第28卷第3期2011年6月广西民族师范学院学报
JOURNAL OF GUANGXI NORMAL UNIVERSITY FOR NATIONALITIES
Vol.28No.3
Jun.2011
拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造
余惠霖
（柳州职业技术学院，广西柳州
545006）
摘要：从数形结合、待定系数法、定积分、不定积分和坐标轴旋转变换几个不同的角度探讨了拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造．
关键词：拉格朗日中值定理；罗尔中值定理；辅助函数中图分类号：O224文献标识码：A文章编号：1674-8891（2011）03-0012-03
Composition of Several Auxiliary Functions in the Proof Lagrange Mean Value Theorem
YU Hui-lin
(LiuZhouVocational and Technical College, Guangxi Liuzhou, 545006)
Abstract：This paper discusses the composition of several auxiliary functions in the proof Lagrange (Lagrange)Mean Value Theorem from different perspectives.
Key words ：LagrangeMean Value Theorem, Rolle Theorem, Auxiliary Functions
拉格朗日中值定理是微分学三大基本定理中的主要定理，它在微分学中占有极其重要的地位，有着广泛的应用．关于它的证明，大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔定理的结论证明拉格朗日中值定理．在此，笔者从几个不同角度探讨拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造．1定理的叙述1.1
罗尔(Rolle)中值定理[1]149若函数
满足:
上连；内可；，内至满足：
上连；内可，
，使得,使得
[1]151
的条件，它们相差的是函数点的函数值
在上
．为此，需要构造一个新的
函数（要与有），把问题转化为符合罗尔定理的条件，然后利用罗尔定理的结论证明拉格朗日中值定理．根据罗尔定理的几何意义，
的斜
在上
，则弦方程：
．以曲线
的纵
：
1）
即可符合罗尔定理
的条．
，
满
，使
，移项后即得
．
(1)在闭区间(2)在开区间(3)则在1.2
若函数
．
证明：作辅助函数显然
，且
两个条件．故至少存在一点
拉格朗日(Lagrange)中值定理(1)在闭区间(2)在开区间则在
内至
．
2拉格朗日中值定理的证明方法2.1
借助于数形结合思想构造辅助函数
比较拉格朗日中值定理的条件与罗尔中值定理
另外，也可以过原点且与曲线在
AB 平行的直线OL 代替弦AB，直线OL 的方程为的
一辅助函数：
，因此，以曲线
OL 的纵坐标之差，得到另
收稿日期：2010-12-20
基金项目：1．广西新世纪教改工程项目（编号：2011JGB221）；2．柳州职业技术学院教学质量与教学改革工程第三批A 类项目（编号：
2010-A022）。
作者简介：余惠霖（1953—），男，广东台山人，柳州职业技术学院公共基础部副教授，研究方向：数学教育与数学文化研究。
-12-
第28卷余惠霖拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造（总第76期）
．（2）
可以验证证明略．2.2
借助待定系数法构造辅助函数
借助待定系数法也可以构造一个新的辅助函数（要与
有），使它满足罗尔定理在两端
为
，令，则需要
即
．
所以，可作辅助函数为
．
得到与(2)式相同的辅助函数．证明：作辅助函数经检验，
，且
．故至少存在一点
，使
即得2.3
．
借助定积分构造辅助函数
在不等式的证明中，常常从要证的结论出发，采用逆推的方法寻求证明的思路．仿此，可从拉格朗日中值定理的结论这里约定:
