关于极限的求法

目录

摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 一、函数极限的一些基本求法„„„„„„„„„„2 二、求函数极限的一些技巧及特殊求法„„„„„„9

㈠运用化简原则，简化极限运算过程 ㈡七种待定型的求法 ㈢求解几类特殊极限的方法

三、数列极限的几种特殊解法„„„„„„„„„20 ㈠将数列转化为相应的函数

㈡利用级数收敛的必要性

㈢利用定级分或导数定义 ㈣用O.Stolz定理 ㈤利用中值定理 ㈥利用斯特林公式

总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„24

参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„24

关于极限的求法

郑英

（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）

摘要：极限是学习微积分的基础，是整个高等数学的基础，它贯穿于微积分学的始终，是微积分的重要研究方法。因而极限掌握的好坏直接影响到以后的学习。极限包括两类:数列的极限和函数的极限。求极限是学习数学中的一个重点和难点，本文对极限的求法作出了较为详细的归类总结，重点举例分析其中几种重要和特殊的解法。而对于求某些特殊形式的极限，本文也做出了相应的解决方法。而且本文中大部分例题都给出了多种解法，以便在学习求极限时学会分析和积累经验。

关键词：极限；数列；收敛；导数；线性插值。

Methods of the limit

Zheng Ying

（Department of Mathmatics Bohai University Jinzhou Liaoning 121000 China) Abstract The limit is the foundation of studying ealculus and the entire higher mathenetics.The limit which goes through the calcalus is an important reseach technigue.Thus grasping guality about the limit directly affects later study.The limit indudes two kinds:Sguence limit and Function limit.Solving limit plays an important and difficult role during studing mathematics.This article makes a classified sammarization on the mathods of limitin detail,maily analying some of the important and special methods.As for some methods of special limit,this article also puts forward other corresponding solutions. Moreover in this article the majority of sample questions have allproduced the

many kinds of solutions, in order to asks the limit whenthe study academic society analysis and accumulation experience.

Keywords The limit；The sequence；Restraining；The derivative；Linear interpolation.

引言

在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容1,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文分三个部分，来介绍极限的求法，首先简单介绍了求极限的基本解法，重点是第二部分求函数极限的一些技巧及特殊求法，这是我在学习数学分析和微积分中的一些总结以及和同学共同讨论的具体的实例。这对于解决极限问题有很大的帮助，尤其是一些技巧的运用可以让解题更轻松，简便，第三部分是关于数列极限的特殊求法。本文就关于求极限的方法、技巧以及特殊解法作了一个全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。

一、函数极限的一些基本求法：

1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:

x23x2lim1 x2x2

x23x2x24x4

1证: 由

x2x2



x22

x2

x2

0 取 则当0x2 时,就有

x23x2



x2

由函数极限定义有:

x23x2lim1 x2x2

2、利用极限的四则运算性质

f(x)A limg(x)B 若 xlim

xxx

f(x)g(x) xlimf(x)limg(x)AB (I)xlimxxxx

f(x)g(x)xlimf(x)limg(x)AB (II)xlimxxxx

(III)若 B≠0 则：

limf(x)

f(x)xx0A

lim xx0g(x)limg(x)B

xx0

cf(x)climf(x)cA （c为常数） （IV）xlim

xxx

上述性质对于x,x,x时也同样成立

x23x5

例：求 lim

x2x4

x23x5223255

解: lim= x2242x4

3、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）

设函数f(x)、g(x) 满足：

f(x)0；(II) g(x)M (M为正整数)， （I）xlim

x

g(x)f(x)0 则：xlimx

例: 求 limxsin

x0

1x

x0 而 sin 解: 由 limx0

1

1 x

故 原式 =limxsin0

x0

1x

4、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若：limf(x) 则 lim

1

0 f(x)

(II) 若: limf(x)0 且 f(x)≠0 则 lim例: 求下列极限

1

 f(x)

① lim

11

②lim

xx5x1x1

(x5) 故 lim解: 由 lim

x

1

0

xx51

(x1)0 故 lim由 lim= x1x1x1

5、等价无穷小代换法

设,',,' 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ~,~，

'

'

'

lim' 存在， 

'

则 lim 也存在，且有lim= lim'



1cosx2

例:求极限lim2

x0xsinx2

(x2)2

解: sinx~x, 1cosx~

2

2

2

2

(x2)2

1cosx21 = lim2

x0xsinx22x2x2

注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”。

6、利用两个重要的极限。

(A)lim

sinx1

1 (B)lim(1)xe

x0xxx

但我们经常使用的是它们的变形：

sin(x)

1,((x)0)(x)

1

(B')lim(1)(x)e,((x))

(x)(A')lim

例：求下列函数极限

ax1lncosax

(2)、 (1)、limlim

x0x0lncosbxx

x 解：（1）令ax

1u,则 xln(1u)a1ulnalna于是x

ln(1u)

又当x0时，u0

故有：limax1x0x

limulnau0ln(1u)limlnau0ln(1u)limlna

u01lnauln(1u)u

(2)、原式lim

ln[(1(cosax1)]

x0ln[1(cosbx1)]

lim

ln[(1(cosax1)]x0cosax1cosbx1

cosax1

ln[1(cosbx1)]

cosbx1lim

cosbx1

x0cosax1

sin2ax

2sin2x(ax)2(b

limx)2

x02sin2blimb2xx0sin2b2 x(a2

x)2

a

2(bx)22、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。(i)若f(x)在xx0处连续，则limxxf(x)f(x0)

(ii)若f[(x)]是复合函数，又limxx(x)a且

f(u)在ua处连续，则limxxf((x))f[lim(x)]f(a)

xx0

例：求下列函数的极限

(1)、limexcosx5x01x2ln(1x) （2） lim

ln1(x)

x0x

7

excosx5

解：由于x0属于初等函数f(x)的定义域之内。2

1xln(1x)故由函数的连续性定义有：excosx5limf(0)6x01x2ln(1x)ln(1x)

