基本不等式与不等式基本证明
第一部分：基本不等式变形技巧的应用
基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。
技巧一：加减常数
例1、求函数y =x +
1
(x ≠1) 的值域。 x -1
点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。
技巧二：巧变常数
例2、已知0
点评：形如f (x ) =x (1-ax ) 或f (x ) =x 2(1-ax 2) 等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。
技巧三、分离常数
1
，求函数y ＝x （1－2x ）的最大值。 2
5x 2-3x +3
例3、已知x ≥，则f (x ) =有（ ）
22x -4
A 、最大值
5533 B 、最小值 C 、最大值 D 、最小值 4422
点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减
好“常数”，以利于问题的解决。
技巧四、活用常数
例4、若x , y ∈R +且满足
416+=1，求x ＋y 的最小值。 x y
点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。
技巧五、统一形式
例5、已知a , b , c ∈R ，求(a +b +c )(
+
11
+) 的最小值。 a +b c
点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数y =x -x 2(0
x 2(1-x 2) 等）。
1． 轮换对称型
证：a +b +c >ab +bc +ac . 例1 若a , b , c 是互不相等的实数，求
222
点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘) 得结论，是证明轮换对称不等式的常用技
巧。
2． 利用“1”的代换型
111
已知a , b , c ∈R +, 且 a +b +c =1, 求证 ++≥9.
a b c 例2
点评：做“1”的代换。
.
3. 逆向运用公式型
例3 已知
a , b ∈R +, a +b =1 a +
11+b +≤2. 22
点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，
111⎫⎛1⎫⎛
a +, b +转换成 1⋅ a +⎪, 1⋅ b +⎪, 然后逆向运
222⎭⎝2⎭⎝将
用均值不等式： 若
a , b ∈R +则 ab ≤
a +b
. 2
4． 挖掘隐含条件证明不等式
⎛1⎫⎛1⎫1
a , b ∈R +, a +b =1求证： 1+⎪ 1+⎪≥.
⎝a ⎭⎝b ⎭9 例4 已知
⎧a , b ∈R +, a +b =1
1⎪+2
⇒ab ≤说明a , b ∈R , a +b =1的背后隐含⎨a +b ⎛⎫4⎪⎪ab ≤
⎝2⎭点评:由于⎩ 着一个不等式 ab ≤
1
. 4
5． 用均值不等式的变式形式证明不等式
a +b +b +c +c +a ≥例5 已知a , b , c ∈R ,
+222222
2(a +b +c ).
如果能找出 点评：本题的关键在于对a +b , b +c , c +a 的处理，
a 2+b 2与a +b 间的关系，问题就可以解决，注意到a 2+b 2≥2ab ⇒2a 2+b 2≥
222222
()
(a +b )2⇒
222a 2+b 2≥a +b 其中a , b , c ∈R +即可。解题时要注意a +b ≥2ab 的
()
a 2+b 2a +b ≥+
a , b ∈R 22变式应用。常用(其中) 来解决有关根式不等式的问题.
基本不等式与不等式基本证明
第一部分：基本不等式变形技巧的应用
基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。
技巧一：加减常数
例1、求函数y =x +
1
(x ≠1) 的值域。 x -1
点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。
技巧二：巧变常数
例2、已知0
点评：形如f (x ) =x (1-ax ) 或f (x ) =x 2(1-ax 2) 等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。
技巧三、分离常数
1
，求函数y ＝x （1－2x ）的最大值。 2
5x 2-3x +3
例3、已知x ≥，则f (x ) =有（ ）
22x -4
A 、最大值
5533 B 、最小值 C 、最大值 D 、最小值 4422
点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减
好“常数”，以利于问题的解决。
技巧四、活用常数
例4、若x , y ∈R +且满足
416+=1，求x ＋y 的最小值。 x y
点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。
技巧五、统一形式
例5、已知a , b , c ∈R ，求(a +b +c )(
+
11
+) 的最小值。 a +b c
点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数y =x -x 2(0
x 2(1-x 2) 等）。
1． 轮换对称型
证：a +b +c >ab +bc +ac . 例1 若a , b , c 是互不相等的实数，求
222
点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘) 得结论，是证明轮换对称不等式的常用技
巧。
2． 利用“1”的代换型
111
已知a , b , c ∈R +, 且 a +b +c =1, 求证 ++≥9.
a b c 例2
点评：做“1”的代换。
.
3. 逆向运用公式型
例3 已知
a , b ∈R +, a +b =1 a +
11+b +≤2. 22
点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，
111⎫⎛1⎫⎛
a +, b +转换成 1⋅ a +⎪, 1⋅ b +⎪, 然后逆向运
222⎭⎝2⎭⎝将
用均值不等式： 若
a , b ∈R +则 ab ≤
a +b
. 2
4． 挖掘隐含条件证明不等式
⎛1⎫⎛1⎫1
a , b ∈R +, a +b =1求证： 1+⎪ 1+⎪≥.
⎝a ⎭⎝b ⎭9 例4 已知
⎧a , b ∈R +, a +b =1
1⎪+2
⇒ab ≤说明a , b ∈R , a +b =1的背后隐含⎨a +b ⎛⎫4⎪⎪ab ≤
⎝2⎭点评:由于⎩ 着一个不等式 ab ≤
1
. 4
5． 用均值不等式的变式形式证明不等式
a +b +b +c +c +a ≥例5 已知a , b , c ∈R ,
+222222
2(a +b +c ).
如果能找出 点评：本题的关键在于对a +b , b +c , c +a 的处理，
a 2+b 2与a +b 间的关系，问题就可以解决，注意到a 2+b 2≥2ab ⇒2a 2+b 2≥
222222
()
(a +b )2⇒
222a 2+b 2≥a +b 其中a , b , c ∈R +即可。解题时要注意a +b ≥2ab 的
()
a 2+b 2a +b ≥+
a , b ∈R 22变式应用。常用(其中) 来解决有关根式不等式的问题.