1900年，在第二次世界数学家大会上，希尔伯脱先生提出了著名的二十三个未解决的数学问题，一百多年的时间过去了，有许多的问题业已获得了解决。然而，名列二十三个问题之首位的连续统假设之问题，迄今为止，仍被束之高阁，未能获得解决。原因是，时有哥德尔与科恩俩位先生，先后证明了“如果ZFC是协调的，则ZFC推不出非CH”和“ZFC推不出来CH，若ZFC协调”这两个截然相反的结论；换言之，哥德尔与科恩俩位先生都声称：连续统假设是不可能在ZFC公理系统中获得解决的。
ZFC公理系统真的无法解决连续统假设吗？鄙人不才，却发现，事情并非如俩位先生所说，恰恰相反，在ZFC公理系统中，是完全可以解决所谓的连续统假设之问题。
何以谓之为连续统假设？乃指：继自然数集N的基数阿列夫0之后，阿列夫1是否为实数集R之基数？由于实数集R是连续的，故而，将此一猜测则被谓之为连续统假设。如此，考察对象就在自然数集N与实数集R之间进行；在介于自然数集N与实数集R之间，若没有其它的无穷集合之基数，则连续统假设为真，反之，则连续统假设为假。
于集合论创立之初，康托尔先生已然证明，自然数集N的幂集之基数等价于实数集R的基数。哥德尔与科恩俩位先生，正是基于康托尔先生这样的证明，从不同的角度上予以考察，各执一词。然而，这俩位先生的考察均有欠周之处，仅仅是对部份的情况予以了探索；若是将哥德尔与科恩俩位先生所考察的相互融合在一起，那么，连续统假设的结论正好与俩位先生所说的相反：如果ZFC是协调的，则ZFC完全可以推出CH。 关键词：商集合 极限序数 共尾序数
我们知道，所谓的ZFC系统是带有选择公理的集合论之公理系统，而所谓的选择公理则是以测度理论为依据，归纳可测集合体中所存在的函数。所以，若自然数集N的幂集是一可测集合体，那么，其必定是可以用选择公理归纳出一个函数，以阐述自然数集N的幂集中的情况。
哥德尔先生利用直积集合的方式，以J(x,y)函数对其中的序数予以归纳，发现，所归纳的函数可以同态映射于自然数集N上；但是，哥德尔先生并没有再作进一步的探索，仅仅是以此为依据，就得出了“如果ZFC是协调的，则ZFC推不出非CH”之结论。科恩先生是以自然数集N的幂集中的元素为依据，且根据【可数无穷多个可数集合的并集合，仍然是一可数集合。】①之定理，认为，于自然数集N的幂集中，存在着一种不可数的子集，而这样的子集是选择公理所不能归纳的，故而，得出“ZFC推不出来CH，若ZFC协调”之结论。
显然，哥德尔与科恩俩位先生，各自都只对自然数集N的幂集考察了一半，都只圈定了自己的所推出的模型，且相互排挤着。如果这俩位先生能将彼此对立的观点融合在一起，那么，对自然数集N的幂集之内部的情况，就可以一目了然。
我们知道，自然数集N是可数的，但自然数集N的幂集却是不可数的；所谓的自然数集N的幂集，所指的是【自然数集N的所有子集合所组成的】①那个集合。无疑，开始时，自然数集N的幂集所归纳的元素也是可数的，数着数着，却变成了不可数的；由可数的变为不可数的，可知，于自然数集N的幂集中必存在着转化之过程。只要找出了这突变的原因，也就能知晓其所以然。但是，哥德尔与科恩俩位先生都没有从量变到质变这方面予以考察，就草草地就收了场。显然，欲知这由量变到质变之过程，我们必须重新对自然数集N的幂集予以考察。
我们知道，自然数集N的幂集有元素：
{φ} {1} {2} {1,2} {3} {1,3} {2,3} {1,2,3} …
