第九章（A ） 第三讲
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(8×5＝40分)
1．(2009·北京宣武一模) 若a ，b 是空间两条不同的直线，α，β是空间的两个不同的平面，则a ⊥α的一个充分不必要条件是
( )
A ．a ∥β，α⊥β B ．a ⊂β，α⊥β
C ．a ⊥b ，b ∥α D ．a ⊥β，α∥β
答案：D
解析：选项A 中，若a ∥β，α⊥β，直线a 与平面α可能平行，如图①，所以A 不正确；选项B 中，若a ⊂β，α⊥β，直线a 与α可能平行，可能相交，可能为包含关系，如图②，所以B 不正确；选项C 中，a ⊥b ，b ∥α，直线a 与α可能平行，如图③，所以C 不正确，故选
D.
2.(2009·河南调考) 已知α∥β，a ⊂α，B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中 ( )
A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线
C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在唯一一条与a 平行的直线 答案：D
解析：设过a 与B 的平面与β的交线为b ，由面面平行的性质得b 与a 平行，故选D.
3．(2009·天津四区名校联考) P A 垂直于正方形ABCD 所在平面，连结PB ，PC ，PD ，AC ，BD ，则下列垂直关系正确的是
( )
①面P AB ⊥面PBC ②面P AB ⊥面P AD
③面P AB ⊥面PCD ④面P AB ⊥面P AC
A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④
答案：A
解析：易证BC ⊥平面P AB ，
则平面P AB ⊥平面PBC ；
又AD ∥BC ，
故AD ⊥平面P AB ，
则平面P AD ⊥平面P AB ，
分析选项应选A.
4．(2009·成都市高中毕业班第一次诊断性检测题) 已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到α的距离都相等，则正确的结论是
( )
A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必与α相交
C ．平面ABC 必不垂直于α D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 答案：D
解析：A 、B 、C 点若在平面α两侧，则面ABC 与α相交，则A 错(如图甲) ．
A 、B 、C 点在平面α同侧且面ABC 与α平行，则B 错(如图乙) ．
面ABC 可以垂直于面α，则C 错(如图丙) ．
A 、B 、C 点在平面α同侧且面ABC 平行于α，则△ABC 的一条中位线平行于α；若A 、
B 、C 在面α内，则△ABC 的中位线在α内(如图丁) ．
5．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不．成立的是 ．．
( )
A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面P AE
C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面P AE ⊥平面ABC
答案：C
解析：∵D 、F 分别为AB 、CA 中点，
∴DF ∥BC .
∴BC ∥面PDF ，故A 正确．
又∵P －ABC 为正四面体，
∴P 在底面ABC 内的射影O 在AE 上．
∴PO ⊥面ABC . ∴PO ⊥DF .
又∵E 为BC 中点，∴AE ⊥BC ，∴AE ⊥DF .
又∵PO ∩AE ＝O ，∴DF ⊥面P AE ，故B 正确．
又∵PO ⊂面P AE ，PO ⊥面ABC ，
∴面P AE ⊥面ABC ，故D 正确．
∴四个结论中不成立的是C.
6．(2009·吉林质检) 已知a 、b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是 ( )
A ．若α∥β，a ∥α，b ∥β，则a ∥ B ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β
C ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ∥b D ．若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β 答案：D
解析：对于A ，若α∥β，a ∥α，b ∥β，则a ∥b 或异面，则A 不正确；对于B ，若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β或相交，则B 不正确；对于C ，若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a 与b 互相垂直，C 不正确．故选D.
7．已知二面角α—l —β的大小为30°，m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则m 、n 所成的角为( )
A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
答案：A
解析：m ⊥α，n ⊥β，∴m ，n 所成的夹角与二面角α—l —β所成的角相等或互补． ∵二面角α—l —β为30°，故异面直线m 、n 所成的夹角为30°，故选A.
