分组分解法
教学目标
1. 使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；
2. 通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.
教学重点和难点
重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.
难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法.
教学过程设计
一、复习导入
我们已经掌握了运用“提公因式法”和“公式法”来进行因式分解，请大家思考下列各式，能分解吗？
(1)a2－ab+3b－3a ； (2)x2－6xy+9y2－1；
(3)am－an －m 2+n2； (4)2ab－a 2－b 2+c2.
观察发现：这几道题都是4项，（1）、（3）题的4项中虽不具有公因式，但若将这4项按照“2-2”形式分组，却能找到公因式，从而进一步分解；（2）、
（4）题的4项也不具有公因式，可利用“3-1”形式将其分组，从而进一步分解因式。
解: (1)a2－ab+3b－3a
=(a2－ab) －(3a－3b)
=a(a－b) －3(a－b)
=(a－b)(a－3)
(2)x2－6xy+9y2－1
=(x－3y) 2－1
=(x－3y+1)(x－3y －1) 、
(3)am－an －m 2+n2
=(am－an) －(m2－n 2)
=a(m－n) －(m+n)(m－n)
=(m－n)(a－m －n)
(4)2ab－a 2－b 2+c2
=c2－(a2+b2－2ab)
=c2－(a－b) 2
=(c+a－b)(c－a+b).
第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.
第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式.
第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.
第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.
把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，以“2-2”及“3-1”形式最为常见，再运用提公因式或分式法进行因式分解. 在添括号时，要注意符号的变化.
这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.
二、新课
例1 把a 2x+a2y+b2x+b2y 分解因式.
问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?
答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.
解:方法一
a 2x+a2y+b2x+b2y=(a2x+a2y)+(b2x+b2y)
=a2(x+y)+b2(x+y)
=(a2+b2)(x+y)
方法二
a2x+a2y+b2x+b2y=(a2x+b2x)+(a2y+b2y)
=x(a2+b2)+y(a2+b2)
=(a2+b2)(x+y)
例2 把a 4b+2a3b 2-a 2b-2ab 2分解因式.
问：观察这个多项式有什么特点? 是否可以直接运用分组法进行因式分解? 答：这个多项式的各项都有公式因ab ，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.
解：a 4b+2a3b 2-a 2b-2ab 2=ab(a3+2a2b-a-2b)
=ab[(a3+2a2b)-(a+2b)]
=ab[a2(a+2b)-(a+2b)]
=ab(a+2b)(a2-1)
= ab(a+2b)(a+1)(a-1)
例3 把45am 2－20ax 2+20axy－5ay 2分解因式.
分析：这个多项式的各项有公因式5a ，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.
解:45am2－20ax 2+20axy－5ay 2=5a(9m2－4x 2+4xy－y 2)
=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]
=5a[(3m)2－(2x－y) 2]
=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y)
例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n) 分解因式.
分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了. 解: 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an
=(2a2－3an)+(4am－6mn)
=a(2a－3n)+2m(2a－3n)
=(2a－3n)(a+2m)
指出：如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.
练习：观察下列多项式，你会怎样来分解？
1.9m 2-6m+2n-n2;
2.a 2+a-b2+b;
3.4a 2-b 2+6a-3b;
4.3xy-2x-12y+8
做完练习后，加以巩固总结：“2-2”型分组多以4项中2项2项有公因式，而“3-1”型分组则多以3项为完全平方公式，之后再与余下的一项用平方差公式继续分解。
三、思考下列各题，如何分解呢？
1、4x 2+3z-3xz-4x;
2、x 2y+3x-2x2y 2-6y;
3、9x 2+1-y2-6x;
4、x 2-4xy+4y2+3x-6y;
5、a 4+4b4.
以上这几道思考题来加深对分组分解法的理解与掌握，综合了对各项系数成比例、“3-2”型分组及拆项补项法的考查，提高了大家结合本节所讲知识来克服难题的兴趣，也升华了大家对本节课所讲知识的掌握。
四、教学反思
这节课是在介绍了提公因式法和公式法后，提到的第三种方法，学生比较困惑的是如何把多项式进行分组，学生认为如果是四项式那么就是第一项和第二项成为一组，第三项和第四项成为一组，不能非常娴熟的全项观察后再决定如何分组，因此课堂上一定要多练习通过总结得到分组的目的还是回到前面提到的那两种方法，因此分组可以说是拿出多项式的一部分成为一组，另一部分成为一组，必须让同学们自己动脑思考练习，来决定到底如何分组。
分组分解法
教学目标
1. 使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；
2. 通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.
