随机变量及其分布.数学期望.方差.概率

随机变量的概率及其分布、数学期望、方差练习题

1. （2010浙江二模）

符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：

①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；

②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；

③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．

某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．

已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3．

（I ）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望；（II ）求这名同学被该大学录取的概率．

2. （2010石家庄二模）

为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种．

（I ）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；

（II ）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为ξ，求ξ的数学期望．

3. （2010杭州模拟）

学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．

(Ⅰ) 求理科组恰好记4分的概率？ (Ⅱ) 设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．

- 1 -

某超市为促销商品, 特举办“购物有奖100﹪中奖”活动. 凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推. 摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中, 落入A 袋为一等奖，奖金为2元，落入B 袋为二等奖，奖金为1元．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是

． 2

B A

（Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；

（Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X 元，试求X 的分布列与期望；

(Ⅲ) 若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算.

5. （2010南京三模）

一个口袋中装有大小相同的n 个红球（n ≥5且n ∈N ）和5个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次取球中奖的概率p ；

（Ⅱ）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为m ，求m 的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当m 取得最大值时将5个白球全部取出后，对剩下的n 个红球作如下标记：记上i 号的有i 个（i =1,2,3,4），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号，求X 的分布列、期望．

6. （2011阜阳一中预测）

概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分

布列及期望。

- 2 -

某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于区间[60，110]。将成绩按如下方式分成五组：第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组 [80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]。部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不小于90分）的人数为20。（1）请补全频率分布直方图；

（2）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中

任取两人，成绩记为m , n ，求|m -n |>10的概率；（3）在该班级中任取4人，其中及格人数记为随机变

量X ，写出X 的分布列（结果只要求用组合数表示），并求出期望E （X ）。

8. （2010上海三模）

单位为30元/件的日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘（上面扇形的圆心角都相等），按照指针所指区域的数字购买商品的件数，在摇动转盘之前，顾客可以购买20元/张的代金券（限每人至多买12张），每张可以换一件该产品，如果不能按照指针所指区域的数字将代金券用完，那么余下的不能再用，但商场会以6元/张的价格回收代金券，每人只能参加一次这个活动，并且不能代替别人购买。（1）如果某顾客购买12张代金券，最好的结果是什么？

出现这种结果的概率是多少？（2）求需要这种产品的顾客，能够购买到该产品件数ξ的分布列及均值；（3）如果某顾客购买8张代金券，求该顾客得到优惠的钱数的均值。

- 3 -

9. （2010衡水二模）

由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶) 如下：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，

至多有1人是“好视力”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多) 任选3人，

记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

10. （2010东北三省四市联考）

为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：

道其中患病的有2只．

（I ）求出列联表中数据x ，y ，M ，N 的值；

（II ）画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断药物是否有效；（III ）能够以97．5％的把握认为药物有效吗?

11. （2010合肥一中二模）

某单位为加强普法宣传力度，增强法律意识，举办了“普法知识竞赛”，现有甲、乙、丙三人同时回答一道有关法律知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是人都回答错误的概率是

，甲、丙两5

11，乙、丙两人都回答对的概率是． 154

（1）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率。

（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。

- 4 -

12. （2010济南二模）

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥) 上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用η表示更换的面数，用ξ表示更换费用。

(1)求①号面需要更换的概率；

(2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率； (3)写出η的分布列，求ξ的数学期望。

13. （2010天津市二模）

道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q

（Ⅱ）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求

期望的实际意义；

（Ⅲ）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故

的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的。依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率。（精确到0.01）并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议.

14. （2010广东五校联考）

如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每

个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前进两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到．在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终D ）

止．

（Ⅰ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量

求ξ的数学期望．

ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，

- 5 -

甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射

击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，

（1）求甲运动员击中10环的概率

（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率

（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9

环）的次数，求ξ的分布列及E ξ.

16. （2010哈尔滨三模）

第11届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪建筑华章，欢乐相约世界”为主题，于2009年12月24日正式开园。在建园期间，甲、乙、丙三个工作队负责从冰冻的松花江中采出尺寸相同的冰块。在冰景制作过程中，需要对冰块进行雕刻，有时冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整块冰块就不能使用，定义：冰块利用率=

使用的冰块数

, 假设甲、乙丙工作队所采

所采冰块总数

冰块分别占采冰总量的25%、35%、40%，各队采出的冰块利用率分别为0.8，0.6，0.75，（1）在采出的冰块中有放回地抽取三块，其中由甲工作队采出的冰块数记为ξ，求ξ的分

布列及其数学期望；

（2）在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率。

- 6 -

一个口袋中有2个白球和n 个红球（n ≥2，且n ∈N ），每次从袋中摸出两个球（每次摸球

后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。（1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率P ；（2）若n =3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f (p ) ，当n 为何值时，f (p ) 最大。

18. （2010武汉八校联考）

甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩的分布列

（Ⅰ）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率；（Ⅱ）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望．

