第４卷第３期２００８年７月
沈阳工程学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈｅｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
Ｖｄ．４Ｎｏ．３Ｊｕｌ．２００８
例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用
王大胄
（合作民族师范高等专科学校数学系，甘肃合作７４７０００）
摘要：通过一些实例的解答，讨论了微积分与概率论２门学科之间解题方法的相互应用。进而反映了概率论与微积分
ｒ＋∞
之间的联系和微积分在概率论发展过程中对概率论的渗透与推动，并得到了求解形如ＩＪ一∞ｆ（ｘ）ｅ—ｓｈ）ｄｘ（其中八ｚ）＝
ａｘ２＋ｂｘ＋Ｃ，ｇ（ｚ）＝／ｘ２＋．如＋足）的公式．关键词：概率论；微积分；应用中图分类号：０２１１．９；０１７２
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３—１６０３（２００８）０３—０２８３一０４
众所周知，概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上的，如在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间被简化为数集，概率相应地由集函数约化为实函数．以函数的观点衡量分布函数Ｆ（ｚ），Ｆ（．／７）的性质是十分良好的：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导．因之，微积分中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域．随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等，显然借鉴或搬运了微积分的现有成果．又如概率论中运用微积分的基
＋ｃ）Ｐ一（西２＋ｊｒ＋ｋ）ｄｚ的公式．
１概率论中的微积分解题方法
１．１微分法
某些随机事件的概率有依赖于１个变量的特点（比如依赖于时间变量等）．该概率作为１个未知函数，有类比于通过微分方程确定未知函数的途径．从局部性质（增量研究）人手，由微分的方法可求出所需的概率．
例１（见文献［１］）某机器在△￡时间内因故障而停
止的概率为ａＡｔ＋０（Ａｔ）（以为正常数）．如果机器在不重叠的时间内停止的各个事件彼此独立，如在时刻ｔｏ
础——极限论的地方也非常多，诸如分布函数的性质、大数定律、中心极限定理等．总之，微积分的思想方法
渗透到了概率论的各个方面，换言之，没有微积分的推动，就没有概率论的公理化与系统化，概率论就难以形成一门独立的学科．微积分与概率论的亲缘关系，决定了概率论的确定论的特征．但是作为微积分的一门后继课程，概率论并非按微积分中的思维方法发展下去，而是另辟蹊径，其发展路径与微积分大相径庭，最终成为了随机数学的典型代表，具备了与微积分相当的地位．更因其非线性、反因果的非理性特征，显得比经典
机器在工作着．试求此机器由时刻ｔｏ到ｔｏ＋ｔ这段时
间内不停工作的概率．
解：在机器工作稳定的情况下，所求概率应该只与
时间区间［ｔｏ＇ｔｏ＋ｔ］的长短有关，而与起点ｔｏ无关．故所求概率只是ｔ的函数，记为Ｐ（ｔ）．由于对Ｐ（ｔ）的
整体性状的信息认识不足，只是局部地知道机器在充分小的△￡时间内因故障停车的概率为ａＡｔ＋０（Ａｔ），
可以先去考查Ｐ（ｔ）在局部范围的增量变化特征．明显地，机器在［ｔｏ，ｔｏ＋￡＋Ａｔ］内不停，当且仅当在［ｔｏ，ｔｏ＋ｔ］及［ｔｏ＋ｔ，ｔｏ＋ｔ＋Ａｔ］２段时间内都不停时才
成立．利用这２个事件的独立性可得
的微积分更具有时代精神．而作为确定性数学典型代
表的微积分对概率论的发展具有很大作用，因此讨论微积分在概率论中的地位，探究概率论与微积分的联系及方法的相互应用，对教学工作者的教学有着一定的作用．这里以一些实例从一个则面体现概率论与微
ｒｏｏ
Ｐ（ｔ＋Ａｔ）＝Ｐ（ｔ）Ｐ（Ａｔ）＝Ｐ（ｔ）［１一ａＡｔ—ｏ（Ａｔ）］
Ｐ：（ｔ＋Ａｔ）一Ｐ（ｔ）＝一ａＰ（ｔ）ａｔ—Ｐ（ｔ）・ｏ（Ａｔ）
积分的联系，与此同时给出了求解形如Ｉ
收稿日期：２００７—１１—２０
作者简介：王大胄（１９７３一），男，甘肃永靖人，讲师
（ａｘ２＋ｂａｒ
盥匕掣二幽：一护（ｆ）一Ｐ（￡）．Ｄ（１）
・２８４・
沈阳工程学院学报（自然科学版）
第４卷
注意到Ｐ（￡）的有界性，令△ｆ．０，得到世笋
＝一ａＰ（￡），这就是未知概率Ｐ（ｔ）所应满足的微分方
程．解此方Ｐ（ｔ）＝Ｃｅ一，其中Ｃ为任意常数．由假定
在时刻ｔｏ机器在工作，此即是初始条件Ｐ（０）＝１，于
是可求出ｃ＝１，故得Ｐ（ｔ）＝Ｐ～．
１．２逐项微分法
根据变量数学期望与方差的定义，利用随机变量
的概率分布或分布密度的特点，可以用逐项微分法求
出随机变量的数学期望与方差．对于概率分布或分布密度含有参数的随机变量，也可应用逐项微分法求出其数学期望与方差．
设离散型随机变量拿的概率分布为Ｐ（毒＝ａｉ）＝
Ｐｉ，ｉ＝１，２，…，竹，满足ｏ≤Ｐｆ≤１，∑Ｐｆ＝１，其中Ｐｆ
含有参数（ｉ＝１，２，…，以），在求数学期望Ｅ（搴）时，可
通过对∑Ｐｆ＝１两边关于参数求导以达到目的．而在
