等差数列与等比数列的证明方法
1、a n+1−a n ＝常数， {a n }为等差数列。其本质意义是证数列任意后一项减前一项的差为常数，但不一定是a n+1−a n , 例如证数列{a
2
n
为等差数列，需证a −1
3
1
2
n +1
—a −1
2
n −1
＝常数。
n }满足
例2 已知数列{a n }中，a 1＝，a n ＝2－
5a n －1
1
1
(n ≥2，n ∈N *) ，数列{b b n ＝
(n ∈N *) ．
a n －1
1
1
(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－
1
a n －1
(n ≥2，n ∈N *) ，b n 1
a n －1
1
，∴当n ≥2时，b n －b n －1＝
1
1
a n －1a n －1－1
5
＝－＝1. 又b 1＝. ⎛1⎫a n －1－1a n －1－1a n －1－1a 1－12 2－－1
a n －1
⎝
a n －1⎭
5
∴数列{b n }1为公差的等差数列．
2
7122
(2)解 由(1)知，b n ＝n －，则a n ＝1＋＝1＋，设函数f (x ) ＝1＋
2b n 2n －72x －7
⎛⎫7⎫⎛7
易知f (x ) 在区间 －∞，和 ，＋∞⎪内为减函数．
2⎭⎝2⎝⎭
∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.
例：已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *) ．(1)求a 2，a 3的值．
(2)是否存在实数λ，使得数列a n ＋λ
2n
}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
(1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33. (2)假设存在实数λ，使得数列设b n ＝∴2×
a n ＋λ
2n
}为等差数列．
a n ＋λ
2n ＝
{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.
＋
.
a 2＋λa 1＋λa 3＋λ
22
2
23
13＋λ5＋λ33＋λ
∴＝λ＝－1.
228事实上，b n ＋1－b n ＝
a n ＋1－1a n －1
2n ＋1
－
2n
a n ＋1－2a n ) ＋1]＝[(2n ＋1－1) ＋1]＝1.
n ＋1n ＋122
11
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{
a n ＋λ
2n
}为首项为2、公差为1的等差数列．
例：(2010·广东湛师附中第六次月考) 在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2) ．
(1)证明数列是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；
1
a n
(3)若λa n ＋
1
a n ＋1
λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
1
1
＝3(n ≥2) ．
(1)证明 将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2) 整理得1
a n a n －1
所以数列{}为以1为首项，3为公差的等差数列．
a n
(2)解 由(1)可得＝1＋3(n －1) ＝3n －2，所以a n ＝
a n 3n －2(3)解 若λa n ＋
1
11
a n ＋1
≥λ对n ≥2的整数恒成立，即3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立．
3n －2
λ
(3n ＋1)(3n －2) (3n ＋1)(3n －2)
整理得λc n
3(n －1) 3(n －1)
(3n ＋4)(3n ＋1) (3n ＋1)(3n －2) (3n ＋1)(3n －4)
c n ＋1－c n ＝.
3n 3(n －1) 3n (n －1)
28
因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝328
所以λ的取值范围为(－∞，]．
3推广：证等比数列
例：设数列{an }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n ﹣（2t+3）S n ﹣1=3t（t ＞0，n=2，3，4，…）求证：数列{an }是等比数列；
由可求得=（n=3，4，…），又a 1=1，a 2=，
可证数列{an }是首项为1，公比为的等比数列；
2、a n+1−a n ＝a n －a n −1[通过三项的运算关系证明等差数列] 注：在等比数列中，则演变为a n 2＝a n+1a n −1 例1. 设数列a 1, a 2, , a n , 中的每一项都不为0。
111n
证明：{a n }为++ +=
a 1a 2a 2a 3a n a n +1a 1a n +1
等差数列
1n 111
………① +++ +=
a n ⋅a n +1a 1⋅a n +1a 1⋅a 2a 2⋅a 3a 3⋅a 4
∴
11n +1111
………② +++ ++=
a n ⋅a n +1a n +1⋅a n +2a 1⋅a n +2a 1⋅a 2a 2⋅a 3a 3⋅a 4
1n +1n
=-
a n +1⋅a n +2a 1⋅a n +2a 1⋅a n +1
②﹣①得：
两边同以a n a n +1a 1得：a 1=(n +1) a n +1-na n +2 ………③ 同理：a 1=na n -(n -1) a n +1 ………④ ③—④得：2na n +1=n (a n +a n +2) 即：a n +2-a n +1例2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n
=a n +1-a n {a n }为等差数列
=
n (a 1+a n )
, (n ∈N *) 。证：{a n }为等差数列。 2
证明：n ≥2，a n =S n -S n -1=
n (a 1+a 2) (n -1)(a 1+a n -1)
-
22
同理有a n +1
=
(n +1)(a 1+a n +1) n (a 1+a n ) -
22
(n +1)(a 1+a n +1) (n -1)(a 1+a n -1)
-n (a 1+a n ) +从而a n +1-a n =
22
整理得：a n +1－a n =a n －a n －1，对任意n ≥2成立. 从而{a n }是等差数列.
