32点群以及各符号的介绍
摘 要：本文针晶体宏观对称分出32点群做出简单推导，并对一些其中基本对称元素符号的定义和其对应的国际符号、习惯符号等做了总结。
关键词：32点群；对称元素；国际符号；习惯符号
引 言：在日常生活中我们无时无刻不与对称接触，比如我们的双手，楼房构造，交通工具…似乎它们都是对称美的例子。并且在现代快速发展的各个领域中、各个学科中，对称对具体的研究起到更为关键的作用，特别在晶体学中更为突出。例如对晶体的分类、测定都离不开对称性。而对称是指物体相同部分作有规律的重复，也是用来解释物体或图形的对称性的手段。晶体的对称操作可以分为宏观和微观两类，宏观对称元素是反映晶体外形和其宏观性质的对称性，而微观对称元素与宏观对称元素配合运用就能反映出晶体中原子排列的对称性。 而在现今的一些书本中只对宏观的32点群做了简单介绍，并且对其中的各个符号的含义的介绍不够全面，所以作者通过对一些课本及资料的查阅，对32点群以及各个符号的含义重新总结。
1 符号及意义
1.1宏观晶体的对称元素
1）．对称面
晶体通过某一平面作镜像反映而能复原，则该平面称为对称面（国际符号用m表示，习惯符号用P表示）。
2）．对称轴（旋转）
围绕晶体中一根固定直线作为旋转轴，整个晶体绕它旋转2π/n角度后而能完全复原，称晶体具有n次对称轴（国际符号用n表示，习惯符号用Ln表示），重复时所旋转的最小角度称为基转角α ，n与α之间的关系为 n＝360°/α（n＝1、2、3、4、6；α为360°、180°、120°、90°、60°）。
3）．对称中心（反演）
若晶体中所有的点在经过某一点反演后能复原，则该点就称为对称中心（见图1-1中的C点（国际符号用表示，习惯符号用C表示）。对称中心必然位于晶体中的几何中心。
图1-1对称中心
4）．旋转－反演轴
再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此轴称为旋转－反演轴。旋转－反演轴的对称操作是围绕一根直线旋转和对此直线上一点反演。旋转－反演轴的国际符号为、、、、，也可用习惯符号Lin来表示，i代表反演，n代表轴次。n可以为1、2、3、4、6，相应的基转角为360°、180 °、120 °、90 °、60 °，旋转－反演轴的作用如下图1-2（a）～（e）所示：
（a）Li1 （b）Li2 （c）
Li3
（d）Li4 （e）Li6
图1-2 旋转－反演轴
综上所述，晶体的宏观对称性中，独立的宏观对称元素有如下10种：L1、L2、L3、L4、L6、C（=Li1）、P（=Li2）、Li3（=L3+C）、Li4、Li6（=L3+P）。
1.2 熊弗利斯符号
1） 熊弗利斯符号表示中：
T代表四面体群
O代表八面体群
C代表回转群
D代表双面群
S代表反群
i代表对称心
s代表对称面
v代表通过主轴的对称面
h代表与主轴垂直的对称面
d等分两个副轴的交角的对称镜面
2） Cn（n=1，2，3，4，6）表示对称轴Ln
Cnh表示Ln与垂直的对称面P的组合
Cnv表示Ln与平行的对称面P的组合
Ci表示有一个对称中心
Cni表示除了n次旋转轴外，还包括一个对称中心
S4表示有一个四次旋转反演轴。
Dn表示除了n次主旋转轴外，还包括n个与之轴垂直的二次旋转轴
Dnh表示LnnL2（n+1）PC的组合即除了Dn 的对称性外，还包括一个与主旋转轴垂直的对称面和n个与二次旋转轴重合（即平行）的对称面
Dnd表示对称轴、对称面和L2的组合（除了Dn 的对称性外，还包括n个平分两个二次旋转轴夹角的对称面）
T代表四面体中对称轴的组合（除了四个三次旋转轴外，还包括三个正交的二次旋转轴）
Th代表除了T的对称性外，还包括与二次旋转轴垂直的三个对称面。
Td代表除了T的对称性外，还包括六个平分两个二次旋转轴夹角的对称面