当N→∞时，幂集具有不可数的性质。如果此集合是可测的，则必须满足Jordan可测集合体的四要素：【Ⅰ 若E1,E2∈T，则E1∪E2∈T；Ⅱ 若E1,E2∈T，则E1∩E2∈T；Ⅲ 若E1,E2∈T，又E1＜E2，则E2-E1∈T；Ⅳ 若E1,E2∈T，E1∩E2=φ，则v(E1∪E2)=v(E1)+v(E2)。】②(符号“＜”表示包含)。根据Jordan可测集合体的条件Ⅳ，则必须用商集合的概念来划分自然数集N的幂集。所谓的商集合，意指对集合X之划分，有：【⑴ A,B∈T→A=B or A∩B=φ， ⑵ {∪A∈T}A=X。】②若划分满足这样的条件，则集合中的“每一元素属于且仅属于某一不空的子集合”，如此，则谓之是按等价关系而对集合所作的划分；如集合满足这样的等价关系，称之为商集合。显然，只要按商集合的概念来划分自然数集N的幂集，则该集合满足Jordan可测集合体之要求。
根据集合论的正则公理，必须有确定的性质作为划分的依据；在自然数集N的幂集中，我们以元素中的最小自然数作为划分之依据。如此，我们就可以获得一系列的商集化子集：S(1),S(2),S(3),S(4),S(5),S(6),S(7),…，其中，S(n)归纳了幂集中最小自然数为n的一些元素。例如，S(1)有元素：
{1}
{1,2}
{1,3} {1,2,3}
{1,4} {1,2,4} {1,3,4} {1,2,3,4}
{1,5} {1,2,5} {1,3,5} {1,4,5} {1,2,3,5} {1,2,4,5} {1,3,4,5} {1,2,3,4,5}
……
再如，S(2)有元素：
{2}
{2,3}
{2,4} {2,3,4}
{2,5} {2,3,5} {2,4,5} {2,3,4,5}
{2,6} {2,3,6} {2,4,6} {2,5,6} {2,3,4,6} {2,3,5,6} {2,4,5,6} {2,3,4,5,6}
……
等等；以此类推。如此归纳，显然，诸子集S(n)相互间并无交集，合乎商集合的划分之要求。
从以上的划分中可以看出，其与哥德尔先生的可构成性定理中的J(x,y)函数如出一辙，只不过，这里是以商集化子集S(n)中的元素同态映射于自然数集N上，而哥德尔先生是以合乎要求的元素建构于J(x,y)函数中，然后，再同态映射于自然数集N上。总之，均是以自然数集N为同态映射之“标的”。如果仅仅有这样的“标的”，而不再作进一步的研究，无疑，这样的“标的”是没有任何用处的。谁都知道，自然数集N的幂集中的元素是由自然数集N的子集所构成，其元素肯定是可以同态映射于某一自然数n上，这样的“标的”，若是仅以自然数集N为最终目的，也只是作了一次循环论证，毫无意义；但哥德尔先生所做的工作正是作着这样的论证。
科恩先生的论证无疑比哥德尔先生的论证深入了一步，其是从极限序数的角度上予以研究的。由于自然数集N的幂集的基数大于自然数集N的基数，无疑，若以序数而论，自然数集N的幂集的极限序数大于自然数集N的极限序数。凡有极限序数者，皆有共尾序数，自然数集N的幂集也不能例外。由于自然数集N的幂集之基数是不可数的，也就是说，其极限序数是不可数的，显然，该幂集中的共尾序数也是不可数的。如此，在自然数集N的幂集中，就存在着不可数的元素，而这样的元素乃是无法以自然数集N的子集来表达的，因为，“可数无穷多个可数集合的并集合，仍然是一可数集合”。故而，科恩先生认为，“ZFC推不出来CH，若ZFC协调”。但是，科恩先生忘却了“由量变到质变”的突变之过程，必须是在事件体的内部而实行的；应该说，科恩先生所进行的研究，乃是半途而废了。