- 7 -

19. （2010郑州模拟）

为了迎接2009年10月1日建国60周年，某城市为举办的大型庆典活动准备了四种保证安全的方案，列表如下：

A B C D 方案

[1**********]0

经费

万元万元万元万元

安全

0.6 0.7 0.8 0.9

系数

其中安全系数表示实施此方案能保证安全的系数，每种方案相互独立，每种方案既可独立用，又可以与其它方案合用，合用时，至少有一种方案就能保证整个活动的安全。（I ）若总经费在1200万元内（含1200万元），如何组合实施方案可以使安全系数最高？（II ）要保证安全系数不小于0.99，至少需要多少经费？

20. （2009太原二模）

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．

（I ）估计这次测试数学成绩的平均分；（II ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．解：（I ）估计这次考试的平均分是72分．（6分）

=15，（II ）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C 6

有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），

=6，这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C 4

=. …………（8分） 155

随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且ξ~B (3,) ．

∴P (ξ=k ) =C 3k () k () 3-k , k =0,1,2,3

∴变量ξ的分布列为：

…………（10分）

E ξ=np =3⨯=

…………（12分）

5583654546

（或E ξ=0⨯+1⨯+2⨯+3⨯=)

[1**********]55

两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P =

- 8 -

随机变量及其分布、数学期望、方差、概率练习题详解答案

1. 解：（I ）ξ=2, 4， „„„„（2分）

P (ξ=2) =(1-0. 9) +0. 9⨯0. 5=0. 55 „„„„（3分） P (ξ=4) =0. 9⨯(1-0. 5) =0. 45 „„„„（4分）（或P (ξ=4) =1-0. 55=0. 45）

E ξ=2⨯0. 55+4⨯0. 45=2. 9 „„„„（6分）（II ）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是P 1、P 2，则

P 1=0. 1⨯0. 3+0. 9⨯0. 5=0. 48 „„„„（8分） P 2=0. 9⨯(1-0. 5) ⨯0. 8⨯0. 6+0. 9⨯(1-0. 5) ⨯(1-0. 8) ⨯0. 3=0. 243„„„（10分）该同学被该校录取的概率P 1+P 2=0.723 „„„„（12分）

2. 解：（I ）三个区选择疫苗的批号的种数是43=64， „„„„（2分）

恰好有两个区选择的疫苗批号相同种数是C 32A 4=36， „„„„（3分）

；„„„„（6分） 16

（II ）选择疫苗批号相同的区的个数ξ可能的取值为0，2，3， „„„„（8分）

三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率是P =

31A 4C 4319

P (ξ=0) =3=，P (ξ=2) =，P (ξ=3) =3=， „„„„（10分）

4841616

99131

（或者P (ξ=2) =，P (ξ=3) =，P (ξ=0) =1--=）

161616816

39121

E ξ=0⨯+2⨯+3⨯=． „„„„（12分）

8161616

3. 解：(Ⅰ) 记“理科组恰好记4分”的事件为A ，则A 为“在理科组选出2名男生、1名女生或选出2名女生”„„2分共有C 5⋅C 4⋅C 5+C 4⋅C 5=260种选法，基本事件数为

3113

C 9⋅C 5+C 92⋅C 52+C 9⋅C 5=870„„2分所以P (A ) =

26026

„„2分 =

87087

(Ⅱ) 由题意得ξ=0,1,2,3， ξ的分布列为

ξ的数学期望为E (ξ) =0⨯

[1**********]41

„„2分 +1⨯+2⨯+3⨯=

[**************]

4. 解：记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故

13⎛1⎫⎛1⎫

P (A )= ⎪+ ⎪=，P (B )=1-P (A )=. …………………2分

44⎝2⎭⎝2⎭

- 9 -

(I) 获得两次一等奖的概率为P =P (A )⋅P (A )=（II ）X 可以取2,3,4

. „„„„„„„4分 16

9⎛3⎫=, ⎪

16 P(X=2)=⎝4⎭

3611C 2⨯=, 4416 P(X=3)=

1⎛1⎫

=. „„„„„„„8分 ⎪416P(X=4)= ⎝⎭

分布列为：所以E (X )=2×

961

+3×+4×=2.5. „„„„„„„10分 161616

(Ⅲ) 参加摇奖, 可节省2.5元，打折优惠, 可节省2.4元, 当然参加摇奖. „„12分

5. （Ⅰ）每次从n +5个球中任取两个，有C n +5种方法．

它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有C n C 5种， 11

C n C 10n

一次取球中奖的概率为p =25=．„„4分

C n +5n +5n +4（Ⅱ）设每次取球中奖的概率为p ，三次取球中恰有一次中奖的概率是：

m =P 3(1)=C 3⋅p ⋅(1-p )=3p 3-6p 2+3p （0

m 对p 的导数m '=9p 2-12p +3=3(p -1)(3p -1)

