构建仿射坐标系解题
湖北省阳新县高级中学 邹生书
直角坐标系和斜角坐标系统称为仿射坐标系，直角坐标系是仿射坐标系的特例，斜角坐标系是直角坐标系的类比推广. 本文通过类比直角坐标系下点的坐标、向量坐标、直线方程等有关知识，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题.
一、仿射坐标系下的向量共线问题
我们知道在直角坐标系下共线向量有如下结论：若
。同样在仿射坐标系下此结论仍然成立。
例1 已知向量
，则实数的值是
( )
，则
解法1(常规解法) 因
，
，故
.
又
，所以
解法2 由点，以
，知
，解得，故选.
作为原
，因
不共线，以原直角坐标系的原点， 则
作为单位基底建立仿射坐标系
为
例2
已知向量
否存在这样的非零实数
解法
，所以，所以
其中
，故选.
. 问是
不共线，向量
，使向量与共线?
，所以存在实数，
1（常规解法） 因
为
，若
与
共线，因
使得
去得
，即
，故存在这样的非零实数
，只要
，所以
，就能使向量
，消与共线.
解法2 因不共线，在向量平面内任取一点
，
则
作为原点，以作为单位基底，同法
1
得
建立仿射坐标
系
.
若向量
实数
与
共线，则
，只要
，就能使向量
与共线.
，解得
，故存在这样的非零
二、仿射坐标系下向量的线性表示问题 例3 如图1，在和解 以
表示向量
.
作为仿射坐标系的单位基底，
，所以
中，
，
和
交于点
.
试用向量
为坐标原点，以
建立平面仿射坐标系如图1所示. 因为
，. 所以直
线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即①.
直
线在仿射坐标系下的“截距式”方程
为
即②. 解①②
得
，则点的坐标为，所以
.
图1
例4 在平行四边形
，则
( )
中，，与相交于
点，若
解 以
为坐标原点，以
作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系
如图2所示. 因
为
，
，
.
所以直线
所
以
在仿射坐
标系下的“截距式”方程为
即①. 直线在仿射坐标系下的“斜率”
为，故直线在仿射坐标系下的“点斜式”方程为②. 解
①②得，则点的坐标为，所以，故选
.
图2
三、仿射坐标系下的线性规划问题
下面在类比思想的引领下用仿射坐标系下的线性规划解法解一类向量创新问题. 例5(2011南昌联考)
已知
，则
解 以
为原点以则
是
内任一点(不包括三角形边上的点)
，且满足
的取值范围是＿＿ 作为
轴
轴上的单位向量建立仿射坐标系如图3
所示，设
，于是有
，则
，又因为
，设
即
该方程表示直线
，当直线
过点
时，
的取值范围是
，当直线过点
.
时，。因是内任一点，所以
图3
例6(2009年高考安徽理科第14题) 如图4，给定两个长度为1
的两个向量
，它们的夹角
为
，其中
，
点，则
在
以
为圆心的圆
弧
和
上变动，
若
的最大值是
图4 图5
解 以
则
，
设，所以
平行于
的截距最大，
为原点以
作为轴
，又因为
该方程表示直
线，当直线
与圆弧
，故
的最大值是2.
相切于点
轴上的单位向量建立仿射坐标系如图5所示.
设
，于是有
. 而直
线
，则的方程
是
轴上
时，直线
在
例7(2011年唐山市)
在平行四边形
中，
分别为
的中点，记
三边及其内部组成的区域为
则
的最大值为
，，当点在上运动时，
解 以设
则
为原点以作为轴，又因为
轴上的单位向量建立仿射坐标系如图6所示，
，于是有
，
则
“斜率”
，设
，所以当直线过点
即
时，
该方程表示直线
，因为直线的
。
图6
例8如图7
，正六边形
，则
中，
是
内（包括边界）的动点，设
的取值范围是＿＿
图7 图8
解 如图8
，以
则
，设
为原点以，又因为
该方程表示的直线
与直线
作为
轴
轴上的单位向量建立仿射坐标系.
设
，于是有
，则
平行. 由图2知，
，当直线
与
当直线过点
时在
重合即直线
过点
轴上的截距最大，
时在轴上的截距
最小，，故
的取值范围是线段
及
的
; .
例9(06年湖南高考题改编) 如图9，，点在由射线
延长线围成的阴影区域内) 不含边界) 运动，且.(1)实数对可以是
（ ）
时，
的取值范围是＿＿ 且
. 又直
线
的方程
为
并建立直角坐标系如图1所示，
，直
线
的方程
为
(2)的取值范围是＿＿; 当
解
（特殊化）特别地，取
则
，因点在阴影区域内，所以，经检验知，(1)应选.
(2)因直线当
时，
与直线的取值范围是
和直线.
交点的纵坐标分别为和，由图12知，
图9 图10
坐标法是数学方法中最重要的方法之一，解析几何的核心思想是“坐标法”，坐标法就是数形结合思想的体现. 综上所述，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题具有独特的解题功能，方法坐标化运算化、解法直观快捷，学生容易掌握便于运用“仿射坐标系”是在学生熟悉的“直角坐标系”相关知识和思想方法的类比拓展，符合“最近发展处”的理论要求. 构建仿射坐标系解题，同时也是培养学生类比推理能力、知识思想方法迁移能力和创新思维能力的良好载体.
