论第一次数学危机的起源与影响
摘要：公元前5世纪，数学基础发生了第一次数学危机。危机的起因毕氏门派的学徒希帕斯证明了正方形的对角线和边是不可公度，否定了毕氏学派长期以来信奉的只有整数和整数比之数的信条。是这一危机的影响是巨大的，它不仅推动了数学及其相关学科的发展，使古希腊数学的基础发生了根本性的变化，而且推动了整个科学的发展。
关键字：第一次数学危机 无理数 不可公度比 毕达哥拉斯
引言：我们了解的数学危机有三大，如果说每次危机都把数学家们推入黑暗，但是随着危机的解决带来是更好的光明，三大数学危机带来的也是三大数学成就。从哲学的观点来看矛盾就是无处不在的，数学这么严密的学科也不例外。纵观数学的发展，就是不断的产生冲突和危机并把它们解决的过程。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。本文就第一次数学危机的起源与影响两方面进行简要叙述。
一、第一次数学危机的起源
1.1 数学危机是什么
何为数学危机？一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有各种各样的许多矛盾，比如说正与负、加与减、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
1.2 第一次数学危机产生的背景
第一次数学危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉
斯建立了毕达哥拉斯学派。从某种意义上来讲，现代意义下的数学来源于这个学派。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥加斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。然而，该学派的门徒希帕斯根据勾股定理，通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希帕斯的发现严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希帕斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
1.3 第一次数学危机的起源
前文我们提到，毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理，就是指直角三角形三边有如下关系的一个命题, 即:
a 2+b 2=c 2 ①
a 和b 分别代表直角三角形的两条直角边, c 表示斜边。这个学派还认为满足①式的数有无穷多个, 并提供了下述三元数组, 即若是奇数, 并且m >1, 则有: a =m , b =121(m -1), c =(m 2+1) 22 ②
这三元数组只是使①式成立的充分条件, 而不是必要条件。当毕达哥拉斯学派进一步致力于等式①和等式 ②的研究时, 米太旁登的希帕斯, 发现了在等腰直角三角形中, ①式中出现了下述结果:
2a 2=c 2 ③ 如果直角三角形的两条直角边都等于1时, 其斜边的长就恰好等于2。而2与1找不到可以公度的几何实体, 这在当时的认识水平下, 无疑是一个矛盾。
此外, 2是否是个数? 对于毕达哥拉斯学派来说, 这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它是数, 就要与“数即万物”中所说的整数发生不可调和的矛盾。等式③所引出的2对于毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。“数即万物”的世界观被彻底地动摇了，由此引发了数学的第一次危机。
毕达哥拉斯学派把那些能用整数之比表达的比称作可公度比, 意即相比两量可用公度单位量尽, 而把不能这样表达的比称作不可公度比。
1.4 第一次数学危机的解决
第一次数学危机并没有轻易地被解决，大约从公元前470年——前300年的一个世纪后，才由柏拉图的学生欧多克索斯初步解决了，他用公理化修改了量度以及比例理论，微妙地初步解决了公度和不可公度。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
此前，毕达哥拉斯学派首先给出了以1为边的正方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明方法, 证明过程如下:
2=p
q (p , q 均为自然数, 且(p ，q )=1), 假设: 2是有理数, 设
∴ 2⨯q =p ，两边平方得：
22 2q =p ④
∴p 必是2的倍数,
∴q 也是2的倍数,
∵ (p ，q )=1
∴ p 为奇数
22
∴ 2p ' (p ' 是自然数）, q =2q ' -1(q ' 是自然数)
22q ' -1）=(2p ' ) 将上面两个式子代入④得：（
两边除以2得：
22 4q ' -4q ' +1=2p ' ⑤ 22
观察此式可看出⑤式左边为奇数, 右边为偶数, 这样出现奇数等于偶数, 引出矛盾。故2是无理数。
目前, 证明2是无理数的方法很多, 无论是用初等数学知识还是高等数学知识都可以证明是无理数, 并且可以2从不同的角度来加以证明, 2是无理数的种种证明, 使我们对无理数有了进一步的认识, 对数学中的美、对各种丰富的数学思想方法会有更深刻的感受。
二、第一次数学危机的影响
2.1 第一次数学危机的产物
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。因此第一次数学危机也不例外，产生了许多成果。
2.1.1 无理数的发现