O代表八面体中对称轴的组合（包括三个互相垂直的四次旋转轴，六个二次旋转轴和四个三次旋转轴）
Oh代表除了O的对称性外，还包括Td与Th的对称面
2 32点群简单推导
2.1 对称元素的组合
1)如果一个二次轴L2垂直于n次轴Ln，那么必定有n个L2垂直于Ln，且相邻的两个L2的夹角为Ln的基转角的一半，即
Ln·L2
⊥→Lnn L2⊥
2)如果有一个对称面P垂直偶次对称轴Ln，则在其交点存在对称中心C，即
Ln（偶）·P⊥→LnPC
3)如果对称面P包含对称轴Ln，则必定有n个P包含Ln，即
Ln·P//→Ln nP
4)如果有一个二次轴L垂直于倒转轴Li，或者有一个对称面P包含Li，则当n为奇数时，必有n个L2垂直于Lni和n个对称面包含Lni；当n为偶数时，必有n/2个L2垂直于Lni和n/2个对称面包含Lni，即
Ln（奇）i·L⊥2→Lnin L2nP
Ln（偶）i·L⊥2→Lnin/2 L2n/2P
2.2 32点群推导
2.2.1 旋转轴的组合
1）单一旋转轴：
此时的组合：L(C1), L(C2), L(C3), L(C4), L(C6)。
2）高次轴与二次轴的组合：
L1 (C1), L2(C2), L3(C3), L4(C4), L6(C6)。
L3+ L2= L33L2 (D3)
L4+ L2= L44L2 (D4)
L2+ L2= 3L2(D2)
L6+ L2= L66L2 (D6) 1 234622n
3）高次轴的组合：
4L33L2 (T), 4L33L46L2 (O)
旋转轴型的对称类型共11种。
2.2.2旋转轴型与反映面的组合
1）旋转轴与反映面垂直
L1+ P⊥= P (Cs)
L2+ P⊥= L2 PC (C2h)
L3+ P⊥= L3 P (C3h)
L 4+ P⊥= L4 PC (C4h)
L6+ P⊥= L6 PC (C6h)3
L2+ P⊥= 3L23PC (D2h)
L33L2+ P⊥= L33L24P (D3h)L
44L2+ P⊥= L44L25PC (D4h)
L66L2+ P⊥= L66L27PC (D6h)
3L24L3+ P⊥= 3L24L33PC (Th)
4L33L46L2+ P⊥= 4L33L46L29PC (Oh)
2）反映面穿过旋转轴
①单一轴型
L2+ P/ = L2 2P (C2v)L
3+ P/= L3 3P (C3v)
L4+ P/ = L4 4P (C4v)
L6+ P/ = L6 6P (C6v)
②反映面平分相邻二次轴夹角
L22L2+ Pd= L4 2L2 2P (D2d)
L33L2+ Pd= L3 3L2 3PC (D3d)
3L24L3+ Pd= 3L4 4L3 6P (Td)
3L44L36L2+ Pd= 3L4 4L3 6L2 9PC
③反映面垂直或穿过二次轴
L22L2+ P = 3L2 3PC
L44L2+ P = L44L25PC
L66L2+ P = L66L27PC
3L24L3+ P = 3L24L33PC
3L44L36L2+ P = 3L44L36L2 9PC
L33L2+ P1 = L33L2 3PC
L33L2+ P2 = L33L24P
旋转轴和反映面的组合的对称类型有18种。
2.2.3 旋转轴与对称中心的组合
L1+C=C(Ci)
L3+C=L3C=Li3
旋转轴与对称中心组合的对称类型有2种。
2.2.4 四次反轴
因为它不能与其它对称元素组合成新的对称群，所以它独立成为一个点群。
这样晶体宏观度对称类型总共有32种如表1-1。
表1-1点群的国际符号和圣佛利斯符号[1]
在点群的推导过程中在每个晶系中有自己的特征方向，在每个特征方向上有着不同的对称性。点群的特征方向如表1-2。
表1-2