．

„„6分

⎛1⎫⎛1⎫

因而m 在 0, ⎪上为增函数，m 在 ,1⎪上为减函数．

⎝3⎭⎝3⎭

10n 114

=，n =20时，m max =．„„„ 8分 ∴当p =，即

39n +5n +43

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：红球共20个，则记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种

取法，它们是等可能的．故X 的分布列是：

E (X )=0⨯+1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=． ……12分

220102052

6. 【解析】记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种。（2分）（1）C =A ⋅B +A ⋅B

- 10 -

P (C )=P A ⋅B +A ⋅B =P A ⋅B +P A ⋅B =P (A )⋅P B +P (A )⋅P B

()()()()()

=0.5⨯0.4+0.5⨯0.6=0.5 （6分）

（2）D =A ⋅B

P D =P A ⋅B =P A ⋅P B =0.5⨯0.4=0.2

P (D )=1-P D =0. 8 （9分）（3）ξ B (3,0.8)，故ξ的分布列：

P (ξ=0)=0.23=0.008 ，P (ξ=1)=C 3⨯0.8⨯0.22=0.096

()()()()

()

P (ξ=2)=C 32⨯0.82⨯0.2=0.384， P (ξ=3)=0.83=0.512

所以E ξ=3⨯0.8=2.4 （12分）

7. 解：（1）由图得，成绩在[100, 110]的人数为4人，

所以在[90, 100) 的人为16人，

所以在[90, 100) 的频率为0. 32，在[80, 90) 的频率为0. 38．„„„2分

补全的频率分布直方图如图所示．„„„4分

（2）由题得：成绩在[70, 80) 的有8人，

在[90, 100) 的为16人．

C 8C 1632

=所以|m -n |>10的概率为．„„„6分 2

69C 24

（3） X 的分布列为:

0 X

C 30C 20

C 50

22C 30C 20

C 50

13C 30C 20

C 50

04C 30C 20

C 50

P (X )

40C 30C 20

C 50

„„„„„9分

随机变量X 服从的是

M=50,N=20,n=4的超几何分布，所以期望

E (X ) =n

N 208=4⨯=．„„„„12分 M 505

- 11 -

8. 解：（1）最好的结果是：摇动游戏转盘，指针指有12的区域，概率为（2）ξ可能的取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，

且ξ取其中每个值的概率为

（2分） 12

1 12

∴ξ的分布列为

（3）设指针所指数字为η，得到优惠的钱数为Y 元。

∴E ξ=(1+2+ +12) =6. 5.

（5分）

购买8张代金券，

η≥8, η≥8, ⎧80, ⎧80,

∴Y =⎨ 即Y =⎨（9分）

10η-14(8-η), η

∴EY =[24(1+2+ +7) -112⨯7]⨯

+⨯80⨯5=24. 1212

（12分）

9. 解：（Ⅰ）众数：4.6和4.7；中位数：4.75 „„„„„„„„„„2分（Ⅱ）设A i 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ，

312

C 12C 4C 12121

=则P (A ) =P (A 0) +P (A 1) =3+ „„„„„6分 3

140C 16C 16

（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3 „„„„„„„7分

P (ξ=0) =() = P (ξ=2) =C 3()

27271132

P (ξ=1) =C 3() = 644464

1439131

P (ξ=3) =() = =464464

E ξ=0. 75. „„„„„„„„12分

C 20C x 2C 2038C x 2

=⨯2

222C C C 9C 50 10. （1） P (ξ=0) =50P (η=0) =50∴50

∴x =10------- 2分, ∴y =40

∴M =30, N =70 -----------3分

画出列联表的等高条形图 -------4分由列联表的等高条形图可以初步判断药物有效 ----5分

- 12 -

（2）ξ取值为0，1，2

1122

C 30C 20C 30C 203812087

222

P (ξ=0) =C 50=245， P (ξ=1) =C 50=245， P (ξ=2) =C 50=245，

E ξ=

294

245 -----7分 ∴

2112C 10C 10C 40C 40

9801562

P (η=0) =C (η=1) C (η=2) C

∴

E η=

392

245∴E ξ

（3）

100(800-300) 2

K =≈4. 76

30⨯70⨯50⨯50 ---------11分

由参考数据知不能够以97.5%的把握认为药物有效。 ------12分

11. 解：（I ）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、

C ，

11⎧⎧

P (A ) P (C ) =[1-P (A )][1-P (C )]=⎪⎪4⎪⎪1515

, 即⎨则P (A ) =，且有⎨ 115⎪P (B ) P (C ) =⎪P (B ) P (C ) =

⎪⎪⎩4⎩4

∴P (B ) =, P (C ) =

151

, P (B ) =1-P (B ) =, P (C ) =1-P (C ) = 583

（Ⅱ）由（I ）P (A ) =1-P (A ) =

“甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题”记为事件：

A ⋅B ⋅C +A ⋅B ⋅C +A ⋅B ⋅C ，其中概率为P

P =P (A ⋅B ⋅C +A ⋅B ⋅C +A ⋅B ⋅C ) =

[1**********]

