2011-2012学暑期五年级讲义 (2012年7月)
第四讲 棋盘中的数学问题（一）
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．
一、知识要点
1．棋盘中的图形与面积；
2．棋盘中的覆盖问题：
（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。
（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。
（3）重要结论：
① m×n 棋盘能被2×1骨牌覆盖的条件是m 、n
中至少有一个是偶数．
② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是
3｜n ．
二、典型例题
（一）棋盘中的覆盖问题：
1、能不能覆盖的问题，
例1．一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？
（A ）3×4 （B ）3×5 （C ）4×4 （D ）4×5 （E ）6×3
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例2．要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所
的图形？
例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：
示
可以用若干块和拼成的图形是第几号图形
例4．下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
例5 8×8的棋盘能否用15个形骨牌和1个形骨牌覆盖
例6．能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？
2、最多能用多少种图形覆盖的问题
例7．一种游戏机的“方块”游戏中共有如下图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上几种不同的图形？
例8．用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？
3、有多少种不同的覆盖方法问题。
例9．用七个1×2的小长方形覆盖右下图，共有多少种不同的
覆盖方法？
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例10．有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）
（二）、棋盘中面积及其他。
例11 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格
都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形
边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，
4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，
它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14
中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”
和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋
子为顶点构成的三角形的面积最大？
例12．如右图是一个国际象棋棋盘，A 处有只蚂蚁，蚂蚁
只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地
行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否
从A 出发，经过每个格子最后返回到A 处？若能，请你设
计一种路线，若不能，请你说明理由．
例13．国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的
棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在
的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果
有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，
不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．
请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能
控制整个棋盘？
例14．小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？
例15．在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．
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三、练习题
1、在4×4的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求
卡片的边缘与格线重合）
答案与提示：3个。提示：右图是一种放法。
2、下列图中哪几个能用若干个
或拼成？
答案与提示：图（2）。图（1）的小方格数不是3的倍数；图（3）的小方格数是
3的倍数但拼不成；图随心家教
张老师简介：中国农业大学 教育学 2004年入读 数学金牌教师，曾在多家大型教育机构担任数学部主管及数学带头教师。从2009年开始从事清华龙校，101中学，十一学校，北大附中，北大资源等学校的小升初奥数辅导，先后有张博涵等十多位同学被点招。
张老师家教优势：
1. 专业优势：曾任教多家龙校、101专业辅导机构，专业性强、教学经验丰富。
2. 价格优势：花较少的钱请到专业老师，上门家教，省去了机构花的冤枉钱，同时省掉了奔波之苦。
3. 课程优势：免费试听，家长可跟踪听课，费用可以一次课一结，既安全又保证学习效果。
4. 教学优势：历年真题（清华龙校，101中学，十一学校，北大附中，北大资源），完善的专业教学体系，学习有力保障。
5. 学习优势：可以根据学生程度制定详细、系统学习规划。
6. 免费测评：真题测试，让你了解孩子的真是水平。
7. 阶段测试：阶段了解学生学习状况。
张老师辅导范围：
学习形式：一对一，一对二，不超过6人小班。
学习内容：校内小学数学辅导、复习及拓展；小升初奥数提高分班及衔接；初中数学辅导。小升初辅导学校：清华龙校，101中学，十一学校，北达资源，北大附中，师达学校等。
张老师联系方式：
民间海淀小升初家长交流群扣扣：423032421，邀请各位家长加入
民间小升初家长交流群扣扣：426423182，邀请各位家长加入
张老师电话：
[1**********]
第 4 页 共 7 页
张老师qq:3151179861
张老师博客：http://blog.sina.com.cn/u/2165634987
上门家教，免费试听，一对一，一对二，一对多
（2）的拼法见右上图