采用国际符号不仅可以表示出各种晶类中有那些对称元素，而且还能表示出这些对称元素在空间的方向。国际符号根据各种晶类的对称性可以是三项、或二项、或一项符号组成，它分别表示晶体某三个、或二个、或一个方向上的对称元素。如果在某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于此轴的对称面，则写成分数形式。例如，三斜晶系，除一次旋转轴或一次旋转倒反轴外，没有其它对称元素，因此1或可以在任意方向。单斜晶系的特点是，在某一方向上（一般规定为b轴方向）有一个二次旋转轴，因此国际符号表示沿ｂ轴方向。例如2/m点群表示在b轴方向除有一个二次轴外，还有一个与b轴垂直的对称面。正交晶系的特点是有三个相互正交的晶轴，分别沿a、b、c轴方向，因此国际符号中第一项表示沿a轴方向，第二项表示沿b轴方向，第三项表示沿c轴方向。如mm2点群表示有二个对称面分别沿a轴方向和b轴方向，以及一个沿c轴方向的二次轴。四方晶系的特点是有一个四次旋转轴（或四次旋转倒反轴），规定此轴为c轴方向，第二项表示沿a或b轴的方向，第三项表示沿a、b轴夹角的平分线的方向。如：2m点群表示沿c轴方向有一个四次旋转倒反轴，沿a和b轴方向各有一个二次旋转轴，在沿a、b轴夹角的平分线的方向上有一个对称面。三角晶系的特点是有一个（只有一个）三次旋转轴（或三次旋转倒反轴），通常规定此轴为c轴方向，a、b轴位于与c轴垂直的平面内，a、b轴夹角为120 ，a、b轴或者与二次轴平行，或者与对称面垂直。因此三角晶系中的国际符号，第一项表示沿c轴方向，第二项表示沿a、b、d轴方向。例如32点群，表示沿c轴方向有一个三次轴，沿a、b、d轴方向各有一个二次旋转轴。六角晶系的特点是有一个（只有一个）六次旋转轴（或六次旋转倒反轴），并规定此轴为c轴方向。因此六角晶系中的国际符号，第一项表示沿c轴方向，第二项表示沿a、b、d轴方向，第三项表示沿a、b、d轴夹角的平分线方向。例如622点群，表示沿c轴方向有一个六次旋转轴，沿a、b、d轴方向各有一个二次旋转轴（共三个），在a、b轴之间、在b、d轴之间、在a、d轴之间夹角的平分线方向上各有一个二次旋转轴（共三个）。这就是说622点群有一个六次旋转轴和六个二次旋转轴。立方晶系的特点是对称性最高，因此立方晶系中的国际符号，第一项表示沿a、b、c轴方向，第二项表示沿立方体的体对角线方向（共有四条体对角线），第三项表示沿立方体的面对角线方向（共有六条面对角线）。
如3m点群表示沿a、b、c轴方向各有一个四次旋转倒反轴（共三个），沿体对角线方向各
有一个三次旋转轴（共四个），沿面对角线方向各有一个对称面（共六个）。点群的国际符号按一定次序表示了其中各种对称元素，一般场合下包括三位。在各晶系中，每位代表相应晶胞的a、b、c三个向量形成确定关系的方向。在某一方向上出现的旋转轴、旋转－反演轴系指与这一方向相平行的，在某一方向出现的晶面系指与这一方向垂直的，在某一方向同时出现旋转轴或旋转反演轴与镜面时，可将旋转轴或旋转反演轴写在分数的分子位置，而镜面m则写在分母的位置。如2/m指该方向上有一个二次轴和一个镜面。在一般场合，1与 1 并不放在国际符号上。但三斜晶系中，1或1放在第一位上。有时，在第三位上有对称元素，而在第二位上并无对称元素可以填入时，则可用1填注空白。国际符号的优点是可以一目了然地看出其中的对称情况，例如，在立方晶系中，4/m 3 2/m 表示在[100]与[110] 方向上有垂直的对称面，且平行于[100]与[110]方向分别存在一个四次轴和二次轴，平行于[111]方向存在一个三次轴。
3 结论
32点群是通过宏观对称操作的组合得来，并用一系列的符号表示出。通过资料的对比证明有些符号虽不同但意思相同，同时也给出了各个符号对应的含义，以及圣佛利斯符号所对应的点群。
参考文献
[1]秦善[晶体学基础]北京市海定区中关村北京大学大学校内À；北京大学出版社、200442.
