第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念
知识导图
⎧（）元素与集合的关系：属于（∈）和不属于（∉）⎧1⎪⎪
⎪2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性⎪集合与元素（⎨⎪（⎪3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集⎪
⎪4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（⎪⎩
⎪
⎧⎧子集：若x ∈A ⇒x ∈B ，则A ⊆B ，即A 是B 的子集。⎪
⎪⎪⎪
⎧1、若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有(2n -1) 个。⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪2、任何一个集合是它本身的子集，即 A ⊆A ⎪⎪⎪⎪ 注⎨
⎪关系⎨⎪⎪3、对于集合A , B , C , 如果A ⊆B ，且B ⊆C , 那么A ⊆C . ⎪⎪⎪⎪4、空集是任何集合的（真）子集。
⎩⎪⎪⎪
⎪⎪真子集：若A ⊆B 且A ≠B ⎪（即至少存在x 0∈B 但x 0∉A ），则A 是B 的真子集。集合⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩集合相等：A ⊆B 且A ⊇B ⇔A =B ⎪⎪
⎧⎧⎪集合与集合⎪⎪定义：A ⋂B ={x /x ∈A 且x ∈B }⎨交集⎪⎨⎪⎪⎪性质：A ⋂A =A ，A ⋂∅=∅，A ⋂B =B ⋂A ，A ⋂B ⊆A , A ⋂B ⊆B ，A ⊆B ⇔A ⋂B =A ⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪定义：A ⋃B ={x /x ∈A 或x ∈B }⎪并集⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩性质：A ⋃A =A ，A ⋃∅=A ，A ⋃B =B ⋃A ，A ⋃B ⊇A ，A ⋃B ⊇B ，A ⊆B ⇔A ⋃B =B ⎪运算⎨⎪
⎪⎪ Card (A ⋃B ) =Card (A ) +Card (B ) -Card (A ⋂B ) ⎪⎪⎪⎪⎧定义：C U A ={x /x ∈U 且x ∉A }=⎪⎪⎪⎪⎪⎪补集⎨性质：⎪(C U A ) ⋂A =∅，(C U A ) ⋃A =U ，C U (C U A ) =A ，C U (A ⋂B ) =(C U A ) ⋃(C U B ) ，⎪⎪⎪⎪ C (A ⋃B ) =(C A ) ⋂(C B ) ⎪⎪U U U ⎪⎩⎩⎩⎩
教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常
规处理方法．
教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法． 教学难点：集合语言、集合思想的综合应用． 教学过程：
（一）主要知识：
1．集合、子集、空集的概念；
2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；
3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2个，真子集有2-1，非空子集有2-1个，非空真子集有2-2个． （二）主要方法：
1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；
4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．
n
n
n
n
（三）例题分析： 例1．选择题：
(1)不能形成集合的是( )
(A)大于2的全体实数 (B)不等式3x －5＜6的所有解 (C)方程y =3x +1所对应的直线上的所有点 (D)x 轴附近的所有点 (2)设集合A ={x |x ≥32},x =2，则下列关系中正确的是( ) (A)x A
(3)设集合M ={x |x =
(B)x ∉A
(C){x }∈A
(D){x }A
k 1k 1
+, k ∈Z },N ={x |x =+, k ∈Z }，则( ) 2442
(A)M =N (B)M N
(C)M N (D)M ∩N = 解：(1)选D ．“附近”不具有确定性．(2)选D ． (3)选B ．
1133
∉M , ∉N 故排除(A)、(C)，又∉M , ∉N ，故排除(D)．
4422
k 1k 11
方法二：集合M 的元素x =+=(2k +1), k ∈Z . 集合N 的元素x =+=
24442
1