教学重点和难点
重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.
难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法.
教学过程设计
一、复习导入
我们已经掌握了运用“提公因式法”和“公式法”来进行因式分解，请大家思考下列各式，能分解吗？
(1)a2－ab+3b－3a ； (2)x2－6xy+9y2－1；
(3)am－an －m 2+n2； (4)2ab－a 2－b 2+c2.
观察发现：这几道题都是4项，（1）、（3）题的4项中虽不具有公因式，但若将这4项按照“2-2”形式分组，却能找到公因式，从而进一步分解；（2）、
（4）题的4项也不具有公因式，可利用“3-1”形式将其分组，从而进一步分解因式。
解: (1)a2－ab+3b－3a
=(a2－ab) －(3a－3b)
=a(a－b) －3(a－b)
=(a－b)(a－3)
(2)x2－6xy+9y2－1
=(x－3y) 2－1
=(x－3y+1)(x－3y －1) 、
(3)am－an －m 2+n2
=(am－an) －(m2－n 2)
=a(m－n) －(m+n)(m－n)
=(m－n)(a－m －n)
(4)2ab－a 2－b 2+c2
=c2－(a2+b2－2ab)
=c2－(a－b) 2
=(c+a－b)(c－a+b).
第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.
第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式.
第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.
第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.
把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，以“2-2”及“3-1”形式最为常见，再运用提公因式或分式法进行因式分解. 在添括号时，要注意符号的变化.
这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.
二、新课
例1 把a 2x+a2y+b2x+b2y 分解因式.
问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?
答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.
解:方法一
a 2x+a2y+b2x+b2y=(a2x+a2y)+(b2x+b2y)
=a2(x+y)+b2(x+y)
=(a2+b2)(x+y)
方法二
a2x+a2y+b2x+b2y=(a2x+b2x)+(a2y+b2y)
=x(a2+b2)+y(a2+b2)
=(a2+b2)(x+y)
例2 把a 4b+2a3b 2-a 2b-2ab 2分解因式.
问：观察这个多项式有什么特点? 是否可以直接运用分组法进行因式分解? 答：这个多项式的各项都有公式因ab ，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.
解：a 4b+2a3b 2-a 2b-2ab 2=ab(a3+2a2b-a-2b)
=ab[(a3+2a2b)-(a+2b)]
=ab[a2(a+2b)-(a+2b)]
=ab(a+2b)(a2-1)
= ab(a+2b)(a+1)(a-1)
例3 把45am 2－20ax 2+20axy－5ay 2分解因式.
分析：这个多项式的各项有公因式5a ，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.
解:45am2－20ax 2+20axy－5ay 2=5a(9m2－4x 2+4xy－y 2)
=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]
=5a[(3m)2－(2x－y) 2]
=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y)
例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n) 分解因式.
分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了. 解: 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an
=(2a2－3an)+(4am－6mn)
=a(2a－3n)+2m(2a－3n)
=(2a－3n)(a+2m)
指出：如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.
练习：观察下列多项式，你会怎样来分解？
1.9m 2-6m+2n-n2;
2.a 2+a-b2+b;
3.4a 2-b 2+6a-3b;
4.3xy-2x-12y+8
做完练习后，加以巩固总结：“2-2”型分组多以4项中2项2项有公因式，而“3-1”型分组则多以3项为完全平方公式，之后再与余下的一项用平方差公式继续分解。
三、思考下列各题，如何分解呢？
1、4x 2+3z-3xz-4x;
2、x 2y+3x-2x2y 2-6y;
3、9x 2+1-y2-6x;
4、x 2-4xy+4y2+3x-6y;
5、a 4+4b4.
以上这几道思考题来加深对分组分解法的理解与掌握，综合了对各项系数成比例、“3-2”型分组及拆项补项法的考查，提高了大家结合本节所讲知识来克服难题的兴趣，也升华了大家对本节课所讲知识的掌握。
四、教学反思
这节课是在介绍了提公因式法和公式法后，提到的第三种方法，学生比较困惑的是如何把多项式进行分组，学生认为如果是四项式那么就是第一项和第二项成为一组，第三项和第四项成为一组，不能非常娴熟的全项观察后再决定如何分组，因此课堂上一定要多练习通过总结得到分组的目的还是回到前面提到的那两种方法，因此分组可以说是拿出多项式的一部分成为一组，另一部分成为一组，必须让同学们自己动脑思考练习，来决定到底如何分组。