梅涅劳斯定理证明

梅涅劳斯(Menelaus)定理的证明

1. 梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理。它指出：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积。

直线与三角形的位置关系有两种情况：

图(2) 2) 如图(2)，三角形ABC与直线DEF的三个交点均在边的延长线上时，仍有：图(1) 1) 如图(1)，三角形ABC与直线DEF交点其中两点在边上，另一交点在边的延长线上，则有： AFBDCE=1FBDCEAAFBDCE=1FBDCEA

2. 证明方法分析

命题：

设直线l分别与△ABC的三边所在直线相交于点D、E、F，则有

AFBDCE =1 FBDCEA

分析：

需证明比例式，一般采用的方法为相似、正弦或余弦定理、共边共角定理等。添加辅助线的方法多为创造平行线。在得到比例式后相乘得所求式子。 3. 证明方法

i. 证法1（作平行线，利用平行线分线段成比例）如图(3)，过点C作直线DF平行线，交AB与点G。由平行线分线段成比例得： BDFBCEGF =，=DCGFEAAFAFBDCEAFFBGF==1FBDCEAFBGFAF图(3) ii. 证法2（作高创造平行，利用比例线段）如图(4)，过点ABC作直线DF垂线，垂足为点I、J、H。 ∵ BJ⊥DF，AI⊥DF ∴ BJ∥AI ∴ ∠3=∠4 又∵∠1=∠2 ∴ △AFI∼△BFJ AFAI= 得 FBBJBDJDCECH同理=,=DCDHEAAI图(4) AFBDCEAIJDCHCHJD ===1FBDCEABJDHAIBJDH

iii. 证法3（利用共边定理）

如图(5)，联结BE、AD

由共边定理得：

AFBDCE FBDCEA

iv. 证法4（利用共角定理）

如图(6)，

由共角定理得：

AEFAF×EFBFDBD×DF =，=，BFDFB×

DFCDEDC×DE DE×CE EA×EF

三式相乘，得：

AF×EF×BD×DF×DE×CE

AFBDCE1== FB×DF×DC×DE×EA×EFFBDCEA

v. 证法5（利用正弦定理）

同图(6)，在△AEF、△BDF、△CDE中，由正弦定理得：

AFBDCEAF×BD×CE= FBDCEAEA×FB×DC SinAEF×SinBFD×SinEDC= SinAFE×SinBDF×SinECD

∵ ∠AEF=∠ECD，∠EDC=∠FDB ∠BFD+∠AFE=180° 图(5) 图(6) ∴ Sin∠AEF=Sin∠ECD，Sin∠EDC=Sin∠FDB 且Sin∠BFD=Sin∠AFE 图(6) ∴ 上式右端分式化为1 即 AFBDCE=1FBDCEA