第25卷第2期 邢台学院学报 Vol.25.No.2 2010年6月 JOURNALOFXINGTAIUNIVERSITY Jun.2010
圆环电流磁场分布的计算
马新泽
(新疆昌吉学院物理系,新疆昌吉 831100)
摘 要:综述圆环电流磁场分布问题的研究现状,在此基础上对圆环电流磁场作进一步的探讨。对于圆环电流,在柱坐标系中根据毕奥-萨伐尔的计算公式,计算出圆环电流在全空间的磁场分布,得到级数形式解。这种计算方法在大学物理教学中便于学生理解和掌握。
关键词:椭圆积分;圆环电流;磁场;级数解
中图分类号:O441 文献标识码:A 文章编号:1672-4658(2010)02-0108-03
1 圆环电流磁场分布的研究现状
π/2
对于圆环电流磁场,文献[1-2]分别在极坐标和柱坐标中用椭圆积分表示出圆环电流在空间任意点的矢势:
μIaπA=222π02a+ρ2K=
-ksinx=
2
2
2426
)k)k+…],称1)k+2246π/2
=
I
πρ2
2
+z
2
E=
-ksinxdx=
22
22222
{(a+ρ+z)K(k)-[(a+ρ)+z]E(k)}
式中K
(k),E(k)分别为第一类和第二类完全椭圆积分。
π/2
46
π2222))[1-)k---…],
222×432×4×65
K(k)=E=
π/2
-ksinφ,
1-ksinφdφ,
2
2
2
2
k
=2
22∈[0,1]
(a+ρ)+z
是第二类完全椭圆积分。
上述文献都是利用椭圆积分求解的,而在大学物理本科教学层次上,不易被一般的本科生所理解和掌握。2 圆环电流的磁场
如图1所示,半径为R、载流为I的圆环电流位于xoy平面内,且圆环心选为坐标原点。由对称性可知,只要求得xoz平面内的磁场,就可以知道整个空间的磁场分布。
对矢势进行旋度运算便得出圆环电流在空间任意点磁场分布:
Bρ=
・22(a(a+ρ)+z
μ0Iz
2
πρ2
22E(k)+K(k)]ρ)-+z
2
2
22
Bφ=0Bz=
πρ2
・22E(k)+K(k)]22(ρ)a-+z(a+ρ)+z
μ0Iz
2
文献[3]在直角坐标系导出了用积分形式表示的磁场
的解:
22
μ0IBx・22E-K]
πsin4θθ(a2+r2-2arsinθa-r-2arsinμI
Bz=
π4
2
图1 圆环电流磁场
设P点在图1所示的xoz平面内,选取柱坐标系,柱坐标系与直角坐标系的单位矢量间的变换关系为:
φ φ e i+sinjρ=cos
φ φ e i+cosjρ=-sin
ez=k
・22E+K]
22θa+r-2arsin(a+r-2arsinθ
22
令k=22
θa+r+2arsin
(1)
[收稿日期]2010-01-03
[作者简介]马新泽(1966-),男,新疆呼图壁人,毕业于新疆师范大学,讲师,主要从事物理教学论及原子与分子物理的教学与研究.E-mail:[email protected]
・108・
马新泽:圆环电流磁场分布的计算
φ φ i=coseeρ-sinφ
逆变换为: φ φ j=-sineeρ+cosφ
k = ez
=
μ0IRz2(r+R)
2
2
3/2
(2)
3
A+A+…+4128
由图可知P点坐标是(ρ,o,z),Q点(圆环电流圆周上
的一点)的坐标是(R,φ,0),而且有:
r=ρ e r=Re ′ρ+zeρ,z,
φ′ r′=ρ e ′ l=Rd e′ρ-Reρ+zeφz,d
φ′φe e′ e ρ=cosρ+sinφ
222ρφ′+z+R-2Rcos
μId l× r′
根据毕奥-萨伐尔定律:dB =,其中3
π 4r′
φ′ρ d l× r=Rde′ ee′ez)=φ×(ρ-R ρ+z
2k-1
A]2k-1
2k(2k-2)…4・22(2k-1)!
