含有函数记号“f (x ) ”有关问题解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f (x ) 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式：
1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出f (x ) ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
x ) =2x +1, 求f (x ) . x +1
x u =u , 则x =解：设 x +11-u
u 2-u +1=∴f (u ) =2 1-u 1-u
2-x ∴f (x ) = 1-x 例1：已知 f (
2. 凑合法：在已知f (g (x )) =h (x ) 的条件下，把h (x ) 并凑成以g (u ) 表示的代数式，再利用代换即可求f (x ) . 此解法简洁，还能进一步复习代换法。
1，求f (x ) x 3
1121112解：∵f (x +) =(x +)(x -1+2) =(x +)((x +) -3) x x x x x 例2：已知f (x +) =x +31x
又∵|x +11|=|x |+≥1 x |x |
∴f (x ) =x (x 2-3) =x 3-3x ，(|x |≥1)
3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知f (x ) 二次实函数，且f (x +1) +f (x -1) =x 2+2x +4,求f (x ) .
解:设f (x ) =ax +bx +c ，则 2
f (x +1) +f (x -1) =a (x +1) 2+b (x +1) +c +a (x -1) 2+b (x -1) +c
=2ax +2bx +2(a +c ) =x +2x +4 22
⎧2(a +c ) =413⎪⇒a =, b =1, c = 比较系数得⎨2a =122⎪2b =2⎩
∴f (x ) =
123x +x + 22
4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性, 求分段函数的解析式.
例4. 已知y =f (x ) 为奇函数, 当 x >0时, f (x ) =lg(x +1) , 求f (x )
解:∵f (x ) 为奇函数，∴f (x ) 的定义域关于原点对称，故先求x
∵-x >0,
∴f (-x ) =lg(-x +1) =lg(1-x ) ,
∵f (x ) 为奇函数，
∴lg(1-x ) =f (-x ) =-f (x )
∴当x
∴f (x ) =⎨⎧lg(1+x ), x ≥0 -lg(1-x ), x
1， 求f (x ) , g (x ) . x -1例5．一已知f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且有f (x ) +g (x ) =
解：∵f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，
∴f (-x ) =f (x ) , g (-x ) =-g (x ) ,
1 „„„①中的x , x -1
11∴f (-x ) +g (-x ) =即f (x ) －g (x ) =-„„② -x -1x +1
1x 显见①+②即可消去g (x ) , 求出函数f (x ) =2再代入①求出g (x ) =2 x -1x -1不妨用-x 代换f (x ) +g (x ) =
5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f (x ) 的表达式
例6：设f (x ) 的定义域为自然数集，且满足条件f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f (1)=1,求f (x ) 解：∵f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1
∵f (1)=1,
∴f (2)=f (1)+2,
f (3)=f (2)+3
„„
f (n ) =f (n -1) +n
以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+„„+n =
∴f (x ) =n (n +1) 21x (x +1), x ∈N 2
二、利用函数性质，解f (x ) 的有关问题
1. 判断函数的奇偶性：
例7 已知f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) f (y ) , 对一切实数x 、y 都成立，且f (0)≠0, 求证f (x ) 为偶函数。 证明：令x =0, 则已知等式变为f (y ) +f (-y ) =2f (0)f (y ) „„①
在①中令y =0则2f (0)=2f (0)
∵ f (0)≠0
∴f (0)=1
∴f (y ) +f (-y ) =2f (y )
∴f (-y ) =f (y )
∴f (x ) 为偶函数。
2. 确定参数的取值范围
例8：奇函数f (x ) 在定义域（-1，1）内递减，求满足f (1-m ) +f (1-m 2)
∵f (x ) 为函数，
∴f (1-m )
又∵f (x ) 在（-1，1）内递减，
⎧-1
⎪1-m >m 2-1⎩
3. 解不定式的有关题目
例9：如果f (x ) =ax +bx +c 对任意的t 有f (2+t ) =f 2-t ) , 比较f (1)、f (2)、f (4)的大小
解：对任意t 有f (2+t ) =f 2-t )
∴x =2为抛物线y =ax +bx +c 的对称轴
又∵其开口向上
∴f (2)最小，f (1)=f (3)
∵在［2，＋∞) 上，f (x ) 为增函数
∴f (3)
22
∴f (2)
含有函数记号“f (x ) ”有关问题解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f (x ) 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式：
1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出f (x ) ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
x ) =2x +1, 求f (x ) . x +1
x u =u , 则x =解：设 x +11-u
u 2-u +1=∴f (u ) =2 1-u 1-u
2-x ∴f (x ) = 1-x 例1：已知 f (
2. 凑合法：在已知f (g (x )) =h (x ) 的条件下，把h (x ) 并凑成以g (u ) 表示的代数式，再利用代换即可求f (x ) . 此解法简洁，还能进一步复习代换法。
1，求f (x ) x 3
1121112解：∵f (x +) =(x +)(x -1+2) =(x +)((x +) -3) x x x x x 例2：已知f (x +) =x +31x
又∵|x +11|=|x |+≥1 x |x |
∴f (x ) =x (x 2-3) =x 3-3x ，(|x |≥1)
3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知f (x ) 二次实函数，且f (x +1) +f (x -1) =x 2+2x +4,求f (x ) .