求方差Ｄ（手）时，可对Ｅ（拿）＝口（口是上面求出之值）
两边再对参数求导得Ｅ（乎），再由Ｄ（亭）＝Ｅ（乎）一
［Ｅ（｝）］２得出结果．
例２（见文献［２］）设随机变量亭～Ｐ（Ａ），求Ｅ（亭）
与Ｄ（手）．
分析：先将∑筹＝∥两边对．；Ｉ求导后，再将其变
＾＝０＾；
形可得∑ｋ箸＝∥，于是由式（１）便ｇＮＥ（ｅ）＝Ａ；
＾二０
＾’
又对式（１）两边关于Ａ求导后再变形可求得Ｅ（乎），最后由Ｄ（拿）＝Ｅ（乎）一［Ｅ（拿）］２可求得Ｄ（拿）．（求解
过程略）．
对于连续型的情况可以类似求解．
’
１．３幂级数法
例３（见文献［３］）设随机变量拿服从参数为（，－，户）
的负二项分布（ｒ≥１，０＜Ｐ＜１），即Ｐ｛导＝ｍ｝＝ａＪｌ－，ｆｑ”一７，ｍ＝ｒ，ｒ十１，…，ｑ＝１一Ｐ，求Ｅ（亭）．
分析：其计算过程用到公式石南２
∑Ｃ：ｏ”一，该公式是由丁生＝∑ｚｍ（ｏ＜ｚ＜１）连
争碟－ｆｑ—ｒ＿∥蝥∥＝∥南
续逐项求导，．次后得到的．事实上Ｅ（乎）＝
一三
—’Ｐ’
１．４特殊函数法
Ｇａｍｍａ函数与Ｂｅｔａ函数在概率论中有着广泛的
应用，借助Ｇａｍｍａ函数，概率论中有重要的ｒ分布和
ｘ２分布．
例４（见文献［４］）设随机变量搴ｌ，＆，…，厶相互独
立，且服从参数为．：Ｉ的指数分布，手＝告∑磊．
求证Ｅ（专）＿ｆ与Ｊ：Ｉ．
证明：令ｙ＝拿ｌ＋龟＋…＋￡，由于毫（ｉ＝Ｉ，２，
…，以）服从参数为Ａ的指数分布，即服从Ｇａｍｍａ分布
ｒ（１，Ａ），又它们相互独立，由ｒ分布的可加性知ｅ１＋
Ｅ（专）＝Ｅ（舌］Ｆ葛－‰）＝Ｅ（多）＝－ｆ０＋。ｎｙ・
龟＋…＋毛～ｒ（咒，．：Ｉ），所以
禹矿－Ｉｅ－№＝尚ｎ砂）（ｎ－１）－ｌｅ－Ａｙ呐）
一丝ａ￡（丝二１一２一丝ａ（丝二２）！一一
丝
】
ｒ（咒）（咒一１）！
一九一１＾。由此可见，微积分是学习概率论的基础，所以，犹
如以上几例经常遇到用微积分的基本方法去解决一些例５（见文献［１］）试证自然倒数平方的级数和
§上一垂鲁，１２—６‘
证明：不妨设有放回地取出２数为搴和叩，则可能出现的结果为Ａｌ“｝，叩互素”；Ａ２“亭，７有公因子２”；
２旦Ａ。２９厶・
再设Ｂｑ＝“拿中有因子口”，ｃ叮＝“７中有因子ｇ”，
（１。享１）（－一孕１）（１一抄…１一孛），根据Ｅ妇
概率问题．而下面将从以下几个方面说明微积分中一些不太好解决的问题可以很方便地用概率的方法去解决．
２微积分中的概率方法
２．１无穷级数的求和
Ａ３“亭，７有公因子３”；……；Ａｑ“亭，叩有公因子ｑ（ｑ为素数）”……，由于Ａ女（忌＝１，２，３，…，ｑ，…，且七≥２
后按素数顺序取值）互斥，从而Ａｌ＝１＂２一Ｕ＾Ａ口
则Ｐ（Ｂｑ）＝ｉ１，Ｐ（ｑ）２吉，从而Ｐ（Ａ。）＝Ｐ（Ｂ。）Ｐ（Ｃ口）２李，故Ｐ（Ａｑ）＝Ｐ（。０２Ａａ）＝
Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ａ５）…Ｐ（Ａ口）＝
变换无穷乘积为级数的方法，可得Ｐ（Ａ１）＝
沈阳工程学院学报（自然科学版）
第４卷
由上知璺（盏着）Ｐ１＝吾．
参考文献
［１］马文．概率应用及思维方法［Ｍ］．重庆：重庆大学出版
社。１９８９．［２］叶乃琛．用逐项微分法求随机变量的数学期望与方差［Ｊ］．
包头职大学报，１９９９（９）：５３—５４．［３］于义良．概率论中的微积分方法［Ｊ］．工科数学，１９９７，１３
（４）：１６３—１６６．
［４］颜贵兴．概率论与数学分析中的方法的相互运用［Ｊ］．南宁
师范高等专科学校学报，２００１（１）：３ｌ一３３．［５］孙荣恒．趣味随机问题［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４．
［６］张德然．概率论思维论［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版
社，２００４．
［７］陆晓恒．概率方法在数学证明问题中的应用［Ｊ］．高等数学
研究，２００３，６（３）：４３－４４．
Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐａｎｄｉｎｔｅｒ－ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙａｎｄｃａｌｃｕｌｕｓ
＼／＼艏ＮＧＤａ－ｚｈｏｕ
（Ｄｅｐａｒｔｒ怕ｎｔ
ｏｆ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｅｚｕｏＭｉｎｏｒｉｔｉｅｓＴｅａｃｈｅｒ’ｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｈｅｚｕｏ７４７０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｉｎｔｅｒ－ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙａｎｄｃａｌｃｕｌｕｓ，ｈｅｎｃｅｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅ－
ｒ＋ｏｏ
ｔｗｅｅｎｔｈｅｍａｎｄｔｈｅｌａｔｔｅｒ’ｓｐｒｏｍｏｔｉｏｎｔｏｔｈｅｆｏｒｍｅｒｉｎｉｔｓｈｉｓｔｏｒｙ，ａｆｏｒｍｕｌａｔｈａｔ
ｃａｎ
ｓｏｌｖｅ
ｌ