对于共尾序数，集合论是这样定义的：【0＜α，α为一极限序数，我们说α的共尾数cf(α)是指最小的序数β，使得存在着一函数f:β→α，具有sup{f(γ)|γ＜β}=α。】①换言之，共尾序数cf(α)是以极限序数α为极限。【对于一基数ω_α，如果有cf(ω_α)=ω_α，则称ω_α是正则的；如果cf(ω_α)＜ω_α，则称ω_α为奇异的。】①此定义说明，如果集合中的共尾序数cf(ω_α)小于极限序数ω_α，那么，该极限序数ω_α是奇异的。由此推理，则有：【对于每一序数α，都存在一序数β＞α，使得ω_β是奇异的。】①之定理。
在自然数集N的幂集中运用序数之概念，对于每一商集化子集S(n)，根据康托尔先生的对角线法，均具有可数集之基数，它们的极限序数皆为无穷集合中最小的序数ω；显然，这样的序数若共尾于自然数集N的幂集的极限序数ω_α，均是小于极限序数ω_α的。可知，在自然数集N的幂集中存在着可数的序数ω之奇异的序数。那么，如何求取这样的奇异的序数呢？很简单，只要将哥德尔与科恩俩位先生的观点结合起来，立竿见影。
因为，在自然数集N的幂集中，每一商集化子集S(n)都具有可数集的基数，所具有的极限序数皆为ω；然而，在自然数集N的幂集中，存在着一些并非是商集化子集S(n)的元素，这样的元素对于商集化子集S(n)而言，无疑，是奇异的。根据共尾序数的定理，这些以自然数集N的幂集的极限序数ω_α为极限的共尾序数，皆大于可数集的序数ω；换言之，以这些大于可数集的极限序数ω的共尾序数为序数的无穷集合的基数，皆大于可数集的基数，均是不可数的。
由此可知，自然数集N的幂集中的突变存在于诸商集化子集之间；于商集化子集S(n)内是可数的，而于其它商集化子集S(n±i)中的元素，相对于S(n)而言，是不可数的。由此，对自然数集N的幂集予以商集合的划分，可以从定性的角度上，得知从可数的突变为不可数的过程；但这样的定性并未量化。
我们知道，某集合若有元素s个，则它的幂集就有元素2^s个；自然数集N的幂集也不例外，乃以2^N作为其中的元素之个数的标识。显然，若某集合有元素s-1个，则它的幂集之元素有2^(s-1)个。从2^s-2^(s-1)=2^(s-1)中可知，在原集合中由s-1个元素增加至s个元素，于幂集中就增添了2^(s-1)个元素；这就是说，原集合中任何一个元素在幂集中的组合元素都占有的比例为2^(s-1)/2^s=1/2。但这样的组合有交集，必须用商集合的概念予以分割。
前面，我们曾以最小自然数为依据，对自然数集N的幂集中的元素予以划分。显然，商集化子集S(1)占有1/2之比例；商集化子集S(2)由于少了一个自然数1，因此，它所占有的比例为2^(s-2)/2^s=1/4；商集化子集S(3)由于少了二个自然数1与2，则它所占有的比例为2^(s-3)/2^s=1/8；以此类推，可知，商集化子集S(n)所占有的比例为1/(2^n)。我们知道，商集化子集彼此间并无交集，如此，我们就可以按照概率论中的叠加原理，将诸商集化子集的概率相加：
1/2+1/4+1/8+1/2^4+1/2^5+…+1/(2^n)+…→1
从这概率上也可知，自然数集N的幂集等价于实数集R。
商集化子集S(1)的元素占有了自然数集N的幂集之元素的1/2，那么，其余的商集化子集的概率之和也只有1/2之比例了。如此，我们可以作另一类的划分：以商集化子集S(1)的元素为一方，以非商集化子集S(1)的元素为另一方。由于商集化子集S(1)中的元素可数，且相对于商集化子集S(1)而言，其它商集化子集中的元素皆是奇异的；因此，在自然数集N的幂集中，一半的元素是可数的，另一半的无素是不可数的。若应用于实数集R中，则是，有理数占有了实数的一半，另一半则是无理数。