(2)、由ln(1x)x

x令x(1x)故有：

ln(1x)limlimln(1x)xln(lim(1x)x)lne1x0x0x0x

1

1

1

x

1

8、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：

lim

x1x1

nmlk

x1



ml

m、n、k、l 为正整数。 nk

例：求下列函数极限 ① lim

x1

1x1x

(m 、n N) ②lim(

x

2x3x1

) 2x1

解: ①令 t=x 则当x1 时 t1,于是

1tm(1t)(1tt2tm1)m

lim 原式=lim

t11tnt1(1t)(1tt2tn1)n

2x3x12x1

)=lim(1)

x2x1x2x12x1111令： 则 x1

2tt2

②由于lim(

2x3x12x1

t2

)=lim(1)=lim(1t) lim(

t0x2x1x2x1

1

t

12

11

(1t)lim(1t)e1e =limt0t0

9、 利用函数极限的存在性定理

定理: 设在x0的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:

g(x)limh(x)A xlimxxx

f(x) 存在, 且有 则极限 xlim

x

f(x)A xlimx

xn

例: 求 limx (a>1,n>0)

xa

解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x≤k+1 于是当 n>0 时有:

xn(k1)n

x

aak

xnknkn1

及 xk1k

aaaa

又 当x时,k 有

(k1)n(k1)nlima0a0 klim

kakak1

knkn11

lim00 及 klim 

kakak1aa



xn

lim=0 xax

10、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。

f(x)存在且等于A的充分必要条件是左极限定理：函数极限xlim

x

xx0

limf(x)及右极限limf(x)都存在且都等于A。即有：

xx0

xx0

xx0

xx0

limf(x)Alimf(x)=limf(x)=A



12ex,x0例：设f(x)=xx

,0x1 求lim

xx0f(x)及limx1

f(x) 

x2,x1解：xlim0

f(x)xlim0

(12ex)1

xlim0

f(x)xxxlim0

(

x

)xlim0

(x1)1

由limx0

f(x)lim0

f(x)1x

limx0

f(x)1

又limx1f(x)xlim1limx1

1)0 limx1f(x)limx1x21 由f(10)f(10)limx1

f(x)不存在

11、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点,使得

f'()

f(b)f(a)

ba

此式变形可为:

f(b)f(a)

ba

f'(a(ba)) (01)

例: 求 exlimesinx

x0xsinx

解:令f(x)ex 对它应用中值定理得

exesinxf(x)f(sinx)(xsinx)f'(sinx(xsinx)) (01)

:

即

exesinx

f'(sinx(xsinx)) (01)

xsinx

f'(x)ex连续

limf'(sinx(xsinx))f'(0)1

x0

exesinx

从而有: lim1 x0xsinx

现在我从另一角度对上述没有提及的几种重要方法作出归类总结。在此约定极限符号下面没有标明极限过程，是指对任一种极限过程均成立，但同一式中所有极限过程是对自变量的同一变化过程而言。

二、求函数极限的一些技巧及特殊求法

㈠运用化简原则，简化极限运算过程

⒈部分乘积因式的极限为非零常数时即可立即运用乘积极限的运算法则提出；及时利用因式分解、三角公式恒等变形化简；及时运用连续函数性质。对于n个存在极限函数，作积或和求取极限。我们可以试着摆脱常规作法（先作极限在求积或和），而是先对函数化简，再求极限。



limcoscos如：求极限limx0n





x

2

xx…cos 222n

解：由于

xxx

coscos2…cosn

2221xxxxcoscos2…cosnsinn

2222sinn21xxxxcoscos2…cosnsinn1

x22222sinn2

1xxxx1

coscos2…cosn2sinn2…sinx

22222n

2sinn2sinn

22xxx1sinx

limcoscos2…cosnlimsinxnnnx222x2sinn

2

xxxsinx

limlimcoscos2…cosnlim1x0nx0222x

2．用等价无穷小量替代法化简，为此必须牢记下述等价无穷小量：

sinxxtanx(e1)ln(1x)arctanxarcsinx，当x0时，

a

(1x)1ax。

x

(1cosx)

12

x2，

运用此法时必须注意:加减项的无穷小量不能用等价无穷小量代换，必须是两个无穷小量之比的形式或无穷小量作为极限式中的乘积因子，且代换后的极限存在，才可使用等价无穷小量替代法。

3.记住一些特殊量级的大小

①当x0时，，即x0

xaexlnx x②当时，即：x

x



xalnx

a

limxlnx0

，x0

a

lim(xlnx)(a0)

limexxa0

，x

limxalnx0

，x

4.记住一些常用结论:

lim(exxa)lim(xalnx)(a0)

①当a00,b00,m和n为非负整数时，

a0xma1xm1ama0

lim(当mn时)， xbxnbxn1bb001m

而当nm时，上式为0；当nm时，上式为。

sinf(x)1f(x)

1lim(1)e

f(x)0f(x)f(x)f(x)②， lim

遇到上述情况时，可立即运用上述结论。 5．用导数定义求极限 有导数定义lim

x0

f(x0x)f(x0)

f'(x0)把极限运算转化为在某一点处

x

的导数。

如：已知函数f(x)在x0处可导，表达式

x0

lim

f(x0ax)f(x0ax)

kf'(x0)，确定系数k.

x

解：

f(x0ax)f(x0)f(x0ax)f(x0)f(x0ax)f(x0ax)

limlimx0x0xx

fx0(ax)f(x0)f(x0ax)f(x0)

alimalimaf'(x0)af'(x0)2af'(x0)x0x0ax(ax)

由于f'(x0)kf'(x0)2a， 故k2a. 例：求取极限lim

x0（法一）

10

ln(x1)

x

解：lim

x0

ln(x1)ln(x1)ln(01)1

limln(x1)'X01 x0xx0x1X0

此例运用导数定义求极限，也从另一个角度认证了洛必达法则，对

此有另一种解法。 （法二）

lim

ln(x1)0

x0()

解：x01

limx01

1⒍多种方法的综合运用，减化运算过程2

例:求 lim1cosx2

x0x2sinx2

[解法一]:

1cosx2limx0x2

sinx2

2xsinx2sinxx02xx2cosx22xsinx2 2

limlimx0x2cosx2sinx2

sinx2

lim2x0cosx2

sinx

2=12 x2

注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。

[解法二]:

cosx2

2sin2

x2limsinx2sinx2

1x0x2sinx2=limx0x2sinx2limx0x21sinx2

x2

12 2x2

2

2注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。[解法三]:

11

1cosx21cosx22xsinx22xsinx21lim2lim22limlim2 3x0xsinx2x0x0x04x2xx4xx

注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则 [解法四]:

