求点到平面的距离常用方法
1、 定义法：过点找到平面的垂线，从而求出距离。 2、 转移法：分为平行转移和按比例转移两种方法。 3、 等体积法：利用三棱锥的体积不变，换底求高。
4、 利用角度，构造三角形，利用边长或者角度问题，结合三角函数，求其距离。其中包括：二面角，斜线与平面所成角，三垂线方法。
例１．如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离 分析:（法１）在正方体ABCD--A ′B ′C ′D ′中, ∵A ′B ′= A′D ′= A′A, ∴点平面AB ′D ′的射影是等边△AB ′D ′的外心, 连接A ′C ′、B ′D ′交点E AE ，则A ′在平面AB ′D ′的射影H 在中线AE Ａ的“五心”合一，即H 是重心，在AE 的三等分点且靠近E
3２6
⋅2a ＡＥ＝2３３在等边三角形AB ′D ′中，AE=，AH=A' A -AH =a
3 在直角三角形A ′ＨＡ中，A ′Ｈ＝
2
2
Ｃ′
′
Ｈ
ＡＢ
a 3即A ′到平面AB ′D ′的距离为
（法２）由A ′C 在平面A ′B ′C ′D ′的射影为A ′C ′，而A ′C ′⊥D ′B ′，由三垂线定理（及逆定理）可知A ′C ⊥D ′B ′，同理可证A ′C ⊥AB ′、A ′C ⊥AD ′ 。于是A ′C ⊥面AD ′B ′ 即面A ′ACC ′⊥面AB ′D ′ 连接A ′C 与AE 交H 点，由面面垂直的性质定理可知A ′H 的长即为所求。求解略。
（法3）求A ′到平面AB ′D ′的距离可通过体积V A'---AB' D' =V A ---A' B' D' 来求。
1311⨯h ⨯⨯2a ⨯2a =⨯a ⨯a ⨯a
232即3 h =
a 3⨯=a 63
例2．如图PA ⊥正方形ABCD 所在的平面, 且PA=AB=4, E、F 分别是AB 、PC 的中点，求B 点到平面DEF 的距离。
分析：延长DE 交CB 的延长线于M ，由于E 是AB 的中点， 1
∴BE=DC ，∴B 是MC 的中点，即C 到平面DEF 的距离是B 到平面DEF 的
2
距离的2倍.
1
取PD 的中点G ,GF ∥＝DC ∴GF ∥＝AE, ∴四边形AEFG 是平行四边形
2
而PA=AD=4, ∴AG ⊥PD ，由题设可知DC ⊥AG ，∴AG ⊥面PCD 而EF ∥AG ∴EF ⊥面PCD 即面EFD ⊥面PCD
过C 作CH ⊥FD 于H, 则CH 即为C 到平面EFD 的距离,
∵PA=AD=4 CD=4 ∴PD=42, CF=DF=23,
426
CH= 即B 点到平面的距离为
33
B
D
C
例3．已知，如图正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG=2，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，求点B 到平面GEF 的距离。
分析：连接EG 、EF 、EF 、BD 、AC ，AC 与EF 、BD 分别交与H 、O ， 易证BD ∥面GEF ，即点B 到面GEF 的距离等于直线BD 到面GEF 的距离， 可证面GCH ⊥面GEF ，在面GCH 中过点O 作OK ⊥GH ，垂足为K ， 由面面垂直的性质可知：OK ⊥面GEF ，即OK 为BD 到面GEF 的距离， 也就是点B 到面GEF 的距离。在正方形ABCD 中，边长为4，CG=2， ∴AC=42 HO=2，HC=32 在直角三角形HCG 中 HG=HC 2+CG 2=22 OK=
HO ⋅GC 2= 即为点B 到面GEF 的距离。 HG 11
E
C
例4. 如图，已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F
.
