用五种方法证明柯西中值定理
黄德丽
（湖州师范学院理学院!!
!
摘&要：从多角度全方面介绍了微分中值定理中柯西中值定理的五种证明方法，其中有利用构造辅助函数，根据罗尔定理证明；利用闭区间套定理证明；借助引理，并应用反证法证明；用达布（’()*+,-）定理和反证法证明；利用坐标旋转变换证明等方法，使柯西中值定理更好的被认识、学习.关键词：柯西中值定理，证明，方法中图分类号：/#01.#&&&
&&&文献标识码：2&&&&&&&&&文章编号：#%%!3#0$
微分中值定理是微分学中的一个重要定理，它包括罗尔（6+778）定理、拉格朗日（9(:)(;:8）中值定理和柯中值定理!而柯西中值定理较前两者更具有一般性，其叙述如下：西（?）
柯西中值定理：若（
（）（
@!（!）$（&）3$（%）$’
（#）
其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题!一般的证明方法是构造辅助函数再根据罗尔定理得证，也有人利用闭区间套定理来证明，还有人利用坐标轴旋转来证明!本文在系统整理关于这一定理的几种证明方法的同时给出了利用达布定理和反证法来证明的方法，这些方法的探讨有利于更好的掌握微分知识，在教学中具有借鉴作用!
#&利用罗尔定理证明柯西中值定理
罗尔定理：设函数在闭区间［%，&］上连续，在开区间（%，&）上可导，而且在两个端点处函数
证明&设)和*分别是
下面证明柯西中值定理（辅助函数的构造有多种方法，在此不作介绍）证明&引入函数
+（#）@［$（&）3$（%）］（
这个函数在［%，&］上显然是连续的，而且在开区间（%，&）上有导数!此外，+（%）@+（&）!因此，根据罗尔定理可以找到这样的点(
（&）3$（%）］
时等于零，因此，积［（
万方数据 收稿日期：1%%$3%
$%
（1）
数
!
!,
湖
!
引理#
%/(
%/(
则%&’
（!
!&（
%/(
#
引理!
!
（!$#）*（!##）（!$）*（!#）
’)
$#*##$*#现在把引理!推广为：
#
引理+
!
使
（!$#）*（!##）（!$）*（!#）
)’
(（$#）*(（##）(（$）*(（#）
下面证明柯西中值定理：
证明
#
)（
(（
))$，
#
从而(（
!
(（
))$，
从而又有(（
%/(
（
%/(
%&’!%)%&’
%/(
根据引理#得：
(&（#）)%&’
(（
)$，
%/(
#
这与条件(&（
!
（!$#）*（!##）（!$）*（!#）
)’
(（$#）*(（##）(（$）*(（#）
反复利用引理+，类似与前面的证明，可得闭区间套｛［#%，$%］｝，满足%&’（$%*#%）)$，且
%/(
（!$%）*（!#%）（!$）*（!#）
)’
(（$%）*(（#%）(（$）*(（#）
由闭区间套定理存在)
%/(
%/(
万方数据
（!$%）*（!#%）$%*#%（!$%）*（!#%）（!&（)）!$）*（!#）
)%&’)%&’)’(&（)）%/((（$%）*(（#%）%/((（$%）*(（#%）(（$）*(（#）
$%*#%
’$$!
’3
!
引理#
（!(）%（!’）（!%）%（!$）
&)
#（(）%#（’）#（%）%#（$）
下面证明柯西中值定理：
证明
%%$
；’*
（!%*）%（!$*）（!%）%（!$）（#&)
#（%*）%#（$*）#（%）%#（$）
由闭区间套定理知存在!
*/,
*/,
下面用反证法证明（#）式
（!
，不妨设假设-)由于)*+&)*+&#
，所以存在,（（$.
#（%）%#（$）
（!
-)
#（
$使$.，%.