ｆ（ｘ）ｅ—ｇ（。）ｄｘ（ｆ（ｘ）
＝ａ．Ｔ９２＋缸＋ｆ，ｇ（ｘ）＝Ｌｒ２＋ｊｘ＋ｋ）ｉｓ
ｐｕｔ
ｆｏｒｗａｒｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ；ｃａｌｃｕｌｕｓ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
（上接第２６６页）
设计是基于设计角度的，因此中间文件与ＰＤＭ系统有很强的交互性．基于同样的道理，第二类文件与ＥＲＰ系统也有很强的交互性．这样，借助于中间文件，该系统就能实现ＰＤＭ系统与ＥＲＰ系统间的无缝集成，实现企业内部的信息集成与共享．目前该系统仍处于研发阶段，但相信基于ＳＴＥＰ技术的ＰＤＭ／ＥＲＰ系统集成模式会显示出良好的应用前景．
工作流程，促使整个企业各部门协调工作．使用基于刚限Ｐ技术的ＰＤＭ与ＥＲＰ集成模式，能够实现企业
内的信息集成和共享，保证信息化数据能畅通传递，使
之优化设计和制造过程，加速产品设计向制造过程的转化，有效缩短产品的制造周期．参考文献
［１］闪四清．ＥＲＰ系统原理和实施［Ｍ］．北京：清华大学出版
社．２００６．
［２］童秉枢，李建明．产品数据管理（ＰＤＭ）技术［Ｍ］．北京：清
华大学出版社，２０００．
［３］赵强，彭义兵，陈万领．ＰＤＭ与ＥＲＰ集成技术研究与应用［Ｊ］．ＣＡＤ／ＣＡＭ与制造业信息化，２００３（２）：３５—３７．
［４］曾芬芳，陈万领．ＰＤＭ系统与ＥＲＰ系统的接口重要性［Ｊ］．中国制造业信息化，２００３（６）：３６—３７．
［５］洪天真，张金乾，江亿．ＳＴＥＰ数据交换技术及其在建筑
ＣＡＤ中的应用［Ｊ］．暖通空调，１９９５（６）：１５—１７．
３结束语
ＰＤＭ系统与ＥＲＰ系统的集成是实施企业信息化
建设中面临的迫切问题．实践证明，只有将２个系统进行有效地集成，才能减少信息冗余和信息冲突，才能使
设计部门和制造部门之间快速、精确地传送信息，加速
Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｏｆ
ＰＤＭａｎｄＥＲＰｂａｓｅｄ
ＣＯｌＬｉ．ｈｕａ８．ＳＵＮＳｈｕ－ｘｉａｂ
ｏｎ
ＳＴＥＰ
（ａ．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ；
ｂ．Ｃｏｌｌｅｇｅｏｆ
ＮｅｔｗｏｒｋＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｃｈｅｎｇ山ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｅｍｃｂ６１００５９，Ｏｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅａｎａｌｙｓｅｓｔｈｅｐｒｉｍｅｃｏｎｔｅｎｔｓｔｈａｔ
ＰＤＭ
ａｎｄＥＲＰｓｈｏｕｌｄｉｎｔｅｇｒａｔｅｅａｃｈｏｔｈｅｒ，ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅ
ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＳｔａｎｄａｒｄｆｏｒｔｈｅＥｘｃｈａｎｇｅｏｆＰｒｏｄｕｃｔ（刚正Ｐ），ｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｍｅｒｉｔｓａｎｄｄｒａｗｂａｃｋｓｏｆｓｅｖｅｒａｌｃｏｍｌｎｏｒｌ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｓｃｈｅｍｅｓＯｎｔｈｅｍ，ａｎｄｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｆａｃｔｏｆＲＧ
Ｐｅｔｒｏ—Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ（Ｇｒｏｕｐ）ｏｏ．，ＬＴＤ，ｐｕｔｓｆｏｒｗａｒｄｔｈｅ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｓｃｈｅｍｅｏｎＰＤＭａｎｄＥＲＰｂａｓｅｄｏｎＳｒＥＰ．ａｎｄｔｈｉｓｓｃｈｅｍｅｃａｎｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙｒｅａｌｉｚｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｈａｒｅ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＰｒｏｄｕｃｔＤａｔａＭａｎａｇｅｍｅｎｔ（ＰＤＭ）；ＥｎｔｅｒｐｒｉｓｅＲｅｓｏｕｒｃｅＰｌａｎｎｉｎｇ（ＥＲＰ）；ＢｉｌｌｏｆＭａｔｅｒｉａｌ（ＢＯＭ）；ｉｎ．ｔｅｇｒａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ；Ｓｔａｎｄａｒｄｆｏｒ
ｔｈｅＥｘｃｈａｎｇｅｏｆ
Ｐｒｏｄｕｃｔ（ＳＴＥＰ）
例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
王大胄， WANG Da-zhou
合作民族师范高等专科学校数学系,甘肃,合作,747000
