第4讲 倍数问题
一. 常见的倍数问题
1. 和倍问题:已知两数的和以及这两个数之间的倍数关系,求这两个数。
2. 差倍问题:已知两数的差以及这两个数之间的倍数关系,求这两个数。
二.怎么解决倍数问题
1.和倍问题的解决要点
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
2.差倍问题的解决要点
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
注意:此处的小数是指较小的数。
三.例题与解答
例1:甲乙两人做机器零件,甲和乙共做800个零件,且甲做的零件个数是乙的3倍。问:甲、乙两人各做多少个零件?
分析:甲做的零件个数是乙做的3倍,所以两人所做零件个数的和是乙做的零件个数的(3+1)倍,即4倍。从而乙做的零件个数是800÷4个。
解:乙做的零件个数是
800÷(3+1)=800÷4=200
甲做的零件个数是
200×3=600
答:甲做了600个零件,乙做了200个零件。
例2:甲乙两人做机器零件,甲比乙多做400个零件,且甲做的零件个数是乙的3倍。问:甲、乙两人各做多少个零件?
分析:甲做的零件个数是乙做的3倍,所以两人所做零件个数的差是乙做的零件个数的(3-1)倍,即2倍。从而乙做的零件个数是400÷2个。
解:乙做的零件个数是
400÷(3-1)=400÷2=200
甲做的零件个数是
200×3=600
答:甲做了600个零件,乙做了200个零件。
练习1:哥哥、弟弟共种了52棵树,哥哥种的树是弟弟的3倍。问:兄弟两人各种多少棵树?
练习2:哥哥比弟弟多种了26棵树,哥哥种的树是弟弟的3倍。问:兄弟两人各种多少棵树?
例3:甲比乙多存140元。如果乙取出60元,甲存入60元,那么甲的存款为乙的3倍。问:甲、乙两人原有存款各是多少元?
分析:甲原来比乙多140元,如果乙取出60元,甲存入60元后,那么甲比乙多140+60+60=260元。这时,甲的存款为乙存款的3倍,问题转化为差倍问题。
解:乙原有存款数为
(140+60+60)÷(3-1)+60=190(元)
甲原有的存款为
190+140=330(元)
答:甲原有存款330元,乙原有存款190元。
练习3:某班级的同学参加活动小组,已知参加语文小组的同学比参加数学小组的多26人,且语文小组的人数比数学小组人数的3倍少14人。问:参加两类兴趣小组的同学各有多少人?
例4:甲、乙两人分别带150元、70元去买东西。两人买了同样的东西之后,剩下的钱数甲是乙的5倍。问:甲、乙两人身上各剩多少钱?
解:乙身上还剩
(150-70)÷(5-1)=20(元)
甲身上还剩
20×5=100(元)
答:甲身上还剩100元,乙身上还剩20元。
练习4:小明的爸爸办了一个养鸡场。今年比去年多养了4000只小鸡,且今年的小鸡数比去年的三倍少2000只。问:今年、去年各养了多少只小鸡?
例5:小华在读一本童话选。第一天比第二天多读了30页。第三天比第一天多读了45页。第三天是第一天的2倍。问:三天各读了多少页?
解:第一天读的页数为
(30+45)÷(2-1)=75
第二天读的页数为
75+30=105
第三天读的页数为
105+45=150
答:小华第一天读了75页,第二天读了105页,第三天读了150页。
练习5:有两袋米,甲袋比乙袋少18千克。如果再从甲袋倒入乙袋6千克,那么甲袋的米是乙袋的一半,两袋原来各有米多少千克?
家庭作业
1.有两缸金鱼。如果从第一缸取出15条放入第二缸,那么第二缸的金鱼正好是第一缸的2倍。已知第二缸原有金鱼35条。第一缸原有金
鱼多少条?
2.有甲、乙两桶汽油甲桶比乙桶重16千克。从甲桶中倒一半给乙桶,这时乙桶重80千克。原来甲桶和乙桶各有多少千克汽油?
3. 大桶装水是小桶的3倍。如果从大桶倒出85千克,从小桶倒出5千克,那么剩下的水是一样多的。问:两个桶原有多少千克水?
4. 甲比乙多做了5个零件。如果甲给了乙100个零件之后,甲的零件个数就是乙的一半,问: 甲、乙两人原来各做了多少零件?
5. 三个队植树,第一对比第二队多植了20棵。第二队比第三队少植了5棵。第一队植树是第三队的2倍。问:三队各植了多少棵树?
6. 两根同样长的铁丝,第一根用去65厘米,第二根用去9厘米。剩下的铁丝,第二根的长是第一根长的3倍。问:每根铁丝原来有多长?
7. 甲、乙、丙三人年龄之和是94岁,且甲的2倍比丙多5岁,乙的二倍比丙多19岁。问:甲、乙、丙三人各多大?
平均数的应用家庭作业
1. 某次考试,21位女生平均分数是82分,19位男生平均分数是87分。问全体同学平均分是多少?
