曲线的切线

曲线的切线

湖北省武汉市第六中学 龚大晖

一、学习目标

1．知识目标：研究曲线的切线，从几何学的角度了解导数概念的背景，明确瞬时变化率就是导数，掌握求曲线切线斜率的一般方法.

2．能力目标：通过嫦娥一号绕月探测卫星变轨瞬间的瞬时速度和运动的方向为背景，从极限入手，培养学生的创新意识和数形转化能力.

3．情感目标：通过运动的观点，体会曲线切线的内涵，挖掘数形关系，激发学生学习数学的热情.

二、教学重点

曲线切线的概念形成，导数公式的理解和运用.

三、教学难点

理解曲线切线的形成是通过逼近的方法得出的.引导学生在平均变化率的基础上探求瞬时变化率.

四、教学过程

1．新课引入，创设情景

①（大屏幕显示）嫦娥一号绕月探测卫星运行轨迹以及四次变轨的全过程.

②讨论问题：卫星在每次变轨的瞬间不仅有瞬时速度，而且要研究它运动的方向.引出本节课主要研究的课题——曲线的切线.

2．概念形成，提出问题

①（大屏幕显示）分析卫星在变轨瞬间与变轨前的位置关系，引出曲线的割线.

②由运动的观点、极限的思想，归纳出曲线切线的概念.以及求曲线切线斜率的一种方法.

3．转换角度，分析问题

①引入增量的概念，在曲线C上取P（x0、y0）及邻近的一点Q（x0+△x，

y0+△y），过P、Q两点作割线，分别过P、Q作y轴，x轴的垂线相交于点M，设割线PQ的倾斜角β，ytan. x

②割线斜率用增量表示的形式不变.（大屏幕显示） 改变P的邻近点Q的位置、曲线的类型、倾斜角的性质，发现tanβy表示的形式始终x

不变.左、右邻近点的讨论，为下面说明极限的存在做准备.

4．归纳总结，解决问题

①（大屏幕显示）由于△x可正可负，

但△x≠0，研究△x无限趋近于0，

用极限的观点导出曲线切线的斜率.

②讨论问题：引导学生将这一运动过程

转化为已学的代数问题.

k==limf(x0x)f(x0)ylim x0xx0x

点评公式，重点强调平均变化率和瞬时变化率之间的关系，提出导数.同时引导学生归纳出求曲线切线斜率的一般方法和步骤

5．例题剖析，深化问题

例：曲线的方程f(x)=x2+1 求此曲线在点P（1,2）处的切线的方程

6．学生演板，落实问题

①已知曲线y=2x2上一点A(1,2)，求

（1）点A处的切线的斜率；

（2）点A处的切线的方程.

②求曲线y=x2+1在点P(－2,5)处的切线方程.

7．课堂小结

8．作业

P125 第6、7、8、9题

曲 线 的 切 线 教 案 说 明

湖北省武汉市第六中学 龚大晖

一、“曲线的切线”的内涵与外延

“曲线的切线”是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学数学第三册（选修Ⅱ）第三章第一节（第一课时）的内容。“曲线的切线”，是在学生学习了函数的极限及其运算法则之后，而引入的平均变化率和瞬时变化率问题。对“曲线的切线”的研究，为解决过曲线上一点的切线的斜率问题提供了一种新的方法。

从教材的编排上讲，有关“曲线的切线”和“瞬时速度”这两个小节的介绍，是为了引出导数的概念。以“曲线的切线”和“瞬时速度”这两个背景作为新知识的生长点，不仅使新知识的引入变得自然，而且为新知识的构建提供了有效的类比方法。高中微积分的主要内容是上一节的“极限”与本章的“导数”。在知识结构上，通过“极限”一节的学习，学生已经理解了函数极限的概念，掌握了函数极限的运算法则，了解了函数连续性的意义，这就为学习导数进行了辅垫。

导数是近代数学中微积分的重要部分，“导数的概念”是导数部分的核心。导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算处理函数的性质更具一般性。用导数的方法解决数学问题，可使我们扩展知识面，感悟增量、极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题，它还是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具。从现实意义上看，导数的概念是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时又促进了生产技术和自然科学的发展，它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活以及经济领域也日渐显示出其重要的功能。

二、教学本质及教学目标

1、教学本质

整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出（1）“动”——师生互动，共同探索。（2）“导”——教师指导，循环渐进。重视思维发展的过程，重视数学要领的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识把数学的学习和科技的发展紧密地结合起来，让学生感受到“身边的数学”。培养学生的学习毅力，让学生学习有趣的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。