沈阳工程学院学报(自然科学版)
JOURNAL OF SHENYANG INSTITUTE OF ENGINEERING(NATURAL SCIENCE)2008，4(3)0次
参考文献(7条)
1. 马文 概率应用及思维方法 1989
2. 叶乃琛 用逐项微分法求随机变量的数学期望与方差[期刊论文]-包头职业技术学院学报 1999(09)3. 于义良 概率论中的微积分方法 1997(04)
4. 颜贵兴 概率论与数学分析中的方法的相互运用[期刊论文]-南宁师范高等专科学校学报 2001(01)5. 孙荣恒 趣味随机问题 20046. 张德然 概率论思维论 2004
7. 陆晓恒 概率方法在数学证明问题中的应用[期刊论文]-高等数学研究 2003(03)
相似文献(10条)
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论述了拓扑学和函数论、几何学、代数学、微积分、图论、集合论、概率论与数理统计、分形几何、模糊数学等在地图学中的应用,并对应用了多种数学工具和数学方法的数理地图学作了简要介绍.数学在地图学中的广泛应用说明了数学在促进地图学的发展中发挥着重要作用.
2.期刊论文 颜贵兴 概率论与数学分析中的方法的相互运用 -南宁师范高等专科学校学报2001,18(1)
本文通过一些实例讨论了微积分方法在概率论中的运用以及数学分析中的一些问题可用概率方法去解决.
3.期刊论文 赵晓雨. ZHAO Xiao-yu 推导麦克斯韦速率分布函数的新方法 -渝西学院学报（自然科学版）2003,2(3)
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7.学位论文 林然 分数阶常微分方程的高阶多步法和变分数阶扩散方程的数值方法 2007
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绪言部分介绍了关于分数阶微积分的一些预备知识，给出了分数阶微积分一些基本定义和性质。
接下来的第二章中，首先从基本的分数阶常微分方程出发，对Lubich提出的一个关于分数阶导数的高阶近似，将其应用于分数阶微分方程，构造高阶数值差分格式来进行分数阶微分方程的数值求解，并在理论上给出这一算法的误差分析，证明了它的相容性，收敛性和稳定性。
第三章对于一个推广到分数阶的松驰方程，直接利用Grünwald-Letnikov分数阶导数定义进行离散，得到分数阶松驰方程一个数值方法，并给出了相容性，收敛性和稳定性的证明。
在第四章中，进一步的考虑更复杂的非线性分数阶常微分方程，同样利用的是Lubich提出分数阶导数的高阶近似，构造相应的数值格式，并给出这一算法的误差分析，即相容性，收敛性和稳定性的证明。
第五章考虑变分数阶的微分方程，在近来提出的一些模型中，分数阶导数的阶数会随着时间或空间的变化而变化，因此在最后一章中我们讨论基于
Riesz分数阶导数的一类变分数阶扩散方程，给出求解这样一个方程的一个数值方法，并对其相容性，收敛性和稳定性进行了证明。
8.期刊论文 庞少莉 浅论连续性随机变量概念的学习 -考试周刊2009,""(33)
本文从高职高专学生学习概率论中的连续型随机变量概念的角度出发,用微积分的方法,解释了连续型随机变量的定义及相关概念,目的在于帮助学生加深理解这些概念.
9.学位论文 李春飞 两类损失函数的质量水平与参数设计 2007
本文通过对论文背景的介绍，给出对称性损失函数和非对称性损失函数的概念和解析关系式，根据田口玄一的质量水平定义，借助分析工具得出了两类函数的平均质量损失即质量水平的解析关系式。由两类损失函数的质量水平函数关系式可知，质量水平由两部分确定，一部分由产品的质量波动即产品的性能指标的方差σ决定的，另一部分是由性能指标的均值与目标值之间的偏差决定的。为了使两部分的和最小确保设计合理性，提出了两类损失函数的参数设计的基本思想。并通过分析中微积分方法，及概率论与数理统计中期望和方差的相关性质对某些重要结论给以充分的证明。
本文以非对称损失函数为例，通过函数的单调性及函数的极值等分析方法为工具，以及牛顿的迭代法解非线性方程。研究讨论了一般正态总体的参数设计过程中，如何确定二元微分方程的极值，如何构造调整参数及使调整参数最优化。同时通过二元函数的最大值和最小值的微积分方法，所确定的微分方程组的解的结构，得出了方差没有最小值，是一个单调递减的函数，只能使其越小越好，说明了稳健性设计的必要性。同时通过对另一个方程有最小值0值，只是需要对参数进行调整，说明灵敏度设计的可行性，合理性和科学性。
在参数设计过程中，有一些设计过程中的若干重要结论，给以推导和证明。补充了一些和证明过程中有关的定义，性质和公式，相关的函数图像，以及和本论文有关的一些概念。成文过程中翻阅了大量的期刊，著作等参考文献，从中得到了很大的帮助。由于本人水平有限，会有一些不足之处，希望老师们能给凉解。您的鼓力，支持和帮助才是我进步的阶梯。
10.期刊论文 吴耀强. WU Yao-qiang 几个重要分布在微积分学中的创造性应用 -甘肃联合大学学报（自然科学版）2009,23(3)
通过适当地构造概率模型,应用概率论中几种重要分布的理论和方法创造性地解决微积分学中的相关问题,从而显示出概率方法应用的广泛性和优越性.
