大学物理04第四章

第四章气体动理论

一、基本要求

1．理解平衡态的概念。

2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。

3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。

4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。

5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。

6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。

二、基本内容

1. 平衡态

在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。 2. 理想气体状态方程

在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式

pV =vRT

或 p =n k T

式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量 R =8.31J ⋅mol -1⋅K -1，k 为玻尔兹曼常量 k =1.38⨯10-23J ⋅K -1

3. 理想气体压强的微观公式

p =

13nm v =

n t

4. 温度及其微观统计意义

温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上

t =

5. 能量均分定理

在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于kT

i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为

。以

t =

i 2

6. 速率分布函数

f (v ) =

dN N d v

麦克斯韦速率分布函数

f (v ) =4π(

m 2πkT

) 2v e

2-m v /2kT

7. 三种速率

最概然速率

v p =

≈

平均速率

≈方均根速率

8. 玻尔兹曼分布律

≈平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于e -ε/kT 。重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：

n =n 0e

-mgh /kT

9. 范德瓦尔斯方程

采用相互作用的刚性球分子模型，对于1m o l 气体

(p +

a V m

)(V m -b ) =RT

10. 气体分子的平均自由程

λ=

11. 输运过程内摩擦

df =-η(

du dz ) z 0dS

， η=

m n λ=

ρλ

热传导

dQ =-κ(

dT dz ) z 0dSdt

κ=

λc v

扩散

dM =-D (

d ρdz ) z 0dSdt

D =

三、习题选解

4-1 一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。它是否是一个平衡态？为什么？

答：这不是一个热力学平衡态。

平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。所谓的没有外界影响，指外界对系统既不做功又不传热。

两端分别与冰水混和物和沸水接触的铜棒，在和沸水接触的一端，铜棒不断吸收热量，而在和冰水混合物接触的一端，铜棒不断的释放热量。铜棒和外界以传热的方式进行能量交换，因而它不是一个热力学平衡态。

4-2 在一个容积为10dm 3的容器中贮有氢气，当温度为7 C 时，压强为

50atm

。由于容器漏气，当温度升为17 C ，压强仍为50atm ，求漏掉氢气的质量。

解：设7 C 时的参量为P 1, n 1, T 1；17 C 时的参量为P 2, n 2, T 2 因P 1=P 2，由理想气体的状态方程P =nkT 得

n 1kT 1=n 2kT 2

代入T 1=280K , T 2=290K 得

n 1n 2

=T 2T 1

=1. 036

再由P 1=n 1kT 1，得 n 1=

P 1

50⨯1. 013⨯10

-23

kT 11. 38⨯10

⨯280

=1. 311⨯10

-3

同理可得 n 2=1. 265⨯1027m -3

将氢分子质量m H 与n 相乘，可得不同温度下容器内氢气的密度

ρ1=n 1m H =1. 311⨯10

⨯2⨯1. 66⨯10⨯2⨯1. 66⨯10

-27

≈4. 353kg ⋅m ≈4. 200kg ⋅m

-3

ρ2=n 2m H =1. 265⨯10

27-27-3

漏掉氢气的质量

∆m =(ρ1-ρ2)V =0.153⨯1⨯10

-2

=1.53⨯10kg

-3

4-3 如图所示，两个相同的容器装着氢气，以一光滑水平玻璃管相连，管中用一滴水银做活塞，当左边容器的温度为0 C ，而右边容器的温度为20C 时，水银滴刚好在管中央

维持平衡。试问：题4-3图（1）当右边容器的温度由0 C 升到10 C 时，水银是否会移动？怎样移动？（2）如果左边温度升到10 C ，而右边升到30 C ，水银滴是否会移动？（3）如果要使水银滴在温度变化时不移动，则左右两边容器的温度变化应遵从什么规律？

解：（1）可假设水银柱不移动，这样左边容器从0 C 升到10 C 时，压强会增大，所以水银将向右侧移动。

（2）同样假设水银滴不移动，左右两侧体积不变。以p 0表示左右两侧未升温前的压强，p 1表示升温后左侧压强，p 2表示升温后右侧压强，则

p 1=

273+10273

p 0

p 2=

273+30273+20

p 0

可以看出 p 1>p 2

水银滴左侧的压强大于右侧的压强，水银滴将向右侧移动。

（3）依条件

p 1T 左

p 0273

p 2T 右

p 0273+20

p 0293

由p 1=p 2

T 左T 右

273293

4-4 对一定量的气体来说，当温度不变时，气体压强随体积的减小而增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观来看它们有何区别？

解：从分子运动论的观点来看，气体作用在器壁上的压强决定于单位体积内的分子数和每个分子的平均平动动能的乘积，或者说，是大量气体分子与器壁频繁进行动量交换的结果。用公式表示就是

p =

23n (12m v )

当温度不变时，每个分子的平均平动动能没有发生改变，但体积的减少会使单位体积内的分子数增加，即分子数密度n 增大。或者说，气体分子与器壁进行的动量交换更加频繁，这样就使容器气体压强增大。当体积不变时，随着温度的升高，每个分子的平均平动动能增加，即气体分子每次碰撞时与器壁交换的动量数值增加。所以也会使气体压强增大。从微观上看，它们的图像是不一样的。

4-5 每秒钟有1.0⨯1023个氢分子（质量为3.3⨯10-27kg ）以1.0⨯103m ⋅s -1的速度沿着与器壁法线成45 角的方向撞在面积为2.0⨯10-4m 2的器壁上，求氢分子作用在器壁上的压强。

解：如图所示与器壁碰撞后，每一个分子的动量改变为 2m v c o s 4 5

每秒总的动量改变为 2nm v c o s 4 5

压强p =

2nm v

cos 45

题4-5图

2⨯1.0⨯10=

⨯3.3⨯10

-27

⨯1.0⨯10⨯

2.0⨯10

=2.3⨯10Pa

-4

4-6 道耳顿(Dalton’s Law)定律指出，当不起化学作用的气体在一容器中混合时，在给定温度下每一成分气体所作用的压强和该气体单独充满整个容器时的压强相同；并且总压强等于各成分气体的分压强之和。试根据气体动理论并利用式（4.5）导出道耳顿定律。