3、能否用9个形如的卡片覆盖6×6的棋盘？
答案与提示：不能。右图中黑、白格各18个，每张卡片盖住的
黑格数是奇数，9张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能
盖住18个黑格。
4. 有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）
答案与提示： 6种。用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：
（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；
（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；
（5）4个2×2；（6）16个1×1。
5、用6个形如
方法？
答案与提示：5种。盖住A 有下图所示的5种方法，其中左下
图所示的3种都无法覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右
上方各有2种放法，共有4种覆盖方法；右下图只有1种覆盖方法。
的卡片覆盖右图，共有多少种不同的覆盖
6．把A 、B 、C 、D 四个棋子放在4×4的棋盘的方格里，使每行每列只能出现一个棋子．问共有多少种不同的放法？
答案与提示：不妨先考虑棋子A 的情况，共有16种不同的放法，不妨设A 就放在左上角．然后考虑棋子B 的放法，由于A 所在的行及所在列不能再放棋子，所以棋子B 只能有9种不同放法，不妨设棋子B 在右图中位置．类似地C 只有
4
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种不同放法，D 只有一种放法，总计共有16×9×4×1＝576种不同放法．
7．中国象棋规定马走“日”字．定义：在中国象棋盘上从点
A 到B 马走的最少步数称为A 与B 的马步距离，记作｜AB ｜m ．如
下图在3×3的棋盘格中，标出了 A、B 、C 、D 、E 五个点，则
在｜AB ｜m ，
｜AC ｜m ，｜AD ｜m ，｜AE ｜m 中最大者是多少？最小者是多少？
答案与提示：最大的是｜AE ｜m ＝4，最小的是｜AC ｜m ＝2．
8、能否用17个形如的卡片将右图覆盖？
答案与提示：左上图共有34个小方格，17个1
×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。
我们将左上图黑白相间染色，得到右上图。细心观察会发现，右
上图中黑格有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住
一个黑格与一个白格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上图。
9 、由1×1、 2×2、3×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少个数是多少？
答案与提示：用1×1的正方形至少一个．
第一步：中心放一个1×1的正方形，剩下的4个11×12的矩形，是可以用6个2×2正方形和12个3×3正方形拼成的，如右下图所示．
第二步：不用1×1而只用2×2与3×3的正方形是拼不成的．将23×23的大正方形的1，4，7，10，13，16，19，22各行染红色，其余各行染蓝色如下图．任意2×2或3×3正方形都将包含偶数个蓝色小格，但蓝格总数是23×15，是个奇数，矛盾．所以不用1×1的小正方形是拼不成23×23棋盘的。
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综上所述，要拼成23×23棋盘，至少要用一个1×1的小正方形．
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2011-2012学暑期五年级讲义 (2012年7月)
第四讲 棋盘中的数学问题（一）
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．
一、知识要点
1．棋盘中的图形与面积；
2．棋盘中的覆盖问题：
（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。
（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。
（3）重要结论：
① m×n 棋盘能被2×1骨牌覆盖的条件是m 、n
中至少有一个是偶数．
② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是
3｜n ．
二、典型例题
（一）棋盘中的覆盖问题：
1、能不能覆盖的问题，
例1．一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？
（A ）3×4 （B ）3×5 （C ）4×4 （D ）4×5 （E ）6×3
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例2．要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所
的图形？
例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：
示
可以用若干块和拼成的图形是第几号图形
例4．下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
例5 8×8的棋盘能否用15个形骨牌和1个形骨牌覆盖
例6．能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？
2、最多能用多少种图形覆盖的问题
例7．一种游戏机的“方块”游戏中共有如下图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上几种不同的图形？
例8．用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？
3、有多少种不同的覆盖方法问题。
例9．用七个1×2的小长方形覆盖右下图，共有多少种不同的
覆盖方法？
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例10．有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）
（二）、棋盘中面积及其他。
例11 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格
都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形
边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，
4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，
它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14