2.5位同学按身高由高到低从左到右排成一行,左起三位同学的平均身高是150厘米,右起三位同学的平均身高是147厘米,5位同学的平均身高是148.5厘米。小明站在中间,小明身高多少厘米?
3. 五年级1班52人,2班48人,某次算术考试中,两班全体同学平均分为78分。2班的平均分比一班的平均分高5分问两班的平均分各是多少?
4. 去年前5个月,张敏家每月平均储蓄420元。从6月份起每月储蓄600元,那么从哪月起,他家每月平均储蓄不少于500元?
5.A 、B 、C 、D4个数,每次去掉一个数,求其余3个数的平均数,这样算了4次,得到以下4个数:45、60、65、70。问原来4个数的平均数是多少?
第5讲 年龄问题
年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如:已知两个人或若干个人的年龄,求他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确分析解答这类问题,首先要明白:两个不同年龄的人,年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点,运用“和差”、“差倍”等知识来分析解答有关年龄问题。
年龄问题的三个基本特征:
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
例题与方法
例1. 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后,爸爸比妈妈大6岁。今年爸
爸、妈妈各多少岁?
分析 爸爸和妈妈的年龄差始终不变,现在爸爸比妈妈仍大6岁。问题转化为和差问题。
解:今年妈妈的年龄为
(82-6)÷2=38(岁)
今年爸爸的年龄为
38+6=44(岁)
答:今年爸爸和妈妈的年龄各为44岁、38岁。
练习1 强强今年11岁,军军今年7岁。当两人的年龄的是38岁时,两人各是多少岁?
例2. 小红今年7岁,妈妈今年35岁。小红几岁时,妈妈的年龄正好是小红的
3倍?
分析 今年妈妈与小红年龄的差是(35-7)=28(岁),这个年龄差是不变的。在妈妈年龄正好是小红的3倍时,年龄差仍为28岁。问题转化为差倍问题,利用差倍公式解决问题。
解:小红的年龄为
(35-7)÷(3-1)=14
答:小红年龄为14岁时,妈妈的年龄正好是小红的3倍。
练习2 明明今年3岁,妈妈今年27岁。明明几岁时,妈妈的年龄正好是明明的5倍?
例3. 6年前,母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是76岁。问:母亲
今年多少岁?
分析 六年前母子年龄和为(78-6-6)=66(岁),6年前,母亲的年龄是儿子的5倍。转化为和倍问题。
解:六年前儿子的年龄为
(78-6-6)÷(5+1)=11(岁)
六年前母亲的年龄为
11×5=55(岁)
今年母亲的年龄为
55+6=61(岁)
答:母亲今年61岁。
练习3 父子两人今年的年龄和是40岁。儿子年龄的5倍比父亲的年龄大2岁。父子两人3年后各是多少岁?
例4. 甲的年龄比乙的年龄的4倍少3,甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。
问:甲、乙现在各为多少岁?
分析 “甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。”表明甲比乙大6岁。甲如果再增加三岁,那么就是乙的年龄的4倍,问题转化为差倍问题。
解:现在乙的年龄为
(6+3)÷(4-1)=3(岁)
现在甲的年龄为
3+6=9(岁)
答:甲、乙现在各为9岁、3岁。
练习4 甲的年龄比乙的年龄的3倍少4,甲5年前的年龄比乙3年后的年龄大2岁。问:甲、乙现在各为多少岁?
例5. 小象对大象说:“妈妈,我到你现在这么大时,你就31岁了。”大象说“我
像你这么大时,你只有1岁。”问:大、小象现在各为多少岁?
分析 由小象的话可知 (大象的年龄)+(大、小象的年龄差)=31
有大象的话可知(小象的年龄)-(大、小象的年龄差)=1
因此,1岁时的小象曾加一个大、小象的年龄差,就成为现在小象的年龄,增加两个大、小象的年龄差就成为现在大象的年龄,增加三个大、小象的年龄差就成为31岁。
解:大、小象的年龄差是
(31-1)÷3=10
小象现在的年龄是
1+10=11(岁)
大象现在的年龄是
11+10=21(岁)
答:大、小象现在各为21、11岁。
练习5 小熊对老熊说:“妈妈,我到你现在这么大时,你就36岁了。”大象说“我像你这么大时,你只有3岁。”问:现在老熊、小熊各为多少岁? 例6. 一位老翁有三个孙子,年龄分别是22、20、15岁。25年后,这三个孙子
的年龄的和比老翁那时的年龄的2倍少60岁。问:老翁现在多少岁? 解:25年后,三个孙子的年龄的和是
22+20+15+25×3=132(岁)
老翁那时的年龄是
(132+60)÷2=96(岁)
所以老翁现在的年龄是
96-25=71(岁)
答:老翁现在71岁。
练习6 一位老翁有三个孙子,年龄分别是15、12、10岁。10年后,这三个孙子的年龄的和比老翁那时的年龄的2倍少30岁。问:老翁现在多少岁?
家庭作业
1.小强今年13岁,小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时。两人各是多少岁?