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第４卷第３期２００８年７月
沈阳工程学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈｅｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
Ｖｄ．４Ｎｏ．３Ｊｕｌ．２００８
例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用
王大胄
（合作民族师范高等专科学校数学系，甘肃合作７４７０００）
摘要：通过一些实例的解答，讨论了微积分与概率论２门学科之间解题方法的相互应用。进而反映了概率论与微积分
ｒ＋∞
之间的联系和微积分在概率论发展过程中对概率论的渗透与推动，并得到了求解形如ＩＪ一∞ｆ（ｘ）ｅ—ｓｈ）ｄｘ（其中八ｚ）＝
ａｘ２＋ｂｘ＋Ｃ，ｇ（ｚ）＝／ｘ２＋．如＋足）的公式．关键词：概率论；微积分；应用中图分类号：０２１１．９；０１７２
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３—１６０３（２００８）０３—０２８３一０４
众所周知，概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上的，如在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间被简化为数集，概率相应地由集函数约化为实函数．以函数的观点衡量分布函数Ｆ（ｚ），Ｆ（．／７）的性质是十分良好的：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导．因之，微积分中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域．随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等，显然借鉴或搬运了微积分的现有成果．又如概率论中运用微积分的基
＋ｃ）Ｐ一（西２＋ｊｒ＋ｋ）ｄｚ的公式．
１概率论中的微积分解题方法
１．１微分法
某些随机事件的概率有依赖于１个变量的特点（比如依赖于时间变量等）．该概率作为１个未知函数，有类比于通过微分方程确定未知函数的途径．从局部性质（增量研究）人手，由微分的方法可求出所需的概率．
例１（见文献［１］）某机器在△￡时间内因故障而停
止的概率为ａＡｔ＋０（Ａｔ）（以为正常数）．如果机器在不重叠的时间内停止的各个事件彼此独立，如在时刻ｔｏ
础——极限论的地方也非常多，诸如分布函数的性质、大数定律、中心极限定理等．总之，微积分的思想方法
渗透到了概率论的各个方面，换言之，没有微积分的推动，就没有概率论的公理化与系统化，概率论就难以形成一门独立的学科．微积分与概率论的亲缘关系，决定了概率论的确定论的特征．但是作为微积分的一门后继课程，概率论并非按微积分中的思维方法发展下去，而是另辟蹊径，其发展路径与微积分大相径庭，最终成为了随机数学的典型代表，具备了与微积分相当的地位．更因其非线性、反因果的非理性特征，显得比经典
机器在工作着．试求此机器由时刻ｔｏ到ｔｏ＋ｔ这段时
间内不停工作的概率．
解：在机器工作稳定的情况下，所求概率应该只与
时间区间［ｔｏ＇ｔｏ＋ｔ］的长短有关，而与起点ｔｏ无关．故所求概率只是ｔ的函数，记为Ｐ（ｔ）．由于对Ｐ（ｔ）的
整体性状的信息认识不足，只是局部地知道机器在充分小的△￡时间内因故障停车的概率为ａＡｔ＋０（Ａｔ），
可以先去考查Ｐ（ｔ）在局部范围的增量变化特征．明显地，机器在［ｔｏ，ｔｏ＋￡＋Ａｔ］内不停，当且仅当在［ｔｏ，ｔｏ＋ｔ］及［ｔｏ＋ｔ，ｔｏ＋ｔ＋Ａｔ］２段时间内都不停时才
成立．利用这２个事件的独立性可得
的微积分更具有时代精神．而作为确定性数学典型代
表的微积分对概率论的发展具有很大作用，因此讨论微积分在概率论中的地位，探究概率论与微积分的联系及方法的相互应用，对教学工作者的教学有着一定的作用．这里以一些实例从一个则面体现概率论与微
ｒｏｏ
Ｐ（ｔ＋Ａｔ）＝Ｐ（ｔ）Ｐ（Ａｔ）＝Ｐ（ｔ）［１一ａＡｔ—ｏ（Ａｔ）］
Ｐ：（ｔ＋Ａｔ）一Ｐ（ｔ）＝一ａＰ（ｔ）ａｔ—Ｐ（ｔ）・ｏ（Ａｔ）
积分的联系，与此同时给出了求解形如Ｉ
收稿日期：２００７—１１—２０
作者简介：王大胄（１９７３一），男，甘肃永靖人，讲师
（ａｘ２＋ｂａｒ
盥匕掣二幽：一护（ｆ）一Ｐ（￡）．Ｄ（１）
・２８４・
沈阳工程学院学报（自然科学版）
第４卷
注意到Ｐ（￡）的有界性，令△ｆ．０，得到世笋
＝一ａＰ（￡），这就是未知概率Ｐ（ｔ）所应满足的微分方
程．解此方Ｐ（ｔ）＝Ｃｅ一，其中Ｃ为任意常数．由假定
在时刻ｔｏ机器在工作，此即是初始条件Ｐ（０）＝１，于
是可求出ｃ＝１，故得Ｐ（ｔ）＝Ｐ～．
１．２逐项微分法