(k +2), k ∈Z ．而2k ＋1为奇数，k ＋2为全体整数，因此M N ． 4
方法一：
小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．
2222
例2．设集合P ={x -y , x +y , xy }，Q =x +y , x -y ,0，若P =Q ，求x , y 的值及集合
{}
P 、Q ．
解：∵P =Q 且0∈Q ，∴0∈P ．
2222
（1）若x +y =0或x -y =0，则x -y =0，从而Q =x +y ,0,0，与集合中元素的
{}
互异性矛盾，∴x +y ≠0且x -y ≠0； （2）若xy =0，则x =0或y =0．
当y =0时，P ={x , x ,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴y ≠0； 当x =0时，P ={-y , y ,0}，Q ={y 2, -y 2,0}，
-y =-y 2-y =y 2⎧⎧2⎪⎪2
由P =Q 得⎨y =-y ① 或⎨y =y ②
y ≠0⎪⎪⎩⎩y ≠0
由①得y =-1，由②得y =1，
∴x =0或x =0，此时P =Q ={1, -1,0}．
y =-1y =1
{{
2
例3．若集合A =x |x +ax +1=0, x ∈R ，集合B ={1,2}，且A ⊆B ，求实数a 的取值
{}
范围．
解：（1）若A =φ，则∆=a -4（2）若1∈A ，则1+a +1=0，解得a =-2，此时A ={1}，适合题意； （3）若2∈A ，则2+2a +1=0，解得a =-
22
2
55
，此时A ={2,}，不合题意； 22
综上所述，实数m 的取值范围为[-2, 2) ．
巩固练习：
1．下列各组对象
①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；
⑤2的近似值的全体．
其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．下列命题中正确的是( )
A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义 B ．{(1，2) }与{(2，1) }表示同一个集合 C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合
3．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( )
A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ∉M
2
4 已知M ={x |2x -5x -3=0}，N ={x |mx =1}，若N ⊆M ，则适合条件的实数m 的
集合P 为{0,-2, }；P 的子集有个；P 的非空真子集有个．
5 已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______．
6 设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．
13
第2课时 集合的运算
教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴 或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 教学过程：
（一）主要知识：
1．交集、并集、全集、补集的概念；
2．A B =A ⇔A ⊆B ，A B =A ⇔A ⊇B ； 3．C U A
C U B =C U (A B ) ，C U A C U B =C U (A B ) ．
（二）主要方法：
1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 例题分析：
*
例1．设全集U =x |0
{}
B ={3}，A C U B ={1,5,7}，
C U A C U B ={9}，则A ={1,3,5,7}，B ={2,3,4,6,8}．解法要点：利用文氏图．
例
32
2．已知集合A =x |x +3x +2x >0
{}
2
，B =x |x +ax +b ≤0
{}
，若
A
B ={|x 0-2}，求实数a 、b 的值． }，
(0,+∞) ，又∵A B ={x |0-2}，
2
32
解：由x +3x +2x >0得x (x +1)(x +2) >0，∴-20，
∴A =(-2, -1)
∴B =[-1, 2]，∴-1和2是方程x +ax +b =0的根， 由韦达定理得：
{
-1+2=-a ，∴a =-1． -1⨯2=b b =-2
{
说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．
2
