２０１４年４月１日 理科考试研究・数学版
・１１・
点差法巧解椭圆中的范围问题
湖北省宜都市二中 ４４３３００ 邹 云
点差法，顾名思义“代点作差”，是解决解析几何中点弦相关问题的重要方法，在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．其特点是计算简便，尤其是在椭圆中，运用起来方便、快捷，可以达到“设而不求”的目的，曲线Ｅ上任意一点Ｐ满足｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜为常数．
（１）建立适当的坐标系，求曲线Ｅ的方程；
（２）过Ｄ的直线ｌ与曲线Ｅ相交不同的
两点Ｍ、Ｎ，且Ｍ在ＤＮ之间，若ＤＭ＝λＤＮ，求λ的取值范围．
同时降低解题的运算量，优化解题过程．该方法的原型为：
在椭圆２２ａ２ｂ
２＝１（ａ＞ｂ＞０）中，直线ｌ与椭圆相交于
Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点，弦ＡＢ的中点为（ｘ０，ｙ０），我们可以得２
到直线的斜率为ｋ＝０２，即实现用弦的中点坐标表示弦的
０斜率．下面我们来看一道例题．
２２例１ 已知椭圆４３
＝１和直线ｌ：ｙ＝４ｘ＋ｍ，试确定
ｍ的范围，使椭圆上有两个不同的点关于ｌ对称．
解析 该题是直线与椭圆综合问题中的范围问题，是学生普遍觉得较为困难的问题．传统方法主要是联立方程，利用Δ＞０，寻找ｍ与Δ的联系，操作起来比较麻烦．下面用点差法试一试．
设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）是椭圆上关于ｌ对称的两点，其中点为（ｘ０，ｙ０），且ＡＢ⊥ｌ，将Ａ、Ｂ代入椭圆的方程作差可得
１－ｙ２－ｘ＝１＋ｘ２・＝２ｘ０２ｙ＝ｙ０＝３ｘ０．
１２１＋ｙ２４０４４又ｙ０＝４ｘ０＋ｍ，可解得ｘ０＝－ｍ，ｙ０＝－３ｍ．
２２
而（ｘ，ｙ即００）在椭圆内部，４＋
３
＜１痴－
１３＜ｍ＜１３
本题的解题过程巧用点差法，利用中点始终在椭圆内，简化了计算，较传统方法简单得多．
点差法就是利用弦的中点表示弦的斜率，在本题中用来解决参数范围问题，思路简单，解题过程简洁．事实上，中点即二等分点，点差法既然可以解决中点相关问题，那么这种方法能否推广，解决弦的其他分点问题？下面再看一道例题．
例２ 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝９０°，ＡＢ＝２，ＡＣ＝２
Ｄ是线段ＡＢ的中垂线上一点，Ｄ到ＡＢ的距离为２，过点Ｃ的磼 １．从待证不等式形式变化的角度
前文已总结出６种方法，即直接法、换元法、和谐法、主元法、转化法、联想法．其中直接法、主元法、联想法操作性最强，换元法、和谐法次之，转化法对含有指数式或超越式的不等式，提出了具体的操作方法．
２．根据待证不等式所含“元”的个数
我们提出“元”数分析法，这里的“元”指独立变化的字母，
解析 以ＡＢ中点为原点，以ＡＢ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系．
（１）根据椭圆定义易得曲线Ｅ
的方程为２２
２＋ｙ＝１．
（２）设Ｎ（ｘ０，ｙ０），则Ｍ为（λｘ０，λｙ０＋２－２λ）．
点Ｍ、Ｎ代入ｘ２＋２ｙ２
＝２，即
ｘ２
０＋２ｙ２
０＝２，
（λｘ２２
０）＋２（λｙ０＋２－
２λ）＝２．
消去ｘλ＝０，得５－４ｙ而－１≤ｙ０≤１，则≤λ≤３，
０３
又且Ｍ在ＤＮ之间，则λ＜１．
所以λ的取值范围为３
≤λ＜１．