根据变量数学期望与方差的定义，利用随机变量
的概率分布或分布密度的特点，可以用逐项微分法求
出随机变量的数学期望与方差．对于概率分布或分布密度含有参数的随机变量，也可应用逐项微分法求出其数学期望与方差．
设离散型随机变量拿的概率分布为Ｐ（毒＝ａｉ）＝
Ｐｉ，ｉ＝１，２，…，竹，满足ｏ≤Ｐｆ≤１，∑Ｐｆ＝１，其中Ｐｆ
含有参数（ｉ＝１，２，…，以），在求数学期望Ｅ（搴）时，可
通过对∑Ｐｆ＝１两边关于参数求导以达到目的．而在
求方差Ｄ（手）时，可对Ｅ（拿）＝口（口是上面求出之值）
两边再对参数求导得Ｅ（乎），再由Ｄ（亭）＝Ｅ（乎）一
［Ｅ（｝）］２得出结果．
例２（见文献［２］）设随机变量亭～Ｐ（Ａ），求Ｅ（亭）
与Ｄ（手）．
分析：先将∑筹＝∥两边对．；Ｉ求导后，再将其变
＾＝０＾；
形可得∑ｋ箸＝∥，于是由式（１）便ｇＮＥ（ｅ）＝Ａ；
＾二０
＾’
又对式（１）两边关于Ａ求导后再变形可求得Ｅ（乎），最后由Ｄ（拿）＝Ｅ（乎）一［Ｅ（拿）］２可求得Ｄ（拿）．（求解
过程略）．
对于连续型的情况可以类似求解．
’
１．３幂级数法
例３（见文献［３］）设随机变量拿服从参数为（，－，户）
的负二项分布（ｒ≥１，０＜Ｐ＜１），即Ｐ｛导＝ｍ｝＝ａＪｌ－，ｆｑ”一７，ｍ＝ｒ，ｒ十１，…，ｑ＝１一Ｐ，求Ｅ（亭）．
分析：其计算过程用到公式石南２
∑Ｃ：ｏ”一，该公式是由丁生＝∑ｚｍ（ｏ＜ｚ＜１）连
争碟－ｆｑ—ｒ＿∥蝥∥＝∥南
续逐项求导，．次后得到的．事实上Ｅ（乎）＝
一三
—’Ｐ’
１．４特殊函数法
Ｇａｍｍａ函数与Ｂｅｔａ函数在概率论中有着广泛的
应用，借助Ｇａｍｍａ函数，概率论中有重要的ｒ分布和
ｘ２分布．
例４（见文献［４］）设随机变量搴ｌ，＆，…，厶相互独
立，且服从参数为．：Ｉ的指数分布，手＝告∑磊．
求证Ｅ（专）＿ｆ与Ｊ：Ｉ．
证明：令ｙ＝拿ｌ＋龟＋…＋￡，由于毫（ｉ＝Ｉ，２，
…，以）服从参数为Ａ的指数分布，即服从Ｇａｍｍａ分布
ｒ（１，Ａ），又它们相互独立，由ｒ分布的可加性知ｅ１＋
Ｅ（专）＝Ｅ（舌］Ｆ葛－‰）＝Ｅ（多）＝－ｆ０＋。ｎｙ・
龟＋…＋毛～ｒ（咒，．：Ｉ），所以
禹矿－Ｉｅ－№＝尚ｎ砂）（ｎ－１）－ｌｅ－Ａｙ呐）
一丝ａ￡（丝二１一２一丝ａ（丝二２）！一一
丝
】
ｒ（咒）（咒一１）！
一九一１＾。由此可见，微积分是学习概率论的基础，所以，犹
如以上几例经常遇到用微积分的基本方法去解决一些例５（见文献［１］）试证自然倒数平方的级数和
§上一垂鲁，１２—６‘
证明：不妨设有放回地取出２数为搴和叩，则可能出现的结果为Ａｌ“｝，叩互素”；Ａ２“亭，７有公因子２”；
２旦Ａ。２９厶・
再设Ｂｑ＝“拿中有因子口”，ｃ叮＝“７中有因子ｇ”，
（１。享１）（－一孕１）（１一抄…１一孛），根据Ｅ妇
概率问题．而下面将从以下几个方面说明微积分中一些不太好解决的问题可以很方便地用概率的方法去解决．
２微积分中的概率方法
２．１无穷级数的求和
Ａ３“亭，７有公因子３”；……；Ａｑ“亭，叩有公因子ｑ（ｑ为素数）”……，由于Ａ女（忌＝１，２，３，…，ｑ，…，且七≥２
后按素数顺序取值）互斥，从而Ａｌ＝１＂２一Ｕ＾Ａ口
则Ｐ（Ｂｑ）＝ｉ１，Ｐ（ｑ）２吉，从而Ｐ（Ａ。）＝Ｐ（Ｂ。）Ｐ（Ｃ口）２李，故Ｐ（Ａｑ）＝Ｐ（。０２Ａａ）＝
Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ａ５）…Ｐ（Ａ口）＝
变换无穷乘积为级数的方法，可得Ｐ（Ａ１）＝
沈阳工程学院学报（自然科学版）
第４卷
由上知璺（盏着）Ｐ１＝吾．
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＼／＼艏ＮＧＤａ－ｚｈｏｕ
（Ｄｅｐａｒｔｒ怕ｎｔ
ｏｆ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｅｚｕｏＭｉｎｏｒｉｔｉｅｓＴｅａｃｈｅｒ’ｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｈｅｚｕｏ７４７０００，Ｃｈｉｎａ）
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ｒ＋ｏｏ
ｔｗｅｅｎｔｈｅｍａｎｄｔｈｅｌａｔｔｅｒ’ｓｐｒｏｍｏｔｉｏｎｔｏｔｈｅｆｏｒｍｅｒｉｎｉｔｓｈｉｓｔｏｒｙ，ａｆｏｒｍｕｌａｔｈａｔ
ｃａｎ
ｓｏｌｖｅ
ｌ
ｆ（ｘ）ｅ—ｇ（。）ｄｘ（ｆ（ｘ）
＝ａ．Ｔ９２＋缸＋ｆ，ｇ（ｘ）＝Ｌｒ２＋ｊｘ＋ｋ）ｉｓ
ｐｕｔ
ｆｏｒｗａｒｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ；ｃａｌｃｕｌｕｓ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
（上接第２６６页）