解：气体动理论给出的压强公式为

p =

13nm v =

n (

m v ) =

设几种气体混合贮在同一容器中，单位体积内所含各种气体的分子数分别为

n 1, n 2, ，则单位体积内混合气体的总分子数为

n =n 1+n 2+

又混合气体的温度相同，根据能量均分定理，不同成份的气体分子平均动能相等，即 1=2= ==混合气体的压强为 p =

(1+2+ ) 23n 11+

32kT

n 2+ 2

=p 1+p 2+ 其中 p 1=

23n 1=23

23n 1

kT =n 1kT n 2

p 2=n 2=kT =n 2kT

p 1, p 2,

即每一成分气体单独充满整个容器时的压强，并且总压强等于各成

分气体的压强之和，这就是道耳顿分压定律。

4-7 （1）具有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对其进行加热，使它的温度27 C 升到177 C ，体积减小一半，求气体压强变化多少？（2）此时气体分子的平均平动动能变化多少？分子的方均根速率变化多少？

解：（1）由理想气体状态方程

p 2V 2T 2

=p 1V 1T 1

V 2=

V 1 T 1=273+

2=7

3K 0 0

T 2=273+177=450K

=3p 1

有 p 2=p 1⋅

V 1V 2

⋅

T 2T 1

=p 1⋅2⨯

450300

（2）由题意 1=

2=1

T 2T 1

kT 1 2=

450300

kT 2

=1⨯

=1. 51

温度为T 1时，方均根速率为

温度为T 2时，方均根速率为

所以

=1.22

4-8 （1）试计算在什么温度时氢分子的方均根速率等于从地球表面逃逸的速率。对氧分子作同样的计算。

（2）试问在月球表面上，计算结果是否相同，假设月球表面的重力加速度为0.16g 。

（3）在地球的上层大气中，温度约为1000K 左右。你认为该处是否有很多氢气？有很多氧气？

解：（1）第二宇宙速率v

2=11.2km ⋅s -1=11.2⨯103m ⋅s -1。分子的方均根速率

M H =2⨯10-3kg 。

=v 2。

T H 2=

M H 23R

v =

2⨯10

-3

3⨯8.31

⨯(11.2⨯10) =1.0⨯10K

k g 氧分子摩尔质量为 M O =32⨯1-0 有

T O 2=

M O 23R

v =

32⨯10

-3

3⨯8.31

⨯(11.2⨯10) =1.6⨯10K

（2）月球表面逃逸速率

v =3

-1

⋅s

-1

=2.38⨯10m ⋅s

有 T H =

2⨯10

-3

3⨯8.31

⨯(2.38⨯10) =4.5⨯10K

T O 2=

32⨯10

-3

3⨯8.31

⨯(2.38⨯10) =7.2⨯10K

（3）地球大气层中，不会有很多氢气，会有较多氧气。 4-9 水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H 2O →H 2+动自由度时，求此过程中内能增加的百分比。

解：设初始水蒸气的分子总数为N 0。由

H 2O →H 2+

12O 2

O 2，当不计振

分解后将有N 0个H 2分子和

N 02

个O 2分子。

刚性双原子分子可用三个平动自由度(t =3) ，和两个转动自由度(r =2) 完整的描述其运动，刚性三原子分子则需要用三个平动自由度(t =3) 和三个转动自由度(r =3) 描述其运动。由能量均分原理知一个分子的平均能量为

ε=

(t +r ) kT

温度为T 时水蒸气的总能量为

E 0=N 0

(3+3) kT =3N 0kT

若分解为氢气和氧气后，气体温度值为T ，这时气体总能量为氢分子能量和氧分子能量之和，用E '表示有

E '=N 0

(3+2) kT +

N 0122

(3+2) kT =

154N 0kT

能量增加的百分比为

E '-E 0

E 0

=N 0kT -3N 0kT 3N 0kT

=14

=25%

4-10 一个能量为1012eV 的宇宙射线粒子，射入氖管中，氖管中0.01m ol ，如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变成热运动能量，氖气温度能升高几度？

解：0.01m ol 氖气共有0. 01N A 个原子，其中N A 为阿伏加德罗常数。氖为惰性气体，氖气分子以单原子形式存在，若气体温度为T ，每一个氖分子的平均能量为kT 。相应的总能量为0. 01N A

32kT

，若射线能量被每个氖分子平均吸收。

32k ∆T

-19

-23

∆E =0.01N A ⨯

-6

∆T =

∆E 0.01N A

32k

10⨯1.6⨯10

0.01⨯6.02⨯10

⨯1.5⨯1.38⨯10

=1.28⨯10K

4-11 一容器被中间隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K ，另一半装有氧气，温度为310K ，两者压强相等，求去掉隔板两种气体混合后的温度。

解：隔板未去掉前，容器两侧压强和体积相等设为p 和V ，再设氦分子摩尔数为v 1，氧气分子摩尔数为v 2，由理想气体方程有

pV =v 1RT 1，

T p V 2=v 2R 2

pV RT 2

v 1=

pV R T 1

， v 2=

氦气为单原子分子，氧气为双原子分子，由能量均分定理，每一个分子的平均能量为

(t +r +2s ) kT

其中t 为平动自由度，r 为转动自由度，s 为振动自由度。对于氦气，有(t =3, r =0, s =0)

H e =

32kT

对于双原子分子，t =3, r =2，在常温下，不足以激发原子的振动，可作为刚性双原子考虑，这时s =0，因而有

O =

初始状态的总能量为

E =v 1N A

kT 1+v 2N A

52kT 2

其中N A 为阿伏加德罗常数。

若去掉隔板后两种气体混合温度为T ，其总能量为

E '=v 1N A

kT +v 2N A

52kT

去掉隔板的过程不会对系统有任何外界的影响，能量守恒有E =E '