例3. 已知数列{a n }是等比数列（q ≠-1），S n 是其前n 项的和，则S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k ，…，仍成等比数列。
证明一：（1）当q =1时，结论显然成立；
（2）当q ≠1时， S k =
a 1(1-q k )1-q -
, S 2k =
a 1(1-q 2k )1-q
, S 3k =
a 1(1-q 3k )1-q
S 2k -S k =
a 1(1-q 2k )1-q
a 1(1-q k )1-q
=
a 1q k (1-q k )1-q =
S 3k -S 2k =
a 1(1-q 3k )1-q
-
a 1(1-q 2k )1-q
a 1q 2k (1-q k )1-q
∴(S 2k -S k )=
∴
2
a 12q 2k (1-q k )(1-q ) 2
2
a 1(1-q k )a 1q 2k (1-q k )a 12q 2k (1-q k )
= S k ⋅(S 3k -S 2k ) =⋅2
(1-q ) 1-q 1-q
2
(S 2k -S k )
2
=S k ⋅(S 3k -S 2k ) ∴S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k 成等比数列.
等差数列与等比数列的证明方法
1、a n+1−a n ＝常数， {a n }为等差数列。其本质意义是证数列任意后一项减前一项的差为常数，但不一定是a n+1−a n , 例如证数列{a
2
n
为等差数列，需证a −1
3
1
2
n +1
—a −1
2
n −1
＝常数。
n }满足
例2 已知数列{a n }中，a 1＝，a n ＝2－
5a n －1
1
1
(n ≥2，n ∈N *) ，数列{b b n ＝
(n ∈N *) ．
a n －1
1
1
(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－
1
a n －1
(n ≥2，n ∈N *) ，b n 1
a n －1
1
，∴当n ≥2时，b n －b n －1＝
1
1
a n －1a n －1－1
5
＝－＝1. 又b 1＝. ⎛1⎫a n －1－1a n －1－1a n －1－1a 1－12 2－－1
a n －1
⎝
a n －1⎭
5
∴数列{b n }1为公差的等差数列．
2
7122
(2)解 由(1)知，b n ＝n －，则a n ＝1＋＝1＋，设函数f (x ) ＝1＋
2b n 2n －72x －7
⎛⎫7⎫⎛7
易知f (x ) 在区间 －∞，和 ，＋∞⎪内为减函数．
2⎭⎝2⎝⎭
∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.
例：已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *) ．(1)求a 2，a 3的值．
(2)是否存在实数λ，使得数列a n ＋λ
2n
}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
(1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33. (2)假设存在实数λ，使得数列设b n ＝∴2×
a n ＋λ
2n
}为等差数列．
a n ＋λ
2n ＝
{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.
＋
.
a 2＋λa 1＋λa 3＋λ
22
2
23
13＋λ5＋λ33＋λ
∴＝λ＝－1.