32点群以及各符号的介绍
摘 要：本文针晶体宏观对称分出32点群做出简单推导，并对一些其中基本对称元素符号的定义和其对应的国际符号、习惯符号等做了总结。
关键词：32点群；对称元素；国际符号；习惯符号
引 言：在日常生活中我们无时无刻不与对称接触，比如我们的双手，楼房构造，交通工具…似乎它们都是对称美的例子。并且在现代快速发展的各个领域中、各个学科中，对称对具体的研究起到更为关键的作用，特别在晶体学中更为突出。例如对晶体的分类、测定都离不开对称性。而对称是指物体相同部分作有规律的重复，也是用来解释物体或图形的对称性的手段。晶体的对称操作可以分为宏观和微观两类，宏观对称元素是反映晶体外形和其宏观性质的对称性，而微观对称元素与宏观对称元素配合运用就能反映出晶体中原子排列的对称性。 而在现今的一些书本中只对宏观的32点群做了简单介绍，并且对其中的各个符号的含义的介绍不够全面，所以作者通过对一些课本及资料的查阅，对32点群以及各个符号的含义重新总结。
1 符号及意义
1.1宏观晶体的对称元素
1）．对称面
晶体通过某一平面作镜像反映而能复原，则该平面称为对称面（国际符号用m表示，习惯符号用P表示）。
2）．对称轴（旋转）
围绕晶体中一根固定直线作为旋转轴，整个晶体绕它旋转2π/n角度后而能完全复原，称晶体具有n次对称轴（国际符号用n表示，习惯符号用Ln表示），重复时所旋转的最小角度称为基转角α ，n与α之间的关系为 n＝360°/α（n＝1、2、3、4、6；α为360°、180°、120°、90°、60°）。
3）．对称中心（反演）
若晶体中所有的点在经过某一点反演后能复原，则该点就称为对称中心（见图1-1中的C点（国际符号用表示，习惯符号用C表示）。对称中心必然位于晶体中的几何中心。
图1-1对称中心
4）．旋转－反演轴
再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此轴称为旋转－反演轴。旋转－反演轴的对称操作是围绕一根直线旋转和对此直线上一点反演。旋转－反演轴的国际符号为、、、、，也可用习惯符号Lin来表示，i代表反演，n代表轴次。n可以为1、2、3、4、6，相应的基转角为360°、180 °、120 °、90 °、60 °，旋转－反演轴的作用如下图1-2（a）～（e）所示：
（a）Li1 （b）Li2 （c）
Li3
（d）Li4 （e）Li6
图1-2 旋转－反演轴
综上所述，晶体的宏观对称性中，独立的宏观对称元素有如下10种：L1、L2、L3、L4、L6、C（=Li1）、P（=Li2）、Li3（=L3+C）、Li4、Li6（=L3+P）。
1.2 熊弗利斯符号
1） 熊弗利斯符号表示中：
T代表四面体群
O代表八面体群
C代表回转群
D代表双面群
S代表反群
i代表对称心
s代表对称面
v代表通过主轴的对称面
h代表与主轴垂直的对称面
d等分两个副轴的交角的对称镜面
2） Cn（n=1，2，3，4，6）表示对称轴Ln
Cnh表示Ln与垂直的对称面P的组合
Cnv表示Ln与平行的对称面P的组合
Ci表示有一个对称中心
Cni表示除了n次旋转轴外，还包括一个对称中心
S4表示有一个四次旋转反演轴。
Dn表示除了n次主旋转轴外，还包括n个与之轴垂直的二次旋转轴
Dnh表示LnnL2（n+1）PC的组合即除了Dn 的对称性外，还包括一个与主旋转轴垂直的对称面和n个与二次旋转轴重合（即平行）的对称面
Dnd表示对称轴、对称面和L2的组合（除了Dn 的对称性外，还包括n个平分两个二次旋转轴夹角的对称面）
T代表四面体中对称轴的组合（除了四个三次旋转轴外，还包括三个正交的二次旋转轴）
Th代表除了T的对称性外，还包括与二次旋转轴垂直的三个对称面。
Td代表除了T的对称性外，还包括六个平分两个二次旋转轴夹角的对称面