-/,
（’）
（!%.）%（!$.）（!%）%（!$）
&)
#（%.）%#（$.）#（%）%#（$）
由（’）式得
（!%.）%（!!）（!%）%（!$）
，-#（%.）%#（!）#（%）%#（$）（!!）%（!$.）（!%）%（!$）
-)
#（!）%#（$.）#（%）%#（$）
因为#&（
（!%.）%（!!）-（!!）%（!$.）-将（1）、（2）两式两边相加，得
（!%.）%（!$.）-即
这与（!）式矛盾)
同理可证万方数据不成立)
（!）
（/）（0）
（!%）%（!$）
#（%.）%#（!）］，
#（%）%#（$）（!%）%（!$）
#（!）%#（$.）］)
#（%）%#（$）（!%）%（!$）
（%.）%#（$.）］，#
#（%）%#（$）
（1）（2）
（!%.）%（!$.）（!%）%（!$）
-)
#（%.）%#（$.）#（%）%#（$）
!&（!）（!%）%（!$）
-#&（!）#（%）%#（$）
3/
又由于存在
湖$州$师$范$学$院$学$报$$$$$$$$$$$$$$$第-4卷
!
，所以!&#
#$利用达布（%&’()*+）定理证明柯西中值定理
达布定理$（!’）在（%，$）连续且可导，
（,）有点’,，’-
命题$设函数（!’）在（%，$）内可导，且!
!
由导数的定义和极限的保号性定理可知，存在’的某#’邻域（’
［%,1#/，$,
’*1#*），*!,，-，…，+且’,.’-.….’+，通过删除多余的邻域后，可使其两两相交，不妨设其分别为（’*
而互不包含，取!,
（$,
（!%,）.（!!,）.（!’,）.（!!-）.（!’-）.….（!’+
由上已证得的结论易知当!
下面证明柯西中值定理：证明$构造函数
,（’）!［#（$）
这个函数在［%，$］上显然是连续的，而且在开区间（%，$）上有导数，此外，,（%）!,（$）&现要证明存在!
!
成立&!
#
4$利用坐标旋转变换证明柯西中值定理
微分中值定理证明的难点在于构造辅助函数，而下列证明不通过构造辅助函数，利用坐标旋转变换来证明柯西中值定理&
证明$构造参数方程
万方数据
{
’!#（)），%-)-$&
-!（!)）
（,）
,--5++++++++++++++黄德丽：
用五种方法证明柯西中值定理
5!
由定理条件知，方程（!）的图像是!
由图!所示，%)与!轴正向夹角为!，
（!-，#-）#（&（/）$%&!’（(/）&()!，*&（/）&()!’（(/）$%&!），
&（*）*&（’）
而，$%&!#
,（(*）*（(’）
，&()!#
,
所以曲线$在新坐标系!-
&（*）*&（’）（(*）*（(’）
+++++!-#&（/’（(/，（,）
,,
&（*）*&（’）（(*）*（(’）’（(/++++++#-#*&（/,,0!-0#-显然，对于任意/
0/0/
0!-则方程（,）在［&-（’），&-（*）］上满足罗尔定理条件，故存在
0/
0#-#-，&-（
0!-!-#&-（
即存在
（(*）*（(’）&（*）*&（’*&（/’（(/,,0#-+!-#&-#-，（
（*）*&（’）&-（
即存在
在上述介绍的证明方法中有许多证明方法在微分中值定理的其他定理证明中也有一定的借鉴作用+
参+考+文+献
［!］「苏」./尼柯尔斯基0数学分析教程［/］0北京：人民教育出版社，!12-：!324!310［,］陈传璋，金福临，朱学炎0数学分析［/］0北京：高等教育出版社，!125：!634!620［5］姚正安，翟连林0数学分析方法论［/］0北京：北京农业大学出版社，!11,：,574,560［8］华东师范大学数学系编0数学分析［/］0北京：人民教育出版社，!12-：!384!370［3］陈修素，周进0微分学中的一个命题的一种证法［9］0重庆工业管理学院学报，!113，!,（8）0［7］钟朝艳0.:;$:=?%@定理的新证明［9］0曲靖师专学报，!112，（5）0［6］张树义0.:;$
万方数据
用五种方法证明柯西中值定理
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
黄德丽
湖州师范学院,理学院99411班,浙江,湖州,313000湖州师范学院学报
JOURNAL OF HUZHOU TEACHERS COLLEGE2003，25(z1)3次
1.C M 尼柯尔斯基 数学分析教程 19802.陈传璋.金福临.朱学炎 数学分析 19833.姚正安.翟连林 数学分析方法论 19924.华东师范大学数学系 数学分析 1980
5.陈修素.周进 微分学中的一个命题的一种证法 19956.钟朝艳 Cauchy中值定理与Taylor定理的新证明 19987.张树义 Cauchy中值定理的又一个证明 1997(5)
1.期刊论文 张跃平.葛健芽.沈利红.ZHANG Yue-ping.GE Jian-ya.SHEN Li-hong 柯西中值定理的证明与应用 -金华职业技术学院学报2006,6(3)
本文介绍了柯西中值定理的多种证明方法及其应用.其中证明方法有:利用构造辅助函数,根据罗尔定理证明;利用坐标旋转变换证明;利用达布定理证明;利用复合函数证明;利用同增量性证明.其应用方面为:求极限;证明不等式;证明等式;证明单调性.