无理数的发现, 对数学发展产生了深刻的影响，它使人们认识到直观、经验乃至实验都不是绝对可靠的，今后必须依靠证明用理性思维思考自然界。首先, 它使古希腊数学研究的重点由算术转向几何, 打破了在这之前毕达哥拉斯学派把数和几何问题等同起来的看法, 即几何学的某些真理与算术无关, 几何量不能完全由整数及整数的比来表示, 反之数却可以由几何量表示出来； 其次, 它使古希腊数学研究方法由计算转向推理, 促使公理方法的产生, 从此希腊人开始由公理出发, 经过演绎推理而建立起几何学体系。而且，无理数的出现使实数系统得到进一步的完善。从而使直线上的点与实数一一对应起来。
埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学, 并没有经历过这样的危机革命, 也
就是只停留在算术阶段, 而希腊的数学则走上了完全不同的道路, 形成亚里士多德的逻辑体系和欧几里得《几何原本》的公理体系, 从而成为现代西方数学的始祖。
2.1.2欧氏几何学
欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。
2.1 第一次数学危机的影响
首先，第一次数学危机推动了数学及其相关学科的发展。例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的。除此而外，数理天文学的发展也有赖于第一次数学危机。由于宇宙是几何的，宇宙的规律是几何规律，因此研究宇宙就离不开几何图形以及几何理论。
其次，第一次数学危机使古希腊数学基础发生了根本性的变化。我们知道，在第一次数学危机之前，古希腊的数学是以数为基础的。第一次数学危机之后，古希腊的数学基础则转向几何。以几何为基础，使数学的公理化成为可能。
最后，数学公理系统的建立，还对整个科学的发展起了巨大的推动作用。我们知道，近代科学诞生于西方，其原因是多方面的。譬如，生产的发展、实验之风的流行、文艺复兴运动或宗教改革运动带来的思想解放等。但若追根溯源就会发现，近代科学的源头是古希腊文明。古希腊文明包括很多因素，但与近代科学最直接相关的是它的科学精神和科学方法。古希腊的数学公理系统，是它的科学精神和科学方法的集中体现。近代西方学者正是通过学习古希腊的数学公理系统，才领悟并把握古希腊的科学精神和科学方法的。借助这种科学精神和科学方法，他们创立了近代科学。不仅如此，古希腊的数学公理系统还是近代科学的模型或种子。有了这粒种子，近代科学才得以诞生。
概而言之，第一次数学危机，不仅仅是数学领域的一个事件，也不仅仅是古希腊科学中的一个事件，而是整个科学发展进程中的一个重要事件，也是整个人
类文明演变历史中的一个重要事件。
参考文献:
【1】(美)M. 克莱茵，《 古今数学思想(第一册) [M]》，上海科学技术出版社,1979
【2】毛建儒，《第一次数学分析及其哲学分析》，2005年2月
【3】黄耀枢，《论数学发展史中三次危机的实质和意义》，北京大学
【4】李春兰，《试论数学史上第一次危机及其影响》，内蒙古师范大学学报，2006年1月第19卷第1期
【5】编辑委员会，《自然辩证法百科全书 自然辩证法百科全书[Z] 》，北京: 中国大百科全书出版社, 1995
【6】林夏水，《数学哲学[M]》，北京: 商务印书馆, 2003
论第一次数学危机的起源与影响
摘要：公元前5世纪，数学基础发生了第一次数学危机。危机的起因毕氏门派的学徒希帕斯证明了正方形的对角线和边是不可公度，否定了毕氏学派长期以来信奉的只有整数和整数比之数的信条。是这一危机的影响是巨大的，它不仅推动了数学及其相关学科的发展，使古希腊数学的基础发生了根本性的变化，而且推动了整个科学的发展。
关键字：第一次数学危机 无理数 不可公度比 毕达哥拉斯
引言：我们了解的数学危机有三大，如果说每次危机都把数学家们推入黑暗，但是随着危机的解决带来是更好的光明，三大数学危机带来的也是三大数学成就。从哲学的观点来看矛盾就是无处不在的，数学这么严密的学科也不例外。纵观数学的发展，就是不断的产生冲突和危机并把它们解决的过程。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。本文就第一次数学危机的起源与影响两方面进行简要叙述。
一、第一次数学危机的起源
1.1 数学危机是什么
何为数学危机？一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有各种各样的许多矛盾，比如说正与负、加与减、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
1.2 第一次数学危机产生的背景
第一次数学危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉
斯建立了毕达哥拉斯学派。从某种意义上来讲，现代意义下的数学来源于这个学派。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥加斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。然而，该学派的门徒希帕斯根据勾股定理，通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希帕斯的发现严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希帕斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
1.3 第一次数学危机的起源
前文我们提到，毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理，就是指直角三角形三边有如下关系的一个命题, 即:
a 2+b 2=c 2 ①
a 和b 分别代表直角三角形的两条直角边, c 表示斜边。这个学派还认为满足①式的数有无穷多个, 并提供了下述三元数组, 即若是奇数, 并且m >1, 则有: a =m , b =121(m -1), c =(m 2+1) 22 ②
这三元数组只是使①式成立的充分条件, 而不是必要条件。当毕达哥拉斯学派进一步致力于等式①和等式 ②的研究时, 米太旁登的希帕斯, 发现了在等腰直角三角形中, ①式中出现了下述结果:
2a 2=c 2 ③ 如果直角三角形的两条直角边都等于1时, 其斜边的长就恰好等于2。而2与1找不到可以公度的几何实体, 这在当时的认识水平下, 无疑是一个矛盾。
此外, 2是否是个数? 对于毕达哥拉斯学派来说, 这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它是数, 就要与“数即万物”中所说的整数发生不可调和的矛盾。等式③所引出的2对于毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。“数即万物”的世界观被彻底地动摇了，由此引发了数学的第一次危机。
毕达哥拉斯学派把那些能用整数之比表达的比称作可公度比, 意即相比两量可用公度单位量尽, 而把不能这样表达的比称作不可公度比。
1.4 第一次数学危机的解决
第一次数学危机并没有轻易地被解决，大约从公元前470年——前300年的一个世纪后，才由柏拉图的学生欧多克索斯初步解决了，他用公理化修改了量度以及比例理论，微妙地初步解决了公度和不可公度。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
此前，毕达哥拉斯学派首先给出了以1为边的正方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明方法, 证明过程如下:
2=p
q (p , q 均为自然数, 且(p ，q )=1), 假设: 2是有理数, 设
∴ 2⨯q =p ，两边平方得：
22 2q =p ④
∴p 必是2的倍数,
∴q 也是2的倍数,
∵ (p ，q )=1
∴ p 为奇数
22
∴ 2p ' (p ' 是自然数）, q =2q ' -1(q ' 是自然数)
22q ' -1）=(2p ' ) 将上面两个式子代入④得：（
两边除以2得：
22 4q ' -4q ' +1=2p ' ⑤ 22
观察此式可看出⑤式左边为奇数, 右边为偶数, 这样出现奇数等于偶数, 引出矛盾。故2是无理数。
目前, 证明2是无理数的方法很多, 无论是用初等数学知识还是高等数学知识都可以证明是无理数, 并且可以2从不同的角度来加以证明, 2是无理数的种种证明, 使我们对无理数有了进一步的认识, 对数学中的美、对各种丰富的数学思想方法会有更深刻的感受。
二、第一次数学危机的影响
2.1 第一次数学危机的产物
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。因此第一次数学危机也不例外，产生了许多成果。
2.1.1 无理数的发现
无理数的发现, 对数学发展产生了深刻的影响，它使人们认识到直观、经验乃至实验都不是绝对可靠的，今后必须依靠证明用理性思维思考自然界。首先, 它使古希腊数学研究的重点由算术转向几何, 打破了在这之前毕达哥拉斯学派把数和几何问题等同起来的看法, 即几何学的某些真理与算术无关, 几何量不能完全由整数及整数的比来表示, 反之数却可以由几何量表示出来； 其次, 它使古希腊数学研究方法由计算转向推理, 促使公理方法的产生, 从此希腊人开始由公理出发, 经过演绎推理而建立起几何学体系。而且，无理数的出现使实数系统得到进一步的完善。从而使直线上的点与实数一一对应起来。
埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学, 并没有经历过这样的危机革命, 也
就是只停留在算术阶段, 而希腊的数学则走上了完全不同的道路, 形成亚里士多德的逻辑体系和欧几里得《几何原本》的公理体系, 从而成为现代西方数学的始祖。
2.1.2欧氏几何学
欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。
2.1 第一次数学危机的影响
首先，第一次数学危机推动了数学及其相关学科的发展。例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的。除此而外，数理天文学的发展也有赖于第一次数学危机。由于宇宙是几何的，宇宙的规律是几何规律，因此研究宇宙就离不开几何图形以及几何理论。
其次，第一次数学危机使古希腊数学基础发生了根本性的变化。我们知道，在第一次数学危机之前，古希腊的数学是以数为基础的。第一次数学危机之后，古希腊的数学基础则转向几何。以几何为基础，使数学的公理化成为可能。
最后，数学公理系统的建立，还对整个科学的发展起了巨大的推动作用。我们知道，近代科学诞生于西方，其原因是多方面的。譬如，生产的发展、实验之风的流行、文艺复兴运动或宗教改革运动带来的思想解放等。但若追根溯源就会发现，近代科学的源头是古希腊文明。古希腊文明包括很多因素，但与近代科学最直接相关的是它的科学精神和科学方法。古希腊的数学公理系统，是它的科学精神和科学方法的集中体现。近代西方学者正是通过学习古希腊的数学公理系统，才领悟并把握古希腊的科学精神和科学方法的。借助这种科学精神和科学方法，他们创立了近代科学。不仅如此，古希腊的数学公理系统还是近代科学的模型或种子。有了这粒种子，近代科学才得以诞生。
概而言之，第一次数学危机，不仅仅是数学领域的一个事件，也不仅仅是古希腊科学中的一个事件，而是整个科学发展进程中的一个重要事件，也是整个人
类文明演变历史中的一个重要事件。
参考文献:
【1】(美)M. 克莱茵，《 古今数学思想(第一册) [M]》，上海科学技术出版社,1979
【2】毛建儒，《第一次数学分析及其哲学分析》，2005年2月
【3】黄耀枢，《论数学发展史中三次危机的实质和意义》，北京大学
【4】李春兰，《试论数学史上第一次危机及其影响》，内蒙古师范大学学报，2006年1月第19卷第1期
【5】编辑委员会，《自然辩证法百科全书 自然辩证法百科全书[Z] 》，北京: 中国大百科全书出版社, 1995
【6】林夏水，《数学哲学[M]》，北京: 商务印书馆, 2003