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

[1**********]

=1 2

12. (1)因为①号面不需要更换的概率为：

345C 5+C 5+C 5

所以①号面需要更换的概率为：P=1-=

2C 6

(2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为：

21214

P 6(2)=C 6() ()

- 13 -

(3)因为ηP 6(4)=

C 4626

C 0C 1C 6C 612155166

又P 6(0)=6=，P 6(1)= 6=，P 6(2)= 6=，P 6(3)= 6=，B(6) ，

[1**********]22

C 5C 6153166

，P 6(5)= 6=，P 6(6)= 6 ==64326422

η的分布列为：

ξ13. 解：（Ⅰ）

； 25% （2分） 25

（Ⅱ）解：设取到醉酒驾车的人数为随机变量ξ，则ξ可能取到的值有0，1，2

2112C 6C 6⋅C 2C 21531

p (ξ=0) =2==p (ξ=2) == ，p (ξ=1) =，. 22

28728C 8C 8C 8

，实际意义：在抽取的两人中平均含有0.5个醉酒驾车人员. （8分） 2

（Ⅲ）p =1-0. 96⋅0. 752≈0. 70 （10分）一句话倡议：答案开放，教师酌情给分（12分） 14. 解：（Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为 E ξ=

P 1=

= 因为只投掷一次不可能返回到A 点； 63

1 313

1 9

若投掷两次点P 就恰能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）．（3，1）．（2，2）三种结果，其概率为P 2=() 2⋅3=

若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为：

3（1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三种结果，其概率为P 3=() ⋅3=

若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）其概率为P 4=() 4=

31 81

11137

++=

398181

所以，点P 恰好返回到A 点的概率为P =P 2+P 3+P 4=

┅7分（Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种，

331，P (ξ=3) =，P (ξ=4) = 77733119

所以，E ξ=2⋅+3⋅+4⋅= ┅┅┅┅┅┅┅┅12分

7777

15. 解： x =45, y =0.35, z =32

（1）设“甲运动员击中10环”为事件A , P (A ) =0.35

∴甲运动员击中10环的概率为0.35. „„„2'

（2）设甲运动员击中9环为事件A 1，击中10环为事件A 2

因为，P (ξ=2) =

则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率

P =P (A 1+A 2) =P (A 1) +P (A 2) =0.45+0.35=0.8 „„„„4'

- 14 -

∴甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环) 的概率

P =1-[1-P (A 1+A 2) ]=1-0.23=0.992

答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率为0.992. „„6' （3）ξ的可能取值是0，1，2，3

P (ξ=0)=0.22⨯0.25=0.01P (ξ=1)=C 2⨯0.2⨯0.8⨯0.25+0.22⨯0.75=0.11

P (ξ=2)=0.8⨯0.25+C ⨯0.8⨯0.2⨯0.75=0.4, P (ξ=3)=0.82⨯0.75=0.48

所以ξ的分布列是

„„„„10'

E ξ=0⨯0.01+1⨯0.11+2⨯0.4+3⨯0.48=2.35.

„„„„12'

16. 解：(1)任取一块冰是由甲工作采出的冰块的概率为

∴ξ的分布列为

, ξ B (3,) „„„1分 44

0 1 2 3

272791

6464646413

∴E ξ=3⨯= „„„ 6分

（2）用A 1表示事件“冰块是由甲工作队采出的”；A 2表示事件“冰块是由乙工作队采出

的”；A 3表示事件“冰块是由丙工作队采出的”，用B 表示事件“采出的冰块能被利用”， „„„ 8分, 则P (A 1)=0.25， P (A 2)=0.35，P (A 3)=0.40,

P (B A 1)=0.8, P (B A 2)=0.6, P (B A 3)=0.75 „„„ 10分

P (B ) =P (BA 1) +P (BA 2) +P (BA 3)

=P (A 1) P (B A 1) +P (A 2) P (B A 2) +P (A 3) P (B A 3)