2.期刊论文 嵇伟明 关于柯西中值定理的几种证明方法 -成才之路2008(29)
微分中值定理是微分学中重要的基本定理,它可应用于求极限、证明不等式与等式、证明单调性等很多数学问题的讨论.为加深对柯西中值定理的理解,以便更好地应用,本文介绍了柯西中值定理的几种新的有代表性的证明方法.
3.期刊论文 葛健芽.张跃平.沈利红.GE Jian-ya.ZHANG Yue-ping.SHEN Li-hong 再探柯西中值定理 -金华职业技术学院学报2007,7(2)
本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用.其中证明方法有:利用闭区间套定理证明、利用反证法证明.其应用方面为:证明一致连续、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式.
4.期刊论文 罗壹.康晓丹.蔡美玲 柯西中值定理的证法与推广综述 -内江师范学院学报2009,24(z1)
通过回顾柯西中值定理证明方法、推广形式和应用研究现状,分析了构造辅助函数是柯西中值定理证明的关键,提出了柯西中值定理进一步研究的方向和有待解决的问题.
5.期刊论文 陈逢明.Chen Fengming 微分中值定理的证明 -福建商业高等专科学校学报2005(5)
本文给出拉格朗日中值定理与柯西中值定理的两种证明方法.
6.期刊论文 王丽萍.WANG Li-ping 对广义柯西中值定理--
着重对柯西中值定理
7.期刊论文 高崚嶒.陈燕.GAO Lin-cen.CHEN Yan 柯西中值定理的新证明及中值定理的两个应用 -南京工业职业技术学院学报2008,8(2)
基于柯西中值定理的一个新的证法,探讨了中值定理在求极限和涉及两个不同函数或者两个不同点的证明题中的应用,对进一步理解中值定理,掌握其应用具有一定意义.
8.期刊论文 宋振云.陈少元.涂琼霞 也谈一类微分中值定理证明问题 -高等数学研究2009,12(5)
基于一类满足拉格朗日中值定理条件的微分中值定理证明问题,提出了一类类似的满足柯西中值定理条件的微分中值定理证明问题,并给出了证明.
9.期刊论文 王贵保.卢占会 利用插值法证明推广的柯西中值定理 -大学数学2004,20(5)
借助插值的思想,首先给出函数f(x)的泰勒公式的行列式表达式,推广了柯西中值定理据此拉格朗日中值定理、泰勒公式、罗必塔法则均是该结论的推论,从而对经典的中值定理、泰勒公式、罗必塔法则给出了统一证明.
10.期刊论文 杨耕文.Yang Geng-wen 用行列式法证明微分中值定理 -洛阳大学学报2006,21(4)
微分中值定理是微分学中的基本定理.本文从罗尔中值定理出发,这用行列式理论,不仅证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理,还发现了一些新的结论.
1.罗壹.康晓丹.蔡美玲 柯西中值定理的证法与推广综述[期刊论文]-内江师范学院学报 2009(z1)
2.葛健芽.张跃平.沈利红 再探柯西中值定理[期刊论文]-金华职业技术学院学报 2007(02)3.张跃平.葛健芽.沈利红 柯西中值定理的证明与应用[期刊论文]-金华职业技术学院学报 2006(03)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_huzsfxyxb2003z1008.aspx
下载时间：2010年3月1日
用五种方法证明柯西中值定理
黄德丽
（湖州师范学院理学院!!
