有理数的有关概念和分类
知识要点
1、一个整数a 和一个非零整数b 的比是有理数（rational number），例如：1
5
15
2
-3
5
，实际上所有的整数都
可以写成分数的形式．
2、有理数分类，有理数可以按形式以及正负分类： ⎧⎪⎧正整数⎧⎪正有理数⎧正整数
⎪整数⎪⎪
⎨
⎩正分数 有理数⎪⎨0⎨⎪负整数
有理数⎪
⎪
⎩
⎨0
⎪ ⎪⎪分数⎧⎨正分数⎪负整数
⎩
⎩负分数⎪负有理数⎧⎩
⎨⎩负分数3．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上右边的数总比左边的数大。数轴上的点不都代表有理数
4. 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数。0的相反数是0。 判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若a +b =0，则a 与b 互为相反数；②从直观上看a 与-a 是互为相反数。 一、夯实基础 (一) 选择题
1. 下列表示的数轴中，正确的是( )
A ． B ． C ．
D ．
2. 有理数a 、b 、c 在数轴上所对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A ．b ＞c ＞0＞a
B ．a ＞b ＞c ＞0
C ．b ＞0＞a ＞c
D ．a ＞c ＞b ＞0
3. 如图，A 、B 、C 、D 、E 为某未标出原点的数轴上的五个点，且A B ＝B C ＝C D ＝D E ，则点D 所表示的数是( ) A ．10
B ．9
C ．6
D ．0
4. 下列结论正确的有（ ）
①任何有理数都有相反数；②符号相反的两个数互为相反数； ③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等； ④若有理数a ，b 互为相反数，则它们一定异号. A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5. 若a ＜－1，则a ，－a ，1
1
a -a 的大小关系是( )
A ． B ． C ． D ．
6. 点A 在数轴上表示＋2，将点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所示的有理数是( ) A ．3
B ．－1
C ．5
D ．－1或3
7. 若m ＋n ＝0，n ＋p ＝0，且m －q ＝0，则( ) A ．p 与q 相等 B ．m 与p 互为相反数 C ．m 与n 相等
D ．n 与q 相等
8. 已知两个有理数a ，b ，如果a b ＜0，且a ＋b ＜0，那么( ) ． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＞0
C ．a ，b 异号
D ．a ，b 异号，且负数的绝对值较大
9. 一个动点M 从数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2s , 到达点A 后立即返回, 运动7s
到达点B , 若动点M 运动的速度为每秒2个单位长度, 则此时点B 在数轴上所表示的数是( ) A ．-6
B ．-14
C ．-6或-14 D ．0
10. 若0＜m ＜1，m 、m 2
、1
m 的大小关系是( )
A ． B ． C ． D ．
（二）填空题
1. 把下列各数填入相应的大括号里。2，－3. 123，0，23%，
，2014，
，
，π，－1
(1) 正有理数集合{_______
_ …}
(2) 负有理数集合{________ …} (3) 负分数集合{________ …} (4) 非负整数集合{________ …}
2. －(－3) ＝________；－[－(－3) ]＝________；－{－[－(－3) ]}＝________． 由上述结果可总结出：________ ．
利用上述探究结果，直接写出下列各式的化简结果：
(1) －[－(a －b ) ]＝________；(2) －{＋[－(2x －1) ]}＝________； (3) ＋{－[－(－x －y ) ]}＝________．
3. 一个数乘以什么数，可以得到它的相反数？答：_____________________________。 一个数除以什么数，可以得到它的相反数？答：________ _____________________。
4. 数轴上A 点表示-3, B , C 两点表示的数互为相反数, 且点B 到点A 的距离是2, 则点C 表示的数应该是________.
5. 若a =＋3. 2，则－a = ___________；若a =－1
4
则－a = ___________；若－a =1，则a = ____________； 若－a =－2， 则a =______________.
