第一类曲线积分与曲面积分的计算
平面曲线的弧长公式s= 2(t)+y ′ t dt 极坐标形式 s= α +r ′ (θ) d ɵ α 空间 s= 2(t)+y ′ t +z ′ 2(t)dt α 密度：f(x，y) 平面曲线
f （x ，y ，z ） 空间曲线
曲面积分：S= + ∂x + ∂y dxdy D xy β′2β2β′2 ∂z 2∂z 2
积分在物理上的应用
质心：对平面的静力矩等效 mx 是对yoz 平面的静力矩 X 0=Myz /m= Ωx μ（M ）d Ω/ Ωμ M d Ω
当密度均匀时，x 0= Ωxd Ω/ Ωd Ω
在此处键入公式。
转动惯量：I=mr2 I x = Ω（y 2+z 2）μ（M ）d Ω
注意积分对变量x ，y ，z 的轮换对称性 2 2 dS = z 2dS 因此答案为8/3 πR 4 典例 求球壳对z 轴的转动惯量 x dS =y s S S
引力
F x =G Ω μ M m （x −x 0)
r d Ω
飞行体受到地球引力
R Gm μ −R z − r 2π a dz 0d θ 0【r 2+ z −a 】 dr 23灵活运用积分方法
含参变量的积分
有限区间
闭区域：D={（x ，y ）ꞁ a≤x ≤b ，c ≤y ≤d}上连续
φ（x ）= c f x ，y dy 在此处键入公式。
一致连续 → 极限运算和积分运算可交换顺序
所谓一致连续，其定义为 ∀ϵ>0，假定f x 在某区间一致连续，应该存在δ>0，使得 该区间上∀两个值x 1，x 2，当 x 1−x 2
典型的不一致连续：1/x（1/n，1/（n+1）） x 2（n ，n+1/n）
连续→一致连续 任意接近两个自变量函数值任意接近
1/x，一致连续1/n不是确定的值，而某点连续是具体值，所以在某区间连续和一致连续不同
由n （具体）确定δ，而一致连续是δ确定n
两个任意小就看以谁先为有限值
而有界闭区域率先确定1/n中n 有界，所以在有界闭区域连续则必一致连续，对于有界闭区域，一致连续受到了弱化
求导与积分可交换顺序（利用了拉格朗日中值定理）
二次积分可交换顺序 （积分区间为常数）
证明相等，可构造函数证明恒等，用导函数恒为0
上下限都含参变量
φ（x ）= α x f x, y dy (α x , β x 均∈【c ，d 】，且φ x 在【c ，d 】可导)
莱布尼茨公式：φx =
视作多元函数
b a 1 x−x dx 0I= lnx 0d β x ′ d f x,y dy α x dx β x α x f x x, y dy +f x, β x β′ x −f 【x, α x ]α′ x β x
含参变量反常积分
φ x =
c +∞ f x ，y dy
一致收敛：φ x 对∀x ∈【a ，b 】收敛，若∀ϵ>0, ∃与x 无关的d 0 ϵ >c ，使得d 0
+∞ 后对于【a ，b 】上所有x ，有 d f x ，y dy
魏尔斯特拉斯判别法
若在区域D 上满足 f （x ，y ） ≤g y ，且 c +∞+∞g y dy 收敛，则 c f x, y dy 关于x 在【a ，b 】上一致收敛
定理6，7
第一类曲线积分与曲面积分的计算
平面曲线的弧长公式s= 2(t)+y ′ t dt 极坐标形式 s= α +r ′ (θ) d ɵ α 空间 s= 2(t)+y ′ t +z ′ 2(t)dt α 密度：f(x，y) 平面曲线
f （x ，y ，z ） 空间曲线
曲面积分：S= + ∂x + ∂y dxdy D xy β′2β2β′2 ∂z 2∂z 2
积分在物理上的应用
质心：对平面的静力矩等效 mx 是对yoz 平面的静力矩 X 0=Myz /m= Ωx μ（M ）d Ω/ Ωμ M d Ω
当密度均匀时，x 0= Ωxd Ω/ Ωd Ω
在此处键入公式。
转动惯量：I=mr2 I x = Ω（y 2+z 2）μ（M ）d Ω
注意积分对变量x ，y ，z 的轮换对称性 2 2 dS = z 2dS 因此答案为8/3 πR 4 典例 求球壳对z 轴的转动惯量 x dS =y s S S
引力
F x =G Ω μ M m （x −x 0)
r d Ω
飞行体受到地球引力
R Gm μ −R z − r 2π a dz 0d θ 0【r 2+ z −a 】 dr 23灵活运用积分方法
含参变量的积分
有限区间
闭区域：D={（x ，y ）ꞁ a≤x ≤b ，c ≤y ≤d}上连续
φ（x ）= c f x ，y dy 在此处键入公式。
一致连续 → 极限运算和积分运算可交换顺序
所谓一致连续，其定义为 ∀ϵ>0，假定f x 在某区间一致连续，应该存在δ>0，使得 该区间上∀两个值x 1，x 2，当 x 1−x 2
典型的不一致连续：1/x（1/n，1/（n+1）） x 2（n ，n+1/n）
连续→一致连续 任意接近两个自变量函数值任意接近
1/x，一致连续1/n不是确定的值，而某点连续是具体值，所以在某区间连续和一致连续不同
由n （具体）确定δ，而一致连续是δ确定n
两个任意小就看以谁先为有限值
而有界闭区域率先确定1/n中n 有界，所以在有界闭区域连续则必一致连续，对于有界闭区域，一致连续受到了弱化
求导与积分可交换顺序（利用了拉格朗日中值定理）
二次积分可交换顺序 （积分区间为常数）
证明相等，可构造函数证明恒等，用导函数恒为0
上下限都含参变量
φ（x ）= α x f x, y dy (α x , β x 均∈【c ，d 】，且φ x 在【c ，d 】可导)
莱布尼茨公式：φx =
视作多元函数
b a 1 x−x dx 0I= lnx 0d β x ′ d f x,y dy α x dx β x α x f x x, y dy +f x, β x β′ x −f 【x, α x ]α′ x β x
含参变量反常积分
φ x =
c +∞ f x ，y dy
一致收敛：φ x 对∀x ∈【a ，b 】收敛，若∀ϵ>0, ∃与x 无关的d 0 ϵ >c ，使得d 0
+∞ 后对于【a ，b 】上所有x ，有 d f x ，y dy
魏尔斯特拉斯判别法
若在区域D 上满足 f （x ，y ） ≤g y ，且 c +∞+∞g y dy 收敛，则 c f x, y dy 关于x 在【a ，b 】上一致收敛
定理6，7