8．正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面所成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为 ( ) 3313a 2 a 2 C. a 2 2 4338
答案：D
解析：如图所示，正三棱锥P —ABC 中AB ＝a ，作PO ⊥平面ABC ，则∠P AO 为侧棱与底面所成的角，即∠P AO ＝60°. 连结AO 并延长交BC 于一点M ，在P A 上取一点N ，使∠AMN ＝30°，连接BN 、NC ，可得截面NBC ，由MN ⊥BC ，AM ⊥BC 可得∠AMN 就是二面角N —BC —
M
的平面角．
a ， 2
333得MN ＝AM sin60°＝BC ＝， 224
1133∴S △NBC ＝BC ·MN a ×a ＝2，故选D. 2248
二、填空题(4×5＝20分)
9．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是△ABC 所在平面外一点，若P A ＝PB ＝PC ，那么P 在平面ABC 上的射影O 位于________．
答案：斜边AB 的中点处
解析：由P A ＝PB ＝PC ，知AO ＝BO ＝CO . 故O 为△ABC 的外接圆的圆心，又△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，所以O 在斜边AB 的中点处．
10．已知，直线a 、b 、c 和平面α、β，给出下列命题：
①若a 、b 与α成等角，则a ∥b ；
②若α∥β，c ⊥α，则c ⊥β；
③若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α；
④若α⊥β，a ∥α，则a ⊥β.
其中错误命题的序号是________．
答案：①③④
解析：①错，a 、b 与α成等角，但不一定平行．
②正确，一条直线垂直于两平行平面中一个平面，则它也垂直于另一个平面． ③错，b 也可能在平面α内．
④错，α⊥β，a ∥α，有可能a ∥β.
综上所述，错误命题的序号为：①③④.
11．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 、Q 、R 分别是面A 1B 1C 1D 1、BCC 1B 1、ABB 1A 1的中心，给出下列结论：
①PR 与BQ 是异面直线；
②RQ ⊥平面BCC 1B 1；
③平面PQR ∥平面D 1AC ；
④过P 、Q 、R 2的等边三角形．
以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
答案：③④
解析：如图所示，由于PR 是△A 1BC 1的中位线，所以PR ∥BQ ，
故①不正确；
由于RQ ∥A 1C 1，
而A 1C 1是面BCC 1B 1的一条斜线，
所以②不正确；
由于PR ∥BC 1∥D 1A ，PQ ∥A 1B ∥D 1C ，
所以③正确；
由于△A 1BC 1是边长为2的正三角形，
所以④正确．
12．将一幅三角尺如右图拼接，并沿BC 折起成直二面角，设AB
＝AC ，∠BAC ＝∠CDB ＝90°，∠DBC ＝30°，则异面直线AD 与BC 所
成角的余弦值＝________.
2答案： 4
解析：作AE ⊥BC 于E ，E 为BC 中点，连结DE
∵二面角
A
－
BC －D 为直二面角
∴AE ⊥面BCD
1AE ＝DE ＝BC 2∴AN ⊥MN ，又AM ＝
∴∠ADE ＝45°，又∵∠CED ＝60°，
则由三角形余弦定理AD 与BC 所成角的余弦值
2cos θ＝cos45°·cos60°＝. 4
三、解答题(4×10＝40分)
13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方
形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2AB .
(1)求证：平面P AC ⊥平面PBD ；
(2)求二面角B －PC －D 的余弦值．
解析：(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，
∴P A ⊥BD .
∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .
∴BD ⊥平面P AC ，又BD 在平面BPD 内，∴平面P AC ⊥平面BPD .
(2)在平面BCP 内作BN ⊥PC ，垂足为N ，连结DN ，
∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，
由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ；
∴∠BND 为二面角B －PC －D 的平面角，
5在△BND 中，BN ＝DN ＝，BD 2a ， 65252a －2a 2661∴cos ∠BND ＝. 5253
14．如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1
上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．
(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；
(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .
证明：(1)连结FG .
∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，
∴BG 綊A 1E ，∴A 1G 綊BE .
∵C 1F 綊B 1G ，
∴四边形C 1FGB 1是平行四边形．
∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1，
∴四边形A 1GFD 1是平行四边形．
∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB ，
故E 、B 、F 、D 1四点共面．
3(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝. 2
B G 3又B 1G ＝1，∴B 1H 2
FC 2又，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， BC 3
∴△B 1HG ∽△CBF ，
∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，
∴HG ∥FB .