O代表八面体中对称轴的组合（包括三个互相垂直的四次旋转轴，六个二次旋转轴和四个三次旋转轴）
Oh代表除了O的对称性外，还包括Td与Th的对称面
2 32点群简单推导
2.1 对称元素的组合
1)如果一个二次轴L2垂直于n次轴Ln，那么必定有n个L2垂直于Ln，且相邻的两个L2的夹角为Ln的基转角的一半，即
Ln·L2
⊥→Lnn L2⊥
2)如果有一个对称面P垂直偶次对称轴Ln，则在其交点存在对称中心C，即
Ln（偶）·P⊥→LnPC
3)如果对称面P包含对称轴Ln，则必定有n个P包含Ln，即
Ln·P//→Ln nP
4)如果有一个二次轴L垂直于倒转轴Li，或者有一个对称面P包含Li，则当n为奇数时，必有n个L2垂直于Lni和n个对称面包含Lni；当n为偶数时，必有n/2个L2垂直于Lni和n/2个对称面包含Lni，即
Ln（奇）i·L⊥2→Lnin L2nP
Ln（偶）i·L⊥2→Lnin/2 L2n/2P
2.2 32点群推导
2.2.1 旋转轴的组合
1）单一旋转轴：
此时的组合：L(C1), L(C2), L(C3), L(C4), L(C6)。
2）高次轴与二次轴的组合：
L1 (C1), L2(C2), L3(C3), L4(C4), L6(C6)。
L3+ L2= L33L2 (D3)
L4+ L2= L44L2 (D4)
L2+ L2= 3L2(D2)
L6+ L2= L66L2 (D6) 1 234622n
3）高次轴的组合：
4L33L2 (T), 4L33L46L2 (O)
旋转轴型的对称类型共11种。
2.2.2旋转轴型与反映面的组合
1）旋转轴与反映面垂直
L1+ P⊥= P (Cs)
L2+ P⊥= L2 PC (C2h)
L3+ P⊥= L3 P (C3h)
L 4+ P⊥= L4 PC (C4h)
L6+ P⊥= L6 PC (C6h)3
L2+ P⊥= 3L23PC (D2h)
L33L2+ P⊥= L33L24P (D3h)L
44L2+ P⊥= L44L25PC (D4h)
L66L2+ P⊥= L66L27PC (D6h)
3L24L3+ P⊥= 3L24L33PC (Th)
4L33L46L2+ P⊥= 4L33L46L29PC (Oh)
2）反映面穿过旋转轴
①单一轴型
L2+ P/ = L2 2P (C2v)L
3+ P/= L3 3P (C3v)
L4+ P/ = L4 4P (C4v)
L6+ P/ = L6 6P (C6v)
②反映面平分相邻二次轴夹角
L22L2+ Pd= L4 2L2 2P (D2d)
L33L2+ Pd= L3 3L2 3PC (D3d)
3L24L3+ Pd= 3L4 4L3 6P (Td)
3L44L36L2+ Pd= 3L4 4L3 6L2 9PC
③反映面垂直或穿过二次轴
L22L2+ P = 3L2 3PC
L44L2+ P = L44L25PC
L66L2+ P = L66L27PC
3L24L3+ P = 3L24L33PC
3L44L36L2+ P = 3L44L36L2 9PC
L33L2+ P1 = L33L2 3PC
L33L2+ P2 = L33L24P
旋转轴和反映面的组合的对称类型有18种。
2.2.3 旋转轴与对称中心的组合
L1+C=C(Ci)
L3+C=L3C=Li3
旋转轴与对称中心组合的对称类型有2种。
2.2.4 四次反轴
因为它不能与其它对称元素组合成新的对称群，所以它独立成为一个点群。
这样晶体宏观度对称类型总共有32种如表1-1。
表1-1点群的国际符号和圣佛利斯符号[1]
在点群的推导过程中在每个晶系中有自己的特征方向，在每个特征方向上有着不同的对称性。点群的特征方向如表1-2。
表1-2