(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；
(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等. . 解：(1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中， ∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a
222a , 同理A 1F =a , 又EF =a ，∴A 1E =a 222
2
同理A 1F =a , 又EF =a
2
∴A 1E =
∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°
过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离 ∴A 1N =
12
a 2
a 2
又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为∴a =2，∴所求距离为2
(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形.
∵B 1C 1⊥D 1D , B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1
得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ，
若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90° ∴△AMA 1≌△A 1ND 1, ∴AA 1=A 1D 1=3, 即当AA 1=3时满足条件.
例5. 已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC =23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A1C 。求顶点C 与侧面A 1ABB 1的距离。
分析：如下图所示，解答好本题的关键是找到底面ABC 的垂线A 1D ，找到了底面的垂线A 1D ，就可根据三垂线定理，作出侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的平面角A 1DE ，求出二面角A 1-AB-C 的平面角大小，就可依据公式d =m ⋅sin θ找到点D 到平面A 1ABB 1的距离d ，进而根据D 为AC 中点，也就不难求出点C 到侧面A 1ABB 1的距离。
解：如上图，在侧面A 1ACC 1内，作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，因为AA 1=A1C ，所以D 为AC 的中点。又因为AA 1⊥A 1C ，AC =2，A 1D=AD=。
因为侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，其交线为AC ，所以A 1D ⊥面ABC 。 过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB （三垂线定理），所以∠A 1ED 为侧面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角。
由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ，又D 是AC 的中点，BC=2，所以DE=1，
tan ∠A 1ED =
A 1D
=3，故∠A 1ED=60°。 DE
于是由公式d =m ⋅s i θn 知，点D 到侧面A 1ABB 1的距离
d =DE ⋅sin 60︒=1⨯
。 =
22
又点D 为AC 的中点，故而点C 到侧面A 1ABB 1的距离为点D 到侧面A 1ABB 1距离的2倍，于是知点C 到侧面A 1ABB 1的距离为3。
例6. （2004年全国卷I 理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。
（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。
分析：如上图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，即PO 为点P 到平面ABCD 距离。第1问要求解距离PO ，只需求出点P 到二面角P-AD-O 的棱AD 的距离，及二面角P-AD-O 的大小即可。第2问要求解二面角A-PB-C 的大小，只需求出点C 到二面角A-PB-C 棱PB 的距离及点C 到半平面APB 的距离即可。
解：（1）如上图，取AD 的中点E ，连结PE 。由题意，PE ⊥AD ，即m =PE =。 又二面角P-AD-O 与二面角P-AD-B 互补，所以二面角P-AD-O 的大小为60°，即θ=60︒。于是由公式d =m ⋅sin θ知：点P 到平面ABCD 的距离为