2、教学目标

（1）知识与技能目标

从嫦娥一号绕月探测卫星的发射和变轨运行的材料背景出发，通过对增量形成过程的剖析以及对平均变化率和瞬时变化率区分和联系，了解了导数概念的背景，掌握了过曲线上一点的切线的一般求法，知道了瞬时变化率就是导数。

（2）过程与教学目标

从嫦娥一号变轨瞬间沿切线方向运动这一材料背景出发，提出了研究的课题——曲线的切线，由割线存在一个极限位置，演示了切线形成的过程，提出了曲线的切线的概念。通过对改变切点的邻近点、曲线类型、切线倾斜角等不同条件的分析，发现用增量表示割线倾斜角的形式始终没有发生改变，让学生感知辩证与统一的观点，体会类比、逼近、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法，感受十分抽象的导数概念的意识，熟悉这就是一种导数概念的定义方法。

（3）情感、态度与价值观目标

通过对曲线的切线的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的观点处理数学问题。了解导数概念建立的背景和过程，为进一步学习函数，特别是判断函数的单调性、讨论函数的极值以及函数的最值，提供了一种新的方法。

三、教法诊断分析

在教法中“以学生为本”的教育理念是本节课教学设计的根本指导思想。我在课程的教学设计中，对学生学习与发展的关系作了认真思考，强调学生的“感受”、“体会”、“经历”的过程学习；从学生的发展出发，通过对学生的“情感”，“态度”，“理性精神”的关注与培养，来优化学生的思维品质.在作业设计方面尽量满足多样化的学习需求。在难点的突破上采取了有效的分解和拓展策略。通过对学生已有的认知结构和学生最近发展区的剖析，充分挖掘教材的实质，找准了平均变化率不随点的位置和角的性质的变化而发生变化的依据，用增量表示的割线斜率的形式始终不变，为学生对曲线切线的理解创设了先机，打开了学生从情感上认可和接受“曲线切线的斜率”的通道。

在本节课的学习中，学生最难理解的是，曲线切线的斜率就是创设导数概念的实际背景，以及切线概念的形成；最容易了解的是，割线斜率的增量表示形式；最容易误解的是，过曲线上一点的切线是与曲线只有唯一公共点的直线。第二点最容易误解的是，过不在曲线上某一点的切线斜率的求法与过曲线上某一点的切线斜率的求法一样，这也为今后理解函数y=f(x)在x=x0处可导打下基础。

通过对教材内容、学生情况的分析，较好地解决了“教什么”、“为什么教”、“怎么教”的问题，选择了较为恰当的支架过程教法，设计了可操作性的方案，教师的组织者、引导者、合作者的身份没有动摇学生的主体地位，更没有否定学生智力发展需要有意识的培养。既不高估学生的理解力，也不抹杀学生自身的创造性。

四、教法特点及预期的效果分析

1、教法特点

我在本节课的教学中依据的是循序渐进原则和可接受原则，设计的理念是把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及其教学过程中的“悟”为三个子系

y，x

用运动的观点去认识曲线的切线的形成过程，在割线的变化过程中，提出：①△x，

yy△y有什么变化？②有什么含义？③在△x→0时是否存在极限？引导学生弄xx

清平均变化率与瞬时变化率之间的联系；“学”，即以嫦娥一号绕月卫星在变轨运动的瞬间的运动状态为具体的背景提出问题，通过感受、联想分析和解决问题；“悟”，即通过教师的“导”，学生的“学”，“悟”出过曲线上一点的切线的形成过程，以及过曲线上一点切线斜率的求法公式。 统组成的多要素的和谐整体。“导”，即引导学生用变量观点去认识△x，△y和

在教学过程中，借助嫦娥一号绕月卫星变轨瞬间的运动状态，提出研究曲线的切线的必要性，通过视频资料直观展示割线的动态变化，向学生渗透无限逼近的极限思想，为形成曲线的切线这一概念进行了铺垫。

2、效果分析

本堂课由平均变化率到瞬时变化率的过渡，探索了一种求曲线切线的方法，充分展示了一个完整的数学探究过程，提出问题，发现问题，给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。教学中，通过归纳、总结，使学生能够直观地把握曲线切线的概念。按照设计的方案定义曲线的切线，（1）避免学生认知水平和知识学习间的矛盾，即理清了函数、增量、极限、切线、切线的斜率之间的关系；（2）将更多的精力放在对曲线切线的本质的理解上；（3）掌握导数概念形成背景和过曲线上一点的切线方程的一种求法；（4）学生对极限的思想有了丰富的直观基础，为大学的初级阶段进一步学习严格的极限定义打下了基础。

曲线的切线

湖北省武汉市第六中学 龚大晖

一、学习目标

1．知识目标：研究曲线的切线，从几何学的角度了解导数概念的背景，明确瞬时变化率就是导数，掌握求曲线切线斜率的一般方法.

