【摘要】恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连。笔者结合解题教学实践，对不等式恒成立问题的类型和求解策略作一总结，以期对学生的学习有所帮助。 【关键词】恒成立问题函数 求解策略 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）4-0216-02 一、二次函数型恒成立问题求解策略 给定一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)结合一元二次函数的图象以及性质有： （1）f(x)>0在x∈R上恒成立； a>0且△ （2）f(x) a 例2：若不等式（m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R，求m的范围。 分析：若要应用上面的结论，必须保证二次项系数不为0，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-a是否是0。 解： 当m-1=0时，即m=1时，原不等式化为2>0对任意的x恒成立，满足题意； 当m-1≠0时，即m≠1时， 只需 ，解的m∈（1，9） 综上所述，实数m的取值范围是m∈[1,9)。 注:在二次函数型恒成立问题中分类讨论思想用的比较多，凡是涉及二次项系数含有参数的，一般都需要讨论二次项系数是否为0的情况，解题时要注意这一点。 若给定的一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)中的x取值范围有限制，则可利用零点的分布解决问题。 例3：设f(x)=x2-mx+2，当x∈[1,+∞)时，f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围。 解：设F(x)=x2-mx+2-m， 当△=4(m-1)-（m+2)1成立；当△≥0时，F(x)≥0恒成立的充要条件为： 解得-3≤m≤-2。 综上可得实数m的取值范围为[-3,1)。 二、分离参数法求解恒成立问题策略 在给出的不等式中出现两个变量，并且已知一个变量的范围，求解另一个变量的范围时，如果通过恒等变形直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，将不等式转化为函数的最值问题求解，其一般类型为： （1）f(x) >a 恒成立 af(a)≤g(x)min；（2）f(x) a>f(x)max；f(a)≥g(x)恒成立 f(a)≥g(x)max 例4：已知函数f(x）=lg x+-2，若对任意x∈[2,+∞)恒有 f(x）>0，试确定a的取值范围。 解：根据题意得：x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立， 即a> -x2+3x：在x∈[2,+∞)上恒成立，设f(x)=-x2+3x，则f(x)=(x-)2+，当x=2时，f(x)max=2 ，所以a>2。 三、消元转化策略求解恒成立问题策略 消元转化策略：对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决。 例5：已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1，当m，n∈[-1,1]，m+n≠0时，>0若f(x）≤t2-2at+1对于所有的a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。 分析:本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量。 解：因为f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1，则f(x）≤t2-2at+1对于所有的x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立1≤t2-2at+1对于所有的a∈[-1,1]恒成立，即2ta-t2≤0对于所有的a∈[-1,1]恒成立，令g(a)=2ta-t2，只要 ∴t≤-2或t≥2或t=0。 四、确定主元法求解恒成立问题策略 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果能把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，常常可使问题降次，简化。 例6：若不等式2x-1>m(x2-1)对满足m≤2的所有m都成立，求x的取值范围。 分析:若把m看作参数，则题设不等式是关于x的一元二次（或一元一次不等式），处理比较困难，若x把看作参数，m看作主变量，将问题转化为已知m的不等式成立的条件，确定参数的取值范围，求解就比较容易些。 解： 设f(m)=m(x2-1）-（2x-1)，这是一个关于m的一次函数（或者常函数），对满足m≤2的m，f(m) ∴ ∴ 解得： 五、利用集合与集合间的关系求解恒成立问题策略 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即则f(a)≤m且g(n)≥n，不等式的解即为实数a的取值范围。 例7：当x∈ ,3时，logax 解：∵-1 当a>1时， ,3 ,a ∴ ∴a≥3当0 ,3a, ∴ ∴0 综上所得：0 以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。 参考文献： [1] 王兴儒.“恒成立”问题的常见错误剖析[J]. 甘肃教育，2006（23）:47 [2] 程广涛.分离变量法解“恒成立”问题[J]. 高中数理化，2007（6）:13-14 [3] 崔平社.二次函数中“含参恒成立”问题求解策略[J]，2007（3）:12 [4] 杨春梅.高中数学中恒成立问题的解析[J]. 高等函授学报，2010（6）:80-82 [5] 余翠红,浅谈“变换主元法”解题[J]，2011（9）:29
