基本初等函数
指数函数
(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于0且不等于
1。对于a 不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a 等于0函数无意义一般也不考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形都是下凸的。
(4) a>1时,则指数函数单调递增;若0
(5) 可以看到一个显然的规律,就是当a 从0趋向于无穷大的过指数函数程中(不等于0),函数的曲线从分别接近于Y 轴与X 轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴, 并且永不相交。
(7) 函数总是通过(0,1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)
(8) 指数函数无界。
(9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a 互为倒数时,两个函数关于y 轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
(11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。 函数图像
(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a) 可知:在y 轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y 轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y 轴右边“底大图高”;在y 轴左边“底大图低”。(如右图)》。
(4)y=a的x 次方与y=a分之1的x 次方的图像关于y 轴对称。 幂的比较
比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A 与B 的大小,先找一个中间值C ,再比较A 与C 、B 与C 的大小,由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。
比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。
例如:y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增(即x 的值越大,对应的y 值越大),因为5大于4,所以y2大于y1。
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,
1)然后随着x 的增大,y1图像下降,而y2上升,在x 等于4时,y2大于y1.
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:
对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。
在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a 和1与指数x 与0之间的不等号同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)时,a^x大于1,异向时a^x小于1.
〈3〉例:下列函数在R 上是增函数还是减函数?说明理由.
⑴y=4^x
因为4>1,所以y=4^x在R 上是增函数;
⑵y=(1/4)^x
因为0
定义域
x∈R
指代一切实数(-∞,+∞),就是R 。
值域
对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a 满足a>0且a≠1,即说明y>0。所以值域为(0,+∞)。a=1时也可以,此时值域恒为1。
指数与指数幂的运算
1. 根式的概念:一般地,如果存在实数x ,使得x^n=a(a∈R,n 〉1,N+)则x 叫做a 的n 次方根(nthroot)。
当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数. 此时,的次方根用符号表示. 式子叫做根式(radical),这里叫做根指数
(radicalexponent),叫做被开方数(radicand).
当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数. 此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示. 正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
注意:当是奇数时,,当是偶数时,
2. 分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 对数函数
一般地,如果a (a 大于0,且a 不等于1)的b 次幂等于N ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作log aN=b,读作以a 为底N 的对数,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。一般地,函数y=log(a)X,(其中a 是常数,a>0且a 不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a 的规定,同样适用于对数函数。
定义
真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,
底数则要大于0且不为1 。对数函数的底数为什么要大于0且不为1? 【在一个普通对数式里 a
通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm), 并把log10N 记为lgN 。另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e 为底的对数称为自然对数(natural logarithm) ,并且把loge N 记为In N 。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当a 〉0,a≠ 1时,a^X=N→X=logaN。
由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论: 在实数范围内,负数和零没有对数
loga a=1 log以a 为底a 的对数为1(a为常数) 恒过点(1,0) 对数函数
对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
(1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2) 对数函数的值域为全部实数集合。
(3) 函数图像总是通过(1,0)点。
(4) a大于1时,为单调增函数,并且上凸;a 大于0小于1时,函数为单调减函数,并且下凹。
(5) 显然对数函数无界。
(1)log(a)(b)=log(a)(b) (a为底数) (2)lg(b)=log(10)(b) (10为底数) (3)ln(b)=log(e)(b) (e 为底数) 对数函数的运算性质: 如果a 〉0,且a 不等于1,M>0,N>0,那么: (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n 属于R ) (4)log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n 属于R ) (5) a^log(a)(N)=N 对数与指数之间的关系 当a 大于0,a 不等于1时,a 的X 次方=N等价于log(a)N=x log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n 属于R ) 换底公式 (很重要) log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数 以e 为底 e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828) lg 常用对数 以10为底
表达方式
(1)常用对数:lg(b)=log(10)(b)
(2)自然对数:ln(b)=log(e)(b)
通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义