v 1N A

kT 1+v 2N A

kT 2=v 1N A

kT +v 2N A

52kT

将v 1和v 2代入有

pV RT 1

N A

32kT 1+

pV RT 2

N A

52kT 2=

pV RT 1

N A

32kT +

pV RT 2

N A

52kT

化简后得

3T T 1

T T 2

T =

8T 1T 23T 2+5T 1

8⨯310⨯2503⨯310+5⨯250

=284K

4-12 已知f (v ) 是速率分布函数，说明以下各式的物理意义：

（1）f (v ) d v ；（2）nf (v ) d v ，其中n 是分子数密度；（3）⎰v f (v ) d v ；（4）

v 1v 2

⎰

v p 0

（5）⎰v f (v ) d v 。 f (v ) d v ，其中v p 为最概然速率；

2v p

∞

答：（1）f (v ) d v =（2）nf (v ) d v =

v 2

dN N

，是速率在v 到v +d v 之间的分子数与总分子数的比。

dN V

，是单位体积内，速率在v 到v +d v 之间的分子数。

（3）⎰v f (v ) d v =

v 1

⎰

v 2v 1

v dN N

，是速率介于v 1到v 2之间分子的平均速率。

（4）⎰

v p 0

f (v ) d v =

⎰

v p 0

，是分子速率在0到v p 之间的分子数与总分子数

的比值，即速率小于最概然速率的分子与总分子数的比例。

（5）⎰v 2f (v ) d v =

v p

∞

⎰

∞v p

v dN N

，是速率大于v p 的分子速率平方的平均值（方

均值）。

4-13 导体中自由电子的运动可以看作类似于气体分子的运动（故称电子气）。设导体中共有N 个自由电子，电子运动的最大速率为v p ，其速率分布函数为

⎧4πA 2

⎪N v ⎪

f (v ) =⎨

⎪0⎪⎩

(0≤v ≤v F )

(v ≥v F )

（1）求常量A ；

（2）证明电子的平均动能=

εF =

312

(m v F ) 。 52

⎧4πA 2⎪N v ⎪

解：速率分布函数f (v ) =⎨

⎪0⎪⎩

(0≤v ≤v F )

(v ≥v F )

（1）由速率分布函数的物理意义有

⎰

∞0

f (v )d v =

⎰

v F 0

4πA N

v d v =

4πA 3N

v F =1

求得 A =

v F 0

3N 4πv

4πv N

（2）平均动能=

⎰

∞0

v f (v )d v =

⎰

v F 0

m v ⋅

⋅

3N 4πv F

d v

⎰

v F

d v =

3⎛12⎫

m v F ⎪ 5⎝2⎭

⎧a v

⎪v 0⎪⎪

4-14 有N 个粒子，其速率分布函数为 f (v ) =⎨a

⎪0⎪⎪⎩

(0≤v ≤v 0) (v 0≤v ≤2v 0) (v >2v 0)

（1）做速率分布曲线并求常量a ；

（2）分别求速率大于v 0和小于v 0的粒子数；（3）求粒子的平均速率。

解：（1）速率分布曲线如图所示。由归一化条件

⎰

∞0

f (v ) d v =1

v +

⎰

有

v 00

a v v 0

⎰

2v 0v 0

ad v =1

a v 0+a v 0=1

a =

23v

题4-14图

（2）若总分子数为N ，则速率大于v 0的分子数为

N 1=

⎰

∞v 0

N f (v ) d v =

⎰

2v 0v 0

23v 0

v =

速率小于v 0的分子数为

N 2=

⎰

v 00

N f (v ) d v =

⎰

v 00

a v v 0

213v 02

v 0=

（3）平均速率为

⎰

∞0

v f (v ) d v =

⎰

v 00

3v 0

v +2

⎰

2v 0v 0

2v 3v 0

v 00

9v 0

2v 0v 0

3v 0

119

v 0+

13v 0

(4v 0-v 0) =

v 0

4-15 设氢气的温度为300K ，求速率为3000m ⋅s -1到3010m ⋅s -1之间的分子数n 1与速率在1500m ⋅s -1到1510m ⋅s -1之间的分子数n 2之比。

解：麦克斯韦速率分布率是

dN =4πN (

m 2πkT

m 2kT m 2πkT

) 2v e

-m v

2kT

d v

∆N 1∆N 2

4πN (=4πN (

) 2v e

-m v 1

∆v 1∆v 2

) 2v 2e

-m v 2

2kT

=exp

m 2kT

(v -v ) ⋅

v 1v

⋅

∆v 1∆v 2

由题意 ∆v 1=∆v 2=10m ⋅s -1，v 1=3000m ⋅s -1，v 2=1500m ⋅s -1 氢气分子质量为m =2⨯1.67⨯10-27kg =3.34⨯10-27kg 代入数据有

∆N 1∆N 2

=(exp

3. 34⨯10

-27

⨯(1500

-23

-3000

)

2⨯1. 38⨯10⨯300

) ⨯(

30001500

) =0. 27

4-16 （1）混合气体处于平衡态时，各种气体的麦克斯韦速率分布与其它气体是否存在无关。请说明这一点；

（2）证明：由N 个粒子组成的一团气体，不管其速率具体分布如何，它的方均

。

答：（1）热平衡时各种气体的温度都相同，每种气体的温度都等于混合气体的温度，而各种气体混合后其分子质量不变，气体的麦克斯韦速率分布只与气体的温度和分子质量有关，而与气体的体积和压强无关，所以各种气体单独存在时的速率分布与混合时的速率分布相同。

（2）设N 个粒子组成气体的速率分布函数为F (v ) ，即处于区间v ~v +d v 区间内粒子数∆N 与粒子总数N 之比为由归一化条件有

∆N N

=F (v ) d v

⎰

∞0

F (v ) d v =1

v ==

⎰

∞0∞

v F (v ) d v

⎰

v F (v ) d v

利用定积分的性质

⎡b f (x ) g (x ) dx ⎤≤⎢⎥⎣⎰a ⎦

⎰a [f (x ) ]

dx ⋅⎰[g (x ) ]dx

令

f (v ) =

∞

⎡则有

⎰⎢⎣0

g (v ) =)

∞0

v ⎤≤

⎥⎦

⎡∞v F (v ) d v ⎤≤

⎢⎥⎣⎰0⎦

⎰⎰

d v ⋅⎰(d v

∞

∞0

F (v ) d v ⋅⎰v F (v ) d v

即 (v ) 2≤v 2

≤

即方均根速率不会小于平均速率。

4-17 设地球大气是等温的，温度为t =5 C ，海平面上的气压为

p 0=750mmHg

，今测得某山顶的气压p =590mmHg ，求山高。已知空气的平均

相对分子量为28.97。

解：分子数密度随重力势能的分布为

-m gz

n (z ) =n 0e

其中n 0为海平面上的分子数密度。压强 p =nkT =n 0kTe

z =

kT mg

-m gz

=p 0e

p 0p

8.31⨯27828.97⨯10

-3

⨯9.8

750590

m =1.95⨯10m

4-18 令ε=

m v

表示气体分子的平动能。试根据麦克斯韦速率分布律证

明：平动能在区间ε~ε+d ε内分子数占总分子数的比率为

f (ε) d ε=

2(kT )