若对自然数集N的幂集中的元素以序数而述之，则是，商集化子集S(1)的极限序数为ω，其后则以ω+n而序那些相对于商集化子集S(1)是奇异的元素；实数集R的极限序数ω_α则是它们的极限。若用集合的基数表之，则是，商集化子集S(1)的基数是阿列夫0，其后则是以阿列夫1、阿列夫2、…等而表述那些相对于商集化子集S(1)是奇异的元素，而实数集R的基数是这些基数中最大的。显然，若是单纯地去数那些相对于商集化子集S(1)是奇异的元素，由于是可以与可数的商集化子集S(1)作一一对应，因此，也是可数的。由此可知，在自然数集N的幂集中，若以可用自然数来数的那些可数的元素为第一层，则于第一层为不可数的元素，乃是以ω+n来数的第二层的可数之元素；通常所说的阿列夫n，也就是在数着这些不可数的元素。
实数集R的基数是自然数集N的幂集的极限序数，那么，继实数集R的基数之后有无更大的基数？答案是否定的。在自然数集N的幂集的基础上，再予以幂集，构成其中的基本元素仍是自然数；例如，{{1} {2}} {{2} {2,3}} …等等。显然，我们仍可用元素中的最小自然数为划分之依据，得到诸如S(1) S(2) S(3) …之类的商集化子集S(n)。若用概率而述诸商集化子集所占有的比例，依旧是：
1/2+1/4+1/8+1/2^4+1/2^5+…+1/(2^n)+…→1
与实数集R同构。
综上所述，可知，继可数集的基数阿列夫0之后，阿列夫1并非是实数集R的基数，所谓的连续统假设并不成立。
1900年，在第二次世界数学家大会上，希尔伯脱先生提出了著名的二十三个未解决的数学问题，一百多年的时间过去了，有许多的问题业已获得了解决。然而，名列二十三个问题之首位的连续统假设之问题，迄今为止，仍被束之高阁，未能获得解决。原因是，时有哥德尔与科恩俩位先生，先后证明了“如果ZFC是协调的，则ZFC推不出非CH”和“ZFC推不出来CH，若ZFC协调”这两个截然相反的结论；换言之，哥德尔与科恩俩位先生都声称：连续统假设是不可能在ZFC公理系统中获得解决的。
ZFC公理系统真的无法解决连续统假设吗？鄙人不才，却发现，事情并非如俩位先生所说，恰恰相反，在ZFC公理系统中，是完全可以解决所谓的连续统假设之问题。
何以谓之为连续统假设？乃指：继自然数集N的基数阿列夫0之后，阿列夫1是否为实数集R之基数？由于实数集R是连续的，故而，将此一猜测则被谓之为连续统假设。如此，考察对象就在自然数集N与实数集R之间进行；在介于自然数集N与实数集R之间，若没有其它的无穷集合之基数，则连续统假设为真，反之，则连续统假设为假。
于集合论创立之初，康托尔先生已然证明，自然数集N的幂集之基数等价于实数集R的基数。哥德尔与科恩俩位先生，正是基于康托尔先生这样的证明，从不同的角度上予以考察，各执一词。然而，这俩位先生的考察均有欠周之处，仅仅是对部份的情况予以了探索；若是将哥德尔与科恩俩位先生所考察的相互融合在一起，那么，连续统假设的结论正好与俩位先生所说的相反：如果ZFC是协调的，则ZFC完全可以推出CH。 关键词：商集合 极限序数 共尾序数
我们知道，所谓的ZFC系统是带有选择公理的集合论之公理系统，而所谓的选择公理则是以测度理论为依据，归纳可测集合体中所存在的函数。所以，若自然数集N的幂集是一可测集合体，那么，其必定是可以用选择公理归纳出一个函数，以阐述自然数集N的幂集中的情况。