2．能力目标：通过嫦娥一号绕月探测卫星变轨瞬间的瞬时速度和运动的方向为背景，从极限入手，培养学生的创新意识和数形转化能力.

3．情感目标：通过运动的观点，体会曲线切线的内涵，挖掘数形关系，激发学生学习数学的热情.

二、教学重点

曲线切线的概念形成，导数公式的理解和运用.

三、教学难点

理解曲线切线的形成是通过逼近的方法得出的.引导学生在平均变化率的基础上探求瞬时变化率.

四、教学过程

1．新课引入，创设情景

①（大屏幕显示）嫦娥一号绕月探测卫星运行轨迹以及四次变轨的全过程.

②讨论问题：卫星在每次变轨的瞬间不仅有瞬时速度，而且要研究它运动的方向.引出本节课主要研究的课题——曲线的切线.

2．概念形成，提出问题

①（大屏幕显示）分析卫星在变轨瞬间与变轨前的位置关系，引出曲线的割线.

②由运动的观点、极限的思想，归纳出曲线切线的概念.以及求曲线切线斜率的一种方法.

3．转换角度，分析问题

①引入增量的概念，在曲线C上取P（x0、y0）及邻近的一点Q（x0+△x，

y0+△y），过P、Q两点作割线，分别过P、Q作y轴，x轴的垂线相交于点M，设割线PQ的倾斜角β，ytan. x

②割线斜率用增量表示的形式不变.（大屏幕显示） 改变P的邻近点Q的位置、曲线的类型、倾斜角的性质，发现tanβy表示的形式始终x

不变.左、右邻近点的讨论，为下面说明极限的存在做准备.

4．归纳总结，解决问题

①（大屏幕显示）由于△x可正可负，

但△x≠0，研究△x无限趋近于0，

用极限的观点导出曲线切线的斜率.

②讨论问题：引导学生将这一运动过程

转化为已学的代数问题.

k==limf(x0x)f(x0)ylim x0xx0x

点评公式，重点强调平均变化率和瞬时变化率之间的关系，提出导数.同时引导学生归纳出求曲线切线斜率的一般方法和步骤

5．例题剖析，深化问题

例：曲线的方程f(x)=x2+1 求此曲线在点P（1,2）处的切线的方程

6．学生演板，落实问题

①已知曲线y=2x2上一点A(1,2)，求

（1）点A处的切线的斜率；

（2）点A处的切线的方程.

②求曲线y=x2+1在点P(－2,5)处的切线方程.

7．课堂小结

8．作业

P125 第6、7、8、9题

曲 线 的 切 线 教 案 说 明

湖北省武汉市第六中学 龚大晖

一、“曲线的切线”的内涵与外延

“曲线的切线”是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学数学第三册（选修Ⅱ）第三章第一节（第一课时）的内容。“曲线的切线”，是在学生学习了函数的极限及其运算法则之后，而引入的平均变化率和瞬时变化率问题。对“曲线的切线”的研究，为解决过曲线上一点的切线的斜率问题提供了一种新的方法。

从教材的编排上讲，有关“曲线的切线”和“瞬时速度”这两个小节的介绍，是为了引出导数的概念。以“曲线的切线”和“瞬时速度”这两个背景作为新知识的生长点，不仅使新知识的引入变得自然，而且为新知识的构建提供了有效的类比方法。高中微积分的主要内容是上一节的“极限”与本章的“导数”。在知识结构上，通过“极限”一节的学习，学生已经理解了函数极限的概念，掌握了函数极限的运算法则，了解了函数连续性的意义，这就为学习导数进行了辅垫。

导数是近代数学中微积分的重要部分，“导数的概念”是导数部分的核心。导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算处理函数的性质更具一般性。用导数的方法解决数学问题，可使我们扩展知识面，感悟增量、极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题，它还是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具。从现实意义上看，导数的概念是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时又促进了生产技术和自然科学的发展，它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活以及经济领域也日渐显示出其重要的功能。

二、教学本质及教学目标

1、教学本质

整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出（1）“动”——师生互动，共同探索。（2）“导”——教师指导，循环渐进。重视思维发展的过程，重视数学要领的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识把数学的学习和科技的发展紧密地结合起来，让学生感受到“身边的数学”。培养学生的学习毅力，让学生学习有趣的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。