二、能力提高
1. 比较1＋a 与1－a 的大小，首先要比较a 与－a 的大小，而a 与－a 的大小由a 的正负确定．
2. 已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别为－3，0，1，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ． (1) 如果点P 到点M ，点N 的距离相等，那么x 的值是________．
(2) 数轴上是否存在点P ，使点P 到点M ，点N 的距离之和是5？若存在，请直接写出x 的值；若不存在，请说明理由．
(3) 如果点P 以每分钟3个单位长度的速度从点O 向左运动时，点M 和点N 分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P 到点M ，点N 的距离相等？
3. 如图所示，数轴上线段A B ＝2(单位长度) ，C D ＝4(单位长度) ，点A 在数轴上表示的数是－10，点C 在数轴上表示的数是16．若线段A B 以6个单位长度／s 的速度向右匀速运动，同时线段C D 以2个单位长度／s 的速度向左匀速运动． (1) 问运动多少秒时，B C ＝8(单位长度) ．
(2) 当运动到B C ＝8(单位长度) 时，点B 在数轴上表示的数是多少？
4. 已知A ，B 在数轴上分别表示a ，b ．
（2）若A ，B 两点间的距离记为d ，试问d 和a ，b 有何数量关系？
（3）找出所有符合条件的整数点P ，使它到10和－10的距离之和为20，并求所有这些整数的和．（4）找出（3）中满足到10和－10的距离之差大于1而小于5的整数点P ．
三、思维拓展
1. 一滴墨水洒在一个数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值，求出被墨迹盖住的整数共有多少
个？
2. （1）如果数轴上点A 到原点的距离为3，请你在数轴上标出这个点； （2）如果数轴上点B 到原点的距离为5，请你在数轴上标出这个点；
（3）根据上述两小题，你能求出点A 与B 之间的距离吗？如果能，请写出这个值；如果不能，请说明理由．
3. 已知数轴上有A 和B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点0的距离之和等于多少？
四、跟踪训练
1. 张明的家、学校、车站、文化宫坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A ，B ，C ，D ．车站位于张明家东100米，学校位于张明家西150米，文化宫位于张明家西400米． （1）用数轴表示A ，B ，C ，D 的位置（以张明家为原点，向东为正方向）．
（2）某日张明从家中去车站办完事后，又以每分钟50米的速度步行往文化宫方向走了约8分钟，试问这时张明大约在什么位置？离文化宫和学校各约多少米？
2. 化简下列各数的符号：
（1）－［－（＋4. 5）］；（2）＋［－（＋7. 2）］；（3）；（3）－［＋（－2. 1）］.
有理数的有关概念和分类
知识要点
1、一个整数a 和一个非零整数b 的比是有理数（rational number），例如：1
5
15
2
-3
5
，实际上所有的整数都
可以写成分数的形式．
2、有理数分类，有理数可以按形式以及正负分类： ⎧⎪⎧正整数⎧⎪正有理数⎧正整数
⎪整数⎪⎪
⎨
⎩正分数 有理数⎪⎨0⎨⎪负整数
有理数⎪
⎪
⎩
⎨0
⎪ ⎪⎪分数⎧⎨正分数⎪负整数
⎩
⎩负分数⎪负有理数⎧⎩
⎨⎩负分数3．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上右边的数总比左边的数大。数轴上的点不都代表有理数
4. 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数。0的相反数是0。 判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若a +b =0，则a 与b 互为相反数；②从直观上看a 与-a 是互为相反数。 一、夯实基础 (一) 选择题
1. 下列表示的数轴中，正确的是( )
A ． B ． C ．
D ．
2. 有理数a 、b 、c 在数轴上所对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A ．b ＞c ＞0＞a
B ．a ＞b ＞c ＞0
C ．b ＞0＞a ＞c
D ．a ＞c ＞b ＞0
3. 如图，A 、B 、C 、D 、E 为某未标出原点的数轴上的五个点，且A B ＝B C ＝C D ＝D E ，则点D 所表示的数是( ) A ．10
B ．9
C ．6
D ．0
4. 下列结论正确的有（ ）
①任何有理数都有相反数；②符号相反的两个数互为相反数； ③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等； ④若有理数a ，b 互为相反数，则它们一定异号. A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5. 若a ＜－1，则a ，－a ，1
1
a -a 的大小关系是( )
A ． B ． C ． D ．
6. 点A 在数轴上表示＋2，将点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所示的有理数是( ) A ．3
B ．－1
C ．5
D ．－1或3