又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，
FB ∩BE ＝B ，
∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .
15．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分
别为BC 、AC 的中点，设AB ＝P A ＝2.
(1)求证：平面PBE
⊥平面
P
AC
；
(2)如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ，请说明理由；
(3)对于(2)中的点F ，求三棱锥B －PEF 的体积．
解析：(1)证明：∵P A ⊥面ABC ，BE ⊂面ABC ，
∴P A ⊥BE .
∵△ABC 是正三角形，E 为AC 的中点，
∴BE ⊥AC ，又P A 与AC 相交，
∴BE ⊥平面P AC ，
∴平面PBE ⊥平面P AC .
(2)解：取DC 的中点F ，则点F 即为所求．
∵E ，F 分别是AC ，DC 的中点，
∴EF ∥AD ，
又AD ⊄平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，
∴AD ∥平面PEF .
111333(3)解：V B －PEF ＝V P －BEF ＝△BEF ·P A ＝××2＝. 332224
16．(2009·天津，19) 如图所示，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，
1AB ⊥AD ，M 为CE 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝AD . 2
(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；
(2)求证：平面AMD ⊥平面CDE ；
(3)求二面角A －CD －E 的余弦值．
解答：(1)解：由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角) 为异面直
线BF 与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连结EP ，PC . 因为FE 綊AP ，
所以F A 綊EP . 同理，AB 綊PC . 又F A ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD .
而PC ，AD 都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，EP ⊥AD . 由AB ⊥AD ，可得
PC ⊥AD . 设F A ＝a ，则EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝2a .
故∠CED ＝60°.
所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.
(2)证明：因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE . 连结MP ，则MP ⊥CE . 又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD . 而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .
(3)设Q 为CD 的中点，连结PQ ，EQ . 因为CE ＝DE ，所以EQ ⊥CD . 因为PC ＝PD ，所以PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角A －CD －E 的平面角．
62由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝，PQ a . 22
PQ 3于是在Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝＝
EQ 3
3所以二面角
A －CD －E 的余弦值为3
第九章（A ） 第三讲
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(8×5＝40分)
1．(2009·北京宣武一模) 若a ，b 是空间两条不同的直线，α，β是空间的两个不同的平面，则a ⊥α的一个充分不必要条件是
( )
A ．a ∥β，α⊥β B ．a ⊂β，α⊥β
C ．a ⊥b ，b ∥α D ．a ⊥β，α∥β
答案：D
解析：选项A 中，若a ∥β，α⊥β，直线a 与平面α可能平行，如图①，所以A 不正确；选项B 中，若a ⊂β，α⊥β，直线a 与α可能平行，可能相交，可能为包含关系，如图②，所以B 不正确；选项C 中，a ⊥b ，b ∥α，直线a 与α可能平行，如图③，所以C 不正确，故选
D.
2.(2009·河南调考) 已知α∥β，a ⊂α，B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中 ( )
A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线
C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在唯一一条与a 平行的直线 答案：D
解析：设过a 与B 的平面与β的交线为b ，由面面平行的性质得b 与a 平行，故选D.
3．(2009·天津四区名校联考) P A 垂直于正方形ABCD 所在平面，连结PB ，PC ，PD ，AC ，BD ，则下列垂直关系正确的是
( )
①面P AB ⊥面PBC ②面P AB ⊥面P AD
③面P AB ⊥面PCD ④面P AB ⊥面P AC
A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④
答案：A
解析：易证BC ⊥平面P AB ，
则平面P AB ⊥平面PBC ；
又AD ∥BC ，
故AD ⊥平面P AB ，
则平面P AD ⊥平面P AB ，
分析选项应选A.