(x2)2

lim1cosx21cosx2x2x21x0x2sinx2limx0x4sinx2limx0x4sinx

22 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。[解法五]:

2

lim1cosx22sinx22(x2)21x

4

x0x2sinx2limx0x2sinx2limx0x2(x2)limx0x412

注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。 [解法六]：

lim1cosx21cosusinu

令ux2

，x0x2sinx2limu0usinulimu0sinuucosulimcosu

u0cosucosuusinu1

2

注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。 [解法七]:

1cosx2sinx2

lim11

x0x2sinx2limx0x2cosx2sinx2limx0

2

 1x

2tgx2

注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。 此题还可以列出十多种解法，本文就不再详述。 ㈡七种待定型的求法 这七种待定型是:

12

如何处理这七种待定型，以下逐一介绍，其中关键在于第一种待定型的介绍。 1.型与型 ⑴用洛必达法则 定理：若函数f和g满足

(i)limf(x)0,limg(x)0

xx0

xx0

0

,,0,,1,00,00

00

(ii)f与g在x0的某空心邻域U0(x0)内可导，且g'(x)0f'(x)

(iii)lim'A(A可为实数，也可为或），则 xx0g(x)f(x)f'(x)limlim'Axx0g(x)xx0g(x)

此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 例如：

2lnx1

lnx2lnxlimlimlim2lim0xxxx1x1x

2

0

时不可求导。0f(x)lim'

f(x)g(x)不存在，此时应遇到lim不存在也不是时，并不能说明原式xag'(x)

xsinxlim

另找他法，如xx。

注意：ⅰ. 要注意条件，也就是说，在没有化为,

ⅱ.洛必达法则并非万能，少数情况下，虽然满足洛必达法则的条

exexlim

xexex

件，但用它求解无效。如：，连续两次运用洛必达法则又回到

原表达式，出现死循环。此题直接计算即可。

iii.应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

iv.要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。

13

⑵利用泰勒公式

设f(x)在x0的领域内具有n阶导数，f(x)可以运用具有Peano（皮亚诺）余项的泰勒展式表示

f''(x0)f(n)(x0)2

f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)…(xx0)nRn(x)（1）

2!n!

其中Rn(x)o((xx0)n)，Rn(x)称为Peano（皮亚诺）余项，（1）称为Peano

（皮亚诺）余项的泰勒展式。 常用的初等函数的展开式有：

x

xx2e12!…xn

n!o(xn)

sinxxx3x5x2n1n

3!5!…(1)

o(x2n1(2n1)!

) 1x2x42ncosx…(1)nxo(x2n2!4!(2n)!

) 1

1x1x2…xno(xn) 11xx2x3…(1)nxno(xn1x

) 上述展开式中的符号o(xn)都有:

limo(xn)x0x

n0 如：

x0x21o(x2)11x2o(x2

lim46)

x0x2o(x2)x2

o(x2)

lim1

x0x2o(x2)12

⑶约去零因式（此法适用于xx0

0时,0

型）

例: 求x3x216x20

xlim2x37x216x12

解:原式=x3

3x210x(2x26x20)

xlim

2

x

3

5x26x

(2x210x12)

14

=(x2)(x23x10)

xlim2(x2)(x25x6)

=(x23x10)(x5)(x2)

xlim2(x25x6)=xlim2(x2)(x3)

=x5

xlim2

x37 ⑷“0

”型未定式中一类特殊情形

例：求下列极限3：

（1）lim(xh)3x3ln(1ax)

h0h；（2

）limx0（3）limx0x

。 解：（1）

(xh)3x3

limh0h

;lim(xhx)(xh)2x(xh)x2

h0h

lim2h0

(xh)x(xh)x2



3x2

（2）

lim

x0

limxlimxx0)

（3）令axt，则xta

，且当x0时t0，

15

lim

ln(1ax)x0x

1

xat1ta1t1t

x0

lim(1ax)

limln(1t)

t0

limln[(1t)]

t0

limaln(1t)

t0

alnlim(1t)

t0

alnea

⒉0型：对于函数f(x)g(x)属于“0”型未定式，可做如下变型：

g(x)f(x)110f(x)［或g(x)］，这样就化成了型或0型未定式了。

xx1

lim(x)tanlimlim2x2xcosxcsc2222 如： f(x)g(x)

g(x)f(x)11

此求法中把f(x)g(x)化成f(x)还是化成g(x)应视具体情况而定，看哪

一种化法更容易求解。

⒊型：为分式相减，先通分；为根式相减的，先根式有理化；

0

化为 0或型求极限。

如：

11lim()x0xln(1x)

ln(1x)xlim

x0xln(1x)ln(1x)xlimx0x2

11limx02x

x1

limx02x(1x)2

16

x0

11x01 2

x0

22 ⒋1,0,型：这三种情形均是冥指函数求极限，由



limu(x)v(x)

分类引

1

sinxxsinxx)y()v(x)

u(x)xx出 ，可先求对数的极限来求解。如，令，去

1

对数求极限：

ln

limlnylim

x0

x0

sinx

2x

sinx

1limx0x2

sinxxlimx0x3

cosx11limx03x26

故：原极限为e。 又如x0

x0



1

6

lim(cotx)

x0

1

lnx

，令y(cotx)，取对数求极限：

1lnx

limlnylim

lncotx

lnx

1

(csc2x)lim

x01

xx

lim1x0sinxcosx

1

故：原极限为e。

其中1亦可能用到重要极限

f(x)0

lim(1

1f(x)

)f(x)来求。如：

17

11x1

lim(1)xx02

x1x

lim(1)xlim(1)11

x0x022

x1

lim(1)x

x02

e



12

㈢求解几类特殊极限的方法： 1、放大缩小法

例1 设f(x)在x0点可微，而

nx0n(n1,2,…)nx0,nx0(n),求lim

n

f(n)f(n)

（1）

nn

分析：所求极限（1），是函数f(x)的增量与自变量相应的比的极限，很容易联想到导数的定义。显然

lim

f(n)f(x0)

f'(x0)f'(x0), （2） nnx0

f(n)f(n)limf'(x0)f'(x0), （3） nnn

（2），（3）的左边，分子与分子相加，分母与分母相加，就得（1）。（1）同（2）、（3）的关系就揭示出来了。

引理 若（其中a0,c0）则

bbdd

 （4）

aacc

bdbadbc

事实上， 0

acaa(ac)

bdd

同理 0

acc

ba

dc



下面是例1的求解。 解：应用上述引理，由于

f(n)f(n)(f(n)f(x0))(f(x0)f(n))

