高二第二学期期中考试数学试卷（一）
参考数据：
2
K 2=
n (ad -bc )
(a +c )(b +d )(a +b )(b +d )
一、选择题（60分）
1． 已知i 为虚数单位，复数z =(2-i )(1+i )2
的实部为a ，虚部为b ，则log a b = ( ) A ．0 B ．l C ．2 D ．3
2． 从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽
取方法种数（ ）
A ．C 4238⋅C 4 B ．C 8⋅C 3 C ．C 62
412 D ．A 48⋅A 4
3． 设随机变量X ～B （n,p ）,E(X)=12,D(X)=4,则n 与p 的值分别为 （ ）
A ．18，
13 B. 12，23 C ．18，23 D ．12，1
3
4． ⎰12
（e +2x）dx 等于( )
A.1 B.e-1 C.e D.e2
+1
5． 若函数f (x ) =x 3
+x 2
+mx +1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )
A. (1, +∞) B. (-∞, 1) C. [1, +∞) D. (-∞, 13333
] 6． 下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对于命题，则
，均有
；
B ．函数切线斜率的最大值是2；
C．已知
服从正态分布
，且
，则
D．已知函数则
7． 二项式(x 2
+
2x
) 10展开式中的常数项是 ( ）
A．第10项
B ．第9项 C．第8项 D ．第7项
8． 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相
同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.
13 B.12 C.233 D.4
9． 点P 是曲线y =x 2-ln x 上任意一点, 则点P 到直线y =x -2的距离的最小值是（ ）
A １ B
C ２ D 10．
如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且A 1、A 2至少有
一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
A ．0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
11． 设函数f (x ) 的定义域是[-4, 4]，其图象如图，那么不等式
f (x )
sin x
≤0的解集为( ) A ．[-2, 1] B ．[-4, -2]⋃[1, 4]
C ．[-4, -π)⋃[-2, 0)⋃[
1, π) D ．[-4, -π)⋃(1，π) 12．已知函数f (x ) 的导函数为f '(x ) =4+3cos x , x ∈(-1,1) , 且f (0)=0，如果
f (1-a ) +f (1-a 2)
A ． B ．(0,1)
C ．(-2, D ．(-∞, -2) (1,+∞)
二、填空题（20分） 13．
由曲线y =x 2与y =x 3围成的封闭图形的面积为19．已知函数f (x ) =ln(x +1) -
x x +1
（1）求f (x ) 的单调区间；
2
14．已知随机变量ξ服从正态分布N 2，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝
()
15．对大于或等于2的正整数m 的n 次方幂有如下分解方式：
22=1+3,32=1+3+5, 42=1+3+5+7, 23
=3+5,33
=7+9+11, 43
=13+15+17+19,
根据上述分解规律，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是91，则m 的值为16．定义：如果函数y =f (x ) 在定义域内给定的区间[a , b ]上存在x 0∈(a , b ) ，满足
f (x f (b ) -f (a )
0) =
b -a
，则称函数y =f (x ) 是[a , b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均
值点. 如y =x 4是[-1, 1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f (x ) =-x 2+mx +1是[-1, 1]上的平均值函数，在实数m 的取值范围是 . 三、简答题（70分） 17．
(1+2x ) n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系
数最大的项．
18．某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作。比赛时每位
运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的K 和D 两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K 和D 两个动作的情况如下表：
现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分。
（1） 若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由。并求其获得第一名的
概率。
（2） 若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及数学期望E ξ.
（2）求曲线y =f (x ) 在点（1，f (1) ）处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有ln a -ln b ≥1-
b a
. 20．（本题12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取
了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.
（1）根据已知条件完成下面的2⨯2列联表，并据此 资料你是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？
（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.
f (x ) =ln x -11
21、设函数2ax 2-bx . a =b =
（1）当2时，求f (x ) 的最大值；（2）令F (x ) =f (x ) +12ax 2+bx +
a 1
x ，（0
P (x 0, y 0) 处切线的斜率k ≤2恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当a =0，b =-1，方程2mf (x ) =x 2
有唯一实数解，求正
数m 的值．
22、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧⎪
⎨x ＝cos 2α，⎪⎩y ＝1＋2cos α.