-32

-12

-εd ε

根据上式求分子平动能ε的最概然值及平均平动能。

解：麦克斯韦速率分布率是

f (v ) d v =4π(

m 2πkT

) 2v e

-m v

2kT

d v

令ε=

m v

则

v =

d v =

d ε=

2εm

-ε

代入麦克斯韦速率分布公式f (ε) d ε=4π(

m 2πkT

)

⋅

12m ε

d ε

(kT )

-ε

d ε

ε最概然值可由f '(ε) =0求出，也可由(lnf (ε) ) '=0求出。

(lnf (ε) ) '=

-1=0

2εkT 1

=kT 2

-32

平均动能

⎰

∞0

εf (ε) d ε=

⎰

∞0

kT ) -ε

d ε=

4-19 日冕的温度为2⨯106K ，求其中电子的方均根速率。宇宙空间温度为

2.7K

，其中气体主要是氢原子，求那里的氢原子的方均根速率。1994年曾用激

光冷却的方法使一群N a 原子达到2.4⨯10-11K 的低温。求这些N a 原子的方均根速率。

解：（1）日冕的温度为2⨯106K ，其中电子的方均根速率为

≈≈9.53⨯10m ⋅s

6-1

（2）宇宙空间的温度为2. 7K ，其中氢原子的方均根速率为

≈≈2.59⨯10m ⋅s

2-1

（3）在2. 4⨯10-11K 的温度下，N a 原子的方均根速率为

≈≈1.61⨯10

-4

m ⋅s

-1

4-20

-6

N 2

66-

的范德瓦尔斯常量a =1. ⨯3-9m 1⋅0a ⋅t m ，m o l

b =39⨯10m ⋅mol

-1

；写出20m ol 氮气的范德瓦尔斯方程。若将20m ol 的氮气不

断压缩，它将接近多大的体积？假设此时氮分子是紧密排列的，试估算氮分子的线度大小。此时由于气体分子间的引力所产生的内压强大约是多少大气压？

解：1m o l 范德瓦耳斯方程是

(p +

a V

)(V m -b ) =RT

V n

其中V m 是气体摩尔体积。若nm ol 的气体体积为V , 有V m =德瓦耳斯方程为

(p +

n a V

，n 摩尔气体的范

)(

V n

-b ) =RT 或 (p +

n a V

)(V -nb ) =n R T

(p +

1. 39⨯10

-6

⨯20

)(V -20⨯39⨯10

-6

) =20RT

(p +

5. 56⨯10

-4

)(V -7. 8⨯10

-4

) =20RT

当p →∞ , V →nb =20⨯39⨯10-6=7.8⨯10-4m 3

当分子密排时，b 约为1摩尔气体内所有分子体积总和的4倍，设分子直径为d ，有 b =4N A ⋅π() 3

其中N A 为阿伏加德罗常数

d =(

3b 2πN A

)

=3.1⨯10

-10

此时内压强

p in =

n a V

n a (nb )

a b

1.39⨯10

-62

(39⨯10)

-6

=914atm

4-21 试证：当每摩尔气体的体积增大时，范德瓦耳斯方程就趋近于理想气体状态方程。

解：由范氏气体压强公式有

p =

RT V m -b

a V

RT V m

1b V m

a V

n R T V

1b V m

a V

V m →∞

lim p =lim (

V m →∞

nRT V

11-

b V m

-lim

a V

V m →∞

)

nRT V

V m →∞

l i 1b V m

a nRT

l =2

V m →∞V V m

当V m 趋于无穷大时 p =

nRT V

，即

pV =nRT

即当气体摩尔体积增大时，范德瓦耳斯方程趋近于理想气体方程。

4-22 氮分子的有效直径为3.8⨯10-10m ，求它在标准状态下的平均自由程和连续两次碰撞间的平均时间间隔。

解：分子平均自由程

λ=

标准状态是指压强为p 一个大气压，温度为0 C 的状态

λ=

1.38⨯10

-23

⨯273

m =5.8⨯10

-8

氮分子的分子量为28，在标准状态下平均速率为

⋅s -1

=454m ⋅s

-1

两次碰撞的平均时间间隔为

∆T =

λ=

5.8⨯10454

-8

=1.28⨯10

-10

4-23 在标准状态下C O 2分子的平均自由程λ=6.29⨯10-8m 。求C O 2分子的平均碰撞频率以及C O 2分子的有效直径。

解：C O 2的分子量为44, 标准状态时T =273K ，C O 2分子的平均速率为

⋅s

-1

=362m ⋅s

-1

分子的平均碰撞频率为

3626.29⨯10

-8

s =5.76⨯10次⋅s

9-1

再由

λ=

d =1

m =3.7⨯10

-10

4-24 一氢分子（直径为1.0⨯10-10m ）以方均根速率从炉中(T =4000K )逸出而进入冷的氩气室，室内氩气密度为每立方米4. 0⨯1025原子（氩原子直径

3.0⨯10

-10

，试问 m ）

（1）氢分子的速率为多大？

（2）把氩原子和氢分子都看成球体，则在相互碰撞使他们中心靠的最近的距离

为多少？

（3）最初阶段，氢分子每秒内受到的碰撞次数为多少？

解：（1）氢分子的摩尔质量为2⨯10-3kg ⋅m ol -1在T =4000K 时方均根速率为

=7.06⨯10m ⋅s

3-1

（2）氢分子和氩原子的中心最短距离为

d H +d A

=1.0⨯10

-10

+3.0⨯102

-10

=2.0⨯10

-10

（3）相互碰撞时中心距离为

d H +d A

，所以氢分子和氩原子的平均碰撞频

率为

=π(

d H +d A

) 2

n A =5.0⨯1010s -1

4-25 在标准状态下，氦气（H e ）的内摩擦系数η=1.89⨯10-5Pa ⋅s ，求（1）在此状态下氦原子的平均自由程；（2）氦原子的半径。

解：（1）在标准状态下氦气的内摩擦系数η=1.89⨯10-5Pa ⋅s ，氦气摩尔质量为M m ol =4.00⨯10-3kg ⋅m ol -1，氦分子平均速率为