设计是基于设计角度的，因此中间文件与ＰＤＭ系统有很强的交互性．基于同样的道理，第二类文件与ＥＲＰ系统也有很强的交互性．这样，借助于中间文件，该系统就能实现ＰＤＭ系统与ＥＲＰ系统间的无缝集成，实现企业内部的信息集成与共享．目前该系统仍处于研发阶段，但相信基于ＳＴＥＰ技术的ＰＤＭ／ＥＲＰ系统集成模式会显示出良好的应用前景．
工作流程，促使整个企业各部门协调工作．使用基于刚限Ｐ技术的ＰＤＭ与ＥＲＰ集成模式，能够实现企业
内的信息集成和共享，保证信息化数据能畅通传递，使
之优化设计和制造过程，加速产品设计向制造过程的转化，有效缩短产品的制造周期．参考文献
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３结束语
ＰＤＭ系统与ＥＲＰ系统的集成是实施企业信息化
建设中面临的迫切问题．实践证明，只有将２个系统进行有效地集成，才能减少信息冗余和信息冲突，才能使
设计部门和制造部门之间快速、精确地传送信息，加速
Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｏｆ
ＰＤＭａｎｄＥＲＰｂａｓｅｄ
ＣＯｌＬｉ．ｈｕａ８．ＳＵＮＳｈｕ－ｘｉａｂ
ｏｎ
ＳＴＥＰ
（ａ．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ；
ｂ．Ｃｏｌｌｅｇｅｏｆ
ＮｅｔｗｏｒｋＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｃｈｅｎｇ山ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｅｍｃｂ６１００５９，Ｏｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅａｎａｌｙｓｅｓｔｈｅｐｒｉｍｅｃｏｎｔｅｎｔｓｔｈａｔ
ＰＤＭ
ａｎｄＥＲＰｓｈｏｕｌｄｉｎｔｅｇｒａｔｅｅａｃｈｏｔｈｅｒ，ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅ
ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＳｔａｎｄａｒｄｆｏｒｔｈｅＥｘｃｈａｎｇｅｏｆＰｒｏｄｕｃｔ（刚正Ｐ），ｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｍｅｒｉｔｓａｎｄｄｒａｗｂａｃｋｓｏｆｓｅｖｅｒａｌｃｏｍｌｎｏｒｌ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｓｃｈｅｍｅｓＯｎｔｈｅｍ，ａｎｄｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｆａｃｔｏｆＲＧ
Ｐｅｔｒｏ—Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ（Ｇｒｏｕｐ）ｏｏ．，ＬＴＤ，ｐｕｔｓｆｏｒｗａｒｄｔｈｅ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｓｃｈｅｍｅｏｎＰＤＭａｎｄＥＲＰｂａｓｅｄｏｎＳｒＥＰ．ａｎｄｔｈｉｓｓｃｈｅｍｅｃａｎｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙｒｅａｌｉｚｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｈａｒｅ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＰｒｏｄｕｃｔＤａｔａＭａｎａｇｅｍｅｎｔ（ＰＤＭ）；ＥｎｔｅｒｐｒｉｓｅＲｅｓｏｕｒｃｅＰｌａｎｎｉｎｇ（ＥＲＰ）；ＢｉｌｌｏｆＭａｔｅｒｉａｌ（ＢＯＭ）；ｉｎ．ｔｅｇｒａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ；Ｓｔａｎｄａｒｄｆｏｒ
ｔｈｅＥｘｃｈａｎｇｅｏｆ
Ｐｒｏｄｕｃｔ（ＳＴＥＰ）
例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
王大胄， WANG Da-zhou
合作民族师范高等专科学校数学系,甘肃,合作,747000
沈阳工程学院学报(自然科学版)
JOURNAL OF SHENYANG INSTITUTE OF ENGINEERING(NATURAL SCIENCE)2008，4(3)0次
参考文献(7条)
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论述了拓扑学和函数论、几何学、代数学、微积分、图论、集合论、概率论与数理统计、分形几何、模糊数学等在地图学中的应用,并对应用了多种数学工具和数学方法的数理地图学作了简要介绍.数学在地图学中的广泛应用说明了数学在促进地图学的发展中发挥着重要作用.