 （5）

nn(nx0)(x0n)f(n)f(n)f(n)f(x0)f(x0)f(n)知总在与之间

nx0x0nnn

记n(x0)min

f(n)f(n)f(x0)f(n)

,

nnx0n

f(n)f(n)f(x0)f(n)

n(x0)max,

xnn0n

则limn(x0)limn(x0)f'(x0)，而

n

n

18

n(x0)

f(n)f(n)

n(x0) （6）

nn

对（6）式利用求极限的两边夹方法，得到 limn

f(n)f(n)

f'(x0)

nn

2．线性插补法

例1 设f(x)在a,b内连续，若有xna,yna(n,xn,yna,b)，

f(xn)A,limf(yn)B （7） 使limnn

存在，则对A与B之间的任意数，必可找到zna,b,zna,f(zn)(n)。

分析：题意自然假定AB。

当n时， f(xn)A,f(yn)B的状态可能是多种多样的，虽然n充分大时，可做到f(xn)f(yn)（设AB时）。但f(yn)f(xn)的变化趋势仍然是复杂的，不一定具有单调性。为解决此问题，可以设想一种线性插补：将(A,f(xn))，

(,f(zn))与(B,f(yn))视为同一直线上的三点，于是

f(zn)f(xn)

A

BA

(f(yn)f(xn)) （8）

无论f(xn)与f(yn)的大小关系如何，f(zn)总在f(xn)与f(yn)之间。

证明：作 nf(xn)

(f(yn)f(xn)) （9） BA

显然，n位于f(xn)与f(yn)之间。因f(x)在a,b内连续。由连续的介

A

值定理，必存在位于xn与yn之间的点zn，适合f(zn)n，因xna,yna故zna(n)。

A

(f(yn)f(xn))A(BA) BABA

1

,1)。x0为f(x)的 注：上述例子的一个模型为f(x)sin，取a,b(0

x

振荡间断点。可取xn0，yn0，f(xn)0，f(yn)1(n1,2,…)且可做到



f(zn) 从而 limn

A

时而xnyn，时而xnyn可见，证明中的关键是“存在位于xn与yn之间的点zn”。

求函数极限的过程是综合运用以上所述的各种方法的过程，惟有真正掌握数学的思维方法，灵活运用，才能在求函数极限的过程中游刃有余，且受益于生活实践。

三、数列极限的几种特殊解法

㈠将数列转化成相应的函数，利用罗必达法则求极限

19

f(x)A成立时，就有数列极限根据海涅定理，当函数极限limx

limf(n)A成立。

n

4141

解 设ytgx() （不防设x）则lnyxlntg(

)

4x4x

111

(2)

1xlntg()tg()cos2()

1limlimlnylimxlntg()lim2

xxx4xx2xx 当x以任何方式趋向于时，其函数lny的极限值均为2。故

11

limtgn()explimnlntg()e2 nn4n4n

例1：求limtgn()

n



1n

㈡利用级数收敛的必要条件求

2nn!

例2：lim nnn

2nn!

解 考虑级数n

n1n



lim

n

n1nn2

lim2()1 nnn1e

由比值审敛法知，级数收敛，故当n 时，n0

2nn!

0 lim

nnn

该方法步骤简单且容易奏效，其根据是“若级数an收敛，则

n1



liman0”，故将数列极限的问题转化为级数收敛的问题。

n

㈢利用定积分定义或导数定义来求极限

有定积分定义知f(x)dx的值f(x)在a,b上的和数列的极限，所以反

ba

过来用定积分定义求这一类和式的极限。

例3 求lim

n解 原式



n111111111

limlimdx2nn1222n2nk0n(1x)22k1(1)(1)(1)(1)

nnnn



111

 222(n1)(n2)(nn)

与此例方法类似，利用导数定义亦可以求数列极限。

例4 若函数f(x)可微分及n为自然数，求

20



limnf(x)f(x) n





1

n

1

f(x)f(x)

1解：limnf(x)f(x)limf'(x) nnn

n

㈣用O.Stolz定理4求极限

lgn

nn

解 设xnlgn，ynn，则yn1yn，yn，且有 xx1

n1nlg(1)0，

yn1ynn

xnlgn

故 limlim0 nynnn

例5 求lim

此例运用了O.Stolz定理。即若

(a)yn1yn(n1,2,),(b)limyn,(c)lim

n

n

xn1xn

存在，则 yn1yn

limn

xnxxlimn1n ynnyn1yn

xn

本例方法常用于型的未定式lim，与根据海涅定理化为函数后使nyn

用罗必达法则有异曲同工之效。 ㈤利用中值定理求极限

a

),(a0) n1aa

解 设f(x)arctgx，在,上用拉格朗日中值定理，得 n1n

aa1aaaa f()f(，（其中） )()2

nn11nn1n1n

例6求 limn2(arctgarctg

n

an

故当n时，0，可知 原式=limn2

n 例7求lim

n

1aa1a2

()limna 12nn1n12n(n1)n1kx

xedx（k为自然数） n

n1kx

xedxke，（nn1） n

此例运用了微分中值定理，也有的数列极限可以利用积分中值定理来求。

解 由积分中值定理，有 当n时，，故

elim 原式=lim

n

k

k

e



0

21

㈥利用斯特林公式求极限

1

例8求lim(n!)n n



nn12

解

由斯特林公式：n!)en，（其中01）

e

1

于是 (n!)n

111n2nnn12n2n2nn12n(2)nne (2)nne

1

2

12



1

1

2

1

2

故 原式= lim(2)2nlimn2n

nn



1n

lime

n

n

12n3

1

以上只是介绍了求极限的一些重要和特殊的方法。本文的目的不在于只列举几个例题，而在于寻找一些非常见的数列极限的求法，也有的仅仅作者的一种尝试，可能尚不成熟，希望在此起到抛砖引玉的作用，供大家探讨。 参考文献：

《高等数学》，中央广播电视大学出版社 1柳重堪主编，

《大学数学解题艺术》，湖南大学出版社 2胡适耕，

《数学分析习题集题解》，上海交通大学应用数学 3曹敏谦，

《南京广播电视报》，浙江广播电视大学 4黄美初，

22

目录

摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 一、函数极限的一些基本求法„„„„„„„„„„2 二、求函数极限的一些技巧及特殊求法„„„„„„9