⋅s

-1

=1.20⨯103m ⋅s -1 标准状态下，氦气密度为 ρ=

4.00⨯1022.4⨯10

-3-3

kg ⋅m

-3

=0.179kg ⋅m

-3

由公式 η=得平均自由程 λ=

3η

m =2. 6⨯43

1⨯. 2010

-5

3⨯1. 8⨯90. 17⨯9

ρ10m

-7

（2）由

λ=得氦原子的直径为

d =

=1.78⨯10-10

氦原子有效半径为

d 2

=0.89⨯10

-10

4-26 由实验测定，在标准状态下，氧的扩散系数为1.9⨯10-5m 2⋅s -1，计算氧分子的平均自由程和分子有效直径。

解：在标准状态下，氧分子的扩散系数D =1.9⨯10-5m 2⋅s -1，摩尔质量为

M m ol =32⨯10

-3

kg ⋅m ol

-1

。氧分子的平均速率为

13λ

⋅s -1

=425m ⋅s

-1

由扩散系数公式 D =得平均自由程

λ=

3D =

3⨯1.9⨯10

425

-5

m =1.34⨯10m

-7

又因为

λ=分子有效直径为

d =

=2.50⨯10-10

4-27 热水瓶胆的内壁间距l =0.4cm ，其间充满t =27 C 的N 2气，N 2分子的有效直径d =3.7⨯10-10m ，问两壁间的压强降低到多大以下时，N 2的导热系数才会比它在常压下的数值小？

解：因为N 2的导热系数和分子的平均自由程成正比，当分子平均自由程气体热传导系数将随压强的降低而减小。设在27 C 且λ=l 时对应的压λ≤l 时，

强为p ，当瓶胆间压强降至p 以下时，氮的热传导系数就比它在大气压下的数值小了。

因为

λ=

-23

p ==

1.38⨯10⨯300

-10

1.41⨯3.14⨯(3.7⨯10) ⨯4⨯10

2-3

=1.70Pa

即压强应小于1.70P a 。

第四章气体动理论

一、基本要求

1．理解平衡态的概念。

2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。

3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。

5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。

6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。

二、基本内容

1. 平衡态

在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。 2. 理想气体状态方程

在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式

pV =vRT

或 p =n k T

式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量 R =8.31J ⋅mol -1⋅K -1，k 为玻尔兹曼常量 k =1.38⨯10-23J ⋅K -1

3. 理想气体压强的微观公式

p =

13nm v =

n t

4. 温度及其微观统计意义

温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上

t =

5. 能量均分定理

在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于kT

i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为

。以

t =

i 2

6. 速率分布函数

f (v ) =

dN N d v

麦克斯韦速率分布函数

f (v ) =4π(

m 2πkT

) 2v e

2-m v /2kT

7. 三种速率

最概然速率

v p =

≈

平均速率

≈方均根速率

8. 玻尔兹曼分布律

≈平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于e -ε/kT 。重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：

n =n 0e

-mgh /kT

9. 范德瓦尔斯方程

采用相互作用的刚性球分子模型，对于1m o l 气体

(p +

a V m

)(V m -b ) =RT

10. 气体分子的平均自由程

λ=

11. 输运过程内摩擦

df =-η(

du dz ) z 0dS

， η=

m n λ=

ρλ

热传导

dQ =-κ(

dT dz ) z 0dSdt

κ=

λc v

扩散

dM =-D (

d ρdz ) z 0dSdt

D =

三、习题选解

答：这不是一个热力学平衡态。

平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。所谓的没有外界影响，指外界对系统既不做功又不传热。

4-2 在一个容积为10dm 3的容器中贮有氢气，当温度为7 C 时，压强为

50atm

。由于容器漏气，当温度升为17 C ，压强仍为50atm ，求漏掉氢气的质量。

解：设7 C 时的参量为P 1, n 1, T 1；17 C 时的参量为P 2, n 2, T 2 因P 1=P 2，由理想气体的状态方程P =nkT 得

n 1kT 1=n 2kT 2

代入T 1=280K , T 2=290K 得

n 1n 2

=T 2T 1

=1. 036

再由P 1=n 1kT 1，得 n 1=

P 1

50⨯1. 013⨯10

-23

kT 11. 38⨯10

⨯280

=1. 311⨯10

-3

同理可得 n 2=1. 265⨯1027m -3

将氢分子质量m H 与n 相乘，可得不同温度下容器内氢气的密度

ρ1=n 1m H =1. 311⨯10

⨯2⨯1. 66⨯10⨯2⨯1. 66⨯10

-27

≈4. 353kg ⋅m ≈4. 200kg ⋅m

-3

ρ2=n 2m H =1. 265⨯10

27-27-3

漏掉氢气的质量

∆m =(ρ1-ρ2)V =0.153⨯1⨯10

-2

=1.53⨯10kg

-3

解：（1）可假设水银柱不移动，这样左边容器从0 C 升到10 C 时，压强会增大，所以水银将向右侧移动。

（2）同样假设水银滴不移动，左右两侧体积不变。以p 0表示左右两侧未升温前的压强，p 1表示升温后左侧压强，p 2表示升温后右侧压强，则

p 1=

273+10273

p 0

p 2=

273+30273+20

p 0

可以看出 p 1>p 2

水银滴左侧的压强大于右侧的压强，水银滴将向右侧移动。

（3）依条件

p 1T 左

p 0273

p 2T 右

p 0273+20

p 0293

由p 1=p 2

T 左T 右

273293

p =

23n (12m v )