对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a 的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形: 关于X 轴对称、
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
性质
定义域求解:对数函数y=loga x 的定义域是{x ︳x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需满足{x>0且x≠1} 。 {2x-1>0 ,x>1/2且x≠1},即其定义域为 {x ︳x>1/2且x≠1}值域:实数集R
定点:函数图像恒过定点(1,0)。
单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸
对数的图像0
奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。
周期性:不是周期函数
注意:负数和0没有对数。 两句经典话:底真同对数正, 底真异对数负。解释如下: 也就是说:若y=log(a )b (其中a>0,a≠1,b>0) 当00; 当a>1, b>1时,y=log(a )b>0; 当01时,y=log(a )b1, 0
定义
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C ,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把x 表示出,得到x= g(y). 若对于y 在C 中的任何一个值,通过x= g(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么,x= g(y)就表示y 是自变量,x 是因变量是y 的函数,这样的函数y= g(x)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
用法
例:三角函数中 正弦函数和它的反函数:f(x)=sinx->f(x)=arcsinx 余弦函数和它的反函数:f(x)=cosx->f(x)=arccosx 正切函数和它的反函数:f(x)=tanx ->f(x)=arctanx 余切函数和它的反函数:f(x)=cotx->f(x)=arccotx 指数函数和它的反函数:f(x)=x^a->f(x)=logax
性质
反函数其实就是y=f(x )中,x 和y 互换了角色
(1)函数f (x )与他的反函数f-1(x )图象关于直线y=x对称;
函数及其反函数的图形关于直线y=x对称(2)函数存在反函数的重要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(4)大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x), 定义域是{0} 且 f(x)=C (其中C 是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} )。奇函数不一定存在反函数,被与y 轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
(5)一切隐函数具有反函数;
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】;
(8)反函数是相互的且具有唯一性;
(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反);
(10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2))。
例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2 x
例题:求函数y=3x-2的反函数
解:y=3x-2的定义域为R ,值域为R 。
由y=3x-2,解得:
x=(y+2)/3
将x ,y 互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=(x+2)/3(x 属于R )
(11)反函数的导数关系:如果x=f(y)在区间I 上单调,可导,且f’(y )≠0,那么它的反函数y=f’(X )在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导,且
[f'(x)]'=1\[f'(x )]'。
(12)y=x的反函数是它本身。
(13)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称
幂函数
形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。
当a 取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于a 取无理数时,初学者则不大容易理解了。因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
性质
所有的幂函数在(0,+∞)上都有各自的定义,并且图像都过点(1,1)。 (1)当a>0时,幂函数y=x^a有下列性质: a 、图像都通过点(1,1)(0,0) ; b 、在第一象限内,函数值随x 的增大而增大; c 、在第一象限内,a>1时,图像开口向上;0
a 、图像都通过点(1,1);
b 、在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,图像开口向上;
c 、在第一象限内,当x 从右趋于原点时,图象在y 轴上方趋向于原点时,图像在y 轴右方无限逼近y 轴,当x 趋于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴[1]。
(3)当a=0时,幂函数y=x^a有下列性质:
a 、y=x^0是直线y=1去掉一点(0,1) 它的图像不是直线
特性
对于a 的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数(即p 、q 互质),q 和p 都是整数,则x^(p/q)=q次根号下(x 的p 次方),如果q 是奇数,函数的定义域是R ,如果q 是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数a 是负整数时,设a=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x 所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
a 小于0时,x 不等于0;
a 的分母为偶数时,x 不小于0;
a 的分母为奇数时,x 取R 。
定义域
当a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
1. 如果a 为负数,则x 肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q 的奇偶性来确定,即如果同时q 为偶数, 则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;2. 如果同时q 为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
当x 为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:
1. 在x 大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
2. 在x 小于0时,则只有同时a 为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a 为正数,0才进入函数的值域。
由于x 大于0是对a 的任意取值都有意义的,
因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。
特殊性
可以看到:
(1)所有的图形都通过(1,1)这点. (a≠0) a>0时 图象过点(0,0)和(1,1)
(2)当a 大于0时,幂函数为单调递增为增函数, 但y=x^2,在(-∞,0)上单调递减。
而a 小于0时,幂函数为单调递减为减函数。
(3)当a 大于1时,幂函数图形下凸(竖抛);当a 小于1大于0时,幂函数图形上凸(横抛)。当a 小于0时,图像为双曲线。
(4)当a 小于0时,a 越小,图形倾斜程度越大。
(5)显然幂函数无界限。
(6)a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。