(5)
Bz=
μ0Iπ(r2+R2)3/24
π2
π2
φ′=d
ρ3/2
(1-2φ′)2cos
r+R
2
r′=
μIRπ(r2+R2)3/24
(1+
(R-ρφ′)・cos
∫
nn
φ′′=+CnAcosφ+2
2
/2
(-ρφ′φ′φ′Rcos+R)dez+Rzd e ρ
2
)
[12
A16
可得:
dB =
μ0π(zR-φ′)4Rcos
2
2
2
3/2
2j
2jA]=2j
2(2j)!2(2j-2)…4・2
μI0ρ
(3)
2(r+R)
2
2
3/2
φ′φ′φ′[(-ρRcos+R)dez+Rzd e′ ρ]
A+…+4
则B在三个方向的分量分别为:
πμ2
0IBρ=223/2=0π(r+R-24ρφ′)Rcos
π2μ0IRzφ′(4a) d
π(r2+R2)3/20(3/24φ′)1-22cos
π2
2k-1
A]2k-1
2k(2k-2)…4・22(2k-1)!
(6)
3 讨论
3.1 圆环电流中心轴线上的磁场
r+R
μI(4b) 223/2=00π(r+R-24ρφ′)Rcos
2πμ2
IBz=223/2=0π(r+R-24ρφ′)Rcos
2π2μIφ′(4c) d
π(r2+R2)3/20(3/24φ′)1-22cos
Bφ=
要求得圆环电流中心轴线上的磁场,只须令(5)、(6)两式中ρ=0即可。注意到
22
A=22=0和r=z的条件,可得:
r+RBρ=0Bz=
μ0IR2
223/2
2(r+R)
r+R
μ0IR2
=223/2
2(z+ρ)
令A=
r+R
2
23/2
,则A
结果与文献[4]的相一致。
3.2 圆环电流远区的磁场
对于场点到圆心的距离远远大于圆环电流半径的远区
(6)中场(z≥R,ρ≥R),由于A=22≤1,故在式(5)、
r+R
(1-cosφ′)
n
n
φ′+2A2cos2φ′+=1+Acos22!・2
…CnAcosφ′+…
Cn=n
n!・2
π2
0 n=2k+1n
φ′=cosφ′d
πDnn=2k2
其中D0=1 Dn=代入得:
2k(2k-2)(2k-4)…4・2
π2μ0IRzφ′(1+Acosφ′Bρ=cos223/22
2π(r+R)042!・2
22nn
φ′Acosφ′+…CnAcosφ′+…)d
∫
可忽略A的高幂次项,仅保留一次项。
μIR2ρz33mμz3mμzρρ
Bρ===225/2
π(r2+R2)5/24π(r2)5/24π(ρ4+z)
2
μ0IR2μ0IR2ρ3
Bz=
223/22(r+R)
-
225/24(r+R)
=
∫
22222
μ0IR2(2z2-ρ)mμmμ0(2z-ρ)0(2z-ρ)
==225/2225/2
π(r2+R2)5/24π(ρ4(r+R)4+z)2
上两式中m=πIR,是圆电流环的磁矩,远区场任一
点的磁场为:
・109・
邢台学院学报 2010年第2期
B =
mμ0
22
π(ρ4r+z)
ρz eez]ρ+(2z-ρ) 5/2[3
22
[J].大学物理,2006,25(1):32-37.
[2]向裕民.圆环电流磁场的普遍分布[J].大学物理,1999,l8
(1):14-17.
[3]曾令宏,张之翔.圆环电流的磁场以及两共轴圆环电流之
这是磁矩为m的磁偶极子在P(ρ,0,z)产生的磁场。所
以,当zµR,ρµR时,圆环电流可看作一个位于环中心磁矩为m的磁偶极子。
参考文献:
[1]张星辉.圆电流磁感线的分布及磁感应强度的函数表达式
间的相互作力[J].大学物理,2002,21(9):14-16.
[4]梁灿彬,秦光戎,梁竹健.电磁学[M].北京:高等教育出版
社,1980.297-299.
(上接第107页)能。
根据上面的分析,电路图5可等效为图6,图6又可演变成图7,图7是实验教材给出的等效图。有了以上的分析,由图5等效成图7
就好理解了。
图
6
图
3
图7
须强调的是:图5测出的电阻是PP之间低电阻,而不是CC之间低电阻。如果被测导线是粗细均匀的,可以先测出PP长度,计算出单位长的电阻值,然后便可计算出CC之间低电阻。
实际生活当中我们经常见到技术人员采取各种措施减
图
4
小接触电阻的影响,如电路施工人员总把接点接得很结实,如果电路接点接得不结实,就不能忽略接触电阻,接点处产
2
生的热量为Ir,接点处温度自然较高,该处容易烧断,有时会造成火灾等其他危害,因此在许多情况下不能小视接触电阻,要采取一定的措施减小其影响。
参考文献:
[1]杨述武,杨介信,陈国英.普通物理实验[M].北京:高等教
图
5
育出版社,2002.
[2]杨介信,陈国英.普通物理实验[M].北京:高等教育出版
社,1991.