【摘要】恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连。笔者结合解题教学实践，对不等式恒成立问题的类型和求解策略作一总结，以期对学生的学习有所帮助。 【关键词】恒成立问题函数 求解策略 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）4-0216-02 一、二次函数型恒成立问题求解策略 给定一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)结合一元二次函数的图象以及性质有： （1）f(x)>0在x∈R上恒成立； a>0且△ （2）f(x) a 例2：若不等式（m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R，求m的范围。 分析：若要应用上面的结论，必须保证二次项系数不为0，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-a是否是0。 解： 当m-1=0时，即m=1时，原不等式化为2>0对任意的x恒成立，满足题意； 当m-1≠0时，即m≠1时， 只需 ，解的m∈（1，9） 综上所述，实数m的取值范围是m∈[1,9)。 注:在二次函数型恒成立问题中分类讨论思想用的比较多，凡是涉及二次项系数含有参数的，一般都需要讨论二次项系数是否为0的情况，解题时要注意这一点。 若给定的一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)中的x取值范围有限制，则可利用零点的分布解决问题。 例3：设f(x)=x2-mx+2，当x∈[1,+∞)时，f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围。 解：设F(x)=x2-mx+2-m， 当△=4(m-1)-（m+2)1成立；当△≥0时，F(x)≥0恒成立的充要条件为： 解得-3≤m≤-2。 综上可得实数m的取值范围为[-3,1)。 二、分离参数法求解恒成立问题策略 在给出的不等式中出现两个变量，并且已知一个变量的范围，求解另一个变量的范围时，如果通过恒等变形直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，将不等式转化为函数的最值问题求解，其一般类型为： （1）f(x) >a 恒成立 af(a)≤g(x)min；（2）f(x) a>f(x)max；f(a)≥g(x)恒成立 f(a)≥g(x)max 例4：已知函数f(x）=lg x+-2，若对任意x∈[2,+∞)恒有 f(x）>0，试确定a的取值范围。 解：根据题意得：x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立， 即a> -x2+3x：在x∈[2,+∞)上恒成立，设f(x)=-x2+3x，则f(x)=(x-)2+，当x=2时，f(x)max=2 ，所以a>2。 三、消元转化策略求解恒成立问题策略 消元转化策略：对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决。 例5：已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1，当m，n∈[-1,1]，m+n≠0时，>0若f(x）≤t2-2at+1对于所有的a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。 分析:本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量。 解：因为f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1，则f(x）≤t2-2at+1对于所有的x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立1≤t2-2at+1对于所有的a∈[-1,1]恒成立，即2ta-t2≤0对于所有的a∈[-1,1]恒成立，令g(a)=2ta-t2，只要 ∴t≤-2或t≥2或t=0。 四、确定主元法求解恒成立问题策略 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果能把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，常常可使问题降次，简化。 例6：若不等式2x-1>m(x2-1)对满足m≤2的所有m都成立，求x的取值范围。 分析:若把m看作参数，则题设不等式是关于x的一元二次（或一元一次不等式），处理比较困难，若x把看作参数，m看作主变量，将问题转化为已知m的不等式成立的条件，确定参数的取值范围，求解就比较容易些。 解： 设f(m)=m(x2-1）-（2x-1)，这是一个关于m的一次函数（或者常函数），对满足m≤2的m，f(m) ∴ ∴ 解得： 五、利用集合与集合间的关系求解恒成立问题策略 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即则f(a)≤m且g(n)≥n，不等式的解即为实数a的取值范围。 例7：当x∈ ,3时，logax 解：∵-1 当a>1时， ,3 ,a ∴ ∴a≥3当0 ,3a, ∴ ∴0 综上所得：0 以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。 参考文献： [1] 王兴儒.“恒成立”问题的常见错误剖析[J]. 甘肃教育，2006（23）:47 [2] 程广涛.分离变量法解“恒成立”问题[J]. 高中数理化，2007（6）:13-14 [3] 崔平社.二次函数中“含参恒成立”问题求解策略[J]，2007（3）:12 [4] 杨春梅.高中数学中恒成立问题的解析[J]. 高等函授学报，2010（6）:80-82 [5] 余翠红,浅谈“变换主元法”解题[J]，2011（9）:29