2.爷爷今年72岁,孙子今年12岁。几年后爷爷的年龄是孙子的5倍?几年前爷爷的年龄是孙子是的13倍?
3.小勇5年前的年龄等于小辉7年后的年龄,小勇4年后的年龄与小辉3年前的年龄和是35岁。小勇、小辉今年各多少岁?
4.一家三口,母亲比父亲小两岁,父亲比儿子大27岁,5年后全家的年龄的是82岁。现在每个人的年龄分别是多少岁?
5.当师傅的年龄与徒弟今年的年龄相等时,徒弟的年龄为10岁。当徒弟的年龄与师傅今年的年龄相等时,师傅已经37岁。今年师傅两人各多少岁?
第6讲 鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题
基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数) ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题:找出总量的差与单位量的差。
法二:列方程,解题时,首先要根据题目中所给出的两个未知数的关系,用一个未知数代替另一个未知数,从而将两个未知数转换成一个未知数,从而解出答案。 例题与方法
例1. 鸡兔同笼,共有45个头,146只脚,笼中鸡兔各有多少只?
解:设笼中有鸡x 只,则有兔(45-x )只。由题意得:
2x+4×(45-x )=146
2x+180-4x=146
2x=34
x=17
兔有45-17=28(只)
答:笼中有鸡兔各17、28只。
1.练习1一个饲养组养鸡、兔 共80只,共有脚220只。那么,饲养组养鸡和兔各多少只?
例2. 一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张,总值18元8角。
这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张?
解:设买了x 张10分的邮票,则买了(100-x )张20分的邮票。由题意得: 10x+20×(100-x)= 18×100+8×10
10x+2000-20x=1800+80
10x=120
x=12
20分的邮票有100-12=88(张)
答:两种邮票各买了12、88张。
练习2 用6元钱买2角的邮票和5角的邮票共18张。问这两种邮票各多少张?
例3. 学校买来3个排球和2个足球,共花去111元。每个足球比每个排球
贵3元。每个排球、每个足球各多少元?
解:设每个排球为x 元,则每个足球为(x+3)元。由题意得:
3x+2×(x+3)=111
3x+2x+6=111
5x=105
X=21
每个足球的价格为21+3=24(元)
答:每个排球、足球各为21、24元。
练习3 买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔的5支圆珠笔共花了17元,问两种笔每支各多少元?
例4.数学竞赛题共25道。每做对一道题得4分,做错一道题倒扣1分,若不做,不得分也不扣分。小华得了78分。问:他做对了几道题,做错了几题,没做有几题?
解:由于78÷4=19.5>19,这说明小华至少做对20题。
假设做对20题,则做对题的总分为20×4=80
因为 80-78=2
所以有2题做错,3题没做。
假设做对21题,则做对题的总分为21×4=84
因为 84-78=6
要使总分为78分,还需扣6分,而剩下只有4题。所以假设不成立。 答:他做对了20题,做错了2题,没做3题。
家庭作业
1鸡兔共100只,鸡的脚比兔的脚一共少70只。问鸡、兔各有多少只?
2.王师傅到家具厂买了桌子和椅子共19件。每张桌子35元,每把椅子20元,共付款440元。买桌子的椅子各多少件?
3.100个和尚吃100个馒头。大和尚每人吃4个,小和尚每4人吃一个。问:大和尚与小和尚各有多少人?
4.操场上停放39辆车,有三轮车和自行车,两种车轮子的总和为96个,。问三轮车和自行车各多少辆?
5.数学竞赛题共20道。每做对一道题得8分,做错一道题倒扣4分。小丽得了100分。问:她做对了几道题?
第7讲 盈亏问题
盈亏问题
基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于
分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量. 基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;
基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:对象总量和总的组数是不变的。
关键问题:确定对象总量和总的组数。
“老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨,就多出12个梨;每只小猴子分7个梨,就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨?”
这道应用题是已知两种分配的方法,一次分配有余,一次分配不足,求参加分配的数量及被分配的总量。这样的应用题,通常叫做盈亏问题(有余时称盈,不足时称亏)。
解盈亏问题,常常采用比较的方法。找到等量关系,建立等量关系式。 例题与方法
例1. 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨,就多出12个梨;每只
小猴子分7个梨,就少11个梨。用几只小猴子和多少个梨?
解:设一共有x 只小猴子,由题意得:
6x+12=7x-11
x=23
所以一共有梨6×23+12=150(个)
答:有23只小猴子,150个梨。
练习1 若干个同学去划船。他们租了一些船,如果每船坐4人,则多5人。如果每船坐5人,则船上有4个空位。有多少个同学?多少条船?
例2. 丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个,多16个;如果
每人分5个,那么就差4个。有多少小朋友?有多少个苹果?
解:设一共有x 个小朋友,由题意得:
3x+16=5x-4
2x=20
x=10
所以一共有苹果3×10+16=46(个)
答:有10个小朋友,46个苹果。
练习2 把一袋糖分给小朋友们。如果每人分10粒糖,正好分完。如果每人分16粒糖,就有3个小朋友分不到糖。这袋糖共有多少粒?