・110・
第25卷第2期 邢台学院学报 Vol.25.No.2 2010年6月 JOURNALOFXINGTAIUNIVERSITY Jun.2010
圆环电流磁场分布的计算
马新泽
(新疆昌吉学院物理系,新疆昌吉 831100)
摘 要:综述圆环电流磁场分布问题的研究现状,在此基础上对圆环电流磁场作进一步的探讨。对于圆环电流,在柱坐标系中根据毕奥-萨伐尔的计算公式,计算出圆环电流在全空间的磁场分布,得到级数形式解。这种计算方法在大学物理教学中便于学生理解和掌握。
关键词:椭圆积分;圆环电流;磁场;级数解
中图分类号:O441 文献标识码:A 文章编号:1672-4658(2010)02-0108-03
1 圆环电流磁场分布的研究现状
π/2
对于圆环电流磁场,文献[1-2]分别在极坐标和柱坐标中用椭圆积分表示出圆环电流在空间任意点的矢势:
μIaπA=222π02a+ρ2K=
-ksinx=
2
2
2426
)k)k+…],称1)k+2246π/2
=
I
πρ2
2
+z
2
E=
-ksinxdx=
22
22222
{(a+ρ+z)K(k)-[(a+ρ)+z]E(k)}
式中K
(k),E(k)分别为第一类和第二类完全椭圆积分。
π/2
46
π2222))[1-)k---…],
222×432×4×65
K(k)=E=
π/2
-ksinφ,
1-ksinφdφ,
2
2
2
2
k
=2
22∈[0,1]
(a+ρ)+z
是第二类完全椭圆积分。
上述文献都是利用椭圆积分求解的,而在大学物理本科教学层次上,不易被一般的本科生所理解和掌握。2 圆环电流的磁场
如图1所示,半径为R、载流为I的圆环电流位于xoy平面内,且圆环心选为坐标原点。由对称性可知,只要求得xoz平面内的磁场,就可以知道整个空间的磁场分布。
对矢势进行旋度运算便得出圆环电流在空间任意点磁场分布:
Bρ=
・22(a(a+ρ)+z
μ0Iz
2
πρ2
22E(k)+K(k)]ρ)-+z
2
2
22
Bφ=0Bz=
πρ2
・22E(k)+K(k)]22(ρ)a-+z(a+ρ)+z
μ0Iz
2
文献[3]在直角坐标系导出了用积分形式表示的磁场
的解:
22
μ0IBx・22E-K]
πsin4θθ(a2+r2-2arsinθa-r-2arsinμI
Bz=
π4
2
图1 圆环电流磁场
设P点在图1所示的xoz平面内,选取柱坐标系,柱坐标系与直角坐标系的单位矢量间的变换关系为:
φ φ e i+sinjρ=cos
φ φ e i+cosjρ=-sin
ez=k
・22E+K]
22θa+r-2arsin(a+r-2arsinθ
22
令k=22
θa+r+2arsin
(1)
[收稿日期]2010-01-03
[作者简介]马新泽(1966-),男,新疆呼图壁人,毕业于新疆师范大学,讲师,主要从事物理教学论及原子与分子物理的教学与研究.E-mail:[email protected]
・108・
马新泽:圆环电流磁场分布的计算
φ φ i=coseeρ-sinφ
逆变换为: φ φ j=-sineeρ+cosφ
k = ez
=
μ0IRz2(r+R)
2
2
3/2
(2)
3
A+A+…+4128
由图可知P点坐标是(ρ,o,z),Q点(圆环电流圆周上
的一点)的坐标是(R,φ,0),而且有:
r=ρ e r=Re ′ρ+zeρ,z,
φ′ r′=ρ e ′ l=Rd e′ρ-Reρ+zeφz,d
φ′φe e′ e ρ=cosρ+sinφ
222ρφ′+z+R-2Rcos
μId l× r′
根据毕奥-萨伐尔定律:dB =,其中3
π 4r′
φ′ρ d l× r=Rde′ ee′ez)=φ×(ρ-R ρ+z
2k-1
A]2k-1
2k(2k-2)…4・22(2k-1)!