在
上存
，则
，
成立，对
在
上
．设要
构造的辅助函数的导数为
，
其中
，则辅助函数为
出
，，，（3）
，要使
点的函数值相等的条件．设
在
上
．
要证的结论
借助不定积分求其原函数
出，也可考虑
（为任），
，即可使
．因此，可作辅助函数为
（5）
经验证，当
证明：作辅助函数
，
经检验，
，且
满
，使，即得
．
2.5
借助坐标轴旋转变换构造辅助函数
以上几种辅助函数的构造，都是从罗尔定理在两端点的函数值相等这一条件出发考虑．下面从曲线
在
上
A、B的连线弦AB 与x
轴的关系考虑问题．分析拉格朗日中值定理与罗尔定理的几何特征．
设曲线
在
上
，连线弦为AB，在罗尔定理
中，由于两端点的函数值相等，弦AB 的斜率
，即弦AB 与x 轴平行．而在拉格朗日中值定
理中，由于两端点的函数值不相等，弦AB 的斜率
，所以，弦AB与x轴不平行．
为了把问题转化为符合罗尔定理的条件，可以考虑作坐标轴的旋转，使旋转角
，则新坐标系的轴
平行，在新坐标系下有曲线
在
坐标相等．因此，由坐标轴的旋转公式：
，
得
．
作辅助函数
，满AB
的另两个条件．故至少存在一点
A、B的纵
（1）式相同的辅助函数．证法与证法一同，略．2.4
借助不定积分构造辅助函数
为寻求证明拉格朗日中值定理的辅助函数，从
-13-
2011年第3期广西民族师范学院学报6月25日出版
因为
，，
由可得
．
满
即得3结论
6）
即可把问题转化为符合罗尔定理的条件．证明：作坐标轴的旋转变换，使旋转角
，由坐标轴的旋转公式：
满
综上所述，在拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法是灵活多样的，从不同角度探讨拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造，可以使学生加深对此定理内涵的理解，从而更好地掌握定理的应用．
，
得作辅助函数则
．
，
参考文献：
[1]华东师范大学数学系．数学分析(上册)[M]．北京：人民教育出版社，1980.
[2]樊映川．高等数学讲义[M]．北京：人民教育出版社，1958．[3]同济大学数学教研室．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，1993．
[4]盛祥耀．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2003．
（责任编辑：李凡生
）
，经检验，
可得
使
，且
满
，
，．
个条件．故至少存在一点
，
经此坐标轴的旋转变换，使旋转角
．因此，构造辅助函数为
-14-
第28卷第3期2011年6月广西民族师范学院学报
JOURNAL OF GUANGXI NORMAL UNIVERSITY FOR NATIONALITIES
Vol.28No.3
Jun.2011
拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造
余惠霖
（柳州职业技术学院，广西柳州
545006）
摘要：从数形结合、待定系数法、定积分、不定积分和坐标轴旋转变换几个不同的角度探讨了拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造．
关键词：拉格朗日中值定理；罗尔中值定理；辅助函数中图分类号：O224文献标识码：A文章编号：1674-8891（2011）03-0012-03
Composition of Several Auxiliary Functions in the Proof Lagrange Mean Value Theorem
YU Hui-lin
(LiuZhouVocational and Technical College, Guangxi Liuzhou, 545006)
Abstract：This paper discusses the composition of several auxiliary functions in the proof Lagrange (Lagrange)Mean Value Theorem from different perspectives.