㈠运用化简原则，简化极限运算过程 ㈡七种待定型的求法 ㈢求解几类特殊极限的方法

三、数列极限的几种特殊解法„„„„„„„„„20 ㈠将数列转化为相应的函数

㈡利用级数收敛的必要性

㈢利用定级分或导数定义 ㈣用O.Stolz定理 ㈤利用中值定理 ㈥利用斯特林公式

总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„24

参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„24

关于极限的求法

郑英

（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）

摘要：极限是学习微积分的基础，是整个高等数学的基础，它贯穿于微积分学的始终，是微积分的重要研究方法。因而极限掌握的好坏直接影响到以后的学习。极限包括两类:数列的极限和函数的极限。求极限是学习数学中的一个重点和难点，本文对极限的求法作出了较为详细的归类总结，重点举例分析其中几种重要和特殊的解法。而对于求某些特殊形式的极限，本文也做出了相应的解决方法。而且本文中大部分例题都给出了多种解法，以便在学习求极限时学会分析和积累经验。

关键词：极限；数列；收敛；导数；线性插值。

Methods of the limit

Zheng Ying

（Department of Mathmatics Bohai University Jinzhou Liaoning 121000 China) Abstract The limit is the foundation of studying ealculus and the entire higher mathenetics.The limit which goes through the calcalus is an important reseach technigue.Thus grasping guality about the limit directly affects later study.The limit indudes two kinds:Sguence limit and Function limit.Solving limit plays an important and difficult role during studing mathematics.This article makes a classified sammarization on the mathods of limitin detail,maily analying some of the important and special methods.As for some methods of special limit,this article also puts forward other corresponding solutions. Moreover in this article the majority of sample questions have allproduced the

many kinds of solutions, in order to asks the limit whenthe study academic society analysis and accumulation experience.

Keywords The limit；The sequence；Restraining；The derivative；Linear interpolation.

引言

在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容1,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文分三个部分，来介绍极限的求法，首先简单介绍了求极限的基本解法，重点是第二部分求函数极限的一些技巧及特殊求法，这是我在学习数学分析和微积分中的一些总结以及和同学共同讨论的具体的实例。这对于解决极限问题有很大的帮助，尤其是一些技巧的运用可以让解题更轻松，简便，第三部分是关于数列极限的特殊求法。本文就关于求极限的方法、技巧以及特殊解法作了一个全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。

一、函数极限的一些基本求法：

1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:

x23x2lim1 x2x2

x23x2x24x4

1证: 由

x2x2



x22

x2

x2

0 取 则当0x2 时,就有

x23x2



x2

由函数极限定义有:

x23x2lim1 x2x2

2、利用极限的四则运算性质

f(x)A limg(x)B 若 xlim

xxx

f(x)g(x) xlimf(x)limg(x)AB (I)xlimxxxx

f(x)g(x)xlimf(x)limg(x)AB (II)xlimxxxx

(III)若 B≠0 则：

limf(x)

f(x)xx0A

lim xx0g(x)limg(x)B

xx0

cf(x)climf(x)cA （c为常数） （IV）xlim

xxx

上述性质对于x,x,x时也同样成立

x23x5

例：求 lim

x2x4

x23x5223255

解: lim= x2242x4

3、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）

设函数f(x)、g(x) 满足：

f(x)0；(II) g(x)M (M为正整数)， （I）xlim

x

g(x)f(x)0 则：xlimx

例: 求 limxsin

x0

1x

x0 而 sin 解: 由 limx0

1

1 x

故 原式 =limxsin0

x0

1x

4、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若：limf(x) 则 lim

1

0 f(x)

(II) 若: limf(x)0 且 f(x)≠0 则 lim例: 求下列极限

1

 f(x)

① lim

11

②lim

xx5x1x1

(x5) 故 lim解: 由 lim

x

1

0

xx51

(x1)0 故 lim由 lim= x1x1x1

5、等价无穷小代换法

设,',,' 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ~,~，

'

'

'

lim' 存在， 

'

则 lim 也存在，且有lim= lim'



1cosx2

例:求极限lim2

x0xsinx2

(x2)2

解: sinx~x, 1cosx~

2

2

2

2

(x2)2

1cosx21 = lim2

x0xsinx22x2x2

注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”。

6、利用两个重要的极限。

(A)lim

sinx1

1 (B)lim(1)xe

x0xxx

但我们经常使用的是它们的变形：

sin(x)

1,((x)0)(x)

1

(B')lim(1)(x)e,((x))

(x)(A')lim

例：求下列函数极限

ax1lncosax

(2)、 (1)、limlim

x0x0lncosbxx

x 解：（1）令ax

1u,则 xln(1u)a1ulnalna于是x

ln(1u)

又当x0时，u0

故有：limax1x0x

limulnau0ln(1u)limlnau0ln(1u)limlna

u01lnauln(1u)u

(2)、原式lim

ln[(1(cosax1)]

x0ln[1(cosbx1)]

lim

ln[(1(cosax1)]x0cosax1cosbx1

cosax1

ln[1(cosbx1)]

cosbx1lim

cosbx1

x0cosax1

sin2ax

2sin2x(ax)2(b

limx)2

x02sin2blimb2xx0sin2b2 x(a2

x)2

a

2(bx)22、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。(i)若f(x)在xx0处连续，则limxxf(x)f(x0)

(ii)若f[(x)]是复合函数，又limxx(x)a且

f(u)在ua处连续，则limxxf((x))f[lim(x)]f(a)

xx0

例：求下列函数的极限

(1)、limexcosx5x01x2ln(1x) （2） lim

ln1(x)

x0x

7

excosx5

解：由于x0属于初等函数f(x)的定义域之内。2

1xln(1x)故由函数的连续性定义有：excosx5limf(0)6x01x2ln(1x)ln(1x)