4．(2009·成都市高中毕业班第一次诊断性检测题) 已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到α的距离都相等，则正确的结论是
( )
A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必与α相交
C ．平面ABC 必不垂直于α D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 答案：D
解析：A 、B 、C 点若在平面α两侧，则面ABC 与α相交，则A 错(如图甲) ．
A 、B 、C 点在平面α同侧且面ABC 与α平行，则B 错(如图乙) ．
面ABC 可以垂直于面α，则C 错(如图丙) ．
A 、B 、C 点在平面α同侧且面ABC 平行于α，则△ABC 的一条中位线平行于α；若A 、
B 、C 在面α内，则△ABC 的中位线在α内(如图丁) ．
5．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不．成立的是 ．．
( )
A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面P AE
C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面P AE ⊥平面ABC
答案：C
解析：∵D 、F 分别为AB 、CA 中点，
∴DF ∥BC .
∴BC ∥面PDF ，故A 正确．
又∵P －ABC 为正四面体，
∴P 在底面ABC 内的射影O 在AE 上．
∴PO ⊥面ABC . ∴PO ⊥DF .
又∵E 为BC 中点，∴AE ⊥BC ，∴AE ⊥DF .
又∵PO ∩AE ＝O ，∴DF ⊥面P AE ，故B 正确．
又∵PO ⊂面P AE ，PO ⊥面ABC ，
∴面P AE ⊥面ABC ，故D 正确．
∴四个结论中不成立的是C.
6．(2009·吉林质检) 已知a 、b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是 ( )
A ．若α∥β，a ∥α，b ∥β，则a ∥ B ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β
C ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ∥b D ．若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β 答案：D
解析：对于A ，若α∥β，a ∥α，b ∥β，则a ∥b 或异面，则A 不正确；对于B ，若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β或相交，则B 不正确；对于C ，若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a 与b 互相垂直，C 不正确．故选D.
7．已知二面角α—l —β的大小为30°，m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则m 、n 所成的角为( )
A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
答案：A
解析：m ⊥α，n ⊥β，∴m ，n 所成的夹角与二面角α—l —β所成的角相等或互补． ∵二面角α—l —β为30°，故异面直线m 、n 所成的夹角为30°，故选A.
8．正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面所成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为 ( ) 3313a 2 a 2 C. a 2 2 4338
答案：D
解析：如图所示，正三棱锥P —ABC 中AB ＝a ，作PO ⊥平面ABC ，则∠P AO 为侧棱与底面所成的角，即∠P AO ＝60°. 连结AO 并延长交BC 于一点M ，在P A 上取一点N ，使∠AMN ＝30°，连接BN 、NC ，可得截面NBC ，由MN ⊥BC ，AM ⊥BC 可得∠AMN 就是二面角N —BC —
M
的平面角．
a ， 2
333得MN ＝AM sin60°＝BC ＝， 224
1133∴S △NBC ＝BC ·MN a ×a ＝2，故选D. 2248
二、填空题(4×5＝20分)
9．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是△ABC 所在平面外一点，若P A ＝PB ＝PC ，那么P 在平面ABC 上的射影O 位于________．
答案：斜边AB 的中点处
解析：由P A ＝PB ＝PC ，知AO ＝BO ＝CO . 故O 为△ABC 的外接圆的圆心，又△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，所以O 在斜边AB 的中点处．
10．已知，直线a 、b 、c 和平面α、β，给出下列命题：
①若a 、b 与α成等角，则a ∥b ；
②若α∥β，c ⊥α，则c ⊥β；
③若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α；
④若α⊥β，a ∥α，则a ⊥β.
其中错误命题的序号是________．
答案：①③④
解析：①错，a 、b 与α成等角，但不一定平行．
②正确，一条直线垂直于两平行平面中一个平面，则它也垂直于另一个平面． ③错，b 也可能在平面α内．
④错，α⊥β，a ∥α，有可能a ∥β.
综上所述，错误命题的序号为：①③④.
11．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 、Q 、R 分别是面A 1B 1C 1D 1、BCC 1B 1、ABB 1A 1的中心，给出下列结论：
①PR 与BQ 是异面直线；
②RQ ⊥平面BCC 1B 1；
③平面PQR ∥平面D 1AC ；
④过P 、Q 、R 2的等边三角形．
以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
答案：③④
解析：如图所示，由于PR 是△A 1BC 1的中位线，所以PR ∥BQ ，
故①不正确；
由于RQ ∥A 1C 1，
而A 1C 1是面BCC 1B 1的一条斜线，
所以②不正确；
由于PR ∥BC 1∥D 1A ，PQ ∥A 1B ∥D 1C ，
所以③正确；
由于△A 1BC 1是边长为2的正三角形，
所以④正确．
12．将一幅三角尺如右图拼接，并沿BC 折起成直二面角，设AB
＝AC ，∠BAC ＝∠CDB ＝90°，∠DBC ＝30°，则异面直线AD 与BC 所
成角的余弦值＝________.
