初高中衔接教材

第四部分分章节突破

1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.４．分式 1．2 分解因式

2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形

3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3圆

3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

a,a0,

|a|0,a0,

a,a0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

例1 解不等式：x1x3＞4．

解法一：由x10，得x1；由x30，得x3； ①若x1，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＜0，又x＜1， ∴x＜0；

②若1x2，不等式可变为(x1)(x3)4，即1＞4，

∴不存在满足条件的x；

③若x3，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＞4．又x≥3， ∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4．

解法二：如图1．1－1，x1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

|x－3|

所以，不等式xx3＞4的几何意义即为

|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知

点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．

x＜0，或x＞4．

练习 1．填空：

（1）若x5，则x=_________；若x4，则x=_________.

（2）如果ab5，且a1，则b＝________；若c2，则c＝________.

|x－1|

图1．1－1

2．选择题：

下列叙述正确的是（）

（A）若ab，则ab （B）若ab，则ab （C）若ab，则ab （D）若ab，则ab 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (ab)(ab)a2b2；

（2）完全平方公式 (ab)2a22ab2

．b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (ab)(a2ab2b)3a；3

（2）立方差公式 (ab)(a2ab2b)3a；3

（3）三数和平方公式 (abc)2a22

b2c2(abbc；) a

（4）两数和立方公式 (ab)3a33a2b3a2b；3

（5）两数差立方公式 (ab)3a33a2

b3a2b．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)．

解法一：原式=(x21)(x21)2x2



=(x21)(x4x21) =x61．

解法二：原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1) =(x31)(x31) =x61．

例2 已知abc4，abbcac4，求a2b2c2的值．解： a2b2c2(abc)22(abbcac)8．

练习 1．填空：

（1）

121219a4b(2b1

a)（）；（2）(4m )216m2

4m( )；

(3 ) (a2bc)2a24b2c2

( )． 2．选择题：

（1）若x2



mxk是一个完全平方式，则k等于（（A）m2

（B）1212124m （C）3m （D）16m

（2）不论a，b为何实数，a2b2

2a4b8的值（（A）总是正数（B）总是负数

（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

c ））

1.1.3．二次根式

a0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如

2x

1，x2

y2 1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式

，例如

与

一般

地，

b与b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，

a0,b0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

的意义

a

a,a0,

a,a0.

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1

（2

a0)；（3

x0)．解：（1



（2

a0)；（3

2x2xx0)．

例2

(3．解法一：

)

＝

解法二：

)

． 2

例3 试比较下列各组数的大小：

（1

（2

解：（1



， 

1，



 1 又 4＞2，

6＋46＋

22，

例4

化简：2004



2005．

（2

）∵

解：

2004

2005

＝

2004



＝



＝12004

2004



例 5 化简：（1

；（2 解：（1）原式



x1)．

22．

（2）原式

x，

x∵0x1， 1

∴1x， x

所以，原式＝x．

x例 6

已知xy

3x25xy3y2的值．解：

∵xy

2210，

xy

1， ∴3x25xy3y23(xy)211xy310211289．

练习 1．填空：（1

__ ___；

（2

(xx的取值范围是；

（3

）__ ___；（4

）若x

22．选择题：



成立的条件是（（A）x2 （B）x0 （C）x2 （D）0x2

．若b，求ab的值．

4．比较大小：24（填“＞”，或“＜”）．

）

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如

AAA的式子，若B中含有字母，且B0，则称为分式．当M≠0时，分式具BBB

有下列性质：

AAM； BBMAAM． BBM

上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

mnp

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

cd

np5x4AB

例1 若，求常数A,B的值．

x(x2)xx2ABA(x2)Bx(AB)x2A5x4

解： ∵，

xx2x(x2)x(x2)x(x2)AB5,

∴

2A4,

解得 A2,B3．

111

例2 （1）试证：（其中n是正整数）；

n(n1)nn1111 （2）计算：； 1223910

1111．（3）证明：对任意大于1的正整数n，有 2334n(n1)2

11(n1)n1

（1）证明：∵，

nn1n(n1)n(n1)111

 ∴（其中n是正整数）成立．

n(n1)nn1

（2）解：由（1）可知

111 122391011111

( ) (1))

22391019

1＝．

1010

（3）证明：∵

123134

n(n1) ＝(111111

23)(34)(n

n1) ＝11

2n1

，

又n≥2，且n是正整数，

∴1

n＋1

一定为正数，

∴111

12334

n(n1)＜2 ．例3 设ec

，且e＞1，2c2－5ac＋2a2a

＝0，求e的值．

解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴(2e－1)(e－2)＝0，

∴e＝1

2 ＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．

练习

1．填空题：

对任意的正整数n，1

n(n2)