构建仿射坐标系解题
湖北省阳新县高级中学 邹生书
直角坐标系和斜角坐标系统称为仿射坐标系，直角坐标系是仿射坐标系的特例，斜角坐标系是直角坐标系的类比推广. 本文通过类比直角坐标系下点的坐标、向量坐标、直线方程等有关知识，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题.
一、仿射坐标系下的向量共线问题
我们知道在直角坐标系下共线向量有如下结论：若
。同样在仿射坐标系下此结论仍然成立。
例1 已知向量
，则实数的值是
( )
，则
解法1(常规解法) 因
，
，故
.
又
，所以
解法2 由点，以
，知
，解得，故选.
作为原
，因
不共线，以原直角坐标系的原点， 则
作为单位基底建立仿射坐标系
为
例2
已知向量
否存在这样的非零实数
解法
，所以，所以
其中
，故选.
. 问是
不共线，向量
，使向量与共线?
，所以存在实数，
1（常规解法） 因
为
，若
与
共线，因
使得
去得
，即
，故存在这样的非零实数
，只要
，所以
，就能使向量
，消与共线.
解法2 因不共线，在向量平面内任取一点
，
则
作为原点，以作为单位基底，同法
1
得
建立仿射坐标
系
.
若向量
实数
与
共线，则
，只要
，就能使向量
与共线.
，解得
，故存在这样的非零
二、仿射坐标系下向量的线性表示问题 例3 如图1，在和解 以
表示向量
.
作为仿射坐标系的单位基底，
，所以
中，
，
和
交于点
.
试用向量
为坐标原点，以
建立平面仿射坐标系如图1所示. 因为
，. 所以直
线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即①.
直
线在仿射坐标系下的“截距式”方程
为
即②. 解①②
得
，则点的坐标为，所以
.
图1
例4 在平行四边形
，则
( )
中，，与相交于
点，若
解 以
为坐标原点，以
作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系
如图2所示. 因
为
，
，
.
所以直线
所
以
在仿射坐
标系下的“截距式”方程为
即①. 直线在仿射坐标系下的“斜率”
为，故直线在仿射坐标系下的“点斜式”方程为②. 解
①②得，则点的坐标为，所以，故选
.
图2
三、仿射坐标系下的线性规划问题
下面在类比思想的引领下用仿射坐标系下的线性规划解法解一类向量创新问题. 例5(2011南昌联考)
已知
，则
解 以
为原点以则
是
内任一点(不包括三角形边上的点)
，且满足
的取值范围是＿＿ 作为
轴
轴上的单位向量建立仿射坐标系如图3
所示，设
，于是有
，则
，又因为
，设
即
该方程表示直线
，当直线
过点
时，
的取值范围是
，当直线过点
.
时，。因是内任一点，所以
图3
例6(2009年高考安徽理科第14题) 如图4，给定两个长度为1
的两个向量
，它们的夹角
为
，其中
，
点，则
在
以
为圆心的圆
弧
和
上变动，
若
的最大值是
图4 图5
解 以
则
，
设，所以
平行于
的截距最大，
为原点以
作为轴
，又因为
该方程表示直
线，当直线
与圆弧
，故
的最大值是2.
相切于点
轴上的单位向量建立仿射坐标系如图5所示.
设
，于是有
. 而直
线
，则的方程
是
轴上
时，直线
在
例7(2011年唐山市)
在平行四边形
中，
分别为
的中点，记
三边及其内部组成的区域为
则
的最大值为
，，当点在上运动时，
解 以设
则
为原点以作为轴，又因为
轴上的单位向量建立仿射坐标系如图6所示，
，于是有
，
则
“斜率”
，设
，所以当直线过点
即
时，
该方程表示直线
，因为直线的
。
图6
例8如图7
，正六边形
，则
中，
是
内（包括边界）的动点，设
的取值范围是＿＿
图7 图8
解 如图8
，以
则
，设
为原点以，又因为
该方程表示的直线
与直线
作为
轴
轴上的单位向量建立仿射坐标系.
设
，于是有
，则
平行. 由图2知，
，当直线
与
当直线过点
时在
重合即直线
过点
轴上的截距最大，
时在轴上的截距
最小，，故
的取值范围是线段
及
的
; .
例9(06年湖南高考题改编) 如图9，，点在由射线
延长线围成的阴影区域内) 不含边界) 运动，且.(1)实数对可以是
（ ）
时，
的取值范围是＿＿ 且
. 又直
线
的方程
为
并建立直角坐标系如图1所示，
，直
线
的方程
为
(2)的取值范围是＿＿; 当
解
（特殊化）特别地，取
则
，因点在阴影区域内，所以，经检验知，(1)应选.
(2)因直线当
时，
与直线的取值范围是
和直线.
交点的纵坐标分别为和，由图12知，
图9 图10
坐标法是数学方法中最重要的方法之一，解析几何的核心思想是“坐标法”，坐标法就是数形结合思想的体现. 综上所述，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题具有独特的解题功能，方法坐标化运算化、解法直观快捷，学生容易掌握便于运用“仿射坐标系”是在学生熟悉的“直角坐标系”相关知识和思想方法的类比拓展，符合“最近发展处”的理论要求. 构建仿射坐标系解题，同时也是培养学生类比推理能力、知识思想方法迁移能力和创新思维能力的良好载体.