=0.25⨯0.8+0.35⨯0.6+0.4⨯0.75=0.71 答：采出的冰块能被利用的概率是0.71. „„„ 12分

222

17. 解：（1）一次摸球从n +2个球中任选两个，有C n +2种选法，其中两球颜色相同有C n +C 2

C n +C 2n 2-n +2

=2种选法；一次摸球中奖的概率P = 4分 2

C n +2n +3n +2

（2）若n =3，则一次摸球中奖的概率是P =，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中

55412

恰有一次中奖的概率是P 8分 (1)=C ⋅P ⋅(1-P ) =33

125

（3）设一次摸球中奖的概率是p ，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是

- 15 -

f (p ) =C 3⋅p ⋅(1-p ) 2=3p 3-6p 2+3p ，0

⎛1⎫⎛1⎫ f ' (p ) =9p 2-12p +3=3(p -1)(3p -1)∴f (p ) 在 0, ⎪是增函数，在 , 1⎪是减

⎝3⎭⎝3⎭n 2-n +211

函数， ∴当p =时，f (p ) 取最大值 ---10分∴p =2 = （n ≥2, n ∈N *) ，

3n +3n +23

∴n =2，故n =2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。 12分

18. 解（Ⅰ）记事件C ; 甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件D ；甲命中2次

10环，乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件C +D

[1**********]2

„„„„6分 ∴P (C +D ) =C 2⨯⨯⨯C 2() +C 2() ⨯⨯=

336366162

（Ⅱ）ξ的取值分别为16，17，18，19，20， „„„„„„„„ 9分

11111115

P (ξ=16) =⨯=, P (ξ=17) =⨯+⨯=

[**************]61

P (ξ=18) =⨯+⨯+⨯==,

363233183

„12分

111142111

P (ξ=19) =⨯+⨯==, P (ξ=20) =⨯=

[***********]7

∴E ξ=16⨯+17⨯+18⨯+19⨯+20⨯=

91839186

19. 解：记P(A)表示实施A 方案且保证安全的概率，P (A ) 表示实施A 方案且不保证安全的概率，又记P(ABC)表示合用A ，B ，C 方案且保证安全的概率，其它表示方法意义类似。

（I ）若合用两种方案，就选择C 和D 方案，安全系数最高，

P(CD)=1-P (C ) ∙P (D ) =1-(1-0.8)(1-0.9)=0.98;

若合用三种方案，就只有选择A 、B 、C 才能保证总经费在1200万元内（内含1200万元），P(ABC)=1-P (A ) ∙P (B ) ∙P (C ) =1-(1-0.6)(1-0.7)（1-0.8）=0.976，

显然，合用C 、D 方案安全系数最高。（6分）

（II ）由（I ）得要保证安全系数不小于0.99，至少需要三种方案合用，共有4中选择，由（I ）知，ABC 合用不行，所以可以考虑ABC 、ACD 、BCD 三种方案，从经费节约的角度考虑，先考虑ABD ，若不行，再考虑ACD ，若不行，再考虑BCD 。P(ABD)=1-

P (A ) ∙P (B ) ∙P (D )

=1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.9）=0.988,不行，

P(ACD)=1-P (A ) ∙P (C ) ∙P (D ) =1-(1-0.6)(1-0.8)（1-0.9）=0.992,可以。所以，选择A 、C 、D 合用，可保证安全系数不小于0.99，且经费最少，共需要1400万元。（12分）

- 16 -

随机变量的概率及其分布、数学期望、方差练习题

1. （2010浙江二模）

符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：

①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；

②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；

③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．

（I ）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望；（II ）求这名同学被该大学录取的概率．

2. （2010石家庄二模）

（I ）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；

（II ）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为ξ，求ξ的数学期望．

3. （2010杭州模拟）

(Ⅰ) 求理科组恰好记4分的概率？ (Ⅱ) 设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．

- 1 -

． 2

B A

（Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；

（Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X 元，试求X 的分布列与期望；

(Ⅲ) 若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算.

5. （2010南京三模）

（Ⅱ）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为m ，求m 的最大值；

6. （2011阜阳一中预测）

概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分

布列及期望。

- 2 -

（2）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中

任取两人，成绩记为m , n ，求|m -n |>10的概率；（3）在该班级中任取4人，其中及格人数记为随机变

量X ，写出X 的分布列（结果只要求用组合数表示），并求出期望E （X ）。

8. （2010上海三模）

- 3 -

9. （2010衡水二模）

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，

至多有1人是“好视力”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多) 任选3人，

记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

10. （2010东北三省四市联考）

为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：

道其中患病的有2只．

（I ）求出列联表中数据x ，y ，M ，N 的值；

（II ）画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断药物是否有效；（III ）能够以97．5％的把握认为药物有效吗?

11. （2010合肥一中二模）

，甲、丙两5

11，乙、丙两人都回答对的概率是． 154

（1）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率。

（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。

- 4 -

12. （2010济南二模）

(1)求①号面需要更换的概率；

(2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率； (3)写出η的分布列，求ξ的数学期望。

13. （2010天津市二模）

（Ⅱ）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求

期望的实际意义；

（Ⅲ）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故

14. （2010广东五校联考）

如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每

止．

（Ⅰ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量

求ξ的数学期望．

ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，

- 5 -

甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射

击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，

（1）求甲运动员击中10环的概率

（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率

（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9

环）的次数，求ξ的分布列及E ξ.