Key words ：LagrangeMean Value Theorem, Rolle Theorem, Auxiliary Functions
拉格朗日中值定理是微分学三大基本定理中的主要定理，它在微分学中占有极其重要的地位，有着广泛的应用．关于它的证明，大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔定理的结论证明拉格朗日中值定理．在此，笔者从几个不同角度探讨拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造．1定理的叙述1.1
罗尔(Rolle)中值定理[1]149若函数
满足:
上连；内可；，内至满足：
上连；内可，
，使得,使得
[1]151
的条件，它们相差的是函数点的函数值
在上
．为此，需要构造一个新的
函数（要与有），把问题转化为符合罗尔定理的条件，然后利用罗尔定理的结论证明拉格朗日中值定理．根据罗尔定理的几何意义，
的斜
在上
，则弦方程：
．以曲线
的纵
：
1）
即可符合罗尔定理
的条．
，
满
，使
，移项后即得
．
(1)在闭区间(2)在开区间(3)则在1.2
若函数
．
证明：作辅助函数显然
，且
两个条件．故至少存在一点
拉格朗日(Lagrange)中值定理(1)在闭区间(2)在开区间则在
内至
．
2拉格朗日中值定理的证明方法2.1
借助于数形结合思想构造辅助函数
比较拉格朗日中值定理的条件与罗尔中值定理
另外，也可以过原点且与曲线在
AB 平行的直线OL 代替弦AB，直线OL 的方程为的
一辅助函数：
，因此，以曲线
OL 的纵坐标之差，得到另
收稿日期：2010-12-20
基金项目：1．广西新世纪教改工程项目（编号：2011JGB221）；2．柳州职业技术学院教学质量与教学改革工程第三批A 类项目（编号：
2010-A022）。
作者简介：余惠霖（1953—），男，广东台山人，柳州职业技术学院公共基础部副教授，研究方向：数学教育与数学文化研究。
-12-
第28卷余惠霖拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造（总第76期）
．（2）
可以验证证明略．2.2
借助待定系数法构造辅助函数
借助待定系数法也可以构造一个新的辅助函数（要与
有），使它满足罗尔定理在两端
为
，令，则需要
即
．
所以，可作辅助函数为
．
得到与(2)式相同的辅助函数．证明：作辅助函数经检验，
，且
．故至少存在一点
，使
即得2.3
．
借助定积分构造辅助函数
在不等式的证明中，常常从要证的结论出发，采用逆推的方法寻求证明的思路．仿此，可从拉格朗日中值定理的结论这里约定:
在
上存
，则
，
成立，对
在
上
．设要
构造的辅助函数的导数为
，
其中
，则辅助函数为
出
，，，（3）
，要使
点的函数值相等的条件．设
在
上
．
要证的结论
借助不定积分求其原函数
出，也可考虑
（为任），
，即可使
．因此，可作辅助函数为
（5）
经验证，当
证明：作辅助函数
，
经检验，
，且
满
，使，即得
．
2.5
借助坐标轴旋转变换构造辅助函数
以上几种辅助函数的构造，都是从罗尔定理在两端点的函数值相等这一条件出发考虑．下面从曲线
在
上
A、B的连线弦AB 与x
轴的关系考虑问题．分析拉格朗日中值定理与罗尔定理的几何特征．
设曲线
在
上
，连线弦为AB，在罗尔定理
中，由于两端点的函数值相等，弦AB 的斜率
，即弦AB 与x 轴平行．而在拉格朗日中值定
理中，由于两端点的函数值不相等，弦AB 的斜率
，所以，弦AB与x轴不平行．
为了把问题转化为符合罗尔定理的条件，可以考虑作坐标轴的旋转，使旋转角
，则新坐标系的轴
平行，在新坐标系下有曲线
在
坐标相等．因此，由坐标轴的旋转公式：
，
得
．
作辅助函数
，满AB
的另两个条件．故至少存在一点
A、B的纵
（1）式相同的辅助函数．证法与证法一同，略．2.4
借助不定积分构造辅助函数
为寻求证明拉格朗日中值定理的辅助函数，从
-13-
2011年第3期广西民族师范学院学报6月25日出版
因为
，，
由可得
．
满
即得3结论
6）
即可把问题转化为符合罗尔定理的条件．证明：作坐标轴的旋转变换，使旋转角
，由坐标轴的旋转公式：
满
综上所述，在拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法是灵活多样的，从不同角度探讨拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造，可以使学生加深对此定理内涵的理解，从而更好地掌握定理的应用．
，
得作辅助函数则
．
，
参考文献：
[1]华东师范大学数学系．数学分析(上册)[M]．北京：人民教育出版社，1980.
[2]樊映川．高等数学讲义[M]．北京：人民教育出版社，1958．[3]同济大学数学教研室．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，1993．
[4]盛祥耀．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2003．
（责任编辑：李凡生
）
，经检验，
可得
使
，且
满
，
，．
个条件．故至少存在一点
，
经此坐标轴的旋转变换，使旋转角
．因此，构造辅助函数为
-14-