哥德尔先生利用直积集合的方式，以J(x,y)函数对其中的序数予以归纳，发现，所归纳的函数可以同态映射于自然数集N上；但是，哥德尔先生并没有再作进一步的探索，仅仅是以此为依据，就得出了“如果ZFC是协调的，则ZFC推不出非CH”之结论。科恩先生是以自然数集N的幂集中的元素为依据，且根据【可数无穷多个可数集合的并集合，仍然是一可数集合。】①之定理，认为，于自然数集N的幂集中，存在着一种不可数的子集，而这样的子集是选择公理所不能归纳的，故而，得出“ZFC推不出来CH，若ZFC协调”之结论。
显然，哥德尔与科恩俩位先生，各自都只对自然数集N的幂集考察了一半，都只圈定了自己的所推出的模型，且相互排挤着。如果这俩位先生能将彼此对立的观点融合在一起，那么，对自然数集N的幂集之内部的情况，就可以一目了然。
我们知道，自然数集N是可数的，但自然数集N的幂集却是不可数的；所谓的自然数集N的幂集，所指的是【自然数集N的所有子集合所组成的】①那个集合。无疑，开始时，自然数集N的幂集所归纳的元素也是可数的，数着数着，却变成了不可数的；由可数的变为不可数的，可知，于自然数集N的幂集中必存在着转化之过程。只要找出了这突变的原因，也就能知晓其所以然。但是，哥德尔与科恩俩位先生都没有从量变到质变这方面予以考察，就草草地就收了场。显然，欲知这由量变到质变之过程，我们必须重新对自然数集N的幂集予以考察。
我们知道，自然数集N的幂集有元素：
{φ} {1} {2} {1,2} {3} {1,3} {2,3} {1,2,3} …
当N→∞时，幂集具有不可数的性质。如果此集合是可测的，则必须满足Jordan可测集合体的四要素：【Ⅰ 若E1,E2∈T，则E1∪E2∈T；Ⅱ 若E1,E2∈T，则E1∩E2∈T；Ⅲ 若E1,E2∈T，又E1＜E2，则E2-E1∈T；Ⅳ 若E1,E2∈T，E1∩E2=φ，则v(E1∪E2)=v(E1)+v(E2)。】②(符号“＜”表示包含)。根据Jordan可测集合体的条件Ⅳ，则必须用商集合的概念来划分自然数集N的幂集。所谓的商集合，意指对集合X之划分，有：【⑴ A,B∈T→A=B or A∩B=φ， ⑵ {∪A∈T}A=X。】②若划分满足这样的条件，则集合中的“每一元素属于且仅属于某一不空的子集合”，如此，则谓之是按等价关系而对集合所作的划分；如集合满足这样的等价关系，称之为商集合。显然，只要按商集合的概念来划分自然数集N的幂集，则该集合满足Jordan可测集合体之要求。
根据集合论的正则公理，必须有确定的性质作为划分的依据；在自然数集N的幂集中，我们以元素中的最小自然数作为划分之依据。如此，我们就可以获得一系列的商集化子集：S(1),S(2),S(3),S(4),S(5),S(6),S(7),…，其中，S(n)归纳了幂集中最小自然数为n的一些元素。例如，S(1)有元素：
{1}
{1,2}
{1,3} {1,2,3}
{1,4} {1,2,4} {1,3,4} {1,2,3,4}
{1,5} {1,2,5} {1,3,5} {1,4,5} {1,2,3,5} {1,2,4,5} {1,3,4,5} {1,2,3,4,5}
……
再如，S(2)有元素：
{2}
{2,3}
{2,4} {2,3,4}
{2,5} {2,3,5} {2,4,5} {2,3,4,5}