例3. 北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果每车坐65人,则有
15人不乘车。如果每车多坐5人,恰好多余了一辆车。一共有几辆
汽车?有多少学生?
解:设一共有x 辆汽车,由题意得:
65x+15=70×(x-1)
5x=85
x=17
所以一共有学生70×(17-1)=1120(人)
答:一共有17辆汽车,1120个学生。
练习3 全班同学去划船。如果减少一条船,每条船正好坐9人。如果增加一条船,每条船正好坐6人。全班共有多少人?
例4. 小明的爷爷买回一筐梨,分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨,
其余每人分2个梨,还多出4个梨。如果小明1人分6个梨,其余每
人分4个梨,又差12个梨。小明家有多少人?这筐梨子有多少个?
解:设小明家一共有x 人,由题意得:
2×4+(x-2)×2+4=6+(x-1) ×4-12
8+2x-4+4=6+4x-4-12
2x+8=4x-10
X=9
所以这筐梨子有2×4+(9-2)×2+4=8+14+4=26(个)
答:小明家一共有9人,这筐梨子有26个。
练习4 把一笔奖金分发给获奖学生。若每人分11元,差8元。若每人分16元,差8元。求学生人数与奖金总数。
家庭作业
1.少先队员去植树。如果每人各挖5个树坑,还有3个树坑没人挖。如果其中2人各挖4个树坑,其余的人各挖6个树坑,就恰好挖全部的树坑。少先队员一共挖了多少个树坑?
2.奥林匹克学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级,还要招收30人。若编成每班50人的班级,还需招收10名新生。这次共招收了多少新生?
3.用一根绳子绕树三圈,余三米。如果绕树4圈,则差4米。树周长有几米?绳长几米?
4.一个学生从家到学校上课。他先用每分钟80米的速度走了3分钟,照这样的速度,则要迟到3分钟。如果改为每分钟走110米,结果提前3分钟到达,这个学生的家离学校有多远?
第8讲 还原问题
还原问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果,要求原来的数的问题,解答这一类问题时,要根据题意,从所给的结果出发,抓拄逆运算关系,由后向前一步步逆推(倒推法、还原法),做相反的运算,逐步靠拢已知条件,直到问题得到解决。在解答还原问题时,如果列综合算式,要注意括号的正确使用。 例题与方法
例1. 三(1)班小图书箱第1天借出了存书的一半,第2天又借出43本,
还剩32本。小图书箱原有图书多少本?
解法一:倒推法,根据结果列算式
小图书箱原有图书为(32+43)×2=150(本)
解法二:设未知数列方程解答
设小图书箱原有图书为x 本,由题意得:
x÷2-43=32
x÷2=32+43
x=150
答:小图书箱原有图书150本。
练习1 四(1)班学生进行大扫除。一半学生去支援一年级,剩余下的一半去扫清洁区,最后还有10人留下扫教室。四(1)班共有多少人?
例2. 某数加上5,乘以5,减去5,除以5,其结果等于5。求这个数。 解法一:列算式
( 5×5+5)÷5-5=1
解法二:列方程
这个数为x ,由题意得:
[ (x+5)×5-5] ÷5=5
(5x+25-5) ÷5=5
5x+20=25
X=1
答:这个数为1。
练习2 某数加上3,乘以5,再减去8,等于12。求某数。
例3. 小明在做一道加法式题时,由于粗心,将这个位上的5看作9,把十
位上的8看作3,结果所得的和是123。正确的答案应是多少? 分析 将个位上的5看作9,相当于结果增加4;把十位上的8看作3,相当于结果减少50。
解:设正确的答案为x, 由题意得:
x-(8-3) ×10+(9-5)=123
x-50+4=123
x=123-4+50
x=169
答:正确的答案是169。
练习3 在做一道加法计算题时,把个位上的4看作7,十位上的8看作2,结果和是306。正确的答案应该是多少?
例4. 一个人沿着大堤走了全长的一半后,又走了剩下路程的一半,还剩下
1千米,问:大堤全长多少米?
解:设大堤全长x 米,由题意得:
x-x÷2-x ÷2÷2=1
x-1/2x-1/4x=1
1/4x=1
X=4
答:大堤全长是4米。
练习4 将一根绳子一半一半地减下去,剪了4次,第4次剩下的绳子正好是一米。这根绳子原来有多长?
家庭作业
1.一根铁管,第1次截去2米,第2次截去剩下了一半,还剩下5米。这根铁管原来有长是多少米?
2.操场上放了一些花盆,第1次搬走了全部的一半多8盆,第2次搬走了余下的一半少4盆,将剩下的放成6排,每排恰好放2盆。原来有多少花盆?
3.有一捆线,第1次用去全长的一半多3米,第2次用去余下的一半少5米,还剩下17米。这捆线原来有多少米?
4.小丽到商店去买文具。买文具盒用去了所带钱的一半,买圆珠笔用了2元钱,买钢笔用了剩余钱的一半,这时还剩下5元钱。小丽一共带了多少钱?