16. （2010哈尔滨三模）

使用的冰块数

, 假设甲、乙丙工作队所采

所采冰块总数

布列及其数学期望；

（2）在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率。

- 6 -

一个口袋中有2个白球和n 个红球（n ≥2，且n ∈N ），每次从袋中摸出两个球（每次摸球

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f (p ) ，当n 为何值时，f (p ) 最大。

18. （2010武汉八校联考）

甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩的分布列

（Ⅰ）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率；（Ⅱ）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望．

- 7 -

19. （2010郑州模拟）

为了迎接2009年10月1日建国60周年，某城市为举办的大型庆典活动准备了四种保证安全的方案，列表如下：

A B C D 方案

[1**********]0

经费

万元万元万元万元

安全

0.6 0.7 0.8 0.9

系数

20. （2009太原二模）

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．

=15，（II ）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C 6

有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），

=6，这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C 4

=. …………（8分） 155

随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且ξ~B (3,) ．

∴P (ξ=k ) =C 3k () k () 3-k , k =0,1,2,3

∴变量ξ的分布列为：

…………（10分）

E ξ=np =3⨯=

…………（12分）

5583654546

（或E ξ=0⨯+1⨯+2⨯+3⨯=)

[1**********]55

两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P =

- 8 -

随机变量及其分布、数学期望、方差、概率练习题详解答案

1. 解：（I ）ξ=2, 4， „„„„（2分）

P (ξ=2) =(1-0. 9) +0. 9⨯0. 5=0. 55 „„„„（3分） P (ξ=4) =0. 9⨯(1-0. 5) =0. 45 „„„„（4分）（或P (ξ=4) =1-0. 55=0. 45）

E ξ=2⨯0. 55+4⨯0. 45=2. 9 „„„„（6分）（II ）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是P 1、P 2，则

2. 解：（I ）三个区选择疫苗的批号的种数是43=64， „„„„（2分）

恰好有两个区选择的疫苗批号相同种数是C 32A 4=36， „„„„（3分）

；„„„„（6分） 16

（II ）选择疫苗批号相同的区的个数ξ可能的取值为0，2，3， „„„„（8分）

三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率是P =

31A 4C 4319

P (ξ=0) =3=，P (ξ=2) =，P (ξ=3) =3=， „„„„（10分）

4841616

99131

（或者P (ξ=2) =，P (ξ=3) =，P (ξ=0) =1--=）

161616816

39121

E ξ=0⨯+2⨯+3⨯=． „„„„（12分）

8161616

3113

C 9⋅C 5+C 92⋅C 52+C 9⋅C 5=870„„2分所以P (A ) =

26026

„„2分 =

87087

(Ⅱ) 由题意得ξ=0,1,2,3， ξ的分布列为

ξ的数学期望为E (ξ) =0⨯

[1**********]41

„„2分 +1⨯+2⨯+3⨯=

[**************]

4. 解：记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故

13⎛1⎫⎛1⎫

P (A )= ⎪+ ⎪=，P (B )=1-P (A )=. …………………2分

44⎝2⎭⎝2⎭

- 9 -

(I) 获得两次一等奖的概率为P =P (A )⋅P (A )=（II ）X 可以取2,3,4

. „„„„„„„4分 16

9⎛3⎫=, ⎪

16 P(X=2)=⎝4⎭

3611C 2⨯=, 4416 P(X=3)=

1⎛1⎫

=. „„„„„„„8分 ⎪416P(X=4)= ⎝⎭

分布列为：所以E (X )=2×

961

+3×+4×=2.5. „„„„„„„10分 161616

(Ⅲ) 参加摇奖, 可节省2.5元，打折优惠, 可节省2.4元, 当然参加摇奖. „„12分

5. （Ⅰ）每次从n +5个球中任取两个，有C n +5种方法．

它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有C n C 5种， 11

C n C 10n

一次取球中奖的概率为p =25=．„„4分

C n +5n +5n +4（Ⅱ）设每次取球中奖的概率为p ，三次取球中恰有一次中奖的概率是：

m =P 3(1)=C 3⋅p ⋅(1-p )=3p 3-6p 2+3p （0

m 对p 的导数m '=9p 2-12p +3=3(p -1)(3p -1)

．

„„6分

⎛1⎫⎛1⎫

因而m 在 0, ⎪上为增函数，m 在 ,1⎪上为减函数．

⎝3⎭⎝3⎭

10n 114

=，n =20时，m max =．„„„ 8分 ∴当p =，即

39n +5n +43

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：红球共20个，则记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种

取法，它们是等可能的．故X 的分布列是：

E (X )=0⨯+1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=． ……12分

220102052

6. 【解析】记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

- 10 -

P (C )=P A ⋅B +A ⋅B =P A ⋅B +P A ⋅B =P (A )⋅P B +P (A )⋅P B

()()()()()

=0.5⨯0.4+0.5⨯0.6=0.5 （6分）

（2）D =A ⋅B

P D =P A ⋅B =P A ⋅P B =0.5⨯0.4=0.2

P (D )=1-P D =0. 8 （9分）（3）ξ B (3,0.8)，故ξ的分布列：

P (ξ=0)=0.23=0.008 ，P (ξ=1)=C 3⨯0.8⨯0.22=0.096

()()()()

()