图象
幂函数幂函数的图象:
①当a≤-1且a 为奇数时,函数在第一、第三象限为减函数,图像关于原点对称
②当a≤-1且a 为偶数时,函数在第二象限为增函数,在第一象限为减函数,图像关于y 轴对称
③当a=0且x 不为0时,函数图象平行于x 轴且y=1、但不过(0,1) ④当0
⑤当a≥1且a 为奇数时,函数是奇函数
⑥当a≥1且a 为偶数时,函数是偶函数
值域
当a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a 为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a 为负数,则x 肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q 的奇偶性来确定,即如果同时q 为偶数,则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q 为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x 为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x 大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x 小于0时,则只有同时q 为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a 为正数,0才进入函数的值域[2]
性质
对于a 的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q 和p 都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p 次方) ,如果q 是奇数,函数的定义域是R ,如果q 是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n 是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x 所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a 可以是任意实数;
排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q 不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x 为大于且等于0的所有实数,a 就不能是负数。
总结起来,就可以得到当a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
如果a 为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a 为负数,则x 肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q 的奇偶性来确定,即如果同时q 为偶数,则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q 为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x 大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
在x 小于0时,则只有同时q 为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a 为正数,0才进入函数的值域。
由于x 大于0是对a 的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到:
(1)所有的图形都通过(1,1) 这点。
(2)当a 大于0时,幂函数为单调递增的,而a 小于0时,幂函数为单调递减函数。
(3)当a 大于1时,幂函数图形下凹;当a 小于1大于0时,幂函数图形上凸。
(4)当a 小于0时,a 越小,图形倾斜程度越大。
(5)a大于0,函数过(0,0) ;a 小于0,函数不过(0,0) 点。
(6)显然幂函数无界。
基本初等函数
指数函数
(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于0且不等于
1。对于a 不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a 等于0函数无意义一般也不考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形都是下凸的。
(4) a>1时,则指数函数单调递增;若0
(5) 可以看到一个显然的规律,就是当a 从0趋向于无穷大的过指数函数程中(不等于0),函数的曲线从分别接近于Y 轴与X 轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴, 并且永不相交。
(7) 函数总是通过(0,1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)
(8) 指数函数无界。
(9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a 互为倒数时,两个函数关于y 轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
(11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。 函数图像
(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a) 可知:在y 轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y 轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y 轴右边“底大图高”;在y 轴左边“底大图低”。(如右图)》。
(4)y=a的x 次方与y=a分之1的x 次方的图像关于y 轴对称。 幂的比较
比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A 与B 的大小,先找一个中间值C ,再比较A 与C 、B 与C 的大小,由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。
比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。
例如:y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增(即x 的值越大,对应的y 值越大),因为5大于4,所以y2大于y1。
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,
1)然后随着x 的增大,y1图像下降,而y2上升,在x 等于4时,y2大于y1.
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:
对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。
在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a 和1与指数x 与0之间的不等号同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)时,a^x大于1,异向时a^x小于1.
〈3〉例:下列函数在R 上是增函数还是减函数?说明理由.
⑴y=4^x
因为4>1,所以y=4^x在R 上是增函数;
⑵y=(1/4)^x
因为0
定义域
x∈R
指代一切实数(-∞,+∞),就是R 。
值域
对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a 满足a>0且a≠1,即说明y>0。所以值域为(0,+∞)。a=1时也可以,此时值域恒为1。
指数与指数幂的运算
1. 根式的概念:一般地,如果存在实数x ,使得x^n=a(a∈R,n 〉1,N+)则x 叫做a 的n 次方根(nthroot)。
当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数. 此时,的次方根用符号表示. 式子叫做根式(radical),这里叫做根指数
(radicalexponent),叫做被开方数(radicand).