(11nn2)；

2．选择题：

若2xyxy23，则x

＝（A）１（B）54

64 （C）5

（D）53．正数x,y满足x2y22xy，求xy

xy

的值．

4．计算1121112334...99100

．

习题1．1

A 组

1．解不等式：

(1) x3； (2) x3x27 ； (3) xx16．

２．已知xy1，求x3y3

3xy的值． 3．填空：

（1

）(218(219＝________；

（2

2，则a的取值范围是________；

）（

（3

________．

B 组

1．填空：

113a2ab

；（1）a，b，则2

233a5ab2b

x23xyy222

（2）若xxy2y0，则；

x2y2

2．已知：x

,y

的值． 23C 组

则（）

1．选择题：

（1）

（A）ab （B）ab （C）ab0 （D）ba0

（）（A

（B

（C

）（D

）112

2．解方程2(x2)3(x)10．

xx11113．计算：． 132435911

1111

4．试证：对任意的正整数n，有＜．

123234n(n1)(n2)4

（2

）计算

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2(ab)xyaby2；（4）xy1xy．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1 x x 1 －1 －2 －ay －1

1 x x 1 6 －2 －by －2 图1．2－3 图1．2－1 图1．2－4 图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．2－4，得

x2(ab)xyaby2＝(xay)(xby) （4）xy1xy＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法

例2 分解因式：

（1）x393x23x；（2）2x2xyy24x5y6．解：（1）x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3) =(x3)(x23)．或

x393x23x＝(x33x23x1)8＝(x1)38＝

(x1)323

＝[(x1)2][(x1)2(x1)222] ＝(x3)(x23)．

（2）2x2xyy24x5y6=2x2(y4)xy25y6 =2x2(y4)x(y2)(y3)=(2xy2)(xy3)．

或

2x2xyy24x5y6=(2x2xyy2)(4x5y)6

=(2xy)(xy)(4x5y)6 =(2xy2)(xy3)．

3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式

x y

图1．2－5

－1 1

ax2bxc(a0)就可分解为a(xx1)(xx2).

例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x22x1；（2）x24xy4y2．解：（1）令x22x1=0

，则解得x11

x21，

 ∴x22x

1=x(1x(1

=(x1x1．

（2）令x24xy4y2=0

，则解得x1(2

y，x1(2y， ∴x24xy

4y2=[x2(1y][x2(1y]．

练习

1．选择题：

多项式2x2xy15y2的一个因式为（）

（A）2x5y （B）x3y （C）x3y （D）x5y

2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1；（4）4(xy1)y(y2x)．

习题1．2

1．分解因式：

（1） a31；（2）4x413x29；

（3）b2c22ab2ac2bc；（4）3x25xy2y2x9y4．

2．在实数范围内因式分解：

（1）x25x3 ；（2

）x23；

（3）3x24xyy2；（4）(x22x)27(x22x)12．

3．ABC三边a，b，c满足a2b2c2abbcca，试判定ABC的形状．

4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

第四部分分章节突破

1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.４．分式 1．2 分解因式

2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形

3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3圆

3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

a,a0,

|a|0,a0,

a,a0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

例1 解不等式：x1x3＞4．

解法一：由x10，得x1；由x30，得x3； ①若x1，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＜0，又x＜1， ∴x＜0；

②若1x2，不等式可变为(x1)(x3)4，即1＞4，

∴不存在满足条件的x；

③若x3，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＞4．又x≥3， ∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4．

|x－3|

所以，不等式xx3＞4的几何意义即为

|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知

点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．

x＜0，或x＞4．

练习 1．填空：

（1）若x5，则x=_________；若x4，则x=_________.

（2）如果ab5，且a1，则b＝________；若c2，则c＝________.

|x－1|

图1．1－1

2．选择题：

下列叙述正确的是（）

（A）若ab，则ab （B）若ab，则ab （C）若ab，则ab （D）若ab，则ab 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (ab)(ab)a2b2；

（2）完全平方公式 (ab)2a22ab2

．b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (ab)(a2ab2b)3a；3

（2）立方差公式 (ab)(a2ab2b)3a；3

（3）三数和平方公式 (abc)2a22

b2c2(abbc；) a

（4）两数和立方公式 (ab)3a33a2b3a2b；3

（5）两数差立方公式 (ab)3a33a2

b3a2b．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)．

解法一：原式=(x21)(x21)2x2



=(x21)(x4x21) =x61．

解法二：原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1) =(x31)(x31) =x61．

例2 已知abc4，abbcac4，求a2b2c2的值．解： a2b2c2(abc)22(abbcac)8．

练习 1．填空：

（1）

121219a4b(2b1

a)（）；（2）(4m )216m2

4m( )；

(3 ) (a2bc)2a24b2c2

( )． 2．选择题：

（1）若x2



mxk是一个完全平方式，则k等于（（A）m2

（B）1212124m （C）3m （D）16m

（2）不论a，b为何实数，a2b2

2a4b8的值（（A）总是正数（B）总是负数

（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

c ））

1.1.3．二次根式

a0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如

2x

1，x2

y2 1．分母（子）有理化

，例如

与

一般

地，

b与b互为有理化因式．

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，

的意义

a

a,a0,

a,a0.