本题就是点差法由中点弦问题推广到弦的一般分点问题，运用点差法简化了解题过程．在处理解析几何中的范围问题时，我们常用Δ＞０来解决问题，方法较为复杂．事实上我们还可以寻找参数与圆锥曲线上点的坐标之间的联系，特别是建立参数与横坐标或纵坐标之间的函数关系，从而迅速地求出参数的取值范围也是一种重要的解题思路．
类似试题比较多，例如：已知圆Ｃ：（ｘ＋１）２＋ｙ２
＝８，定点Ａ（１，０），Ｍ为圆上动点，点Ｐ在ＡＭ上，点Ｎ在ＣＭ上（Ｃ为圆心），且ＮＰ垂直平分线段ＡＭ，点Ｎ的轨迹为曲线Ｅ．
（１）求曲线Ｅ的方程；
（２）若过定点Ｆ（０，２）的直线交曲线Ｅ于不同的两点Ｇ，Ｈ（点Ｇ在点Ｆ，Ｈ之间），且满足求λ的取值范围．
本题可以参照例２来解决，在此不再赘述．本文旨在介绍点差法不仅能解决中点弦的直线方程问题，还可以用来求解范围问题，特别是从中点推广到其他分点，仍然采用点差法的思路，迅速建立参数与坐标之间的函数关系，从而迅速解决我们学生普遍觉得困难、麻烦的范围问题，是点差法的一种巧用．当一个字母能用另一个字母表示时，只能算一个元．
以上我们介绍了用“构造函数法”证明不等式时构造辅助函数的六种方法，指向性十分明确．如果面对的是另类的陌生情境，题目本身没有给出所用方法的暗示，那么我们就需要根据问题的特征机智巧妙地选择证法．总之，在面对一个个具体问题时，我们不应肓目地套用已有模式，而应根据题目，灵活变通，多管齐下，多法并用．
点差法巧解椭圆中的范围问题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
邹云
湖北省宜都市二中443300理科考试研究（高中版）
Examinations Research Science2014(4)
引用本文格式：邹云 点差法巧解椭圆中的范围问题[期刊论文]-理科考试研究（高中版） 2014(4)
２０１４年４月１日 理科考试研究・数学版
・１１・
点差法巧解椭圆中的范围问题
湖北省宜都市二中 ４４３３００ 邹 云
点差法，顾名思义“代点作差”，是解决解析几何中点弦相关问题的重要方法，在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．其特点是计算简便，尤其是在椭圆中，运用起来方便、快捷，可以达到“设而不求”的目的，曲线Ｅ上任意一点Ｐ满足｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜为常数．
（１）建立适当的坐标系，求曲线Ｅ的方程；
（２）过Ｄ的直线ｌ与曲线Ｅ相交不同的
两点Ｍ、Ｎ，且Ｍ在ＤＮ之间，若ＤＭ＝λＤＮ，求λ的取值范围．
同时降低解题的运算量，优化解题过程．该方法的原型为：
在椭圆２２ａ２ｂ
２＝１（ａ＞ｂ＞０）中，直线ｌ与椭圆相交于
Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点，弦ＡＢ的中点为（ｘ０，ｙ０），我们可以得２
到直线的斜率为ｋ＝０２，即实现用弦的中点坐标表示弦的
０斜率．下面我们来看一道例题．
２２例１ 已知椭圆４３
＝１和直线ｌ：ｙ＝４ｘ＋ｍ，试确定
ｍ的范围，使椭圆上有两个不同的点关于ｌ对称．
解析 该题是直线与椭圆综合问题中的范围问题，是学生普遍觉得较为困难的问题．传统方法主要是联立方程，利用Δ＞０，寻找ｍ与Δ的联系，操作起来比较麻烦．下面用点差法试一试．
设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）是椭圆上关于ｌ对称的两点，其中点为（ｘ０，ｙ０），且ＡＢ⊥ｌ，将Ａ、Ｂ代入椭圆的方程作差可得
１－ｙ２－ｘ＝１＋ｘ２・＝２ｘ０２ｙ＝ｙ０＝３ｘ０．