例3．已知集合A =(x , y ) |x +mx -y +2=0, x ∈R ，
{}
B ={(x , y ) |x -y +1=0,0≤x ≤2}，若A B ≠φ，求实数m 的取值范围．
2
分析：本题的几何背景是：抛物线y =x +mx +2与线段y =x +1(0≤x ≤2) 有公共点，求实数m 的取值范围．
x 2+mx -y +2=0
解法一：由得x 2+(m -1) x +1=0 ①
x -y +1=0
∵A B ≠φ，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，
2
首先，由∆=(m -1) -4≥0，解得：m ≥3或m ≤-1． 设方程①的两个根为x 1、x 2，
（1）当m ≥3时，由x 1+x 2=-(m -1)
（2）当m ≤-1时，由x 1+x 2=-(m -1) >0及x 1⋅x 2=1>0知x 1、x 2是互为倒数的两个正数，
故x 1、x 2必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(-∞, -1]．
{
2
y =x +mx +2在[0,2]上有解，
解法二：问题等价于方程组
y =x +1
{
即x 2+(m -1) x +1=0在[0,2]上有解，
令f (x ) =x 2+(m -1) x +1，则由f (0)=1知抛物线y =f (x ) 过点(0,1)，
∴抛物线y =f (x ) 在[0,2]上与x 轴有交点等价于f (2)=22+2(m -1) +1≤0 ①
⎧∆=(m -1) 2-4≥0⎪1-m
⎩f (2)=2+2(m -1) +1>0
33
由①得m ≤-，由②得-
22
∴实数m 的取值范围为(-∞, -1]．
巩固练习：
1设全集U ={a ，b ，c ，d ，e }．集合M ={a ，b ，c }，集合N ={b ，d ，e }，那么(U M )∩(U N ) 是( )
(A) (B){d } (C){a ，c } (D){b ，e }
2 全集U ={a ，b ，c ，d ，e }，集合M ={c ，d ，e }，N ={a ，b ，e }，则集合｛a ，b }可表示为( )
(A)M ∩N (B)(U M )∩N (C)M ∩(U N ) (D)(U M )∩(U N )
3 如图，U 是全集，M 、P 、S 为U 的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
(A)(M ∩P )∩S (B)(M ∩P ) ∪S (C)(M ∩P )∩(U S ) (D)(M ∩P ) ∪(U S
)
4 已知集合M ={(x , y ) |y =-x 2, x , y ∈R }，N ={(x , y ) |x =1, y ∈R }，则M ⋂N ＝____________
5设数集M ={x |m ≤x ≤m }，N ={x |n -
31
≤x ≤n }，且M 、N 都是集合
43
{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b -a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M N
1
． 12
的长度的最小值是
2
6 已知集合A ={x |(x -a )(x -3a ) >0}（a >0），B ={x |x -6x +8
1）若A ⊃≠B ，求实数a 的取值范围；
2）若A ⋂B =φ, 求实数a 的取值范围；
3）若A ⋂B ={x |3
第3课时 集合中的创新性问题
集合的创新性问题是近几年高考热点问题, 多是给出新概念、新定义、新运算，主要考查集合的语言功能和与其它知识的综合应用。
例1设S 为复数集C 的非空子集. 若对任意x, y ∈S ，都有x +y,x -y,xy ∈S ，
则称S 为封闭集。下列命题：
①集合S ＝{z|z= a＋bi （a,b 为整数，为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 【答案】①②
集合B (m ) =(x , y ) |y =x 2-2mx +m 2+2m , m ∈R , 设集合B 是所有B (m ) 的并集,
{}
y =x 2-2mx +m 2+2m =(x -m ) 2+2m , 所以抛物线的顶
点坐标为(m , 2m ) , 即顶点在直线y =2x 上, 与y =2x 平行的直线和抛物线相切, 不妨设
22
切线为y =2x +b , 代入y =x 2-2mx +m 2+2m 得2x +b =x -2mx +m +2m , 即
x 2-(2m +2) x +m 2+2m -b =0, 判别式为∆=(2m +2) 2-4(m 2+2m -b ) =0, 解
得b =-1, 所以所有抛物线的公切线为y =2x -1, 所以集合A
B 的面积为弓形区域.