228事实上，b n ＋1－b n ＝
a n ＋1－1a n －1
2n ＋1
－
2n
a n ＋1－2a n ) ＋1]＝[(2n ＋1－1) ＋1]＝1.
n ＋1n ＋122
11
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{
a n ＋λ
2n
}为首项为2、公差为1的等差数列．
例：(2010·广东湛师附中第六次月考) 在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2) ．
(1)证明数列是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；
1
a n
(3)若λa n ＋
1
a n ＋1
λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
1
1
＝3(n ≥2) ．
(1)证明 将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2) 整理得1
a n a n －1
所以数列{}为以1为首项，3为公差的等差数列．
a n
(2)解 由(1)可得＝1＋3(n －1) ＝3n －2，所以a n ＝
a n 3n －2(3)解 若λa n ＋
1
11
a n ＋1
≥λ对n ≥2的整数恒成立，即3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立．
3n －2
λ
(3n ＋1)(3n －2) (3n ＋1)(3n －2)
整理得λc n
3(n －1) 3(n －1)
(3n ＋4)(3n ＋1) (3n ＋1)(3n －2) (3n ＋1)(3n －4)
c n ＋1－c n ＝.
3n 3(n －1) 3n (n －1)
28
因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝328
所以λ的取值范围为(－∞，]．
3推广：证等比数列
例：设数列{an }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n ﹣（2t+3）S n ﹣1=3t（t ＞0，n=2，3，4，…）求证：数列{an }是等比数列；
由可求得=（n=3，4，…），又a 1=1，a 2=，
可证数列{an }是首项为1，公比为的等比数列；
2、a n+1−a n ＝a n －a n −1[通过三项的运算关系证明等差数列] 注：在等比数列中，则演变为a n 2＝a n+1a n −1 例1. 设数列a 1, a 2, , a n , 中的每一项都不为0。
111n
证明：{a n }为++ +=
a 1a 2a 2a 3a n a n +1a 1a n +1
等差数列
1n 111
………① +++ +=
a n ⋅a n +1a 1⋅a n +1a 1⋅a 2a 2⋅a 3a 3⋅a 4
∴
11n +1111
………② +++ ++=
a n ⋅a n +1a n +1⋅a n +2a 1⋅a n +2a 1⋅a 2a 2⋅a 3a 3⋅a 4
1n +1n
=-
a n +1⋅a n +2a 1⋅a n +2a 1⋅a n +1
②﹣①得：
两边同以a n a n +1a 1得：a 1=(n +1) a n +1-na n +2 ………③ 同理：a 1=na n -(n -1) a n +1 ………④ ③—④得：2na n +1=n (a n +a n +2) 即：a n +2-a n +1例2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n
=a n +1-a n {a n }为等差数列
=
n (a 1+a n )
, (n ∈N *) 。证：{a n }为等差数列。 2
证明：n ≥2，a n =S n -S n -1=
n (a 1+a 2) (n -1)(a 1+a n -1)
-
22
同理有a n +1
=
(n +1)(a 1+a n +1) n (a 1+a n ) -
22
(n +1)(a 1+a n +1) (n -1)(a 1+a n -1)
-n (a 1+a n ) +从而a n +1-a n =
22
整理得：a n +1－a n =a n －a n －1，对任意n ≥2成立. 从而{a n }是等差数列.
例3. 已知数列{a n }是等比数列（q ≠-1），S n 是其前n 项的和，则S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k ，…，仍成等比数列。
证明一：（1）当q =1时，结论显然成立；
（2）当q ≠1时， S k =
a 1(1-q k )1-q -
, S 2k =
a 1(1-q 2k )1-q
, S 3k =
a 1(1-q 3k )1-q
S 2k -S k =
a 1(1-q 2k )1-q
a 1(1-q k )1-q
=
a 1q k (1-q k )1-q =
S 3k -S 2k =
a 1(1-q 3k )1-q
-
a 1(1-q 2k )1-q
a 1q 2k (1-q k )1-q
∴(S 2k -S k )=
∴
2
a 12q 2k (1-q k )(1-q ) 2
2
a 1(1-q k )a 1q 2k (1-q k )a 12q 2k (1-q k )
= S k ⋅(S 3k -S 2k ) =⋅2
(1-q ) 1-q 1-q
2
(S 2k -S k )
2
=S k ⋅(S 3k -S 2k ) ∴S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k 成等比数列.