解：如图所示与器壁碰撞后，每一个分子的动量改变为 2m v c o s 4 5

每秒总的动量改变为 2nm v c o s 4 5

压强p =

2nm v

cos 45

题4-5图

2⨯1.0⨯10=

⨯3.3⨯10

-27

⨯1.0⨯10⨯

2.0⨯10

=2.3⨯10Pa

-4

解：气体动理论给出的压强公式为

p =

13nm v =

n (

m v ) =

设几种气体混合贮在同一容器中，单位体积内所含各种气体的分子数分别为

n 1, n 2, ，则单位体积内混合气体的总分子数为

n =n 1+n 2+

又混合气体的温度相同，根据能量均分定理，不同成份的气体分子平均动能相等，即 1=2= ==混合气体的压强为 p =

(1+2+ ) 23n 11+

32kT

n 2+ 2

=p 1+p 2+ 其中 p 1=

23n 1=23

23n 1

kT =n 1kT n 2

p 2=n 2=kT =n 2kT

p 1, p 2,

即每一成分气体单独充满整个容器时的压强，并且总压强等于各成

分气体的压强之和，这就是道耳顿分压定律。

解：（1）由理想气体状态方程

p 2V 2T 2

=p 1V 1T 1

V 2=

V 1 T 1=273+

2=7

3K 0 0

T 2=273+177=450K

=3p 1

有 p 2=p 1⋅

V 1V 2

⋅

T 2T 1

=p 1⋅2⨯

450300

（2）由题意 1=

2=1

T 2T 1

kT 1 2=

450300

kT 2

=1⨯

=1. 51

温度为T 1时，方均根速率为

温度为T 2时，方均根速率为

所以

=1.22

4-8 （1）试计算在什么温度时氢分子的方均根速率等于从地球表面逃逸的速率。对氧分子作同样的计算。

（2）试问在月球表面上，计算结果是否相同，假设月球表面的重力加速度为0.16g 。

（3）在地球的上层大气中，温度约为1000K 左右。你认为该处是否有很多氢气？有很多氧气？

解：（1）第二宇宙速率v

2=11.2km ⋅s -1=11.2⨯103m ⋅s -1。分子的方均根速率

M H =2⨯10-3kg 。

=v 2。

T H 2=

M H 23R

v =

2⨯10

-3

3⨯8.31

⨯(11.2⨯10) =1.0⨯10K

k g 氧分子摩尔质量为 M O =32⨯1-0 有

T O 2=

M O 23R

v =

32⨯10

-3

3⨯8.31

⨯(11.2⨯10) =1.6⨯10K

（2）月球表面逃逸速率

v =3

-1

⋅s

-1

=2.38⨯10m ⋅s

有 T H =

2⨯10

-3

3⨯8.31

⨯(2.38⨯10) =4.5⨯10K

T O 2=

32⨯10

-3

3⨯8.31

⨯(2.38⨯10) =7.2⨯10K

解：设初始水蒸气的分子总数为N 0。由

H 2O →H 2+

12O 2

O 2，当不计振

分解后将有N 0个H 2分子和

N 02

个O 2分子。

ε=

(t +r ) kT

温度为T 时水蒸气的总能量为

E 0=N 0

(3+3) kT =3N 0kT

若分解为氢气和氧气后，气体温度值为T ，这时气体总能量为氢分子能量和氧分子能量之和，用E '表示有

E '=N 0

(3+2) kT +

N 0122

(3+2) kT =

154N 0kT

能量增加的百分比为

E '-E 0

E 0

=N 0kT -3N 0kT 3N 0kT

=14

=25%

32kT

，若射线能量被每个氖分子平均吸收。

32k ∆T

-19

-23

∆E =0.01N A ⨯

-6

∆T =

∆E 0.01N A

32k

10⨯1.6⨯10

0.01⨯6.02⨯10

⨯1.5⨯1.38⨯10

=1.28⨯10K

解：隔板未去掉前，容器两侧压强和体积相等设为p 和V ，再设氦分子摩尔数为v 1，氧气分子摩尔数为v 2，由理想气体方程有

pV =v 1RT 1，

T p V 2=v 2R 2

pV RT 2

v 1=

pV R T 1

， v 2=

氦气为单原子分子，氧气为双原子分子，由能量均分定理，每一个分子的平均能量为

(t +r +2s ) kT

其中t 为平动自由度，r 为转动自由度，s 为振动自由度。对于氦气，有(t =3, r =0, s =0)

H e =

32kT

对于双原子分子，t =3, r =2，在常温下，不足以激发原子的振动，可作为刚性双原子考虑，这时s =0，因而有

O =

初始状态的总能量为

E =v 1N A

kT 1+v 2N A

52kT 2

其中N A 为阿伏加德罗常数。

若去掉隔板后两种气体混合温度为T ，其总能量为

E '=v 1N A

kT +v 2N A

52kT

去掉隔板的过程不会对系统有任何外界的影响，能量守恒有E =E '

v 1N A

kT 1+v 2N A

kT 2=v 1N A

kT +v 2N A

52kT

将v 1和v 2代入有

pV RT 1

N A

32kT 1+

pV RT 2

N A

52kT 2=

pV RT 1

N A

32kT +

pV RT 2

N A

52kT

化简后得

3T T 1

T T 2

T =

8T 1T 23T 2+5T 1

8⨯310⨯2503⨯310+5⨯250

=284K

4-12 已知f (v ) 是速率分布函数，说明以下各式的物理意义：

（1）f (v ) d v ；（2）nf (v ) d v ，其中n 是分子数密度；（3）⎰v f (v ) d v ；（4）

v 1v 2

⎰

v p 0

（5）⎰v f (v ) d v 。 f (v ) d v ，其中v p 为最概然速率；

2v p

∞

答：（1）f (v ) d v =（2）nf (v ) d v =

v 2

dN N

，是速率在v 到v +d v 之间的分子数与总分子数的比。

dN V

，是单位体积内，速率在v 到v +d v 之间的分子数。

（3）⎰v f (v ) d v =

v 1

⎰

v 2v 1

v dN N

，是速率介于v 1到v 2之间分子的平均速率。

（4）⎰

v p 0

f (v ) d v =

⎰

v p 0

，是分子速率在0到v p 之间的分子数与总分子数

的比值，即速率小于最概然速率的分子与总分子数的比例。

（5）⎰v 2f (v ) d v =

v p

∞

⎰

∞v p

v dN N

，是速率大于v p 的分子速率平方的平均值（方

均值）。

4-13 导体中自由电子的运动可以看作类似于气体分子的运动（故称电子气）。设导体中共有N 个自由电子，电子运动的最大速率为v p ，其速率分布函数为

⎧4πA 2

⎪N v ⎪

f (v ) =⎨

⎪0⎪⎩

(0≤v ≤v F )

(v ≥v F )

（1）求常量A ；

（2）证明电子的平均动能=

εF =

312

(m v F ) 。 52

⎧4πA 2⎪N v ⎪

解：速率分布函数f (v ) =⎨

⎪0⎪⎩

(0≤v ≤v F )