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1

（2

a0)；（3

x0)．解：（1



（2

a0)；（3

2x2xx0)．

例2

(3．解法一：

)

＝

解法二：

)

． 2

例3 试比较下列各组数的大小：

（1

（2

解：（1



， 

1，



 1 又 4＞2，

6＋46＋

22，

例4

化简：2004



2005．

（2

）∵

解：

2004

2005

＝

2004



＝



＝12004

2004



例 5 化简：（1

；（2 解：（1）原式



x1)．

22．

（2）原式

x，

x∵0x1， 1

∴1x， x

所以，原式＝x．

x例 6

已知xy

3x25xy3y2的值．解：

∵xy

2210，

xy

1， ∴3x25xy3y23(xy)211xy310211289．

练习 1．填空：（1

__ ___；

（2

(xx的取值范围是；

（3

）__ ___；（4

）若x

22．选择题：



成立的条件是（（A）x2 （B）x0 （C）x2 （D）0x2

．若b，求ab的值．

4．比较大小：24（填“＞”，或“＜”）．

）

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如

AAA的式子，若B中含有字母，且B0，则称为分式．当M≠0时，分式具BBB

有下列性质：

AAM； BBMAAM． BBM

上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

mnp

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

cd

np5x4AB

例1 若，求常数A,B的值．

x(x2)xx2ABA(x2)Bx(AB)x2A5x4

解： ∵，

xx2x(x2)x(x2)x(x2)AB5,

∴

2A4,

解得 A2,B3．

111

例2 （1）试证：（其中n是正整数）；

n(n1)nn1111 （2）计算：； 1223910

1111．（3）证明：对任意大于1的正整数n，有 2334n(n1)2

11(n1)n1

（1）证明：∵，

nn1n(n1)n(n1)111

 ∴（其中n是正整数）成立．

n(n1)nn1

（2）解：由（1）可知

111 122391011111

( ) (1))

22391019

1＝．

1010

（3）证明：∵

123134

n(n1) ＝(111111

23)(34)(n

n1) ＝11

2n1

，

又n≥2，且n是正整数，

∴1

n＋1

一定为正数，

∴111

12334

n(n1)＜2 ．例3 设ec

，且e＞1，2c2－5ac＋2a2a

＝0，求e的值．

解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴(2e－1)(e－2)＝0，

∴e＝1

2 ＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．

练习

1．填空题：

对任意的正整数n，1

n(n2)

(11nn2)；

2．选择题：

若2xyxy23，则x

＝（A）１（B）54

64 （C）5

（D）53．正数x,y满足x2y22xy，求xy

xy

的值．

4．计算1121112334...99100

．

习题1．1

A 组

1．解不等式：

(1) x3； (2) x3x27 ； (3) xx16．

２．已知xy1，求x3y3

3xy的值． 3．填空：

（1

）(218(219＝________；

（2

2，则a的取值范围是________；

）（

（3

________．

B 组

1．填空：

113a2ab

；（1）a，b，则2

233a5ab2b

x23xyy222

（2）若xxy2y0，则；

x2y2

2．已知：x

,y

的值． 23C 组

则（）

1．选择题：

（1）

（A）ab （B）ab （C）ab0 （D）ba0

（）（A

（B

（C

）（D

）112

2．解方程2(x2)3(x)10．

xx11113．计算：． 132435911

1111

4．试证：对任意的正整数n，有＜．

123234n(n1)(n2)4

（2

）计算

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2(ab)xyaby2；（4）xy1xy．

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1 x x 1 －1 －2 －ay －1

1 x x 1 6 －2 －by －2 图1．2－3 图1．2－1 图1．2－4 图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．2－4，得

x2(ab)xyaby2＝(xay)(xby) （4）xy1xy＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法

例2 分解因式：

（1）x393x23x；（2）2x2xyy24x5y6．解：（1）x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3) =(x3)(x23)．或

x393x23x＝(x33x23x1)8＝(x1)38＝

(x1)323

＝[(x1)2][(x1)2(x1)222] ＝(x3)(x23)．

（2）2x2xyy24x5y6=2x2(y4)xy25y6 =2x2(y4)x(y2)(y3)=(2xy2)(xy3)．

或

2x2xyy24x5y6=(2x2xyy2)(4x5y)6

=(2xy)(xy)(4x5y)6 =(2xy2)(xy3)．

3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式

x y

图1．2－5

－1 1

ax2bxc(a0)就可分解为a(xx1)(xx2).

例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x22x1；（2）x24xy4y2．解：（1）令x22x1=0

，则解得x11

x21，

 ∴x22x

1=x(1x(1

=(x1x1．

（2）令x24xy4y2=0

，则解得x1(2

y，x1(2y， ∴x24xy

4y2=[x2(1y][x2(1y]．

练习

1．选择题：

多项式2x2xy15y2的一个因式为（）

（A）2x5y （B）x3y （C）x3y （D）x5y

2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1；（4）4(xy1)y(y2x)．

习题1．2

1．分解因式：

（1） a31；（2）4x413x29；

（3）b2c22ab2ac2bc；（4）3x25xy2y2x9y4．

2．在实数范围内因式分解：

（1）x25x3 ；（2

）x23；

（3）3x24xyy2；（4）(x22x)27(x22x)12．

3．ABC三边a，b，c满足a2b2c2abbcca，试判定ABC的形状．

4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

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