(2)、由ln(1x)x

x令x(1x)故有：

ln(1x)limlimln(1x)xln(lim(1x)x)lne1x0x0x0x

1

1

1

x

1

8、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：

lim

x1x1

nmlk

x1



ml

m、n、k、l 为正整数。 nk

例：求下列函数极限 ① lim

x1

1x1x

(m 、n N) ②lim(

x

2x3x1

) 2x1

解: ①令 t=x 则当x1 时 t1,于是

1tm(1t)(1tt2tm1)m

lim 原式=lim

t11tnt1(1t)(1tt2tn1)n

2x3x12x1

)=lim(1)

x2x1x2x12x1111令： 则 x1

2tt2

②由于lim(

2x3x12x1

t2

)=lim(1)=lim(1t) lim(

t0x2x1x2x1

1

t

12

11

(1t)lim(1t)e1e =limt0t0

9、 利用函数极限的存在性定理

定理: 设在x0的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:

g(x)limh(x)A xlimxxx

f(x) 存在, 且有 则极限 xlim

x

f(x)A xlimx

xn

例: 求 limx (a>1,n>0)

xa

解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x≤k+1 于是当 n>0 时有:

xn(k1)n

x

aak

xnknkn1

及 xk1k

aaaa

又 当x时,k 有

(k1)n(k1)nlima0a0 klim

kakak1

knkn11

lim00 及 klim 

kakak1aa



xn

lim=0 xax

10、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。

f(x)存在且等于A的充分必要条件是左极限定理：函数极限xlim

x

xx0

limf(x)及右极限limf(x)都存在且都等于A。即有：

xx0

xx0

xx0

xx0

limf(x)Alimf(x)=limf(x)=A



12ex,x0例：设f(x)=xx

,0x1 求lim

xx0f(x)及limx1

f(x) 

x2,x1解：xlim0

f(x)xlim0

(12ex)1

xlim0

f(x)xxxlim0

(

x

)xlim0

(x1)1

由limx0

f(x)lim0

f(x)1x

limx0

f(x)1

又limx1f(x)xlim1limx1

1)0 limx1f(x)limx1x21 由f(10)f(10)limx1

f(x)不存在

11、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点,使得

f'()

f(b)f(a)

ba

此式变形可为:

f(b)f(a)

ba

f'(a(ba)) (01)

例: 求 exlimesinx

x0xsinx

解:令f(x)ex 对它应用中值定理得

exesinxf(x)f(sinx)(xsinx)f'(sinx(xsinx)) (01)

:

即

exesinx

f'(sinx(xsinx)) (01)

xsinx

f'(x)ex连续

limf'(sinx(xsinx))f'(0)1

x0

exesinx

从而有: lim1 x0xsinx

现在我从另一角度对上述没有提及的几种重要方法作出归类总结。在此约定极限符号下面没有标明极限过程，是指对任一种极限过程均成立，但同一式中所有极限过程是对自变量的同一变化过程而言。

二、求函数极限的一些技巧及特殊求法

㈠运用化简原则，简化极限运算过程

⒈部分乘积因式的极限为非零常数时即可立即运用乘积极限的运算法则提出；及时利用因式分解、三角公式恒等变形化简；及时运用连续函数性质。对于n个存在极限函数，作积或和求取极限。我们可以试着摆脱常规作法（先作极限在求积或和），而是先对函数化简，再求极限。



limcoscos如：求极限limx0n





x

2

xx…cos 222n

解：由于

xxx

coscos2…cosn

2221xxxxcoscos2…cosnsinn

2222sinn21xxxxcoscos2…cosnsinn1

x22222sinn2

1xxxx1

coscos2…cosn2sinn2…sinx

22222n

2sinn2sinn

22xxx1sinx

limcoscos2…cosnlimsinxnnnx222x2sinn

2

xxxsinx

limlimcoscos2…cosnlim1x0nx0222x

2．用等价无穷小量替代法化简，为此必须牢记下述等价无穷小量：

sinxxtanx(e1)ln(1x)arctanxarcsinx，当x0时，

a

(1x)1ax。

x

(1cosx)

12

x2，

运用此法时必须注意:加减项的无穷小量不能用等价无穷小量代换，必须是两个无穷小量之比的形式或无穷小量作为极限式中的乘积因子，且代换后的极限存在，才可使用等价无穷小量替代法。

3.记住一些特殊量级的大小

①当x0时，，即x0

xaexlnx x②当时，即：x

x



xalnx

a

limxlnx0

，x0

a

lim(xlnx)(a0)

limexxa0

，x

limxalnx0

，x

4.记住一些常用结论:

lim(exxa)lim(xalnx)(a0)

①当a00,b00,m和n为非负整数时，

a0xma1xm1ama0

lim(当mn时)， xbxnbxn1bb001m

而当nm时，上式为0；当nm时，上式为。

sinf(x)1f(x)

1lim(1)e

f(x)0f(x)f(x)f(x)②， lim

遇到上述情况时，可立即运用上述结论。 5．用导数定义求极限 有导数定义lim

x0

f(x0x)f(x0)

f'(x0)把极限运算转化为在某一点处

x

的导数。

如：已知函数f(x)在x0处可导，表达式

x0

lim

f(x0ax)f(x0ax)

kf'(x0)，确定系数k.

x

解：

f(x0ax)f(x0)f(x0ax)f(x0)f(x0ax)f(x0ax)

limlimx0x0xx

fx0(ax)f(x0)f(x0ax)f(x0)

alimalimaf'(x0)af'(x0)2af'(x0)x0x0ax(ax)

由于f'(x0)kf'(x0)2a， 故k2a. 例：求取极限lim

x0（法一）

10

ln(x1)

x

解：lim

x0

ln(x1)ln(x1)ln(01)1

limln(x1)'X01 x0xx0x1X0

此例运用导数定义求极限，也从另一个角度认证了洛必达法则，对

此有另一种解法。 （法二）

lim

ln(x1)0

x0()

解：x01

limx01

1⒍多种方法的综合运用，减化运算过程2

例:求 lim1cosx2

x0x2sinx2

[解法一]:

1cosx2limx0x2

sinx2

2xsinx2sinxx02xx2cosx22xsinx2 2

limlimx0x2cosx2sinx2

sinx2

lim2x0cosx2

sinx

2=12 x2

注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。

[解法二]:

cosx2

2sin2

x2limsinx2sinx2

1x0x2sinx2=limx0x2sinx2limx0x21sinx2

x2

12 2x2

2

2注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。[解法三]:

11

1cosx21cosx22xsinx22xsinx21lim2lim22limlim2 3x0xsinx2x0x0x04x2xx4xx

注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则 [解法四]:

(x2)2

lim1cosx21cosx2x2x21x0x2sinx2limx0x4sinx2limx0x4sinx

22 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。[解法五]:

2

lim1cosx22sinx22(x2)21x

4

x0x2sinx2limx0x2sinx2limx0x2(x2)limx0x412

注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。 [解法六]：

lim1cosx21cosusinu

令ux2

，x0x2sinx2limu0usinulimu0sinuucosulimcosu

u0cosucosuusinu1

2

注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。 [解法七]:

1cosx2sinx2

lim11

x0x2sinx2limx0x2cosx2sinx2limx0

2

 1x

2tgx2

注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。 此题还可以列出十多种解法，本文就不再详述。 ㈡七种待定型的求法 这七种待定型是:

12

如何处理这七种待定型，以下逐一介绍，其中关键在于第一种待定型的介绍。 1.型与型 ⑴用洛必达法则 定理：若函数f和g满足

(i)limf(x)0,limg(x)0

xx0

xx0

0

,,0,,1,00,00

00

(ii)f与g在x0的某空心邻域U0(x0)内可导，且g'(x)0f'(x)

(iii)lim'A(A可为实数，也可为或），则 xx0g(x)f(x)f'(x)limlim'Axx0g(x)xx0g(x)

此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 例如：

2lnx1

lnx2lnxlimlimlim2lim0xxxx1x1x

2

0

时不可求导。0f(x)lim'

f(x)g(x)不存在，此时应遇到lim不存在也不是时，并不能说明原式xag'(x)

xsinxlim

另找他法，如xx。

注意：ⅰ. 要注意条件，也就是说，在没有化为,

ⅱ.洛必达法则并非万能，少数情况下，虽然满足洛必达法则的条

exexlim

xexex

件，但用它求解无效。如：，连续两次运用洛必达法则又回到

原表达式，出现死循环。此题直接计算即可。

iii.应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

iv.要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。

13

⑵利用泰勒公式

设f(x)在x0的领域内具有n阶导数，f(x)可以运用具有Peano（皮亚诺）余项的泰勒展式表示

f''(x0)f(n)(x0)2

f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)…(xx0)nRn(x)（1）

2!n!

其中Rn(x)o((xx0)n)，Rn(x)称为Peano（皮亚诺）余项，（1）称为Peano

（皮亚诺）余项的泰勒展式。 常用的初等函数的展开式有：

x

xx2e12!…xn

n!o(xn)

sinxxx3x5x2n1n

3!5!…(1)

o(x2n1(2n1)!

) 1x2x42ncosx…(1)nxo(x2n2!4!(2n)!

) 1

1x1x2…xno(xn) 11xx2x3…(1)nxno(xn1x

) 上述展开式中的符号o(xn)都有:

limo(xn)x0x

n0 如：

x0x21o(x2)11x2o(x2

lim46)

x0x2o(x2)x2

o(x2)

lim1

x0x2o(x2)12

⑶约去零因式（此法适用于xx0

0时,0

型）

例: 求x3x216x20

xlim2x37x216x12

解:原式=x3

3x210x(2x26x20)

xlim

2

x

3

5x26x

(2x210x12)

14

=(x2)(x23x10)

xlim2(x2)(x25x6)

=(x23x10)(x5)(x2)

xlim2(x25x6)=xlim2(x2)(x3)

=x5

xlim2

x37 ⑷“0

”型未定式中一类特殊情形

例：求下列极限3：

（1）lim(xh)3x3ln(1ax)

h0h；（2

）limx0（3）limx0x

。 解：（1）

(xh)3x3

limh0h

;lim(xhx)(xh)2x(xh)x2

h0h

lim2h0

(xh)x(xh)x2



3x2

（2）

lim

x0

limxlimxx0)

（3）令axt，则xta

，且当x0时t0，

15

lim

ln(1ax)x0x

1

xat1ta1t1t

x0

lim(1ax)

limln(1t)

t0

limln[(1t)]

t0

limaln(1t)

t0

alnlim(1t)

t0

alnea

⒉0型：对于函数f(x)g(x)属于“0”型未定式，可做如下变型：

g(x)f(x)110f(x)［或g(x)］，这样就化成了型或0型未定式了。

xx1

lim(x)tanlimlim2x2xcosxcsc2222 如： f(x)g(x)

g(x)f(x)11

此求法中把f(x)g(x)化成f(x)还是化成g(x)应视具体情况而定，看哪

一种化法更容易求解。

⒊型：为分式相减，先通分；为根式相减的，先根式有理化；

0

化为 0或型求极限。

如：

11lim()x0xln(1x)

ln(1x)xlim

x0xln(1x)ln(1x)xlimx0x2

11limx02x

x1

limx02x(1x)2

16

x0

11x01 2

x0

22 ⒋1,0,型：这三种情形均是冥指函数求极限，由



limu(x)v(x)

分类引

1

sinxxsinxx)y()v(x)

u(x)xx出 ，可先求对数的极限来求解。如，令，去

1

对数求极限：

ln

limlnylim

x0

x0

sinx

2x

sinx

1limx0x2

sinxxlimx0x3

cosx11limx03x26

故：原极限为e。 又如x0

x0



1

6

lim(cotx)

x0

1

lnx

，令y(cotx)，取对数求极限：

1lnx

limlnylim

lncotx

lnx

1

(csc2x)lim

x01

xx

lim1x0sinxcosx

1

故：原极限为e。

其中1亦可能用到重要极限

f(x)0

lim(1

1f(x)

)f(x)来求。如：

17

11x1

lim(1)xx02

x1x

lim(1)xlim(1)11

x0x022

x1

lim(1)x

x02

e



12

㈢求解几类特殊极限的方法： 1、放大缩小法

例1 设f(x)在x0点可微，而

nx0n(n1,2,…)nx0,nx0(n),求lim

n

f(n)f(n)

（1）

nn

分析：所求极限（1），是函数f(x)的增量与自变量相应的比的极限，很容易联想到导数的定义。显然

lim

f(n)f(x0)

f'(x0)f'(x0), （2） nnx0

f(n)f(n)limf'(x0)f'(x0), （3） nnn

（2），（3）的左边，分子与分子相加，分母与分母相加，就得（1）。（1）同（2）、（3）的关系就揭示出来了。

引理 若（其中a0,c0）则

bbdd

 （4）

aacc

bdbadbc

事实上， 0

acaa(ac)

bdd

同理 0

acc

ba

dc



下面是例1的求解。 解：应用上述引理，由于

f(n)f(n)(f(n)f(x0))(f(x0)f(n))