3
PO =m ⋅sin θ=⋅sin 60︒=。
2
（2）设所求二面角A-PB-C 的大小为α，点C 到平面PAB 的距离为d 。
连接BE ，则BE ⊥AD （三垂线定理），AD ⊥平面PEB ，因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PEB ，BC ⊥PB ，即点C 到二面角棱PB 的距离为2，即m=2
。
又因为PE=BE=，∠PEB=120°，所以在ΔPEB 中，由余弦定理可求得PB=3。
取PB 的中点F ，连结AF ，因为PA=AB=2，则AF ⊥PB ，BF =所以AF =AB 2-BF 2=
137
，即S ∆PAB =PB ⋅AF =224
13
PB =，22
7。又易求得S ∆ABC =3，
点P 到平面ABC 的距离：PO =
根据等体积法V P -ABC
3
。 2
11
=V C -PAB ，有⋅PO ⋅S ∆ABC =⋅d ⋅S ∆PAB ，
33
22133d 21
即⨯3=d ⨯，代入公式d =m ⋅sin θ, sin θ==。 7，所以d =
m 7724
又由于面PBC ⊥面PEB ，所以所求二面角A-PB-C 为钝二面角，所以
θ=π-arcsin
d m
求点到平面的距离常用方法
1、 定义法：过点找到平面的垂线，从而求出距离。 2、 转移法：分为平行转移和按比例转移两种方法。 3、 等体积法：利用三棱锥的体积不变，换底求高。
4、 利用角度，构造三角形，利用边长或者角度问题，结合三角函数，求其距离。其中包括：二面角，斜线与平面所成角，三垂线方法。
例１．如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离 分析:（法１）在正方体ABCD--A ′B ′C ′D ′中, ∵A ′B ′= A′D ′= A′A, ∴点平面AB ′D ′的射影是等边△AB ′D ′的外心, 连接A ′C ′、B ′D ′交点E AE ，则A ′在平面AB ′D ′的射影H 在中线AE Ａ的“五心”合一，即H 是重心，在AE 的三等分点且靠近E
3２6
⋅2a ＡＥ＝2３３在等边三角形AB ′D ′中，AE=，AH=A' A -AH =a
3 在直角三角形A ′ＨＡ中，A ′Ｈ＝
2
2
Ｃ′
′
Ｈ
ＡＢ
a 3即A ′到平面AB ′D ′的距离为
（法２）由A ′C 在平面A ′B ′C ′D ′的射影为A ′C ′，而A ′C ′⊥D ′B ′，由三垂线定理（及逆定理）可知A ′C ⊥D ′B ′，同理可证A ′C ⊥AB ′、A ′C ⊥AD ′ 。于是A ′C ⊥面AD ′B ′ 即面A ′ACC ′⊥面AB ′D ′ 连接A ′C 与AE 交H 点，由面面垂直的性质定理可知A ′H 的长即为所求。求解略。
（法3）求A ′到平面AB ′D ′的距离可通过体积V A'---AB' D' =V A ---A' B' D' 来求。
1311⨯h ⨯⨯2a ⨯2a =⨯a ⨯a ⨯a
232即3 h =
a 3⨯=a 63
例2．如图PA ⊥正方形ABCD 所在的平面, 且PA=AB=4, E、F 分别是AB 、PC 的中点，求B 点到平面DEF 的距离。
分析：延长DE 交CB 的延长线于M ，由于E 是AB 的中点， 1
∴BE=DC ，∴B 是MC 的中点，即C 到平面DEF 的距离是B 到平面DEF 的
2
距离的2倍.
1
取PD 的中点G ,GF ∥＝DC ∴GF ∥＝AE, ∴四边形AEFG 是平行四边形
2
而PA=AD=4, ∴AG ⊥PD ，由题设可知DC ⊥AG ，∴AG ⊥面PCD 而EF ∥AG ∴EF ⊥面PCD 即面EFD ⊥面PCD
过C 作CH ⊥FD 于H, 则CH 即为C 到平面EFD 的距离,
∵PA=AD=4 CD=4 ∴PD=42, CF=DF=23,
426
CH= 即B 点到平面的距离为
33
B
D
C
例3．已知，如图正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG=2，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，求点B 到平面GEF 的距离。
分析：连接EG 、EF 、EF 、BD 、AC ，AC 与EF 、BD 分别交与H 、O ， 易证BD ∥面GEF ，即点B 到面GEF 的距离等于直线BD 到面GEF 的距离， 可证面GCH ⊥面GEF ，在面GCH 中过点O 作OK ⊥GH ，垂足为K ， 由面面垂直的性质可知：OK ⊥面GEF ，即OK 为BD 到面GEF 的距离， 也就是点B 到面GEF 的距离。在正方形ABCD 中，边长为4，CG=2， ∴AC=42 HO=2，HC=32 在直角三角形HCG 中 HG=HC 2+CG 2=22 OK=
HO ⋅GC 2= 即为点B 到面GEF 的距离。 HG 11
E
C
例4. 如图，已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F
.