(5)
Bz=
μ0Iπ(r2+R2)3/24
π2
π2
φ′=d
ρ3/2
(1-2φ′)2cos
r+R
2
r′=
μIRπ(r2+R2)3/24
(1+
(R-ρφ′)・cos
∫
nn
φ′′=+CnAcosφ+2
2
/2
(-ρφ′φ′φ′Rcos+R)dez+Rzd e ρ
2
)
[12
A16
可得:
dB =
μ0π(zR-φ′)4Rcos
2
2
2
3/2
2j
2jA]=2j
2(2j)!2(2j-2)…4・2
μI0ρ
(3)
2(r+R)
2
2
3/2
φ′φ′φ′[(-ρRcos+R)dez+Rzd e′ ρ]
A+…+4
则B在三个方向的分量分别为:
πμ2
0IBρ=223/2=0π(r+R-24ρφ′)Rcos
π2μ0IRzφ′(4a) d
π(r2+R2)3/20(3/24φ′)1-22cos
π2
2k-1
A]2k-1
2k(2k-2)…4・22(2k-1)!
(6)
3 讨论
3.1 圆环电流中心轴线上的磁场
r+R
μI(4b) 223/2=00π(r+R-24ρφ′)Rcos
2πμ2
IBz=223/2=0π(r+R-24ρφ′)Rcos
2π2μIφ′(4c) d
π(r2+R2)3/20(3/24φ′)1-22cos
Bφ=
要求得圆环电流中心轴线上的磁场,只须令(5)、(6)两式中ρ=0即可。注意到
22
A=22=0和r=z的条件,可得:
r+RBρ=0Bz=
μ0IR2
223/2
2(r+R)
r+R
μ0IR2
=223/2
2(z+ρ)
令A=
r+R
2
23/2
,则A
结果与文献[4]的相一致。
3.2 圆环电流远区的磁场
对于场点到圆心的距离远远大于圆环电流半径的远区
(6)中场(z≥R,ρ≥R),由于A=22≤1,故在式(5)、
r+R
(1-cosφ′)
n
n
φ′+2A2cos2φ′+=1+Acos22!・2
…CnAcosφ′+…
Cn=n
n!・2
π2
0 n=2k+1n
φ′=cosφ′d
πDnn=2k2
其中D0=1 Dn=代入得:
2k(2k-2)(2k-4)…4・2
π2μ0IRzφ′(1+Acosφ′Bρ=cos223/22
2π(r+R)042!・2
22nn
φ′Acosφ′+…CnAcosφ′+…)d
∫
可忽略A的高幂次项,仅保留一次项。
μIR2ρz33mμz3mμzρρ
Bρ===225/2
π(r2+R2)5/24π(r2)5/24π(ρ4+z)
2
μ0IR2μ0IR2ρ3
Bz=
223/22(r+R)
-
225/24(r+R)
=
∫
22222
μ0IR2(2z2-ρ)mμmμ0(2z-ρ)0(2z-ρ)
==225/2225/2
π(r2+R2)5/24π(ρ4(r+R)4+z)2
上两式中m=πIR,是圆电流环的磁矩,远区场任一
点的磁场为:
・109・
邢台学院学报 2010年第2期
B =
mμ0
22
π(ρ4r+z)
ρz eez]ρ+(2z-ρ) 5/2[3
22
[J].大学物理,2006,25(1):32-37.
[2]向裕民.圆环电流磁场的普遍分布[J].大学物理,1999,l8
(1):14-17.
[3]曾令宏,张之翔.圆环电流的磁场以及两共轴圆环电流之
这是磁矩为m的磁偶极子在P(ρ,0,z)产生的磁场。所
以,当zµR,ρµR时,圆环电流可看作一个位于环中心磁矩为m的磁偶极子。
参考文献:
[1]张星辉.圆电流磁感线的分布及磁感应强度的函数表达式
间的相互作力[J].大学物理,2002,21(9):14-16.
[4]梁灿彬,秦光戎,梁竹健.电磁学[M].北京:高等教育出版
社,1980.297-299.
(上接第107页)能。
根据上面的分析,电路图5可等效为图6,图6又可演变成图7,图7是实验教材给出的等效图。有了以上的分析,由图5等效成图7
就好理解了。
图
6
图
3
图7
须强调的是:图5测出的电阻是PP之间低电阻,而不是CC之间低电阻。如果被测导线是粗细均匀的,可以先测出PP长度,计算出单位长的电阻值,然后便可计算出CC之间低电阻。
实际生活当中我们经常见到技术人员采取各种措施减
图
4
小接触电阻的影响,如电路施工人员总把接点接得很结实,如果电路接点接得不结实,就不能忽略接触电阻,接点处产
2
生的热量为Ir,接点处温度自然较高,该处容易烧断,有时会造成火灾等其他危害,因此在许多情况下不能小视接触电阻,要采取一定的措施减小其影响。
参考文献:
[1]杨述武,杨介信,陈国英.普通物理实验[M].北京:高等教
图
5
育出版社,2002.
[2]杨介信,陈国英.普通物理实验[M].北京:高等教育出版
社,1991.
・110・