第4讲 倍数问题
一. 常见的倍数问题
1. 和倍问题:已知两数的和以及这两个数之间的倍数关系,求这两个数。
2. 差倍问题:已知两数的差以及这两个数之间的倍数关系,求这两个数。
二.怎么解决倍数问题
1.和倍问题的解决要点
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
2.差倍问题的解决要点
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
注意:此处的小数是指较小的数。
三.例题与解答
例1:甲乙两人做机器零件,甲和乙共做800个零件,且甲做的零件个数是乙的3倍。问:甲、乙两人各做多少个零件?
分析:甲做的零件个数是乙做的3倍,所以两人所做零件个数的和是乙做的零件个数的(3+1)倍,即4倍。从而乙做的零件个数是800÷4个。
解:乙做的零件个数是
800÷(3+1)=800÷4=200
甲做的零件个数是
200×3=600
答:甲做了600个零件,乙做了200个零件。
例2:甲乙两人做机器零件,甲比乙多做400个零件,且甲做的零件个数是乙的3倍。问:甲、乙两人各做多少个零件?
分析:甲做的零件个数是乙做的3倍,所以两人所做零件个数的差是乙做的零件个数的(3-1)倍,即2倍。从而乙做的零件个数是400÷2个。
解:乙做的零件个数是
400÷(3-1)=400÷2=200
甲做的零件个数是
200×3=600
答:甲做了600个零件,乙做了200个零件。
练习1:哥哥、弟弟共种了52棵树,哥哥种的树是弟弟的3倍。问:兄弟两人各种多少棵树?
练习2:哥哥比弟弟多种了26棵树,哥哥种的树是弟弟的3倍。问:兄弟两人各种多少棵树?
例3:甲比乙多存140元。如果乙取出60元,甲存入60元,那么甲的存款为乙的3倍。问:甲、乙两人原有存款各是多少元?
分析:甲原来比乙多140元,如果乙取出60元,甲存入60元后,那么甲比乙多140+60+60=260元。这时,甲的存款为乙存款的3倍,问题转化为差倍问题。
解:乙原有存款数为
(140+60+60)÷(3-1)+60=190(元)
甲原有的存款为
190+140=330(元)
答:甲原有存款330元,乙原有存款190元。
练习3:某班级的同学参加活动小组,已知参加语文小组的同学比参加数学小组的多26人,且语文小组的人数比数学小组人数的3倍少14人。问:参加两类兴趣小组的同学各有多少人?
例4:甲、乙两人分别带150元、70元去买东西。两人买了同样的东西之后,剩下的钱数甲是乙的5倍。问:甲、乙两人身上各剩多少钱?
解:乙身上还剩
(150-70)÷(5-1)=20(元)
甲身上还剩
20×5=100(元)
答:甲身上还剩100元,乙身上还剩20元。
练习4:小明的爸爸办了一个养鸡场。今年比去年多养了4000只小鸡,且今年的小鸡数比去年的三倍少2000只。问:今年、去年各养了多少只小鸡?
例5:小华在读一本童话选。第一天比第二天多读了30页。第三天比第一天多读了45页。第三天是第一天的2倍。问:三天各读了多少页?
解:第一天读的页数为
(30+45)÷(2-1)=75
第二天读的页数为
75+30=105
第三天读的页数为
105+45=150
答:小华第一天读了75页,第二天读了105页,第三天读了150页。
练习5:有两袋米,甲袋比乙袋少18千克。如果再从甲袋倒入乙袋6千克,那么甲袋的米是乙袋的一半,两袋原来各有米多少千克?
家庭作业
1.有两缸金鱼。如果从第一缸取出15条放入第二缸,那么第二缸的金鱼正好是第一缸的2倍。已知第二缸原有金鱼35条。第一缸原有金
鱼多少条?
2.有甲、乙两桶汽油甲桶比乙桶重16千克。从甲桶中倒一半给乙桶,这时乙桶重80千克。原来甲桶和乙桶各有多少千克汽油?
3. 大桶装水是小桶的3倍。如果从大桶倒出85千克,从小桶倒出5千克,那么剩下的水是一样多的。问:两个桶原有多少千克水?
4. 甲比乙多做了5个零件。如果甲给了乙100个零件之后,甲的零件个数就是乙的一半,问: 甲、乙两人原来各做了多少零件?
5. 三个队植树,第一对比第二队多植了20棵。第二队比第三队少植了5棵。第一队植树是第三队的2倍。问:三队各植了多少棵树?
6. 两根同样长的铁丝,第一根用去65厘米,第二根用去9厘米。剩下的铁丝,第二根的长是第一根长的3倍。问:每根铁丝原来有多长?
7. 甲、乙、丙三人年龄之和是94岁,且甲的2倍比丙多5岁,乙的二倍比丙多19岁。问:甲、乙、丙三人各多大?
平均数的应用家庭作业
1. 某次考试,21位女生平均分数是82分,19位男生平均分数是87分。问全体同学平均分是多少?