中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”
和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋
子为顶点构成的三角形的面积最大？
例12．如右图是一个国际象棋棋盘，A 处有只蚂蚁，蚂蚁
只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地
行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否
从A 出发，经过每个格子最后返回到A 处？若能，请你设
计一种路线，若不能，请你说明理由．
例13．国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的
棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在
的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果
有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，
不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．
请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能
控制整个棋盘？
例14．小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？
例15．在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．
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三、练习题
1、在4×4的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求
卡片的边缘与格线重合）
答案与提示：3个。提示：右图是一种放法。
2、下列图中哪几个能用若干个
或拼成？
答案与提示：图（2）。图（1）的小方格数不是3的倍数；图（3）的小方格数是
3的倍数但拼不成；图随心家教
张老师简介：中国农业大学 教育学 2004年入读 数学金牌教师，曾在多家大型教育机构担任数学部主管及数学带头教师。从2009年开始从事清华龙校，101中学，十一学校，北大附中，北大资源等学校的小升初奥数辅导，先后有张博涵等十多位同学被点招。
张老师家教优势：
1. 专业优势：曾任教多家龙校、101专业辅导机构，专业性强、教学经验丰富。
2. 价格优势：花较少的钱请到专业老师，上门家教，省去了机构花的冤枉钱，同时省掉了奔波之苦。
3. 课程优势：免费试听，家长可跟踪听课，费用可以一次课一结，既安全又保证学习效果。
4. 教学优势：历年真题（清华龙校，101中学，十一学校，北大附中，北大资源），完善的专业教学体系，学习有力保障。
5. 学习优势：可以根据学生程度制定详细、系统学习规划。
6. 免费测评：真题测试，让你了解孩子的真是水平。
7. 阶段测试：阶段了解学生学习状况。
张老师辅导范围：
学习形式：一对一，一对二，不超过6人小班。
学习内容：校内小学数学辅导、复习及拓展；小升初奥数提高分班及衔接；初中数学辅导。小升初辅导学校：清华龙校，101中学，十一学校，北达资源，北大附中，师达学校等。
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（2）的拼法见右上图
3、能否用9个形如的卡片覆盖6×6的棋盘？
答案与提示：不能。右图中黑、白格各18个，每张卡片盖住的
黑格数是奇数，9张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能
盖住18个黑格。
4. 有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）
答案与提示： 6种。用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：
（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；
（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；
（5）4个2×2；（6）16个1×1。
5、用6个形如
方法？
答案与提示：5种。盖住A 有下图所示的5种方法，其中左下
图所示的3种都无法覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右
上方各有2种放法，共有4种覆盖方法；右下图只有1种覆盖方法。
的卡片覆盖右图，共有多少种不同的覆盖
6．把A 、B 、C 、D 四个棋子放在4×4的棋盘的方格里，使每行每列只能出现一个棋子．问共有多少种不同的放法？
答案与提示：不妨先考虑棋子A 的情况，共有16种不同的放法，不妨设A 就放在左上角．然后考虑棋子B 的放法，由于A 所在的行及所在列不能再放棋子，所以棋子B 只能有9种不同放法，不妨设棋子B 在右图中位置．类似地C 只有
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种不同放法，D 只有一种放法，总计共有16×9×4×1＝576种不同放法．
7．中国象棋规定马走“日”字．定义：在中国象棋盘上从点
A 到B 马走的最少步数称为A 与B 的马步距离，记作｜AB ｜m ．如
下图在3×3的棋盘格中，标出了 A、B 、C 、D 、E 五个点，则
在｜AB ｜m ，
｜AC ｜m ，｜AD ｜m ，｜AE ｜m 中最大者是多少？最小者是多少？
答案与提示：最大的是｜AE ｜m ＝4，最小的是｜AC ｜m ＝2．
8、能否用17个形如的卡片将右图覆盖？
答案与提示：左上图共有34个小方格，17个1
×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。
我们将左上图黑白相间染色，得到右上图。细心观察会发现，右
上图中黑格有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住
一个黑格与一个白格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上图。
9 、由1×1、 2×2、3×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少个数是多少？
答案与提示：用1×1的正方形至少一个．
第一步：中心放一个1×1的正方形，剩下的4个11×12的矩形，是可以用6个2×2正方形和12个3×3正方形拼成的，如右下图所示．
第二步：不用1×1而只用2×2与3×3的正方形是拼不成的．将23×23的大正方形的1，4，7，10，13，16，19，22各行染红色，其余各行染蓝色如下图．任意2×2或3×3正方形都将包含偶数个蓝色小格，但蓝格总数是23×15，是个奇数，矛盾．所以不用1×1的小正方形是拼不成23×23棋盘的。
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