P (ξ=2)=C 32⨯0.82⨯0.2=0.384， P (ξ=3)=0.83=0.512

所以E ξ=3⨯0.8=2.4 （12分）

7. 解：（1）由图得，成绩在[100, 110]的人数为4人，

所以在[90, 100) 的人为16人，

所以在[90, 100) 的频率为0. 32，在[80, 90) 的频率为0. 38．„„„2分

补全的频率分布直方图如图所示．„„„4分

（2）由题得：成绩在[70, 80) 的有8人，

在[90, 100) 的为16人．

C 8C 1632

=所以|m -n |>10的概率为．„„„6分 2

69C 24

（3） X 的分布列为:

0 X

C 30C 20

C 50

22C 30C 20

C 50

13C 30C 20

C 50

04C 30C 20

C 50

P (X )

40C 30C 20

C 50

„„„„„9分

随机变量X 服从的是

M=50,N=20,n=4的超几何分布，所以期望

E (X ) =n

N 208=4⨯=．„„„„12分 M 505

- 11 -

8. 解：（1）最好的结果是：摇动游戏转盘，指针指有12的区域，概率为（2）ξ可能的取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，

且ξ取其中每个值的概率为

（2分） 12

1 12

∴ξ的分布列为

（3）设指针所指数字为η，得到优惠的钱数为Y 元。

∴E ξ=(1+2+ +12) =6. 5.

（5分）

购买8张代金券，

η≥8, η≥8, ⎧80, ⎧80,

∴Y =⎨ 即Y =⎨（9分）

10η-14(8-η), η

∴EY =[24(1+2+ +7) -112⨯7]⨯

+⨯80⨯5=24. 1212

（12分）

312

C 12C 4C 12121

=则P (A ) =P (A 0) +P (A 1) =3+ „„„„„6分 3

140C 16C 16

（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3 „„„„„„„7分

P (ξ=0) =() = P (ξ=2) =C 3()

27271132

P (ξ=1) =C 3() = 644464

1439131

P (ξ=3) =() = =464464

E ξ=0. 75. „„„„„„„„12分

C 20C x 2C 2038C x 2

=⨯2

222C C C 9C 50 10. （1） P (ξ=0) =50P (η=0) =50∴50

∴x =10------- 2分, ∴y =40

∴M =30, N =70 -----------3分

画出列联表的等高条形图 -------4分由列联表的等高条形图可以初步判断药物有效 ----5分

- 12 -

（2）ξ取值为0，1，2

1122

C 30C 20C 30C 203812087

222

P (ξ=0) =C 50=245， P (ξ=1) =C 50=245， P (ξ=2) =C 50=245，

E ξ=

294

245 -----7分 ∴

2112C 10C 10C 40C 40

9801562

P (η=0) =C (η=1) C (η=2) C

∴

E η=

392

245∴E ξ

（3）

100(800-300) 2

K =≈4. 76

30⨯70⨯50⨯50 ---------11分

由参考数据知不能够以97.5%的把握认为药物有效。 ------12分

11. 解：（I ）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、

C ，

11⎧⎧

P (A ) P (C ) =[1-P (A )][1-P (C )]=⎪⎪4⎪⎪1515

, 即⎨则P (A ) =，且有⎨ 115⎪P (B ) P (C ) =⎪P (B ) P (C ) =

⎪⎪⎩4⎩4

∴P (B ) =, P (C ) =

151

, P (B ) =1-P (B ) =, P (C ) =1-P (C ) = 583

（Ⅱ）由（I ）P (A ) =1-P (A ) =

“甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题”记为事件：

A ⋅B ⋅C +A ⋅B ⋅C +A ⋅B ⋅C ，其中概率为P

P =P (A ⋅B ⋅C +A ⋅B ⋅C +A ⋅B ⋅C ) =

[1**********]

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

[1**********]

=1 2

12. (1)因为①号面不需要更换的概率为：

345C 5+C 5+C 5

所以①号面需要更换的概率为：P=1-=

2C 6

(2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为：

21214

P 6(2)=C 6() ()

- 13 -

(3)因为ηP 6(4)=

C 4626

C 0C 1C 6C 612155166

又P 6(0)=6=，P 6(1)= 6=，P 6(2)= 6=，P 6(3)= 6=，B(6) ，

[1**********]22

C 5C 6153166

，P 6(5)= 6=，P 6(6)= 6 ==64326422

η的分布列为：

ξ13. 解：（Ⅰ）

； 25% （2分） 25

（Ⅱ）解：设取到醉酒驾车的人数为随机变量ξ，则ξ可能取到的值有0，1，2

2112C 6C 6⋅C 2C 21531

p (ξ=0) =2==p (ξ=2) == ，p (ξ=1) =，. 22

28728C 8C 8C 8

，实际意义：在抽取的两人中平均含有0.5个醉酒驾车人员. （8分） 2

P 1=

= 因为只投掷一次不可能返回到A 点； 63

1 313

1 9

若投掷两次点P 就恰能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）．（3，1）．（2，2）三种结果，其概率为P 2=() 2⋅3=