(v ≥v F )

（1）由速率分布函数的物理意义有

⎰

∞0

f (v )d v =

⎰

v F 0

4πA N

v d v =

4πA 3N

v F =1

求得 A =

v F 0

3N 4πv

4πv N

（2）平均动能=

⎰

∞0

v f (v )d v =

⎰

v F 0

m v ⋅

⋅

3N 4πv F

d v

⎰

v F

d v =

3⎛12⎫

m v F ⎪ 5⎝2⎭

⎧a v

⎪v 0⎪⎪

4-14 有N 个粒子，其速率分布函数为 f (v ) =⎨a

⎪0⎪⎪⎩

(0≤v ≤v 0) (v 0≤v ≤2v 0) (v >2v 0)

（1）做速率分布曲线并求常量a ；

（2）分别求速率大于v 0和小于v 0的粒子数；（3）求粒子的平均速率。

解：（1）速率分布曲线如图所示。由归一化条件

⎰

∞0

f (v ) d v =1

v +

⎰

有

v 00

a v v 0

⎰

2v 0v 0

ad v =1

a v 0+a v 0=1

a =

23v

题4-14图

（2）若总分子数为N ，则速率大于v 0的分子数为

N 1=

⎰

∞v 0

N f (v ) d v =

⎰

2v 0v 0

23v 0

v =

速率小于v 0的分子数为

N 2=

⎰

v 00

N f (v ) d v =

⎰

v 00

a v v 0

213v 02

v 0=

（3）平均速率为

⎰

∞0

v f (v ) d v =

⎰

v 00

3v 0

v +2

⎰

2v 0v 0

2v 3v 0

v 00

9v 0

2v 0v 0

3v 0

119

v 0+

13v 0

(4v 0-v 0) =

v 0

4-15 设氢气的温度为300K ，求速率为3000m ⋅s -1到3010m ⋅s -1之间的分子数n 1与速率在1500m ⋅s -1到1510m ⋅s -1之间的分子数n 2之比。

解：麦克斯韦速率分布率是

dN =4πN (

m 2πkT

m 2kT m 2πkT

) 2v e

-m v

2kT

d v

∆N 1∆N 2

4πN (=4πN (

) 2v e

-m v 1

∆v 1∆v 2

) 2v 2e

-m v 2

2kT

=exp

m 2kT

(v -v ) ⋅

v 1v

⋅

∆v 1∆v 2

由题意 ∆v 1=∆v 2=10m ⋅s -1，v 1=3000m ⋅s -1，v 2=1500m ⋅s -1 氢气分子质量为m =2⨯1.67⨯10-27kg =3.34⨯10-27kg 代入数据有

∆N 1∆N 2

=(exp

3. 34⨯10

-27

⨯(1500

-23

-3000

)

2⨯1. 38⨯10⨯300

) ⨯(

30001500

) =0. 27

4-16 （1）混合气体处于平衡态时，各种气体的麦克斯韦速率分布与其它气体是否存在无关。请说明这一点；

（2）证明：由N 个粒子组成的一团气体，不管其速率具体分布如何，它的方均

。

（2）设N 个粒子组成气体的速率分布函数为F (v ) ，即处于区间v ~v +d v 区间内粒子数∆N 与粒子总数N 之比为由归一化条件有

∆N N

=F (v ) d v

⎰

∞0

F (v ) d v =1

v ==

⎰

∞0∞

v F (v ) d v

⎰

v F (v ) d v

利用定积分的性质

⎡b f (x ) g (x ) dx ⎤≤⎢⎥⎣⎰a ⎦

⎰a [f (x ) ]

dx ⋅⎰[g (x ) ]dx

令

f (v ) =

∞

⎡则有

⎰⎢⎣0

g (v ) =)

∞0

v ⎤≤

⎥⎦

⎡∞v F (v ) d v ⎤≤

⎢⎥⎣⎰0⎦

⎰⎰

d v ⋅⎰(d v

∞

∞0

F (v ) d v ⋅⎰v F (v ) d v

即 (v ) 2≤v 2

≤

即方均根速率不会小于平均速率。

4-17 设地球大气是等温的，温度为t =5 C ，海平面上的气压为

p 0=750mmHg

，今测得某山顶的气压p =590mmHg ，求山高。已知空气的平均

相对分子量为28.97。

解：分子数密度随重力势能的分布为

-m gz

n (z ) =n 0e

其中n 0为海平面上的分子数密度。压强 p =nkT =n 0kTe

z =

kT mg

-m gz

=p 0e

p 0p

8.31⨯27828.97⨯10

-3

⨯9.8

750590

m =1.95⨯10m

4-18 令ε=

m v

表示气体分子的平动能。试根据麦克斯韦速率分布律证

明：平动能在区间ε~ε+d ε内分子数占总分子数的比率为

f (ε) d ε=

2(kT )

-32

-12

-εd ε

根据上式求分子平动能ε的最概然值及平均平动能。

解：麦克斯韦速率分布率是

f (v ) d v =4π(

m 2πkT

) 2v e

-m v

2kT

d v

令ε=

m v

则

v =

d v =

d ε=

2εm

-ε

代入麦克斯韦速率分布公式f (ε) d ε=4π(

m 2πkT

)

⋅

12m ε

d ε

(kT )