2.5位同学按身高由高到低从左到右排成一行,左起三位同学的平均身高是150厘米,右起三位同学的平均身高是147厘米,5位同学的平均身高是148.5厘米。小明站在中间,小明身高多少厘米?
3. 五年级1班52人,2班48人,某次算术考试中,两班全体同学平均分为78分。2班的平均分比一班的平均分高5分问两班的平均分各是多少?
4. 去年前5个月,张敏家每月平均储蓄420元。从6月份起每月储蓄600元,那么从哪月起,他家每月平均储蓄不少于500元?
5.A 、B 、C 、D4个数,每次去掉一个数,求其余3个数的平均数,这样算了4次,得到以下4个数:45、60、65、70。问原来4个数的平均数是多少?
第5讲 年龄问题
年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如:已知两个人或若干个人的年龄,求他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确分析解答这类问题,首先要明白:两个不同年龄的人,年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点,运用“和差”、“差倍”等知识来分析解答有关年龄问题。
年龄问题的三个基本特征:
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
例题与方法
例1. 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后,爸爸比妈妈大6岁。今年爸
爸、妈妈各多少岁?
分析 爸爸和妈妈的年龄差始终不变,现在爸爸比妈妈仍大6岁。问题转化为和差问题。
解:今年妈妈的年龄为
(82-6)÷2=38(岁)
今年爸爸的年龄为
38+6=44(岁)
答:今年爸爸和妈妈的年龄各为44岁、38岁。
练习1 强强今年11岁,军军今年7岁。当两人的年龄的是38岁时,两人各是多少岁?
例2. 小红今年7岁,妈妈今年35岁。小红几岁时,妈妈的年龄正好是小红的
3倍?
分析 今年妈妈与小红年龄的差是(35-7)=28(岁),这个年龄差是不变的。在妈妈年龄正好是小红的3倍时,年龄差仍为28岁。问题转化为差倍问题,利用差倍公式解决问题。
解:小红的年龄为
(35-7)÷(3-1)=14
答:小红年龄为14岁时,妈妈的年龄正好是小红的3倍。
练习2 明明今年3岁,妈妈今年27岁。明明几岁时,妈妈的年龄正好是明明的5倍?
例3. 6年前,母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是76岁。问:母亲
今年多少岁?
分析 六年前母子年龄和为(78-6-6)=66(岁),6年前,母亲的年龄是儿子的5倍。转化为和倍问题。
解:六年前儿子的年龄为
(78-6-6)÷(5+1)=11(岁)
六年前母亲的年龄为
11×5=55(岁)
今年母亲的年龄为
55+6=61(岁)
答:母亲今年61岁。
练习3 父子两人今年的年龄和是40岁。儿子年龄的5倍比父亲的年龄大2岁。父子两人3年后各是多少岁?
例4. 甲的年龄比乙的年龄的4倍少3,甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。
问:甲、乙现在各为多少岁?
分析 “甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。”表明甲比乙大6岁。甲如果再增加三岁,那么就是乙的年龄的4倍,问题转化为差倍问题。
解:现在乙的年龄为
(6+3)÷(4-1)=3(岁)
现在甲的年龄为
3+6=9(岁)
答:甲、乙现在各为9岁、3岁。
练习4 甲的年龄比乙的年龄的3倍少4,甲5年前的年龄比乙3年后的年龄大2岁。问:甲、乙现在各为多少岁?
例5. 小象对大象说:“妈妈,我到你现在这么大时,你就31岁了。”大象说“我
像你这么大时,你只有1岁。”问:大、小象现在各为多少岁?
分析 由小象的话可知 (大象的年龄)+(大、小象的年龄差)=31
有大象的话可知(小象的年龄)-(大、小象的年龄差)=1
因此,1岁时的小象曾加一个大、小象的年龄差,就成为现在小象的年龄,增加两个大、小象的年龄差就成为现在大象的年龄,增加三个大、小象的年龄差就成为31岁。
解:大、小象的年龄差是
(31-1)÷3=10
小象现在的年龄是
1+10=11(岁)
大象现在的年龄是
11+10=21(岁)
答:大、小象现在各为21、11岁。
练习5 小熊对老熊说:“妈妈,我到你现在这么大时,你就36岁了。”大象说“我像你这么大时,你只有3岁。”问:现在老熊、小熊各为多少岁? 例6. 一位老翁有三个孙子,年龄分别是22、20、15岁。25年后,这三个孙子
的年龄的和比老翁那时的年龄的2倍少60岁。问:老翁现在多少岁? 解:25年后,三个孙子的年龄的和是
22+20+15+25×3=132(岁)
老翁那时的年龄是
(132+60)÷2=96(岁)
所以老翁现在的年龄是
96-25=71(岁)
答:老翁现在71岁。
练习6 一位老翁有三个孙子,年龄分别是15、12、10岁。10年后,这三个孙子的年龄的和比老翁那时的年龄的2倍少30岁。问:老翁现在多少岁?
家庭作业
1.小强今年13岁,小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时。两人各是多少岁?