!
摘&要：从多角度全方面介绍了微分中值定理中柯西中值定理的五种证明方法，其中有利用构造辅助函数，根据罗尔定理证明；利用闭区间套定理证明；借助引理，并应用反证法证明；用达布（’()*+,-）定理和反证法证明；利用坐标旋转变换证明等方法，使柯西中值定理更好的被认识、学习.关键词：柯西中值定理，证明，方法中图分类号：/#01.#&&&
&&&文献标识码：2&&&&&&&&&文章编号：#%%!3#0$
微分中值定理是微分学中的一个重要定理，它包括罗尔（6+778）定理、拉格朗日（9(:)(;:8）中值定理和柯中值定理!而柯西中值定理较前两者更具有一般性，其叙述如下：西（?）
柯西中值定理：若（
（）（
@!（!）$（&）3$（%）$’
（#）
其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题!一般的证明方法是构造辅助函数再根据罗尔定理得证，也有人利用闭区间套定理来证明，还有人利用坐标轴旋转来证明!本文在系统整理关于这一定理的几种证明方法的同时给出了利用达布定理和反证法来证明的方法，这些方法的探讨有利于更好的掌握微分知识，在教学中具有借鉴作用!
#&利用罗尔定理证明柯西中值定理
罗尔定理：设函数在闭区间［%，&］上连续，在开区间（%，&）上可导，而且在两个端点处函数
证明&设)和*分别是
下面证明柯西中值定理（辅助函数的构造有多种方法，在此不作介绍）证明&引入函数
+（#）@［$（&）3$（%）］（
这个函数在［%，&］上显然是连续的，而且在开区间（%，&）上有导数!此外，+（%）@+（&）!因此，根据罗尔定理可以找到这样的点(
（&）3$（%）］
时等于零，因此，积［（
万方数据 收稿日期：1%%$3%
$%
（1）
数
!
!,
湖
!
引理#
%/(
%/(
则%&’
（!
!&（
%/(
#
引理!
!
（!$#）*（!##）（!$）*（!#）
’)
$#*##$*#现在把引理!推广为：
#
引理+
!
使
（!$#）*（!##）（!$）*（!#）
)’
(（$#）*(（##）(（$）*(（#）
下面证明柯西中值定理：
证明
#
)（
(（
))$，
#
从而(（
!
(（
))$，
从而又有(（
%/(
（
%/(
%&’!%)%&’
%/(
根据引理#得：
(&（#）)%&’
(（
)$，
%/(
#
这与条件(&（
!
（!$#）*（!##）（!$）*（!#）
)’
(（$#）*(（##）(（$）*(（#）
反复利用引理+，类似与前面的证明，可得闭区间套｛［#%，$%］｝，满足%&’（$%*#%）)$，且
%/(
（!$%）*（!#%）（!$）*（!#）
)’
(（$%）*(（#%）(（$）*(（#）
由闭区间套定理存在)
%/(
%/(
万方数据
（!$%）*（!#%）$%*#%（!$%）*（!#%）（!&（)）!$）*（!#）
)%&’)%&’)’(&（)）%/((（$%）*(（#%）%/((（$%）*(（#%）(（$）*(（#）
$%*#%
’$$!
’3
!
引理#
（!(）%（!’）（!%）%（!$）
&)
#（(）%#（’）#（%）%#（$）
下面证明柯西中值定理：
证明
%%$
；’*
（!%*）%（!$*）（!%）%（!$）（#&)
#（%*）%#（$*）#（%）%#（$）
由闭区间套定理知存在!
*/,
*/,
下面用反证法证明（#）式
（!
，不妨设假设-)由于)*+&)*+&#
，所以存在,（（$.
#（%）%#（$）
（!
-)
#（
$使$.，%.