(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；
(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等. . 解：(1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中， ∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a
222a , 同理A 1F =a , 又EF =a ，∴A 1E =a 222
2
同理A 1F =a , 又EF =a
2
∴A 1E =
∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°
过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离 ∴A 1N =
12
a 2
a 2
又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为∴a =2，∴所求距离为2
(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形.
∵B 1C 1⊥D 1D , B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1
得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ，
若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90° ∴△AMA 1≌△A 1ND 1, ∴AA 1=A 1D 1=3, 即当AA 1=3时满足条件.
例5. 已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC =23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A1C 。求顶点C 与侧面A 1ABB 1的距离。
分析：如下图所示，解答好本题的关键是找到底面ABC 的垂线A 1D ，找到了底面的垂线A 1D ，就可根据三垂线定理，作出侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的平面角A 1DE ，求出二面角A 1-AB-C 的平面角大小，就可依据公式d =m ⋅sin θ找到点D 到平面A 1ABB 1的距离d ，进而根据D 为AC 中点，也就不难求出点C 到侧面A 1ABB 1的距离。
解：如上图，在侧面A 1ACC 1内，作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，因为AA 1=A1C ，所以D 为AC 的中点。又因为AA 1⊥A 1C ，AC =2，A 1D=AD=。
因为侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，其交线为AC ，所以A 1D ⊥面ABC 。 过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB （三垂线定理），所以∠A 1ED 为侧面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角。
由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ，又D 是AC 的中点，BC=2，所以DE=1，
tan ∠A 1ED =
A 1D
=3，故∠A 1ED=60°。 DE
于是由公式d =m ⋅s i θn 知，点D 到侧面A 1ABB 1的距离
d =DE ⋅sin 60︒=1⨯
。 =
22
又点D 为AC 的中点，故而点C 到侧面A 1ABB 1的距离为点D 到侧面A 1ABB 1距离的2倍，于是知点C 到侧面A 1ABB 1的距离为3。
例6. （2004年全国卷I 理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。
（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。
分析：如上图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，即PO 为点P 到平面ABCD 距离。第1问要求解距离PO ，只需求出点P 到二面角P-AD-O 的棱AD 的距离，及二面角P-AD-O 的大小即可。第2问要求解二面角A-PB-C 的大小，只需求出点C 到二面角A-PB-C 棱PB 的距离及点C 到半平面APB 的距离即可。
解：（1）如上图，取AD 的中点E ，连结PE 。由题意，PE ⊥AD ，即m =PE =。 又二面角P-AD-O 与二面角P-AD-B 互补，所以二面角P-AD-O 的大小为60°，即θ=60︒。于是由公式d =m ⋅sin θ知：点P 到平面ABCD 的距离为
3
PO =m ⋅sin θ=⋅sin 60︒=。
2
（2）设所求二面角A-PB-C 的大小为α，点C 到平面PAB 的距离为d 。
连接BE ，则BE ⊥AD （三垂线定理），AD ⊥平面PEB ，因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PEB ，BC ⊥PB ，即点C 到二面角棱PB 的距离为2，即m=2
。
又因为PE=BE=，∠PEB=120°，所以在ΔPEB 中，由余弦定理可求得PB=3。
取PB 的中点F ，连结AF ，因为PA=AB=2，则AF ⊥PB ，BF =所以AF =AB 2-BF 2=
137
，即S ∆PAB =PB ⋅AF =224
13
PB =，22
7。又易求得S ∆ABC =3，
点P 到平面ABC 的距离：PO =
根据等体积法V P -ABC
3
。 2
11
=V C -PAB ，有⋅PO ⋅S ∆ABC =⋅d ⋅S ∆PAB ，
33
22133d 21
即⨯3=d ⨯，代入公式d =m ⋅sin θ, sin θ==。 7，所以d =
m 7724
又由于面PBC ⊥面PEB ，所以所求二面角A-PB-C 为钝二面角，所以
θ=π-arcsin
d m