１２１＋ｙ２４０４４又ｙ０＝４ｘ０＋ｍ，可解得ｘ０＝－ｍ，ｙ０＝－３ｍ．
２２
而（ｘ，ｙ即００）在椭圆内部，４＋
３
＜１痴－
１３＜ｍ＜１３
本题的解题过程巧用点差法，利用中点始终在椭圆内，简化了计算，较传统方法简单得多．
点差法就是利用弦的中点表示弦的斜率，在本题中用来解决参数范围问题，思路简单，解题过程简洁．事实上，中点即二等分点，点差法既然可以解决中点相关问题，那么这种方法能否推广，解决弦的其他分点问题？下面再看一道例题．
例２ 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝９０°，ＡＢ＝２，ＡＣ＝２
Ｄ是线段ＡＢ的中垂线上一点，Ｄ到ＡＢ的距离为２，过点Ｃ的磼 １．从待证不等式形式变化的角度
前文已总结出６种方法，即直接法、换元法、和谐法、主元法、转化法、联想法．其中直接法、主元法、联想法操作性最强，换元法、和谐法次之，转化法对含有指数式或超越式的不等式，提出了具体的操作方法．
２．根据待证不等式所含“元”的个数
我们提出“元”数分析法，这里的“元”指独立变化的字母，
解析 以ＡＢ中点为原点，以ＡＢ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系．
（１）根据椭圆定义易得曲线Ｅ
的方程为２２
２＋ｙ＝１．
（２）设Ｎ（ｘ０，ｙ０），则Ｍ为（λｘ０，λｙ０＋２－２λ）．
点Ｍ、Ｎ代入ｘ２＋２ｙ２
＝２，即
ｘ２
０＋２ｙ２
０＝２，
（λｘ２２
０）＋２（λｙ０＋２－
２λ）＝２．
消去ｘλ＝０，得５－４ｙ而－１≤ｙ０≤１，则≤λ≤３，
０３
又且Ｍ在ＤＮ之间，则λ＜１．
所以λ的取值范围为３
≤λ＜１．
本题就是点差法由中点弦问题推广到弦的一般分点问题，运用点差法简化了解题过程．在处理解析几何中的范围问题时，我们常用Δ＞０来解决问题，方法较为复杂．事实上我们还可以寻找参数与圆锥曲线上点的坐标之间的联系，特别是建立参数与横坐标或纵坐标之间的函数关系，从而迅速地求出参数的取值范围也是一种重要的解题思路．
类似试题比较多，例如：已知圆Ｃ：（ｘ＋１）２＋ｙ２
＝８，定点Ａ（１，０），Ｍ为圆上动点，点Ｐ在ＡＭ上，点Ｎ在ＣＭ上（Ｃ为圆心），且ＮＰ垂直平分线段ＡＭ，点Ｎ的轨迹为曲线Ｅ．
（１）求曲线Ｅ的方程；
（２）若过定点Ｆ（０，２）的直线交曲线Ｅ于不同的两点Ｇ，Ｈ（点Ｇ在点Ｆ，Ｈ之间），且满足求λ的取值范围．
本题可以参照例２来解决，在此不再赘述．本文旨在介绍点差法不仅能解决中点弦的直线方程问题，还可以用来求解范围问题，特别是从中点推广到其他分点，仍然采用点差法的思路，迅速建立参数与坐标之间的函数关系，从而迅速解决我们学生普遍觉得困难、麻烦的范围问题，是点差法的一种巧用．当一个字母能用另一个字母表示时，只能算一个元．
以上我们介绍了用“构造函数法”证明不等式时构造辅助函数的六种方法，指向性十分明确．如果面对的是另类的陌生情境，题目本身没有给出所用方法的暗示，那么我们就需要根据问题的特征机智巧妙地选择证法．总之，在面对一个个具体问题时，我们不应肓目地套用已有模式，而应根据题目，灵活变通，多管齐下，多法并用．
点差法巧解椭圆中的范围问题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
邹云
湖北省宜都市二中443300理科考试研究（高中版）
Examinations Research Science2014(4)
引用本文格式：邹云 点差法巧解椭圆中的范围问题[期刊论文]-理科考试研究（高中版） 2014(4)