-/,
（’）
（!%.）%（!$.）（!%）%（!$）
&)
#（%.）%#（$.）#（%）%#（$）
由（’）式得
（!%.）%（!!）（!%）%（!$）
，-#（%.）%#（!）#（%）%#（$）（!!）%（!$.）（!%）%（!$）
-)
#（!）%#（$.）#（%）%#（$）
因为#&（
（!%.）%（!!）-（!!）%（!$.）-将（1）、（2）两式两边相加，得
（!%.）%（!$.）-即
这与（!）式矛盾)
同理可证万方数据不成立)
（!）
（/）（0）
（!%）%（!$）
#（%.）%#（!）］，
#（%）%#（$）（!%）%（!$）
#（!）%#（$.）］)
#（%）%#（$）（!%）%（!$）
（%.）%#（$.）］，#
#（%）%#（$）
（1）（2）
（!%.）%（!$.）（!%）%（!$）
-)
#（%.）%#（$.）#（%）%#（$）
!&（!）（!%）%（!$）
-#&（!）#（%）%#（$）
3/
又由于存在
湖$州$师$范$学$院$学$报$$$$$$$$$$$$$$$第-4卷
!
，所以!&#
#$利用达布（%&’()*+）定理证明柯西中值定理
达布定理$（!’）在（%，$）连续且可导，
（,）有点’,，’-
命题$设函数（!’）在（%，$）内可导，且!
!
由导数的定义和极限的保号性定理可知，存在’的某#’邻域（’
［%,1#/，$,
’*1#*），*!,，-，…，+且’,.’-.….’+，通过删除多余的邻域后，可使其两两相交，不妨设其分别为（’*
而互不包含，取!,
（$,
（!%,）.（!!,）.（!’,）.（!!-）.（!’-）.….（!’+
由上已证得的结论易知当!
下面证明柯西中值定理：证明$构造函数
,（’）!［#（$）
这个函数在［%，$］上显然是连续的，而且在开区间（%，$）上有导数，此外，,（%）!,（$）&现要证明存在!
!
成立&!
#
4$利用坐标旋转变换证明柯西中值定理
微分中值定理证明的难点在于构造辅助函数，而下列证明不通过构造辅助函数，利用坐标旋转变换来证明柯西中值定理&
证明$构造参数方程
万方数据
{
’!#（)），%-)-$&
-!（!)）
（,）
,--5++++++++++++++黄德丽：
用五种方法证明柯西中值定理
5!
由定理条件知，方程（!）的图像是!
由图!所示，%)与!轴正向夹角为!，
（!-，#-）#（&（/）$%&!’（(/）&()!，*&（/）&()!’（(/）$%&!），
&（*）*&（’）
而，$%&!#
,（(*）*（(’）
，&()!#
,
所以曲线$在新坐标系!-
&（*）*&（’）（(*）*（(’）
+++++!-#&（/’（(/，（,）
,,
&（*）*&（’）（(*）*（(’）’（(/++++++#-#*&（/,,0!-0#-显然，对于任意/
0/0/
0!-则方程（,）在［&-（’），&-（*）］上满足罗尔定理条件，故存在
0/
0#-#-，&-（
0!-!-#&-（
即存在
（(*）*（(’）&（*）*&（’*&（/’（(/,,0#-+!-#&-#-，（
（*）*&（’）&-（
即存在
在上述介绍的证明方法中有许多证明方法在微分中值定理的其他定理证明中也有一定的借鉴作用+
参+考+文+献
［!］「苏」./尼柯尔斯基0数学分析教程［/］0北京：人民教育出版社，!12-：!324!310［,］陈传璋，金福临，朱学炎0数学分析［/］0北京：高等教育出版社，!125：!634!620［5］姚正安，翟连林0数学分析方法论［/］0北京：北京农业大学出版社，!11,：,574,560［8］华东师范大学数学系编0数学分析［/］0北京：人民教育出版社，!12-：!384!370［3］陈修素，周进0微分学中的一个命题的一种证法［9］0重庆工业管理学院学报，!113，!,（8）0［7］钟朝艳0.:;$:=?%@定理的新证明［9］0曲靖师专学报，!112，（5）0［6］张树义0.:;$
万方数据
用五种方法证明柯西中值定理
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
黄德丽
湖州师范学院,理学院99411班,浙江,湖州,313000湖州师范学院学报
JOURNAL OF HUZHOU TEACHERS COLLEGE2003，25(z1)3次
1.C M 尼柯尔斯基 数学分析教程 19802.陈传璋.金福临.朱学炎 数学分析 19833.姚正安.翟连林 数学分析方法论 19924.华东师范大学数学系 数学分析 1980
5.陈修素.周进 微分学中的一个命题的一种证法 19956.钟朝艳 Cauchy中值定理与Taylor定理的新证明 19987.张树义 Cauchy中值定理的又一个证明 1997(5)
1.期刊论文 张跃平.葛健芽.沈利红.ZHANG Yue-ping.GE Jian-ya.SHEN Li-hong 柯西中值定理的证明与应用 -金华职业技术学院学报2006,6(3)
本文介绍了柯西中值定理的多种证明方法及其应用.其中证明方法有:利用构造辅助函数,根据罗尔定理证明;利用坐标旋转变换证明;利用达布定理证明;利用复合函数证明;利用同增量性证明.其应用方面为:求极限;证明不等式;证明等式;证明单调性.