2.爷爷今年72岁,孙子今年12岁。几年后爷爷的年龄是孙子的5倍?几年前爷爷的年龄是孙子是的13倍?
3.小勇5年前的年龄等于小辉7年后的年龄,小勇4年后的年龄与小辉3年前的年龄和是35岁。小勇、小辉今年各多少岁?
4.一家三口,母亲比父亲小两岁,父亲比儿子大27岁,5年后全家的年龄的是82岁。现在每个人的年龄分别是多少岁?
5.当师傅的年龄与徒弟今年的年龄相等时,徒弟的年龄为10岁。当徒弟的年龄与师傅今年的年龄相等时,师傅已经37岁。今年师傅两人各多少岁?
第6讲 鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题
基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数) ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题:找出总量的差与单位量的差。
法二:列方程,解题时,首先要根据题目中所给出的两个未知数的关系,用一个未知数代替另一个未知数,从而将两个未知数转换成一个未知数,从而解出答案。 例题与方法
例1. 鸡兔同笼,共有45个头,146只脚,笼中鸡兔各有多少只?
解:设笼中有鸡x 只,则有兔(45-x )只。由题意得:
2x+4×(45-x )=146
2x+180-4x=146
2x=34
x=17
兔有45-17=28(只)
答:笼中有鸡兔各17、28只。
1.练习1一个饲养组养鸡、兔 共80只,共有脚220只。那么,饲养组养鸡和兔各多少只?
例2. 一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张,总值18元8角。
这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张?
解:设买了x 张10分的邮票,则买了(100-x )张20分的邮票。由题意得: 10x+20×(100-x)= 18×100+8×10
10x+2000-20x=1800+80
10x=120
x=12
20分的邮票有100-12=88(张)
答:两种邮票各买了12、88张。
练习2 用6元钱买2角的邮票和5角的邮票共18张。问这两种邮票各多少张?
例3. 学校买来3个排球和2个足球,共花去111元。每个足球比每个排球
贵3元。每个排球、每个足球各多少元?
解:设每个排球为x 元,则每个足球为(x+3)元。由题意得:
3x+2×(x+3)=111
3x+2x+6=111
5x=105
X=21
每个足球的价格为21+3=24(元)
答:每个排球、足球各为21、24元。
练习3 买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔的5支圆珠笔共花了17元,问两种笔每支各多少元?
例4.数学竞赛题共25道。每做对一道题得4分,做错一道题倒扣1分,若不做,不得分也不扣分。小华得了78分。问:他做对了几道题,做错了几题,没做有几题?
解:由于78÷4=19.5>19,这说明小华至少做对20题。
假设做对20题,则做对题的总分为20×4=80
因为 80-78=2
所以有2题做错,3题没做。
假设做对21题,则做对题的总分为21×4=84
因为 84-78=6
要使总分为78分,还需扣6分,而剩下只有4题。所以假设不成立。 答:他做对了20题,做错了2题,没做3题。
家庭作业
1鸡兔共100只,鸡的脚比兔的脚一共少70只。问鸡、兔各有多少只?
2.王师傅到家具厂买了桌子和椅子共19件。每张桌子35元,每把椅子20元,共付款440元。买桌子的椅子各多少件?
3.100个和尚吃100个馒头。大和尚每人吃4个,小和尚每4人吃一个。问:大和尚与小和尚各有多少人?
4.操场上停放39辆车,有三轮车和自行车,两种车轮子的总和为96个,。问三轮车和自行车各多少辆?
5.数学竞赛题共20道。每做对一道题得8分,做错一道题倒扣4分。小丽得了100分。问:她做对了几道题?
第7讲 盈亏问题
盈亏问题
基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于
分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量. 基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;
基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:对象总量和总的组数是不变的。
关键问题:确定对象总量和总的组数。
“老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨,就多出12个梨;每只小猴子分7个梨,就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨?”
这道应用题是已知两种分配的方法,一次分配有余,一次分配不足,求参加分配的数量及被分配的总量。这样的应用题,通常叫做盈亏问题(有余时称盈,不足时称亏)。
解盈亏问题,常常采用比较的方法。找到等量关系,建立等量关系式。 例题与方法
例1. 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨,就多出12个梨;每只
小猴子分7个梨,就少11个梨。用几只小猴子和多少个梨?
解:设一共有x 只小猴子,由题意得:
6x+12=7x-11
x=23
所以一共有梨6×23+12=150(个)
答:有23只小猴子,150个梨。
练习1 若干个同学去划船。他们租了一些船,如果每船坐4人,则多5人。如果每船坐5人,则船上有4个空位。有多少个同学?多少条船?
例2. 丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个,多16个;如果
每人分5个,那么就差4个。有多少小朋友?有多少个苹果?
解:设一共有x 个小朋友,由题意得:
3x+16=5x-4
2x=20
x=10
所以一共有苹果3×10+16=46(个)
答:有10个小朋友,46个苹果。
练习2 把一袋糖分给小朋友们。如果每人分10粒糖,正好分完。如果每人分16粒糖,就有3个小朋友分不到糖。这袋糖共有多少粒?