当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数. 此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示. 正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
注意:当是奇数时,,当是偶数时,
2. 分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 对数函数
一般地,如果a (a 大于0,且a 不等于1)的b 次幂等于N ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作log aN=b,读作以a 为底N 的对数,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。一般地,函数y=log(a)X,(其中a 是常数,a>0且a 不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a 的规定,同样适用于对数函数。
定义
真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,
底数则要大于0且不为1 。对数函数的底数为什么要大于0且不为1? 【在一个普通对数式里 a
通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm), 并把log10N 记为lgN 。另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e 为底的对数称为自然对数(natural logarithm) ,并且把loge N 记为In N 。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当a 〉0,a≠ 1时,a^X=N→X=logaN。
由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论: 在实数范围内,负数和零没有对数
loga a=1 log以a 为底a 的对数为1(a为常数) 恒过点(1,0) 对数函数
对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
(1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2) 对数函数的值域为全部实数集合。
(3) 函数图像总是通过(1,0)点。
(4) a大于1时,为单调增函数,并且上凸;a 大于0小于1时,函数为单调减函数,并且下凹。
(5) 显然对数函数无界。
(1)log(a)(b)=log(a)(b) (a为底数) (2)lg(b)=log(10)(b) (10为底数) (3)ln(b)=log(e)(b) (e 为底数) 对数函数的运算性质: 如果a 〉0,且a 不等于1,M>0,N>0,那么: (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n 属于R ) (4)log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n 属于R ) (5) a^log(a)(N)=N 对数与指数之间的关系 当a 大于0,a 不等于1时,a 的X 次方=N等价于log(a)N=x log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n 属于R ) 换底公式 (很重要) log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数 以e 为底 e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828) lg 常用对数 以10为底
表达方式
(1)常用对数:lg(b)=log(10)(b)
(2)自然对数:ln(b)=log(e)(b)
通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义
对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a 的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形: 关于X 轴对称、
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
性质
定义域求解:对数函数y=loga x 的定义域是{x ︳x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需满足{x>0且x≠1} 。 {2x-1>0 ,x>1/2且x≠1},即其定义域为 {x ︳x>1/2且x≠1}值域:实数集R
定点:函数图像恒过定点(1,0)。
单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸
对数的图像0
奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。
周期性:不是周期函数
注意:负数和0没有对数。 两句经典话:底真同对数正, 底真异对数负。解释如下: 也就是说:若y=log(a )b (其中a>0,a≠1,b>0) 当00; 当a>1, b>1时,y=log(a )b>0; 当01时,y=log(a )b1, 0
定义
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C ,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把x 表示出,得到x= g(y). 若对于y 在C 中的任何一个值,通过x= g(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么,x= g(y)就表示y 是自变量,x 是因变量是y 的函数,这样的函数y= g(x)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
用法
例:三角函数中 正弦函数和它的反函数:f(x)=sinx->f(x)=arcsinx 余弦函数和它的反函数:f(x)=cosx->f(x)=arccosx 正切函数和它的反函数:f(x)=tanx ->f(x)=arctanx 余切函数和它的反函数:f(x)=cotx->f(x)=arccotx 指数函数和它的反函数:f(x)=x^a->f(x)=logax
性质
反函数其实就是y=f(x )中,x 和y 互换了角色
(1)函数f (x )与他的反函数f-1(x )图象关于直线y=x对称;
函数及其反函数的图形关于直线y=x对称(2)函数存在反函数的重要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(4)大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x), 定义域是{0} 且 f(x)=C (其中C 是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} )。奇函数不一定存在反函数,被与y 轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
(5)一切隐函数具有反函数;
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】;
(8)反函数是相互的且具有唯一性;
(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反);
(10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2))。
例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2 x
例题:求函数y=3x-2的反函数
解:y=3x-2的定义域为R ,值域为R 。
由y=3x-2,解得:
x=(y+2)/3
将x ,y 互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=(x+2)/3(x 属于R )
(11)反函数的导数关系:如果x=f(y)在区间I 上单调,可导,且f’(y )≠0,那么它的反函数y=f’(X )在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导,且