若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为：

3（1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三种结果，其概率为P 3=() ⋅3=

若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）其概率为P 4=() 4=

31 81

11137

++=

398181

所以，点P 恰好返回到A 点的概率为P =P 2+P 3+P 4=

┅7分（Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种，

331，P (ξ=3) =，P (ξ=4) = 77733119

所以，E ξ=2⋅+3⋅+4⋅= ┅┅┅┅┅┅┅┅12分

7777

15. 解： x =45, y =0.35, z =32

（1）设“甲运动员击中10环”为事件A , P (A ) =0.35

∴甲运动员击中10环的概率为0.35. „„„2'

（2）设甲运动员击中9环为事件A 1，击中10环为事件A 2

因为，P (ξ=2) =

则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率

P =P (A 1+A 2) =P (A 1) +P (A 2) =0.45+0.35=0.8 „„„„4'

- 14 -

∴甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环) 的概率

P =1-[1-P (A 1+A 2) ]=1-0.23=0.992

答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率为0.992. „„6' （3）ξ的可能取值是0，1，2，3

P (ξ=0)=0.22⨯0.25=0.01P (ξ=1)=C 2⨯0.2⨯0.8⨯0.25+0.22⨯0.75=0.11

P (ξ=2)=0.8⨯0.25+C ⨯0.8⨯0.2⨯0.75=0.4, P (ξ=3)=0.82⨯0.75=0.48

所以ξ的分布列是

„„„„10'

E ξ=0⨯0.01+1⨯0.11+2⨯0.4+3⨯0.48=2.35.

„„„„12'

16. 解：(1)任取一块冰是由甲工作采出的冰块的概率为

∴ξ的分布列为

, ξ B (3,) „„„1分 44

0 1 2 3

272791

6464646413

∴E ξ=3⨯= „„„ 6分

（2）用A 1表示事件“冰块是由甲工作队采出的”；A 2表示事件“冰块是由乙工作队采出

的”；A 3表示事件“冰块是由丙工作队采出的”，用B 表示事件“采出的冰块能被利用”， „„„ 8分, 则P (A 1)=0.25， P (A 2)=0.35，P (A 3)=0.40,

P (B A 1)=0.8, P (B A 2)=0.6, P (B A 3)=0.75 „„„ 10分

P (B ) =P (BA 1) +P (BA 2) +P (BA 3)

=P (A 1) P (B A 1) +P (A 2) P (B A 2) +P (A 3) P (B A 3)

=0.25⨯0.8+0.35⨯0.6+0.4⨯0.75=0.71 答：采出的冰块能被利用的概率是0.71. „„„ 12分

222

17. 解：（1）一次摸球从n +2个球中任选两个，有C n +2种选法，其中两球颜色相同有C n +C 2

C n +C 2n 2-n +2

=2种选法；一次摸球中奖的概率P = 4分 2

C n +2n +3n +2

（2）若n =3，则一次摸球中奖的概率是P =，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中

55412

恰有一次中奖的概率是P 8分 (1)=C ⋅P ⋅(1-P ) =33

125

（3）设一次摸球中奖的概率是p ，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是

- 15 -

f (p ) =C 3⋅p ⋅(1-p ) 2=3p 3-6p 2+3p ，0

⎛1⎫⎛1⎫ f ' (p ) =9p 2-12p +3=3(p -1)(3p -1)∴f (p ) 在 0, ⎪是增函数，在 , 1⎪是减

⎝3⎭⎝3⎭n 2-n +211

函数， ∴当p =时，f (p ) 取最大值 ---10分∴p =2 = （n ≥2, n ∈N *) ，

3n +3n +23

∴n =2，故n =2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。 12分

18. 解（Ⅰ）记事件C ; 甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件D ；甲命中2次

10环，乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件C +D

[1**********]2

„„„„6分 ∴P (C +D ) =C 2⨯⨯⨯C 2() +C 2() ⨯⨯=

336366162

（Ⅱ）ξ的取值分别为16，17，18，19，20， „„„„„„„„ 9分

11111115

P (ξ=16) =⨯=, P (ξ=17) =⨯+⨯=

[**************]61

P (ξ=18) =⨯+⨯+⨯==,

363233183

„12分

111142111

P (ξ=19) =⨯+⨯==, P (ξ=20) =⨯=

[***********]7

∴E ξ=16⨯+17⨯+18⨯+19⨯+20⨯=

91839186

（I ）若合用两种方案，就选择C 和D 方案，安全系数最高，

P(CD)=1-P (C ) ∙P (D ) =1-(1-0.8)(1-0.9)=0.98;

若合用三种方案，就只有选择A 、B 、C 才能保证总经费在1200万元内（内含1200万元），P(ABC)=1-P (A ) ∙P (B ) ∙P (C ) =1-(1-0.6)(1-0.7)（1-0.8）=0.976，

显然，合用C 、D 方案安全系数最高。（6分）

P (A ) ∙P (B ) ∙P (D )

=1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.9）=0.988,不行，

- 16 -

随机变量及其分布.数学期望.方差.概率

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