2、教学目标

（1）知识与技能目标

从嫦娥一号绕月探测卫星的发射和变轨运行的材料背景出发，通过对增量形成过程的剖析以及对平均变化率和瞬时变化率区分和联系，了解了导数概念的背景，掌握了过曲线上一点的切线的一般求法，知道了瞬时变化率就是导数。

（2）过程与教学目标

从嫦娥一号变轨瞬间沿切线方向运动这一材料背景出发，提出了研究的课题——曲线的切线，由割线存在一个极限位置，演示了切线形成的过程，提出了曲线的切线的概念。通过对改变切点的邻近点、曲线类型、切线倾斜角等不同条件的分析，发现用增量表示割线倾斜角的形式始终没有发生改变，让学生感知辩证与统一的观点，体会类比、逼近、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法，感受十分抽象的导数概念的意识，熟悉这就是一种导数概念的定义方法。

（3）情感、态度与价值观目标

通过对曲线的切线的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的观点处理数学问题。了解导数概念建立的背景和过程，为进一步学习函数，特别是判断函数的单调性、讨论函数的极值以及函数的最值，提供了一种新的方法。

三、教法诊断分析

在教法中“以学生为本”的教育理念是本节课教学设计的根本指导思想。我在课程的教学设计中，对学生学习与发展的关系作了认真思考，强调学生的“感受”、“体会”、“经历”的过程学习；从学生的发展出发，通过对学生的“情感”，“态度”，“理性精神”的关注与培养，来优化学生的思维品质.在作业设计方面尽量满足多样化的学习需求。在难点的突破上采取了有效的分解和拓展策略。通过对学生已有的认知结构和学生最近发展区的剖析，充分挖掘教材的实质，找准了平均变化率不随点的位置和角的性质的变化而发生变化的依据，用增量表示的割线斜率的形式始终不变，为学生对曲线切线的理解创设了先机，打开了学生从情感上认可和接受“曲线切线的斜率”的通道。

在本节课的学习中，学生最难理解的是，曲线切线的斜率就是创设导数概念的实际背景，以及切线概念的形成；最容易了解的是，割线斜率的增量表示形式；最容易误解的是，过曲线上一点的切线是与曲线只有唯一公共点的直线。第二点最容易误解的是，过不在曲线上某一点的切线斜率的求法与过曲线上某一点的切线斜率的求法一样，这也为今后理解函数y=f(x)在x=x0处可导打下基础。

通过对教材内容、学生情况的分析，较好地解决了“教什么”、“为什么教”、“怎么教”的问题，选择了较为恰当的支架过程教法，设计了可操作性的方案，教师的组织者、引导者、合作者的身份没有动摇学生的主体地位，更没有否定学生智力发展需要有意识的培养。既不高估学生的理解力，也不抹杀学生自身的创造性。

四、教法特点及预期的效果分析

1、教法特点

我在本节课的教学中依据的是循序渐进原则和可接受原则，设计的理念是把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及其教学过程中的“悟”为三个子系

y，x

用运动的观点去认识曲线的切线的形成过程，在割线的变化过程中，提出：①△x，

yy△y有什么变化？②有什么含义？③在△x→0时是否存在极限？引导学生弄xx

清平均变化率与瞬时变化率之间的联系；“学”，即以嫦娥一号绕月卫星在变轨运动的瞬间的运动状态为具体的背景提出问题，通过感受、联想分析和解决问题；“悟”，即通过教师的“导”，学生的“学”，“悟”出过曲线上一点的切线的形成过程，以及过曲线上一点切线斜率的求法公式。 统组成的多要素的和谐整体。“导”，即引导学生用变量观点去认识△x，△y和

在教学过程中，借助嫦娥一号绕月卫星变轨瞬间的运动状态，提出研究曲线的切线的必要性，通过视频资料直观展示割线的动态变化，向学生渗透无限逼近的极限思想，为形成曲线的切线这一概念进行了铺垫。

2、效果分析

本堂课由平均变化率到瞬时变化率的过渡，探索了一种求曲线切线的方法，充分展示了一个完整的数学探究过程，提出问题，发现问题，给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。教学中，通过归纳、总结，使学生能够直观地把握曲线切线的概念。按照设计的方案定义曲线的切线，（1）避免学生认知水平和知识学习间的矛盾，即理清了函数、增量、极限、切线、切线的斜率之间的关系；（2）将更多的精力放在对曲线切线的本质的理解上；（3）掌握导数概念形成背景和过曲线上一点的切线方程的一种求法；（4）学生对极限的思想有了丰富的直观基础，为大学的初级阶段进一步学习严格的极限定义打下了基础。