直线AB 方程为y =2x -1, 圆心M -1) 到直线
y =2x -1的距离为ME =1,
所以BM =2, BE =, 所以AB =2BE =∠BME =
的面积为
π
3
, ∠BMA =
ABM
2π
. 扇形AMB 3
的面积为
122π12π4πr ⨯=⨯4⨯=
23233
11
⨯AB ⨯ME =⨯1=22
. 三角形
所以弓形区域的面积为4π
3
例3已知M 是集合{1, 2, 3,
, 2k -}1k (∈N *,k ≥2) 的非空子集，且当x ∈M 时，有
2k -x ∈M . 记满足条件的集合M 的个数为f (k ) ，则f (2) =；
f (k ) =。
【答案】3，2k
-1
巩固练习
1定义集合M 与N 的新运算如下:M *N ={x |x ∈M 或x ∈N , 但x ∉A B }.若
M ={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3,6,9,12,15},则(M *N )*M 等于( )
A. M B.{2,3,4,8,9,10,15} C.N D.{0,6,12} 2记集合T ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，M =⎨
⎧a 17+a 2a 3a 4⎫
72+73+74a i ∈T , i =1, 2, 3, 4⎬，将M 中的元素⎩⎭
按从大到小顺序排列，则第2005个数是 A.
57+[**************]
72+73+74 B. 7+72+73+74 C. 7+72+73+74 D. 7+72+73+7
4 3设集合A={x x 2+2x -3>0}，集合B={x x 2-2ax -1≤0, a >0}
. 若A
B 中恰含有一
个整数，则实数a 的取值范围是 A ． ⎛0, 3⎪⎫⎝4⎭
B ．⎢⎡3,
4⎫
⎡3
⎫⎣43⎪⎭
C ．⎢⎣4, +∞⎪⎭
D ．(1, +∞)
【答案】B
解：A={x x 2+2x -3>0}
={x x >1或x
-2ax -1的
对称轴为x =a >0，f (0)=-1
）（
⎧a ≥⎪⎧4-4a -1≤0⎪
则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎨，所以⎨
⎩9-6a -1>0⎪a
⎪⎩
即
3
4。43
34
≤a
4设M ={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.
5设S , T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y =f (x ) 满足；（i ）（ii ）对任意x 1, x 2∈S ，当x 1
那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①
A =N , B =N *
；②A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |-8≤x ≤10}；
③A ={x |0
其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序
号）
6 S 1, S 2, S 3为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列i , j , k ，若x ∈S i , y ∈S j ，则
x -y ∈S k
（1）证明：三个集合中至少有两个相等.
（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？
第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念
知识导图
⎧（）元素与集合的关系：属于（∈）和不属于（∉）⎧1⎪⎪
⎪2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性⎪集合与元素（⎨⎪（⎪3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集⎪
⎪4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（⎪⎩
⎪
⎧⎧子集：若x ∈A ⇒x ∈B ，则A ⊆B ，即A 是B 的子集。⎪
⎪⎪⎪
⎧1、若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有(2n -1) 个。⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪2、任何一个集合是它本身的子集，即 A ⊆A ⎪⎪⎪⎪ 注⎨
⎪关系⎨⎪⎪3、对于集合A , B , C , 如果A ⊆B ，且B ⊆C , 那么A ⊆C . ⎪⎪⎪⎪4、空集是任何集合的（真）子集。
⎩⎪⎪⎪
⎪⎪真子集：若A ⊆B 且A ≠B ⎪（即至少存在x 0∈B 但x 0∉A ），则A 是B 的真子集。集合⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩集合相等：A ⊆B 且A ⊇B ⇔A =B ⎪⎪