解:设f (x ) =ax +bx +c ，则 2
f (x +1) +f (x -1) =a (x +1) 2+b (x +1) +c +a (x -1) 2+b (x -1) +c
=2ax +2bx +2(a +c ) =x +2x +4 22
⎧2(a +c ) =413⎪⇒a =, b =1, c = 比较系数得⎨2a =122⎪2b =2⎩
∴f (x ) =
123x +x + 22
4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性, 求分段函数的解析式.
例4. 已知y =f (x ) 为奇函数, 当 x >0时, f (x ) =lg(x +1) , 求f (x )
解:∵f (x ) 为奇函数，∴f (x ) 的定义域关于原点对称，故先求x
∵-x >0,
∴f (-x ) =lg(-x +1) =lg(1-x ) ,
∵f (x ) 为奇函数，
∴lg(1-x ) =f (-x ) =-f (x )
∴当x
∴f (x ) =⎨⎧lg(1+x ), x ≥0 -lg(1-x ), x
1， 求f (x ) , g (x ) . x -1例5．一已知f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且有f (x ) +g (x ) =
解：∵f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，
∴f (-x ) =f (x ) , g (-x ) =-g (x ) ,
1 „„„①中的x , x -1
11∴f (-x ) +g (-x ) =即f (x ) －g (x ) =-„„② -x -1x +1
1x 显见①+②即可消去g (x ) , 求出函数f (x ) =2再代入①求出g (x ) =2 x -1x -1不妨用-x 代换f (x ) +g (x ) =
5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f (x ) 的表达式
例6：设f (x ) 的定义域为自然数集，且满足条件f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f (1)=1,求f (x ) 解：∵f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1
∵f (1)=1,
∴f (2)=f (1)+2,
f (3)=f (2)+3
„„
f (n ) =f (n -1) +n
以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+„„+n =
∴f (x ) =n (n +1) 21x (x +1), x ∈N 2
二、利用函数性质，解f (x ) 的有关问题
1. 判断函数的奇偶性：
例7 已知f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) f (y ) , 对一切实数x 、y 都成立，且f (0)≠0, 求证f (x ) 为偶函数。 证明：令x =0, 则已知等式变为f (y ) +f (-y ) =2f (0)f (y ) „„①
在①中令y =0则2f (0)=2f (0)
∵ f (0)≠0
∴f (0)=1
∴f (y ) +f (-y ) =2f (y )
∴f (-y ) =f (y )
∴f (x ) 为偶函数。
2. 确定参数的取值范围
例8：奇函数f (x ) 在定义域（-1，1）内递减，求满足f (1-m ) +f (1-m 2)
∵f (x ) 为函数，
∴f (1-m )
又∵f (x ) 在（-1，1）内递减，
⎧-1
⎪1-m >m 2-1⎩
3. 解不定式的有关题目
例9：如果f (x ) =ax +bx +c 对任意的t 有f (2+t ) =f 2-t ) , 比较f (1)、f (2)、f (4)的大小
解：对任意t 有f (2+t ) =f 2-t )
∴x =2为抛物线y =ax +bx +c 的对称轴
又∵其开口向上
∴f (2)最小，f (1)=f (3)
∵在［2，＋∞) 上，f (x ) 为增函数
∴f (3)
22
∴f (2)