2.期刊论文 颜贵兴 概率论与数学分析中的方法的相互运用 -南宁师范高等专科学校学报2001,18(1)
本文通过一些实例讨论了微积分方法在概率论中的运用以及数学分析中的一些问题可用概率方法去解决.
3.期刊论文 赵晓雨. ZHAO Xiao-yu 推导麦克斯韦速率分布函数的新方法 -渝西学院学报（自然科学版）2003,2(3)
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7.学位论文 林然 分数阶常微分方程的高阶多步法和变分数阶扩散方程的数值方法 2007
分数微积分的出现已有300多年的历史，它的应用领域很广，包含各种材料的记忆、力学和电特性描述、地震分析、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、机器人、电子电路、电解化学、分数电容理论、电极电解质接口描述、分形理论，特别是描述自相似和多孔结构的动态过程、分数阶控制器设计、弹粘性系统和柔软构造物体的振动控制、分数阶生物神经元和概率论等。分数阶微分方程的特点是含有非整数阶导数，能非常有效的描述各种各样的物质的记忆和遗传性质，在工程，物理，金融，水文等领域发挥越来越重要的作用。 这篇文章主要由下面几个部分组成。
绪言部分介绍了关于分数阶微积分的一些预备知识，给出了分数阶微积分一些基本定义和性质。
接下来的第二章中，首先从基本的分数阶常微分方程出发，对Lubich提出的一个关于分数阶导数的高阶近似，将其应用于分数阶微分方程，构造高阶数值差分格式来进行分数阶微分方程的数值求解，并在理论上给出这一算法的误差分析，证明了它的相容性，收敛性和稳定性。
第三章对于一个推广到分数阶的松驰方程，直接利用Grünwald-Letnikov分数阶导数定义进行离散，得到分数阶松驰方程一个数值方法，并给出了相容性，收敛性和稳定性的证明。
在第四章中，进一步的考虑更复杂的非线性分数阶常微分方程，同样利用的是Lubich提出分数阶导数的高阶近似，构造相应的数值格式，并给出这一算法的误差分析，即相容性，收敛性和稳定性的证明。
第五章考虑变分数阶的微分方程，在近来提出的一些模型中，分数阶导数的阶数会随着时间或空间的变化而变化，因此在最后一章中我们讨论基于
Riesz分数阶导数的一类变分数阶扩散方程，给出求解这样一个方程的一个数值方法，并对其相容性，收敛性和稳定性进行了证明。
8.期刊论文 庞少莉 浅论连续性随机变量概念的学习 -考试周刊2009,""(33)
本文从高职高专学生学习概率论中的连续型随机变量概念的角度出发,用微积分的方法,解释了连续型随机变量的定义及相关概念,目的在于帮助学生加深理解这些概念.
9.学位论文 李春飞 两类损失函数的质量水平与参数设计 2007
本文通过对论文背景的介绍，给出对称性损失函数和非对称性损失函数的概念和解析关系式，根据田口玄一的质量水平定义，借助分析工具得出了两类函数的平均质量损失即质量水平的解析关系式。由两类损失函数的质量水平函数关系式可知，质量水平由两部分确定，一部分由产品的质量波动即产品的性能指标的方差σ决定的，另一部分是由性能指标的均值与目标值之间的偏差决定的。为了使两部分的和最小确保设计合理性，提出了两类损失函数的参数设计的基本思想。并通过分析中微积分方法，及概率论与数理统计中期望和方差的相关性质对某些重要结论给以充分的证明。
本文以非对称损失函数为例，通过函数的单调性及函数的极值等分析方法为工具，以及牛顿的迭代法解非线性方程。研究讨论了一般正态总体的参数设计过程中，如何确定二元微分方程的极值，如何构造调整参数及使调整参数最优化。同时通过二元函数的最大值和最小值的微积分方法，所确定的微分方程组的解的结构，得出了方差没有最小值，是一个单调递减的函数，只能使其越小越好，说明了稳健性设计的必要性。同时通过对另一个方程有最小值0值，只是需要对参数进行调整，说明灵敏度设计的可行性，合理性和科学性。
在参数设计过程中，有一些设计过程中的若干重要结论，给以推导和证明。补充了一些和证明过程中有关的定义，性质和公式，相关的函数图像，以及和本论文有关的一些概念。成文过程中翻阅了大量的期刊，著作等参考文献，从中得到了很大的帮助。由于本人水平有限，会有一些不足之处，希望老师们能给凉解。您的鼓力，支持和帮助才是我进步的阶梯。
10.期刊论文 吴耀强. WU Yao-qiang 几个重要分布在微积分学中的创造性应用 -甘肃联合大学学报（自然科学版）2009,23(3)
通过适当地构造概率模型,应用概率论中几种重要分布的理论和方法创造性地解决微积分学中的相关问题,从而显示出概率方法应用的广泛性和优越性.
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下载时间：2010年8月6日