⎧⎧⎪集合与集合⎪⎪定义：A ⋂B ={x /x ∈A 且x ∈B }⎨交集⎪⎨⎪⎪⎪性质：A ⋂A =A ，A ⋂∅=∅，A ⋂B =B ⋂A ，A ⋂B ⊆A , A ⋂B ⊆B ，A ⊆B ⇔A ⋂B =A ⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪定义：A ⋃B ={x /x ∈A 或x ∈B }⎪并集⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩性质：A ⋃A =A ，A ⋃∅=A ，A ⋃B =B ⋃A ，A ⋃B ⊇A ，A ⋃B ⊇B ，A ⊆B ⇔A ⋃B =B ⎪运算⎨⎪
⎪⎪ Card (A ⋃B ) =Card (A ) +Card (B ) -Card (A ⋂B ) ⎪⎪⎪⎪⎧定义：C U A ={x /x ∈U 且x ∉A }=⎪⎪⎪⎪⎪⎪补集⎨性质：⎪(C U A ) ⋂A =∅，(C U A ) ⋃A =U ，C U (C U A ) =A ，C U (A ⋂B ) =(C U A ) ⋃(C U B ) ，⎪⎪⎪⎪ C (A ⋃B ) =(C A ) ⋂(C B ) ⎪⎪U U U ⎪⎩⎩⎩⎩
教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常
规处理方法．
教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法． 教学难点：集合语言、集合思想的综合应用． 教学过程：
（一）主要知识：
1．集合、子集、空集的概念；
2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；
3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2个，真子集有2-1，非空子集有2-1个，非空真子集有2-2个． （二）主要方法：
1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；
4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．
n
n
n
n
（三）例题分析： 例1．选择题：
(1)不能形成集合的是( )
(A)大于2的全体实数 (B)不等式3x －5＜6的所有解 (C)方程y =3x +1所对应的直线上的所有点 (D)x 轴附近的所有点 (2)设集合A ={x |x ≥32},x =2，则下列关系中正确的是( ) (A)x A
(3)设集合M ={x |x =
(B)x ∉A
(C){x }∈A
(D){x }A
k 1k 1
+, k ∈Z },N ={x |x =+, k ∈Z }，则( ) 2442
(A)M =N (B)M N
(C)M N (D)M ∩N = 解：(1)选D ．“附近”不具有确定性．(2)选D ． (3)选B ．
1133
∉M , ∉N 故排除(A)、(C)，又∉M , ∉N ，故排除(D)．
4422
k 1k 11
方法二：集合M 的元素x =+=(2k +1), k ∈Z . 集合N 的元素x =+=
24442
1
(k +2), k ∈Z ．而2k ＋1为奇数，k ＋2为全体整数，因此M N ． 4
方法一：
小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．
2222
例2．设集合P ={x -y , x +y , xy }，Q =x +y , x -y ,0，若P =Q ，求x , y 的值及集合
{}
P 、Q ．
解：∵P =Q 且0∈Q ，∴0∈P ．
2222
（1）若x +y =0或x -y =0，则x -y =0，从而Q =x +y ,0,0，与集合中元素的
{}
互异性矛盾，∴x +y ≠0且x -y ≠0； （2）若xy =0，则x =0或y =0．
当y =0时，P ={x , x ,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴y ≠0； 当x =0时，P ={-y , y ,0}，Q ={y 2, -y 2,0}，
-y =-y 2-y =y 2⎧⎧2⎪⎪2
由P =Q 得⎨y =-y ① 或⎨y =y ②
y ≠0⎪⎪⎩⎩y ≠0
由①得y =-1，由②得y =1，
∴x =0或x =0，此时P =Q ={1, -1,0}．
y =-1y =1
{{
2
例3．若集合A =x |x +ax +1=0, x ∈R ，集合B ={1,2}，且A ⊆B ，求实数a 的取值
{}
范围．
解：（1）若A =φ，则∆=a -4（2）若1∈A ，则1+a +1=0，解得a =-2，此时A ={1}，适合题意； （3）若2∈A ，则2+2a +1=0，解得a =-
22
2
55
，此时A ={2,}，不合题意； 22
综上所述，实数m 的取值范围为[-2, 2) ．
巩固练习：
1．下列各组对象
①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；
⑤2的近似值的全体．
其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．下列命题中正确的是( )
A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义 B ．{(1，2) }与{(2，1) }表示同一个集合 C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合
