利用均值不等式求最值

利用均值不等式求最值的方法

李海港张传法均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。

一、配凑

1. 凑系数

例1. 当解析：由时，求知，的最大值。，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为为定定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到

值，故只需将凑上一个系数即可。

当且仅当

所以当x＝2时，，即x＝2时取等号。的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项

例2. 已知，求函数的最大值。

解析：由题意知

需对，首先要调整符号，又不是定值，故进行凑项才能得到定值。

∵ ∴

当且仅当，即时等号成立。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

3. 分离

例3. 求的值域。

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当，即时

（当且仅当x＝1时取“＝”号）。当，即时

（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。 ∴的值域为。

评注：分式函数求最值，通常化成

正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换，g(x)恒

例4. 已知，求的最小值。

解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。

当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。

解法2：将分子中的1用代换。

评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得

三、换元的最小值。

例5. 求函数的最大值。解析：变量代换，令当t＝0时，y＝0 ，则

当时，当且仅当，即时取等号。故。

评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。

四、取平方

例6. 求函数的最大值。解析：注意到的和为定值。

又，所以当且仅当，即时取等号。故。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

［练一练］

1. 若，求的最大值。

2. 求函数的最小值。

3. 求函数的最小值。

4. 已知，且，求的最小值。

参考答案：1. 2. 5 3. 8 4.