{2,6} {2,3,6} {2,4,6} {2,5,6} {2,3,4,6} {2,3,5,6} {2,4,5,6} {2,3,4,5,6}
……
等等；以此类推。如此归纳，显然，诸子集S(n)相互间并无交集，合乎商集合的划分之要求。
从以上的划分中可以看出，其与哥德尔先生的可构成性定理中的J(x,y)函数如出一辙，只不过，这里是以商集化子集S(n)中的元素同态映射于自然数集N上，而哥德尔先生是以合乎要求的元素建构于J(x,y)函数中，然后，再同态映射于自然数集N上。总之，均是以自然数集N为同态映射之“标的”。如果仅仅有这样的“标的”，而不再作进一步的研究，无疑，这样的“标的”是没有任何用处的。谁都知道，自然数集N的幂集中的元素是由自然数集N的子集所构成，其元素肯定是可以同态映射于某一自然数n上，这样的“标的”，若是仅以自然数集N为最终目的，也只是作了一次循环论证，毫无意义；但哥德尔先生所做的工作正是作着这样的论证。
科恩先生的论证无疑比哥德尔先生的论证深入了一步，其是从极限序数的角度上予以研究的。由于自然数集N的幂集的基数大于自然数集N的基数，无疑，若以序数而论，自然数集N的幂集的极限序数大于自然数集N的极限序数。凡有极限序数者，皆有共尾序数，自然数集N的幂集也不能例外。由于自然数集N的幂集之基数是不可数的，也就是说，其极限序数是不可数的，显然，该幂集中的共尾序数也是不可数的。如此，在自然数集N的幂集中，就存在着不可数的元素，而这样的元素乃是无法以自然数集N的子集来表达的，因为，“可数无穷多个可数集合的并集合，仍然是一可数集合”。故而，科恩先生认为，“ZFC推不出来CH，若ZFC协调”。但是，科恩先生忘却了“由量变到质变”的突变之过程，必须是在事件体的内部而实行的；应该说，科恩先生所进行的研究，乃是半途而废了。
对于共尾序数，集合论是这样定义的：【0＜α，α为一极限序数，我们说α的共尾数cf(α)是指最小的序数β，使得存在着一函数f:β→α，具有sup{f(γ)|γ＜β}=α。】①换言之，共尾序数cf(α)是以极限序数α为极限。【对于一基数ω_α，如果有cf(ω_α)=ω_α，则称ω_α是正则的；如果cf(ω_α)＜ω_α，则称ω_α为奇异的。】①此定义说明，如果集合中的共尾序数cf(ω_α)小于极限序数ω_α，那么，该极限序数ω_α是奇异的。由此推理，则有：【对于每一序数α，都存在一序数β＞α，使得ω_β是奇异的。】①之定理。
在自然数集N的幂集中运用序数之概念，对于每一商集化子集S(n)，根据康托尔先生的对角线法，均具有可数集之基数，它们的极限序数皆为无穷集合中最小的序数ω；显然，这样的序数若共尾于自然数集N的幂集的极限序数ω_α，均是小于极限序数ω_α的。可知，在自然数集N的幂集中存在着可数的序数ω之奇异的序数。那么，如何求取这样的奇异的序数呢？很简单，只要将哥德尔与科恩俩位先生的观点结合起来，立竿见影。
因为，在自然数集N的幂集中，每一商集化子集S(n)都具有可数集的基数，所具有的极限序数皆为ω；然而，在自然数集N的幂集中，存在着一些并非是商集化子集S(n)的元素，这样的元素对于商集化子集S(n)而言，无疑，是奇异的。根据共尾序数的定理，这些以自然数集N的幂集的极限序数ω_α为极限的共尾序数，皆大于可数集的序数ω；换言之，以这些大于可数集的极限序数ω的共尾序数为序数的无穷集合的基数，皆大于可数集的基数，均是不可数的。