3．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( )
A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ∉M
2
4 已知M ={x |2x -5x -3=0}，N ={x |mx =1}，若N ⊆M ，则适合条件的实数m 的
集合P 为{0,-2, }；P 的子集有个；P 的非空真子集有个．
5 已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______．
6 设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．
13
第2课时 集合的运算
教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴 或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 教学过程：
（一）主要知识：
1．交集、并集、全集、补集的概念；
2．A B =A ⇔A ⊆B ，A B =A ⇔A ⊇B ； 3．C U A
C U B =C U (A B ) ，C U A C U B =C U (A B ) ．
（二）主要方法：
1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 例题分析：
*
例1．设全集U =x |0
{}
B ={3}，A C U B ={1,5,7}，
C U A C U B ={9}，则A ={1,3,5,7}，B ={2,3,4,6,8}．解法要点：利用文氏图．
例
32
2．已知集合A =x |x +3x +2x >0
{}
2
，B =x |x +ax +b ≤0
{}
，若
A
B ={|x 0-2}，求实数a 、b 的值． }，
(0,+∞) ，又∵A B ={x |0-2}，
2
32
解：由x +3x +2x >0得x (x +1)(x +2) >0，∴-20，
∴A =(-2, -1)
∴B =[-1, 2]，∴-1和2是方程x +ax +b =0的根， 由韦达定理得：
{
-1+2=-a ，∴a =-1． -1⨯2=b b =-2
{
说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．
2
例3．已知集合A =(x , y ) |x +mx -y +2=0, x ∈R ，
{}
B ={(x , y ) |x -y +1=0,0≤x ≤2}，若A B ≠φ，求实数m 的取值范围．
2
分析：本题的几何背景是：抛物线y =x +mx +2与线段y =x +1(0≤x ≤2) 有公共点，求实数m 的取值范围．
x 2+mx -y +2=0
解法一：由得x 2+(m -1) x +1=0 ①
x -y +1=0
∵A B ≠φ，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，
2
首先，由∆=(m -1) -4≥0，解得：m ≥3或m ≤-1． 设方程①的两个根为x 1、x 2，
（1）当m ≥3时，由x 1+x 2=-(m -1)
（2）当m ≤-1时，由x 1+x 2=-(m -1) >0及x 1⋅x 2=1>0知x 1、x 2是互为倒数的两个正数，
故x 1、x 2必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(-∞, -1]．
{
2
y =x +mx +2在[0,2]上有解，
解法二：问题等价于方程组
y =x +1
{
即x 2+(m -1) x +1=0在[0,2]上有解，
令f (x ) =x 2+(m -1) x +1，则由f (0)=1知抛物线y =f (x ) 过点(0,1)，
∴抛物线y =f (x ) 在[0,2]上与x 轴有交点等价于f (2)=22+2(m -1) +1≤0 ①
⎧∆=(m -1) 2-4≥0⎪1-m
⎩f (2)=2+2(m -1) +1>0
33
由①得m ≤-，由②得-
22
∴实数m 的取值范围为(-∞, -1]．
巩固练习：
1设全集U ={a ，b ，c ，d ，e }．集合M ={a ，b ，c }，集合N ={b ，d ，e }，那么(U M )∩(U N ) 是( )
(A) (B){d } (C){a ，c } (D){b ，e }
2 全集U ={a ，b ，c ，d ，e }，集合M ={c ，d ，e }，N ={a ，b ，e }，则集合｛a ，b }可表示为( )
(A)M ∩N (B)(U M )∩N (C)M ∩(U N ) (D)(U M )∩(U N )
3 如图，U 是全集，M 、P 、S 为U 的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
(A)(M ∩P )∩S (B)(M ∩P ) ∪S (C)(M ∩P )∩(U S ) (D)(M ∩P ) ∪(U S
)
4 已知集合M ={(x , y ) |y =-x 2, x , y ∈R }，N ={(x , y ) |x =1, y ∈R }，则M ⋂N ＝____________
5设数集M ={x |m ≤x ≤m }，N ={x |n -
31
≤x ≤n }，且M 、N 都是集合
43