采用国际符号不仅可以表示出各种晶类中有那些对称元素，而且还能表示出这些对称元素在空间的方向。国际符号根据各种晶类的对称性可以是三项、或二项、或一项符号组成，它分别表示晶体某三个、或二个、或一个方向上的对称元素。如果在某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于此轴的对称面，则写成分数形式。例如，三斜晶系，除一次旋转轴或一次旋转倒反轴外，没有其它对称元素，因此1或可以在任意方向。单斜晶系的特点是，在某一方向上（一般规定为b轴方向）有一个二次旋转轴，因此国际符号表示沿ｂ轴方向。例如2/m点群表示在b轴方向除有一个二次轴外，还有一个与b轴垂直的对称面。正交晶系的特点是有三个相互正交的晶轴，分别沿a、b、c轴方向，因此国际符号中第一项表示沿a轴方向，第二项表示沿b轴方向，第三项表示沿c轴方向。如mm2点群表示有二个对称面分别沿a轴方向和b轴方向，以及一个沿c轴方向的二次轴。四方晶系的特点是有一个四次旋转轴（或四次旋转倒反轴），规定此轴为c轴方向，第二项表示沿a或b轴的方向，第三项表示沿a、b轴夹角的平分线的方向。如：2m点群表示沿c轴方向有一个四次旋转倒反轴，沿a和b轴方向各有一个二次旋转轴，在沿a、b轴夹角的平分线的方向上有一个对称面。三角晶系的特点是有一个（只有一个）三次旋转轴（或三次旋转倒反轴），通常规定此轴为c轴方向，a、b轴位于与c轴垂直的平面内，a、b轴夹角为120 ，a、b轴或者与二次轴平行，或者与对称面垂直。因此三角晶系中的国际符号，第一项表示沿c轴方向，第二项表示沿a、b、d轴方向。例如32点群，表示沿c轴方向有一个三次轴，沿a、b、d轴方向各有一个二次旋转轴。六角晶系的特点是有一个（只有一个）六次旋转轴（或六次旋转倒反轴），并规定此轴为c轴方向。因此六角晶系中的国际符号，第一项表示沿c轴方向，第二项表示沿a、b、d轴方向，第三项表示沿a、b、d轴夹角的平分线方向。例如622点群，表示沿c轴方向有一个六次旋转轴，沿a、b、d轴方向各有一个二次旋转轴（共三个），在a、b轴之间、在b、d轴之间、在a、d轴之间夹角的平分线方向上各有一个二次旋转轴（共三个）。这就是说622点群有一个六次旋转轴和六个二次旋转轴。立方晶系的特点是对称性最高，因此立方晶系中的国际符号，第一项表示沿a、b、c轴方向，第二项表示沿立方体的体对角线方向（共有四条体对角线），第三项表示沿立方体的面对角线方向（共有六条面对角线）。
如3m点群表示沿a、b、c轴方向各有一个四次旋转倒反轴（共三个），沿体对角线方向各
有一个三次旋转轴（共四个），沿面对角线方向各有一个对称面（共六个）。点群的国际符号按一定次序表示了其中各种对称元素，一般场合下包括三位。在各晶系中，每位代表相应晶胞的a、b、c三个向量形成确定关系的方向。在某一方向上出现的旋转轴、旋转－反演轴系指与这一方向相平行的，在某一方向出现的晶面系指与这一方向垂直的，在某一方向同时出现旋转轴或旋转反演轴与镜面时，可将旋转轴或旋转反演轴写在分数的分子位置，而镜面m则写在分母的位置。如2/m指该方向上有一个二次轴和一个镜面。在一般场合，1与 1 并不放在国际符号上。但三斜晶系中，1或1放在第一位上。有时，在第三位上有对称元素，而在第二位上并无对称元素可以填入时，则可用1填注空白。国际符号的优点是可以一目了然地看出其中的对称情况，例如，在立方晶系中，4/m 3 2/m 表示在[100]与[110] 方向上有垂直的对称面，且平行于[100]与[110]方向分别存在一个四次轴和二次轴，平行于[111]方向存在一个三次轴。
3 结论
32点群是通过宏观对称操作的组合得来，并用一系列的符号表示出。通过资料的对比证明有些符号虽不同但意思相同，同时也给出了各个符号对应的含义，以及圣佛利斯符号所对应的点群。
参考文献
[1]秦善[晶体学基础]北京市海定区中关村北京大学大学校内À；北京大学出版社、200442.