：由勾股定理可知AB =AC +BC =5+12=169，所以AB =13 cm,再由三角形的面积公式，有
2
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AC ⋅BC 6011
=cm ）AC ⋅BC =AB ⋅CD ，得CD =. AB 1322
6.D 解析：在A 选项中，求出三角形的三个内角分别是30°，60°，90°；在B ，C 选项
中，都符合勾股定理的条件，所以A ，B ，C 选项中的三角形都是直角三角形. 在D 选项中，求出三角形的三个内角分别是45°，60°，75°，所以不是直角三角形，故选D ． 7.C 解析：在Rt △ABC 中，AC ＝40，BC ＝9，由勾股定理得AB ＝41. 因为BN =BC ＝9，
，所以.
8.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图，
∵ 为的中点，则就是蚂蚁爬行的最短路径. ∵ ∴
（cm ）．
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（cm ），
∵ cm ，∴ AB =CB +AC =6+8=100（cm ），
∴ AB = 10cm,即蚂蚁要爬行的最短路程是10 cm． 9.B 解析：由整理，得即符合
，所以
，所以这个三角形一定是直角三角形.
，
，
，
10. Ａ解析：因为a ∶b ＝3∶4，所以设a ＝3k ，b ＝4k （k ＞0）. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, 由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2.
因为c ＝10，所以9k 2＋16k 2＝100，解得k ＝2，所以a ＝6，b ＝8，
11
所以S △ABC ＝ab ×6×8＝24. 故选A .
22
11.30 cm 解析：当50 cm长的木棒构成直角三角形的斜边时，设最短的木棒长为x cm （x ＞0），由勾股定理，得x
2
+40=50, 解得x =30.
22
12.15 cm 解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及
顶角的平分线互相重合，
∴ BD =
1
BC . 2
11
BC =⨯16=8. 22
∵ BC ＝16，∴ BD =
∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB =90°.
在Rt △ADB 中，∵ AB ＝AC ＝17，由勾股定理，得
AD =AB -BD =17-8=225. ∴ AD =15 cm．
22222
13.108 解析：因为，所以△是直角三角形，且两条直角边长分别为9，
.
12，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为
14. 612 解析：由勾股定理，得楼梯的底面至楼梯的最高层的水平距离为12 ｍ, 所以楼道
上铺地毯的长度为5＋12＝17（ｍ）. 因为楼梯宽为2 ｍ, 地毯每平方米18元，所以铺完这个楼道需要的钱数为18×17×2＝612（元）. 15.6 解析：∵ △ABH ≌△BCG ≌△CDF ≌△DAE ，∴ AH ＝DE . 又∵ 四边形ABCD 和EFGH 都是正方形， ∴ AD =AB =10，HE =EF =2，且AE ⊥DE . ∴ 在Rt △ADE 中，∴
+
=
，∴
+
=
，∴ AH =6或AH = - 8（不合题意, 舍去）.
16.126或66 解析：本题分两种情况． （1）如图（1），在锐角△ABC 中，AB =13，AC =20，BC 边上的高AD =12，
第16题答图（1）
在Rt △ABD 中，AB =13，AD =12，由勾股定理，得∴ BD =5.在Rt △ACD 中，AC =20，AD =12， 由勾股定理，得
∴ CD =16，∴ BC 的长为BD +DC =5+16=21， △ABC 的面积=·BC ·AD =×21×12=126.
（2）如图（2），在钝角△ABC 中，AB =13，AC =20，BC 边上的高AD =12，
=25，
=256，
第16题答图（2）
在Rt △ABD 中，AB =13，AD =12，由勾股定理，得
=25，∴ BD =5.
在Rt △ACD 中，AC =20，AD =12，由勾股定理，得
=256，∴ CD =16.∴ BC =DC -BD =16-5=11.
△ABC 的面积=·BC ·AD =×11×12=66. 综上，△ABC 的面积是126或66.
17.49 解析：正方形A ，B ，C ，D 的面积之和是最大的正方形的面积，即49 18.4 解析：在Rt △ABC 中，∠C =90°，由勾股定理，得所以AB =5.他们仅仅少走了
（步）．
2
2
．
=4+3=25，
19. 解：如图，在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13， 设BD =x ，∴ CD =14-x ．
由勾股定理，得AD 2=AB 2-BD 2=152-x 2，
AD 2=AC 2-CD 2=132-(14-x ) 2， ∴ 152-x 2=132-(14-x ) 2， 解得x =9． ∴ AD =12．
11
∴ S ∆ABC =BC AD =⨯14⨯12=84．
2220. 解：在Rt △
2
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第19题答图
中，由勾股定理，得AB =AC +BC ，
2
222
即5=AC +4，解得AC =3,或AC =－3（舍去）. 因为每天凿隧道0. 2km ，
所以凿隧道用的时间为3÷0. 2＝15（天）．
答：15天才能把隧道AC 凿通.
21. 解：（1）因为三个内角的比是1︰2︰3，
所以设三个内角的度数分别为k ，2k ，3k （k ≠0）. 由k ＋2k ＋3k ＝180°，得k ＝30°，
所以三个内角的度数分别为30°，60°，90°.
（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为1，斜边长为
2.
设另外一条直角边长为x ，则x +1=2，即x =3.
所以另外一条边长的平方为3.
22. 分析：旗杆折断的部分、未折断的部分和折断后原旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．
解：设旗杆未折断部分的长为x m ，则折断部分的长为（16－x ）m ， 根据勾股定理, 得解得
24. 分析：（1）因为将△
的长，从而（2）由于
，
翻折得到△
，所以
，则在Rt △
中，可求得
，即旗杆在离底部6m 处断裂．
的长可求； ，可设
的长为，在Rt △
中，利用勾股定理解直角三角形即
2222
可．
解：（1）由题意, 得AF ＝AD ＝BC ＝10cm ， 在Rt △ABF 中，∠B ＝90°， ∵ ∴
（2）由题意, 得在Rt △
，设
cm ，∴BF =AF -AB =10-8=36, BF =6 cm,
（cm ）． 的长为，则
.
2
2
2
2
2
中，∠C ＝90°，
2
2
2
由勾股定理, 得EC +FC =EF ，即，
解得，即的长为5 cm．
25. 分析：要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 解：蚂蚁沿如图（1）所示的路线爬行时，长方形长为，宽为， 连接
，则构成直角三角形.
2
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由勾股定理, 得AC '=AC +CC '=5+2=29. 蚂蚁沿如图（2）所示的路线爬行时，长方形长为连接
，则构成直角三角形.
2
2
2
2
2
，宽为，
由勾股定理, 得AC '=AD +DC '=3+4=25, .
蚂蚁沿如图（3）所示的路线爬行时，长方形ABC 'D '长为BB '+B 'C '=5，宽为AB =2，连接AC '，则构成直角三角形.
由勾股定理，得AC '2=AB 2+BC '2=22+52=29.
∴ 蚂蚁从点出发穿过A'D' 到达C '点时路程最短, 最短路程是5．