 （5）

nn(nx0)(x0n)f(n)f(n)f(n)f(x0)f(x0)f(n)知总在与之间

nx0x0nnn

记n(x0)min

f(n)f(n)f(x0)f(n)

,

nnx0n

f(n)f(n)f(x0)f(n)

n(x0)max,

xnn0n

则limn(x0)limn(x0)f'(x0)，而

n

n

18

n(x0)

f(n)f(n)

n(x0) （6）

nn

对（6）式利用求极限的两边夹方法，得到 limn

f(n)f(n)

f'(x0)

nn

2．线性插补法

例1 设f(x)在a,b内连续，若有xna,yna(n,xn,yna,b)，

f(xn)A,limf(yn)B （7） 使limnn

存在，则对A与B之间的任意数，必可找到zna,b,zna,f(zn)(n)。

分析：题意自然假定AB。

当n时， f(xn)A,f(yn)B的状态可能是多种多样的，虽然n充分大时，可做到f(xn)f(yn)（设AB时）。但f(yn)f(xn)的变化趋势仍然是复杂的，不一定具有单调性。为解决此问题，可以设想一种线性插补：将(A,f(xn))，

(,f(zn))与(B,f(yn))视为同一直线上的三点，于是

f(zn)f(xn)

A

BA

(f(yn)f(xn)) （8）

无论f(xn)与f(yn)的大小关系如何，f(zn)总在f(xn)与f(yn)之间。

证明：作 nf(xn)

(f(yn)f(xn)) （9） BA

显然，n位于f(xn)与f(yn)之间。因f(x)在a,b内连续。由连续的介

A

值定理，必存在位于xn与yn之间的点zn，适合f(zn)n，因xna,yna故zna(n)。

A

(f(yn)f(xn))A(BA) BABA

1

,1)。x0为f(x)的 注：上述例子的一个模型为f(x)sin，取a,b(0

x

振荡间断点。可取xn0，yn0，f(xn)0，f(yn)1(n1,2,…)且可做到



f(zn) 从而 limn

A

时而xnyn，时而xnyn可见，证明中的关键是“存在位于xn与yn之间的点zn”。

求函数极限的过程是综合运用以上所述的各种方法的过程，惟有真正掌握数学的思维方法，灵活运用，才能在求函数极限的过程中游刃有余，且受益于生活实践。

三、数列极限的几种特殊解法

㈠将数列转化成相应的函数，利用罗必达法则求极限

19

f(x)A成立时，就有数列极限根据海涅定理，当函数极限limx

limf(n)A成立。

n

4141

解 设ytgx() （不防设x）则lnyxlntg(

)

4x4x

111

(2)

1xlntg()tg()cos2()

1limlimlnylimxlntg()lim2

xxx4xx2xx 当x以任何方式趋向于时，其函数lny的极限值均为2。故

11

limtgn()explimnlntg()e2 nn4n4n

例1：求limtgn()

n



1n

㈡利用级数收敛的必要条件求

2nn!

例2：lim nnn

2nn!

解 考虑级数n

n1n



lim

n

n1nn2

lim2()1 nnn1e

由比值审敛法知，级数收敛，故当n 时，n0

2nn!

0 lim

nnn

该方法步骤简单且容易奏效，其根据是“若级数an收敛，则

n1



liman0”，故将数列极限的问题转化为级数收敛的问题。

n

㈢利用定积分定义或导数定义来求极限

有定积分定义知f(x)dx的值f(x)在a,b上的和数列的极限，所以反

ba

过来用定积分定义求这一类和式的极限。

例3 求lim

n解 原式



n111111111

limlimdx2nn1222n2nk0n(1x)22k1(1)(1)(1)(1)

nnnn



111

 222(n1)(n2)(nn)

与此例方法类似，利用导数定义亦可以求数列极限。

例4 若函数f(x)可微分及n为自然数，求

20



limnf(x)f(x) n





1

n

1

f(x)f(x)

1解：limnf(x)f(x)limf'(x) nnn

n

㈣用O.Stolz定理4求极限

lgn

nn

解 设xnlgn，ynn，则yn1yn，yn，且有 xx1

n1nlg(1)0，

yn1ynn

xnlgn

故 limlim0 nynnn

例5 求lim

此例运用了O.Stolz定理。即若

(a)yn1yn(n1,2,),(b)limyn,(c)lim

n

n

xn1xn

存在，则 yn1yn

limn

xnxxlimn1n ynnyn1yn

xn

本例方法常用于型的未定式lim，与根据海涅定理化为函数后使nyn

用罗必达法则有异曲同工之效。 ㈤利用中值定理求极限

a

),(a0) n1aa

解 设f(x)arctgx，在,上用拉格朗日中值定理，得 n1n

aa1aaaa f()f(，（其中） )()2

nn11nn1n1n

例6求 limn2(arctgarctg

n

an

故当n时，0，可知 原式=limn2

n 例7求lim

n

1aa1a2

()limna 12nn1n12n(n1)n1kx

xedx（k为自然数） n

n1kx

xedxke，（nn1） n

此例运用了微分中值定理，也有的数列极限可以利用积分中值定理来求。

解 由积分中值定理，有 当n时，，故

elim 原式=lim

n

k

k

e



0

21

㈥利用斯特林公式求极限

1

例8求lim(n!)n n



nn12

解

由斯特林公式：n!)en，（其中01）

e

1

于是 (n!)n

111n2nnn12n2n2nn12n(2)nne (2)nne

1

2

12



1

1

2

1

2

故 原式= lim(2)2nlimn2n

nn



1n

lime

n

n

12n3

1

以上只是介绍了求极限的一些重要和特殊的方法。本文的目的不在于只列举几个例题，而在于寻找一些非常见的数列极限的求法，也有的仅仅作者的一种尝试，可能尚不成熟，希望在此起到抛砖引玉的作用，供大家探讨。 参考文献：

《高等数学》，中央广播电视大学出版社 1柳重堪主编，

《大学数学解题艺术》，湖南大学出版社 2胡适耕，

《数学分析习题集题解》，上海交通大学应用数学 3曹敏谦，

《南京广播电视报》，浙江广播电视大学 4黄美初，

22