-ε

d ε

ε最概然值可由f '(ε) =0求出，也可由(lnf (ε) ) '=0求出。

(lnf (ε) ) '=

-1=0

2εkT 1

=kT 2

-32

平均动能

⎰

∞0

εf (ε) d ε=

⎰

∞0

kT ) -ε

d ε=

4-19 日冕的温度为2⨯106K ，求其中电子的方均根速率。宇宙空间温度为

2.7K

，其中气体主要是氢原子，求那里的氢原子的方均根速率。1994年曾用激

光冷却的方法使一群N a 原子达到2.4⨯10-11K 的低温。求这些N a 原子的方均根速率。

解：（1）日冕的温度为2⨯106K ，其中电子的方均根速率为

≈≈9.53⨯10m ⋅s

6-1

（2）宇宙空间的温度为2. 7K ，其中氢原子的方均根速率为

≈≈2.59⨯10m ⋅s

2-1

（3）在2. 4⨯10-11K 的温度下，N a 原子的方均根速率为

≈≈1.61⨯10

-4

m ⋅s

-1

4-20

-6

N 2

66-

的范德瓦尔斯常量a =1. ⨯3-9m 1⋅0a ⋅t m ，m o l

b =39⨯10m ⋅mol

-1

；写出20m ol 氮气的范德瓦尔斯方程。若将20m ol 的氮气不

解：1m o l 范德瓦耳斯方程是

(p +

a V

)(V m -b ) =RT

V n

其中V m 是气体摩尔体积。若nm ol 的气体体积为V , 有V m =德瓦耳斯方程为

(p +

n a V

，n 摩尔气体的范

)(

V n

-b ) =RT 或 (p +

n a V

)(V -nb ) =n R T

(p +

1. 39⨯10

-6

⨯20

)(V -20⨯39⨯10

-6

) =20RT

(p +

5. 56⨯10

-4

)(V -7. 8⨯10

-4

) =20RT

当p →∞ , V →nb =20⨯39⨯10-6=7.8⨯10-4m 3

当分子密排时，b 约为1摩尔气体内所有分子体积总和的4倍，设分子直径为d ，有 b =4N A ⋅π() 3

其中N A 为阿伏加德罗常数

d =(

3b 2πN A

)

=3.1⨯10

-10

此时内压强

p in =

n a V

n a (nb )

a b

1.39⨯10

-62

(39⨯10)

-6

=914atm

4-21 试证：当每摩尔气体的体积增大时，范德瓦耳斯方程就趋近于理想气体状态方程。

解：由范氏气体压强公式有

p =

RT V m -b

a V

RT V m

1b V m

a V

n R T V

1b V m

a V

V m →∞

lim p =lim (

V m →∞

nRT V

11-

b V m

-lim

a V

V m →∞

)

nRT V

V m →∞

l i 1b V m

a nRT

l =2

V m →∞V V m

当V m 趋于无穷大时 p =

nRT V

，即

pV =nRT

即当气体摩尔体积增大时，范德瓦耳斯方程趋近于理想气体方程。

4-22 氮分子的有效直径为3.8⨯10-10m ，求它在标准状态下的平均自由程和连续两次碰撞间的平均时间间隔。

解：分子平均自由程

λ=

标准状态是指压强为p 一个大气压，温度为0 C 的状态

λ=

1.38⨯10

-23

⨯273

m =5.8⨯10

-8

氮分子的分子量为28，在标准状态下平均速率为

⋅s -1

=454m ⋅s

-1

两次碰撞的平均时间间隔为

∆T =

λ=

5.8⨯10454

-8

=1.28⨯10

-10

4-23 在标准状态下C O 2分子的平均自由程λ=6.29⨯10-8m 。求C O 2分子的平均碰撞频率以及C O 2分子的有效直径。

解：C O 2的分子量为44, 标准状态时T =273K ，C O 2分子的平均速率为

⋅s

-1

=362m ⋅s

-1

分子的平均碰撞频率为

3626.29⨯10

-8

s =5.76⨯10次⋅s

9-1

再由

λ=

d =1

m =3.7⨯10

-10

4-24 一氢分子（直径为1.0⨯10-10m ）以方均根速率从炉中(T =4000K )逸出而进入冷的氩气室，室内氩气密度为每立方米4. 0⨯1025原子（氩原子直径

3.0⨯10

-10

，试问 m ）

（1）氢分子的速率为多大？

（2）把氩原子和氢分子都看成球体，则在相互碰撞使他们中心靠的最近的距离

为多少？

（3）最初阶段，氢分子每秒内受到的碰撞次数为多少？

解：（1）氢分子的摩尔质量为2⨯10-3kg ⋅m ol -1在T =4000K 时方均根速率为

=7.06⨯10m ⋅s

3-1

（2）氢分子和氩原子的中心最短距离为

d H +d A

=1.0⨯10

-10

+3.0⨯102

-10

=2.0⨯10

-10

（3）相互碰撞时中心距离为

d H +d A

，所以氢分子和氩原子的平均碰撞频

率为

=π(

d H +d A

) 2

n A =5.0⨯1010s -1

4-25 在标准状态下，氦气（H e ）的内摩擦系数η=1.89⨯10-5Pa ⋅s ，求（1）在此状态下氦原子的平均自由程；（2）氦原子的半径。

解：（1）在标准状态下氦气的内摩擦系数η=1.89⨯10-5Pa ⋅s ，氦气摩尔质量为M m ol =4.00⨯10-3kg ⋅m ol -1，氦分子平均速率为

⋅s

-1

=1.20⨯103m ⋅s -1 标准状态下，氦气密度为 ρ=

4.00⨯1022.4⨯10

-3-3

kg ⋅m

-3

=0.179kg ⋅m

-3

由公式 η=得平均自由程 λ=

3η

m =2. 6⨯43

1⨯. 2010

-5

3⨯1. 8⨯90. 17⨯9

ρ10m

-7

（2）由

λ=得氦原子的直径为

d =

=1.78⨯10-10

氦原子有效半径为

d 2

=0.89⨯10

-10

4-26 由实验测定，在标准状态下，氧的扩散系数为1.9⨯10-5m 2⋅s -1，计算氧分子的平均自由程和分子有效直径。

解：在标准状态下，氧分子的扩散系数D =1.9⨯10-5m 2⋅s -1，摩尔质量为

M m ol =32⨯10

-3

kg ⋅m ol

-1

。氧分子的平均速率为

13λ

⋅s -1

=425m ⋅s

-1

由扩散系数公式 D =得平均自由程

λ=

3D =

3⨯1.9⨯10

425

-5

m =1.34⨯10m

-7

又因为

λ=分子有效直径为

d =

=2.50⨯10-10

解：因为N 2的导热系数和分子的平均自由程成正比，当分子平均自由程气体热传导系数将随压强的降低而减小。设在27 C 且λ=l 时对应的压λ≤l 时，

强为p ，当瓶胆间压强降至p 以下时，氮的热传导系数就比它在大气压下的数值小了。

因为

λ=

-23

p ==

1.38⨯10⨯300

-10

1.41⨯3.14⨯(3.7⨯10) ⨯4⨯10

2-3

=1.70Pa

即压强应小于1.70P a 。

大学物理04第四章

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