例3. 北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果每车坐65人,则有
15人不乘车。如果每车多坐5人,恰好多余了一辆车。一共有几辆
汽车?有多少学生?
解:设一共有x 辆汽车,由题意得:
65x+15=70×(x-1)
5x=85
x=17
所以一共有学生70×(17-1)=1120(人)
答:一共有17辆汽车,1120个学生。
练习3 全班同学去划船。如果减少一条船,每条船正好坐9人。如果增加一条船,每条船正好坐6人。全班共有多少人?
例4. 小明的爷爷买回一筐梨,分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨,
其余每人分2个梨,还多出4个梨。如果小明1人分6个梨,其余每
人分4个梨,又差12个梨。小明家有多少人?这筐梨子有多少个?
解:设小明家一共有x 人,由题意得:
2×4+(x-2)×2+4=6+(x-1) ×4-12
8+2x-4+4=6+4x-4-12
2x+8=4x-10
X=9
所以这筐梨子有2×4+(9-2)×2+4=8+14+4=26(个)
答:小明家一共有9人,这筐梨子有26个。
练习4 把一笔奖金分发给获奖学生。若每人分11元,差8元。若每人分16元,差8元。求学生人数与奖金总数。
家庭作业
1.少先队员去植树。如果每人各挖5个树坑,还有3个树坑没人挖。如果其中2人各挖4个树坑,其余的人各挖6个树坑,就恰好挖全部的树坑。少先队员一共挖了多少个树坑?
2.奥林匹克学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级,还要招收30人。若编成每班50人的班级,还需招收10名新生。这次共招收了多少新生?
3.用一根绳子绕树三圈,余三米。如果绕树4圈,则差4米。树周长有几米?绳长几米?
4.一个学生从家到学校上课。他先用每分钟80米的速度走了3分钟,照这样的速度,则要迟到3分钟。如果改为每分钟走110米,结果提前3分钟到达,这个学生的家离学校有多远?
第8讲 还原问题
还原问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果,要求原来的数的问题,解答这一类问题时,要根据题意,从所给的结果出发,抓拄逆运算关系,由后向前一步步逆推(倒推法、还原法),做相反的运算,逐步靠拢已知条件,直到问题得到解决。在解答还原问题时,如果列综合算式,要注意括号的正确使用。 例题与方法
例1. 三(1)班小图书箱第1天借出了存书的一半,第2天又借出43本,
还剩32本。小图书箱原有图书多少本?
解法一:倒推法,根据结果列算式
小图书箱原有图书为(32+43)×2=150(本)
解法二:设未知数列方程解答
设小图书箱原有图书为x 本,由题意得:
x÷2-43=32
x÷2=32+43
x=150
答:小图书箱原有图书150本。
练习1 四(1)班学生进行大扫除。一半学生去支援一年级,剩余下的一半去扫清洁区,最后还有10人留下扫教室。四(1)班共有多少人?
例2. 某数加上5,乘以5,减去5,除以5,其结果等于5。求这个数。 解法一:列算式
( 5×5+5)÷5-5=1
解法二:列方程
这个数为x ,由题意得:
[ (x+5)×5-5] ÷5=5
(5x+25-5) ÷5=5
5x+20=25
X=1
答:这个数为1。
练习2 某数加上3,乘以5,再减去8,等于12。求某数。
例3. 小明在做一道加法式题时,由于粗心,将这个位上的5看作9,把十
位上的8看作3,结果所得的和是123。正确的答案应是多少? 分析 将个位上的5看作9,相当于结果增加4;把十位上的8看作3,相当于结果减少50。
解:设正确的答案为x, 由题意得:
x-(8-3) ×10+(9-5)=123
x-50+4=123
x=123-4+50
x=169
答:正确的答案是169。
练习3 在做一道加法计算题时,把个位上的4看作7,十位上的8看作2,结果和是306。正确的答案应该是多少?
例4. 一个人沿着大堤走了全长的一半后,又走了剩下路程的一半,还剩下
1千米,问:大堤全长多少米?
解:设大堤全长x 米,由题意得:
x-x÷2-x ÷2÷2=1
x-1/2x-1/4x=1
1/4x=1
X=4
答:大堤全长是4米。
练习4 将一根绳子一半一半地减下去,剪了4次,第4次剩下的绳子正好是一米。这根绳子原来有多长?
家庭作业
1.一根铁管,第1次截去2米,第2次截去剩下了一半,还剩下5米。这根铁管原来有长是多少米?
2.操场上放了一些花盆,第1次搬走了全部的一半多8盆,第2次搬走了余下的一半少4盆,将剩下的放成6排,每排恰好放2盆。原来有多少花盆?
3.有一捆线,第1次用去全长的一半多3米,第2次用去余下的一半少5米,还剩下17米。这捆线原来有多少米?
4.小丽到商店去买文具。买文具盒用去了所带钱的一半,买圆珠笔用了2元钱,买钢笔用了剩余钱的一半,这时还剩下5元钱。小丽一共带了多少钱?