7. 若m ＋n ＝0，n ＋p ＝0，且m －q ＝0，则( ) A ．p 与q 相等 B ．m 与p 互为相反数 C ．m 与n 相等
D ．n 与q 相等
8. 已知两个有理数a ，b ，如果a b ＜0，且a ＋b ＜0，那么( ) ． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＞0
C ．a ，b 异号
D ．a ，b 异号，且负数的绝对值较大
9. 一个动点M 从数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2s , 到达点A 后立即返回, 运动7s
到达点B , 若动点M 运动的速度为每秒2个单位长度, 则此时点B 在数轴上所表示的数是( ) A ．-6
B ．-14
C ．-6或-14 D ．0
10. 若0＜m ＜1，m 、m 2
、1
m 的大小关系是( )
A ． B ． C ． D ．
（二）填空题
1. 把下列各数填入相应的大括号里。2，－3. 123，0，23%，
，2014，
，
，π，－1
(1) 正有理数集合{_______
_ …}
(2) 负有理数集合{________ …} (3) 负分数集合{________ …} (4) 非负整数集合{________ …}
2. －(－3) ＝________；－[－(－3) ]＝________；－{－[－(－3) ]}＝________． 由上述结果可总结出：________ ．
利用上述探究结果，直接写出下列各式的化简结果：
(1) －[－(a －b ) ]＝________；(2) －{＋[－(2x －1) ]}＝________； (3) ＋{－[－(－x －y ) ]}＝________．
3. 一个数乘以什么数，可以得到它的相反数？答：_____________________________。 一个数除以什么数，可以得到它的相反数？答：________ _____________________。
4. 数轴上A 点表示-3, B , C 两点表示的数互为相反数, 且点B 到点A 的距离是2, 则点C 表示的数应该是________.
5. 若a =＋3. 2，则－a = ___________；若a =－1
4
则－a = ___________；若－a =1，则a = ____________； 若－a =－2， 则a =______________.
二、能力提高
1. 比较1＋a 与1－a 的大小，首先要比较a 与－a 的大小，而a 与－a 的大小由a 的正负确定．
2. 已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别为－3，0，1，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ． (1) 如果点P 到点M ，点N 的距离相等，那么x 的值是________．
(2) 数轴上是否存在点P ，使点P 到点M ，点N 的距离之和是5？若存在，请直接写出x 的值；若不存在，请说明理由．
(3) 如果点P 以每分钟3个单位长度的速度从点O 向左运动时，点M 和点N 分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P 到点M ，点N 的距离相等？
3. 如图所示，数轴上线段A B ＝2(单位长度) ，C D ＝4(单位长度) ，点A 在数轴上表示的数是－10，点C 在数轴上表示的数是16．若线段A B 以6个单位长度／s 的速度向右匀速运动，同时线段C D 以2个单位长度／s 的速度向左匀速运动． (1) 问运动多少秒时，B C ＝8(单位长度) ．
(2) 当运动到B C ＝8(单位长度) 时，点B 在数轴上表示的数是多少？
4. 已知A ，B 在数轴上分别表示a ，b ．
（2）若A ，B 两点间的距离记为d ，试问d 和a ，b 有何数量关系？
（3）找出所有符合条件的整数点P ，使它到10和－10的距离之和为20，并求所有这些整数的和．（4）找出（3）中满足到10和－10的距离之差大于1而小于5的整数点P ．
三、思维拓展
1. 一滴墨水洒在一个数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值，求出被墨迹盖住的整数共有多少
个？
2. （1）如果数轴上点A 到原点的距离为3，请你在数轴上标出这个点； （2）如果数轴上点B 到原点的距离为5，请你在数轴上标出这个点；
（3）根据上述两小题，你能求出点A 与B 之间的距离吗？如果能，请写出这个值；如果不能，请说明理由．
3. 已知数轴上有A 和B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点0的距离之和等于多少？
四、跟踪训练
1. 张明的家、学校、车站、文化宫坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A ，B ，C ，D ．车站位于张明家东100米，学校位于张明家西150米，文化宫位于张明家西400米． （1）用数轴表示A ，B ，C ，D 的位置（以张明家为原点，向东为正方向）．
（2）某日张明从家中去车站办完事后，又以每分钟50米的速度步行往文化宫方向走了约8分钟，试问这时张明大约在什么位置？离文化宫和学校各约多少米？
2. 化简下列各数的符号：
（1）－［－（＋4. 5）］；（2）＋［－（＋7. 2）］；（3）；（3）－［＋（－2. 1）］.