{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b -a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M N
1
． 12
的长度的最小值是
2
6 已知集合A ={x |(x -a )(x -3a ) >0}（a >0），B ={x |x -6x +8
1）若A ⊃≠B ，求实数a 的取值范围；
2）若A ⋂B =φ, 求实数a 的取值范围；
3）若A ⋂B ={x |3
第3课时 集合中的创新性问题
集合的创新性问题是近几年高考热点问题, 多是给出新概念、新定义、新运算，主要考查集合的语言功能和与其它知识的综合应用。
例1设S 为复数集C 的非空子集. 若对任意x, y ∈S ，都有x +y,x -y,xy ∈S ，
则称S 为封闭集。下列命题：
①集合S ＝{z|z= a＋bi （a,b 为整数，为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 【答案】①②
集合B (m ) =(x , y ) |y =x 2-2mx +m 2+2m , m ∈R , 设集合B 是所有B (m ) 的并集,
{}
y =x 2-2mx +m 2+2m =(x -m ) 2+2m , 所以抛物线的顶
点坐标为(m , 2m ) , 即顶点在直线y =2x 上, 与y =2x 平行的直线和抛物线相切, 不妨设
22
切线为y =2x +b , 代入y =x 2-2mx +m 2+2m 得2x +b =x -2mx +m +2m , 即
x 2-(2m +2) x +m 2+2m -b =0, 判别式为∆=(2m +2) 2-4(m 2+2m -b ) =0, 解
得b =-1, 所以所有抛物线的公切线为y =2x -1, 所以集合A
B 的面积为弓形区域.
直线AB 方程为y =2x -1, 圆心M -1) 到直线
y =2x -1的距离为ME =1,
所以BM =2, BE =, 所以AB =2BE =∠BME =
的面积为
π
3
, ∠BMA =
ABM
2π
. 扇形AMB 3
的面积为
122π12π4πr ⨯=⨯4⨯=
23233
11
⨯AB ⨯ME =⨯1=22
. 三角形
所以弓形区域的面积为4π
3
例3已知M 是集合{1, 2, 3,
, 2k -}1k (∈N *,k ≥2) 的非空子集，且当x ∈M 时，有
2k -x ∈M . 记满足条件的集合M 的个数为f (k ) ，则f (2) =；
f (k ) =。
【答案】3，2k
-1
巩固练习
1定义集合M 与N 的新运算如下:M *N ={x |x ∈M 或x ∈N , 但x ∉A B }.若
M ={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3,6,9,12,15},则(M *N )*M 等于( )
A. M B.{2,3,4,8,9,10,15} C.N D.{0,6,12} 2记集合T ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，M =⎨
⎧a 17+a 2a 3a 4⎫
72+73+74a i ∈T , i =1, 2, 3, 4⎬，将M 中的元素⎩⎭
按从大到小顺序排列，则第2005个数是 A.
57+[**************]
72+73+74 B. 7+72+73+74 C. 7+72+73+74 D. 7+72+73+7
4 3设集合A={x x 2+2x -3>0}，集合B={x x 2-2ax -1≤0, a >0}
. 若A
B 中恰含有一
个整数，则实数a 的取值范围是 A ． ⎛0, 3⎪⎫⎝4⎭
B ．⎢⎡3,
4⎫
⎡3
⎫⎣43⎪⎭
C ．⎢⎣4, +∞⎪⎭
D ．(1, +∞)
【答案】B
解：A={x x 2+2x -3>0}
={x x >1或x
-2ax -1的
对称轴为x =a >0，f (0)=-1
）（
⎧a ≥⎪⎧4-4a -1≤0⎪
则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎨，所以⎨
⎩9-6a -1>0⎪a
⎪⎩
即
3
4。43
34
≤a
4设M ={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.
5设S , T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y =f (x ) 满足；（i ）（ii ）对任意x 1, x 2∈S ，当x 1
那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①
A =N , B =N *
；②A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |-8≤x ≤10}；
③A ={x |0
其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序
号）
6 S 1, S 2, S 3为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列i , j , k ，若x ∈S i , y ∈S j ，则
x -y ∈S k
（1）证明：三个集合中至少有两个相等.
（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？