2答案： 4
解析：作AE ⊥BC 于E ，E 为BC 中点，连结DE
∵二面角
A
－
BC －D 为直二面角
∴AE ⊥面BCD
1AE ＝DE ＝BC 2∴AN ⊥MN ，又AM ＝
∴∠ADE ＝45°，又∵∠CED ＝60°，
则由三角形余弦定理AD 与BC 所成角的余弦值
2cos θ＝cos45°·cos60°＝. 4
三、解答题(4×10＝40分)
13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方
形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2AB .
(1)求证：平面P AC ⊥平面PBD ；
(2)求二面角B －PC －D 的余弦值．
解析：(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，
∴P A ⊥BD .
∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .
∴BD ⊥平面P AC ，又BD 在平面BPD 内，∴平面P AC ⊥平面BPD .
(2)在平面BCP 内作BN ⊥PC ，垂足为N ，连结DN ，
∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，
由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ；
∴∠BND 为二面角B －PC －D 的平面角，
5在△BND 中，BN ＝DN ＝，BD 2a ， 65252a －2a 2661∴cos ∠BND ＝. 5253
14．如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1
上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．
(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；
(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .
证明：(1)连结FG .
∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，
∴BG 綊A 1E ，∴A 1G 綊BE .
∵C 1F 綊B 1G ，
∴四边形C 1FGB 1是平行四边形．
∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1，
∴四边形A 1GFD 1是平行四边形．
∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB ，
故E 、B 、F 、D 1四点共面．
3(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝. 2
B G 3又B 1G ＝1，∴B 1H 2
FC 2又，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， BC 3
∴△B 1HG ∽△CBF ，
∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，
∴HG ∥FB .
又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，
FB ∩BE ＝B ，
∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .
15．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分
别为BC 、AC 的中点，设AB ＝P A ＝2.
(1)求证：平面PBE
⊥平面
P
AC
；
(2)如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ，请说明理由；
(3)对于(2)中的点F ，求三棱锥B －PEF 的体积．
解析：(1)证明：∵P A ⊥面ABC ，BE ⊂面ABC ，
∴P A ⊥BE .
∵△ABC 是正三角形，E 为AC 的中点，
∴BE ⊥AC ，又P A 与AC 相交，
∴BE ⊥平面P AC ，
∴平面PBE ⊥平面P AC .
(2)解：取DC 的中点F ，则点F 即为所求．
∵E ，F 分别是AC ，DC 的中点，
∴EF ∥AD ，
又AD ⊄平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，
∴AD ∥平面PEF .
111333(3)解：V B －PEF ＝V P －BEF ＝△BEF ·P A ＝××2＝. 332224
16．(2009·天津，19) 如图所示，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，
1AB ⊥AD ，M 为CE 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝AD . 2
(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；
(2)求证：平面AMD ⊥平面CDE ；
(3)求二面角A －CD －E 的余弦值．
解答：(1)解：由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角) 为异面直
线BF 与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连结EP ，PC . 因为FE 綊AP ，
所以F A 綊EP . 同理，AB 綊PC . 又F A ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD .
而PC ，AD 都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，EP ⊥AD . 由AB ⊥AD ，可得
PC ⊥AD . 设F A ＝a ，则EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝2a .
故∠CED ＝60°.
所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.
(2)证明：因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE . 连结MP ，则MP ⊥CE . 又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD . 而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .
(3)设Q 为CD 的中点，连结PQ ，EQ . 因为CE ＝DE ，所以EQ ⊥CD . 因为PC ＝PD ，所以PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角A －CD －E 的平面角．
62由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝，PQ a . 22
PQ 3于是在Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝＝
EQ 3
3所以二面角
A －CD －E 的余弦值为3