由此可知，自然数集N的幂集中的突变存在于诸商集化子集之间；于商集化子集S(n)内是可数的，而于其它商集化子集S(n±i)中的元素，相对于S(n)而言，是不可数的。由此，对自然数集N的幂集予以商集合的划分，可以从定性的角度上，得知从可数的突变为不可数的过程；但这样的定性并未量化。
我们知道，某集合若有元素s个，则它的幂集就有元素2^s个；自然数集N的幂集也不例外，乃以2^N作为其中的元素之个数的标识。显然，若某集合有元素s-1个，则它的幂集之元素有2^(s-1)个。从2^s-2^(s-1)=2^(s-1)中可知，在原集合中由s-1个元素增加至s个元素，于幂集中就增添了2^(s-1)个元素；这就是说，原集合中任何一个元素在幂集中的组合元素都占有的比例为2^(s-1)/2^s=1/2。但这样的组合有交集，必须用商集合的概念予以分割。
前面，我们曾以最小自然数为依据，对自然数集N的幂集中的元素予以划分。显然，商集化子集S(1)占有1/2之比例；商集化子集S(2)由于少了一个自然数1，因此，它所占有的比例为2^(s-2)/2^s=1/4；商集化子集S(3)由于少了二个自然数1与2，则它所占有的比例为2^(s-3)/2^s=1/8；以此类推，可知，商集化子集S(n)所占有的比例为1/(2^n)。我们知道，商集化子集彼此间并无交集，如此，我们就可以按照概率论中的叠加原理，将诸商集化子集的概率相加：
1/2+1/4+1/8+1/2^4+1/2^5+…+1/(2^n)+…→1
从这概率上也可知，自然数集N的幂集等价于实数集R。
商集化子集S(1)的元素占有了自然数集N的幂集之元素的1/2，那么，其余的商集化子集的概率之和也只有1/2之比例了。如此，我们可以作另一类的划分：以商集化子集S(1)的元素为一方，以非商集化子集S(1)的元素为另一方。由于商集化子集S(1)中的元素可数，且相对于商集化子集S(1)而言，其它商集化子集中的元素皆是奇异的；因此，在自然数集N的幂集中，一半的元素是可数的，另一半的无素是不可数的。若应用于实数集R中，则是，有理数占有了实数的一半，另一半则是无理数。
若对自然数集N的幂集中的元素以序数而述之，则是，商集化子集S(1)的极限序数为ω，其后则以ω+n而序那些相对于商集化子集S(1)是奇异的元素；实数集R的极限序数ω_α则是它们的极限。若用集合的基数表之，则是，商集化子集S(1)的基数是阿列夫0，其后则是以阿列夫1、阿列夫2、…等而表述那些相对于商集化子集S(1)是奇异的元素，而实数集R的基数是这些基数中最大的。显然，若是单纯地去数那些相对于商集化子集S(1)是奇异的元素，由于是可以与可数的商集化子集S(1)作一一对应，因此，也是可数的。由此可知，在自然数集N的幂集中，若以可用自然数来数的那些可数的元素为第一层，则于第一层为不可数的元素，乃是以ω+n来数的第二层的可数之元素；通常所说的阿列夫n，也就是在数着这些不可数的元素。
实数集R的基数是自然数集N的幂集的极限序数，那么，继实数集R的基数之后有无更大的基数？答案是否定的。在自然数集N的幂集的基础上，再予以幂集，构成其中的基本元素仍是自然数；例如，{{1} {2}} {{2} {2,3}} …等等。显然，我们仍可用元素中的最小自然数为划分之依据，得到诸如S(1) S(2) S(3) …之类的商集化子集S(n)。若用概率而述诸商集化子集所占有的比例，依旧是：
1/2+1/4+1/8+1/2^4+1/2^5+…+1/(2^n)+…→1
与实数集R同构。
综上所述，可知，继可数集的基数阿列夫0之后，阿列夫1并非是实数集R的基数，所谓的连续统假设并不成立。