2.期刊论文 嵇伟明 关于柯西中值定理的几种证明方法 -成才之路2008(29)
微分中值定理是微分学中重要的基本定理,它可应用于求极限、证明不等式与等式、证明单调性等很多数学问题的讨论.为加深对柯西中值定理的理解,以便更好地应用,本文介绍了柯西中值定理的几种新的有代表性的证明方法.
3.期刊论文 葛健芽.张跃平.沈利红.GE Jian-ya.ZHANG Yue-ping.SHEN Li-hong 再探柯西中值定理 -金华职业技术学院学报2007,7(2)
本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用.其中证明方法有:利用闭区间套定理证明、利用反证法证明.其应用方面为:证明一致连续、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式.
4.期刊论文 罗壹.康晓丹.蔡美玲 柯西中值定理的证法与推广综述 -内江师范学院学报2009,24(z1)
通过回顾柯西中值定理证明方法、推广形式和应用研究现状,分析了构造辅助函数是柯西中值定理证明的关键,提出了柯西中值定理进一步研究的方向和有待解决的问题.
5.期刊论文 陈逢明.Chen Fengming 微分中值定理的证明 -福建商业高等专科学校学报2005(5)
本文给出拉格朗日中值定理与柯西中值定理的两种证明方法.
6.期刊论文 王丽萍.WANG Li-ping 对广义柯西中值定理--
着重对柯西中值定理
7.期刊论文 高崚嶒.陈燕.GAO Lin-cen.CHEN Yan 柯西中值定理的新证明及中值定理的两个应用 -南京工业职业技术学院学报2008,8(2)
基于柯西中值定理的一个新的证法,探讨了中值定理在求极限和涉及两个不同函数或者两个不同点的证明题中的应用,对进一步理解中值定理,掌握其应用具有一定意义.
8.期刊论文 宋振云.陈少元.涂琼霞 也谈一类微分中值定理证明问题 -高等数学研究2009,12(5)
基于一类满足拉格朗日中值定理条件的微分中值定理证明问题,提出了一类类似的满足柯西中值定理条件的微分中值定理证明问题,并给出了证明.
9.期刊论文 王贵保.卢占会 利用插值法证明推广的柯西中值定理 -大学数学2004,20(5)
借助插值的思想,首先给出函数f(x)的泰勒公式的行列式表达式,推广了柯西中值定理据此拉格朗日中值定理、泰勒公式、罗必塔法则均是该结论的推论,从而对经典的中值定理、泰勒公式、罗必塔法则给出了统一证明.
10.期刊论文 杨耕文.Yang Geng-wen 用行列式法证明微分中值定理 -洛阳大学学报2006,21(4)
微分中值定理是微分学中的基本定理.本文从罗尔中值定理出发,这用行列式理论,不仅证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理,还发现了一些新的结论.
1.罗壹.康晓丹.蔡美玲 柯西中值定理的证法与推广综述[期刊论文]-内江师范学院学报 2009(z1)
2.葛健芽.张跃平.沈利红 再探柯西中值定理[期刊论文]-金华职业技术学院学报 2007(02)3.张跃平.葛健芽.沈利红 柯西中值定理的证明与应用[期刊论文]-金华职业技术学院学报 2006(03)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_huzsfxyxb2003z1008.aspx
下载时间：2010年3月1日