小学计算公式

各种图形的计算方法

1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2

2、正方形的周长=边长×4 C=4a

3、长方形的面积=长×宽 S=ab

4、正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a

5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2

6、平行四边形的面积=底×高 S=ah

7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a +b )h÷2

8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2

9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr

10、圆的面积=圆周率×半径×半径 Ѕ=πr

11、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2

12、长方体的体积 =长×宽×高 V =abh

13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a

14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a

15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch

16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch

17、圆柱的体积=底面积×高 V=Sh

V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h

18、圆锥的体积=底面积×高÷3

V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3

19、长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积×高 V=Sh

三角形面积公式

1. 已知三角形底a ,高h ,则 S =ah/2

2. 已知三角形三边a,b,c ,则

(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)

S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=sqrt[(1/2)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

=√2/2sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

3. 已知三角形两边a,b, 这两边夹角C ,则S =1/2 * absinC ,即两夹边之积乘夹角的正弦值。

4. 设三角形三边分别为a 、b 、c ,内切圆半径为r

则三角形面积=(a+b+c)r/2

5. 设三角形三边分别为a 、b 、c ,外接圆半径为R

则三角形面积=abc/4R

6.S △=1/2 *

| a b 1 |

| c d 1 |

| e f 1 |

| a b 1 |

| c d 1 | 为三阶行列式, 此三角形ABC 在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC

| e f 1 |

选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!

7. 海伦——秦九韶三角形中线面积公式:

S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

其中Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长.

8. 根据三角函数求面积:

S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA

注:其中R 为外切圆半径。

9. 根据向量求面积:

S Δ)= ½√(|AB|*|AC|)²-(AB*AC)&sup2 .

10. 在直角坐标系中,三角形ABC 面积为

S=|AB×AC|/2

即面积S 等于向量AB 与AC 向量积的模的一半

扩展阅读:

1. 根据正弦定理推出来的:

2.S 三角形ABC=absinC/2

3.S 三角形ABC=acsinB/2

4.S 三角形ABC=bcsinA/2

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王 希伦 (Heron, 也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline 在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形,边长分别为a 、b 、c ,三角形的面积S 可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p 为半周长:

p=(a+b+c)/2

——————————————————————————————————————————————

注1:"Metrica"(《度量论》) 手抄本中用s 作为半周长,所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p 作为半周长。

——————————————————————————————————————————————

由于任何n 边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

证明(1)

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》) 中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a 、b 、c 的对角分别为A 、B 、C ,则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以,三角形ABC 面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明(2)

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,q 为“实”。以△、a,b,c 表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以

q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]

当P =1时,△ 2=q,

S △=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}

因式分解得

1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]

=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得:

S △=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。

S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.

根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:

已知四边形ABCD 为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD 的面积

这里用海伦公式的推广

S 圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p 为周长一半,a,b,c,d, 为4边) 代入解得s=8√ 3

推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:

设△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,ha 为a 边上的高,R 、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c)/2,则

S △ABC

=1/2 aha

=1/2 ab×sinC

=1/2 r p

= 2R2sinAsinBsinC

= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中,S △ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。

各种图形的计算方法

1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2

2、正方形的周长=边长×4 C=4a

3、长方形的面积=长×宽 S=ab

4、正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a

5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2

6、平行四边形的面积=底×高 S=ah

7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a +b )h÷2

8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2

9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr

10、圆的面积=圆周率×半径×半径 Ѕ=πr

11、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2

12、长方体的体积 =长×宽×高 V =abh

13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a

14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a

15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch

16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch

17、圆柱的体积=底面积×高 V=Sh

V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h

18、圆锥的体积=底面积×高÷3

V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3

19、长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积×高 V=Sh

三角形面积公式

1. 已知三角形底a ,高h ,则 S =ah/2

2. 已知三角形三边a,b,c ,则

(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)

S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=sqrt[(1/2)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

=√2/2sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

3. 已知三角形两边a,b, 这两边夹角C ,则S =1/2 * absinC ,即两夹边之积乘夹角的正弦值。

4. 设三角形三边分别为a 、b 、c ,内切圆半径为r

则三角形面积=(a+b+c)r/2

5. 设三角形三边分别为a 、b 、c ,外接圆半径为R

则三角形面积=abc/4R

6.S △=1/2 *

| a b 1 |

| c d 1 |

| e f 1 |

| a b 1 |

| c d 1 | 为三阶行列式, 此三角形ABC 在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC

| e f 1 |

选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!

7. 海伦——秦九韶三角形中线面积公式:

S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

其中Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长.

8. 根据三角函数求面积:

S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA

注:其中R 为外切圆半径。

9. 根据向量求面积:

S Δ)= ½√(|AB|*|AC|)²-(AB*AC)&sup2 .

10. 在直角坐标系中,三角形ABC 面积为

S=|AB×AC|/2

即面积S 等于向量AB 与AC 向量积的模的一半

扩展阅读:

1. 根据正弦定理推出来的:

2.S 三角形ABC=absinC/2

3.S 三角形ABC=acsinB/2

4.S 三角形ABC=bcsinA/2

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王 希伦 (Heron, 也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline 在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形,边长分别为a 、b 、c ,三角形的面积S 可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p 为半周长:

p=(a+b+c)/2

——————————————————————————————————————————————

注1:"Metrica"(《度量论》) 手抄本中用s 作为半周长,所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p 作为半周长。

——————————————————————————————————————————————

由于任何n 边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

证明(1)

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》) 中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a 、b 、c 的对角分别为A 、B 、C ,则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以,三角形ABC 面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明(2)

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,q 为“实”。以△、a,b,c 表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以

q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]

当P =1时,△ 2=q,

S △=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}

因式分解得

1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]

=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得:

S △=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。

S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.

根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:

已知四边形ABCD 为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD 的面积

这里用海伦公式的推广

S 圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p 为周长一半,a,b,c,d, 为4边) 代入解得s=8√ 3

推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:

设△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,ha 为a 边上的高,R 、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c)/2,则

S △ABC

=1/2 aha

=1/2 ab×sinC

=1/2 r p

= 2R2sinAsinBsinC

= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中,S △ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。


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