[f'(x)]'=1\[f'(x )]'。
(12)y=x的反函数是它本身。
(13)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称
幂函数
形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。
当a 取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于a 取无理数时,初学者则不大容易理解了。因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
性质
所有的幂函数在(0,+∞)上都有各自的定义,并且图像都过点(1,1)。 (1)当a>0时,幂函数y=x^a有下列性质: a 、图像都通过点(1,1)(0,0) ; b 、在第一象限内,函数值随x 的增大而增大; c 、在第一象限内,a>1时,图像开口向上;0
a 、图像都通过点(1,1);
b 、在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,图像开口向上;
c 、在第一象限内,当x 从右趋于原点时,图象在y 轴上方趋向于原点时,图像在y 轴右方无限逼近y 轴,当x 趋于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴[1]。
(3)当a=0时,幂函数y=x^a有下列性质:
a 、y=x^0是直线y=1去掉一点(0,1) 它的图像不是直线
特性
对于a 的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数(即p 、q 互质),q 和p 都是整数,则x^(p/q)=q次根号下(x 的p 次方),如果q 是奇数,函数的定义域是R ,如果q 是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数a 是负整数时,设a=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x 所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
a 小于0时,x 不等于0;
a 的分母为偶数时,x 不小于0;
a 的分母为奇数时,x 取R 。
定义域
当a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
1. 如果a 为负数,则x 肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q 的奇偶性来确定,即如果同时q 为偶数, 则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;2. 如果同时q 为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
当x 为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:
1. 在x 大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
2. 在x 小于0时,则只有同时a 为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a 为正数,0才进入函数的值域。
由于x 大于0是对a 的任意取值都有意义的,
因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。
特殊性
可以看到:
(1)所有的图形都通过(1,1)这点. (a≠0) a>0时 图象过点(0,0)和(1,1)
(2)当a 大于0时,幂函数为单调递增为增函数, 但y=x^2,在(-∞,0)上单调递减。
而a 小于0时,幂函数为单调递减为减函数。
(3)当a 大于1时,幂函数图形下凸(竖抛);当a 小于1大于0时,幂函数图形上凸(横抛)。当a 小于0时,图像为双曲线。
(4)当a 小于0时,a 越小,图形倾斜程度越大。
(5)显然幂函数无界限。
(6)a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。
图象
幂函数幂函数的图象:
①当a≤-1且a 为奇数时,函数在第一、第三象限为减函数,图像关于原点对称
②当a≤-1且a 为偶数时,函数在第二象限为增函数,在第一象限为减函数,图像关于y 轴对称
③当a=0且x 不为0时,函数图象平行于x 轴且y=1、但不过(0,1) ④当0
⑤当a≥1且a 为奇数时,函数是奇函数
⑥当a≥1且a 为偶数时,函数是偶函数
值域
当a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a 为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a 为负数,则x 肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q 的奇偶性来确定,即如果同时q 为偶数,则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q 为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x 为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x 大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x 小于0时,则只有同时q 为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a 为正数,0才进入函数的值域[2]
性质
对于a 的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q 和p 都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p 次方) ,如果q 是奇数,函数的定义域是R ,如果q 是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n 是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x 所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a 可以是任意实数;
排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q 不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x 为大于且等于0的所有实数,a 就不能是负数。
总结起来,就可以得到当a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
如果a 为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a 为负数,则x 肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q 的奇偶性来确定,即如果同时q 为偶数,则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q 为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x 大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
在x 小于0时,则只有同时q 为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a 为正数,0才进入函数的值域。
由于x 大于0是对a 的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到:
(1)所有的图形都通过(1,1) 这点。
(2)当a 大于0时,幂函数为单调递增的,而a 小于0时,幂函数为单调递减函数。
(3)当a 大于1时,幂函数图形下凹;当a 小于1大于0时,幂函数图形上凸。
(4)当a 小于0时,a 越小,图形倾斜程度越大。
(5)a大于0,函数过(0,0) ;a 小于0,函数不过(0,0) 点。
(6)显然幂函数无界。