(α为参数) ，点M 的坐标(－1,1) ；
若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
(1)请将点M 的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，－π
(2)若点N 是曲线C 上的任一点，求线段MN 的长度的最大值和最小值．
高二第二学期期中考试数学试卷（一）
参考数据：
2
K 2=
n (ad -bc )
(a +c )(b +d )(a +b )(b +d )
一、选择题（60分）
1． 已知i 为虚数单位，复数z =(2-i )(1+i )2
的实部为a ，虚部为b ，则log a b = ( ) A ．0 B ．l C ．2 D ．3
2． 从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽
取方法种数（ ）
A ．C 4238⋅C 4 B ．C 8⋅C 3 C ．C 62
412 D ．A 48⋅A 4
3． 设随机变量X ～B （n,p ）,E(X)=12,D(X)=4,则n 与p 的值分别为 （ ）
A ．18，
13 B. 12，23 C ．18，23 D ．12，1
3
4． ⎰12
（e +2x）dx 等于( )
A.1 B.e-1 C.e D.e2
+1
5． 若函数f (x ) =x 3
+x 2
+mx +1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )
A. (1, +∞) B. (-∞, 1) C. [1, +∞) D. (-∞, 13333
] 6． 下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对于命题，则
，均有
；
B ．函数切线斜率的最大值是2；
C．已知
服从正态分布
，且
，则
D．已知函数则
7． 二项式(x 2
+
2x
) 10展开式中的常数项是 ( ）
A．第10项
B ．第9项 C．第8项 D ．第7项
8． 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相
同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.
13 B.12 C.233 D.4
9． 点P 是曲线y =x 2-ln x 上任意一点, 则点P 到直线y =x -2的距离的最小值是（ ）
A １ B
C ２ D 10．
如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且A 1、A 2至少有
一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
A ．0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
11． 设函数f (x ) 的定义域是[-4, 4]，其图象如图，那么不等式
f (x )
sin x
≤0的解集为( ) A ．[-2, 1] B ．[-4, -2]⋃[1, 4]
C ．[-4, -π)⋃[-2, 0)⋃[
1, π) D ．[-4, -π)⋃(1，π) 12．已知函数f (x ) 的导函数为f '(x ) =4+3cos x , x ∈(-1,1) , 且f (0)=0，如果
f (1-a ) +f (1-a 2)
A ． B ．(0,1)
C ．(-2, D ．(-∞, -2) (1,+∞)
二、填空题（20分） 13．
由曲线y =x 2与y =x 3围成的封闭图形的面积为19．已知函数f (x ) =ln(x +1) -
x x +1
（1）求f (x ) 的单调区间；
2
14．已知随机变量ξ服从正态分布N 2，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝
()
15．对大于或等于2的正整数m 的n 次方幂有如下分解方式：
22=1+3,32=1+3+5, 42=1+3+5+7, 23
=3+5,33
=7+9+11, 43
=13+15+17+19,
根据上述分解规律，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是91，则m 的值为16．定义：如果函数y =f (x ) 在定义域内给定的区间[a , b ]上存在x 0∈(a , b ) ，满足
f (x f (b ) -f (a )
0) =
b -a
，则称函数y =f (x ) 是[a , b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均
值点. 如y =x 4是[-1, 1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f (x ) =-x 2+mx +1是[-1, 1]上的平均值函数，在实数m 的取值范围是 . 三、简答题（70分） 17．
(1+2x ) n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系
数最大的项．
18．某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作。比赛时每位
运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的K 和D 两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K 和D 两个动作的情况如下表：
现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分。
（1） 若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由。并求其获得第一名的
概率。
（2） 若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及数学期望E ξ.
（2）求曲线y =f (x ) 在点（1，f (1) ）处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有ln a -ln b ≥1-
b a
. 20．（本题12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取
了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.
（1）根据已知条件完成下面的2⨯2列联表，并据此 资料你是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？
（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.
f (x ) =ln x -11
21、设函数2ax 2-bx . a =b =
（1）当2时，求f (x ) 的最大值；（2）令F (x ) =f (x ) +12ax 2+bx +
a 1
x ，（0
P (x 0, y 0) 处切线的斜率k ≤2恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当a =0，b =-1，方程2mf (x ) =x 2
有唯一实数解，求正
数m 的值．
22、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧⎪
⎨x ＝cos 2α，⎪⎩y ＝1＋2cos α.
(α为参数) ，点M 的坐标(－1,1) ；
若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
(1)请将点M 的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，－π
(2)若点N 是曲线C 上的任一点，求线段MN 的长度的最大值和最小值．