行列式的多种计算方法
摘要：行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种
行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.
关键词：线性代数、行列式、方法 正文：
1定义法：n 阶行列式等于所有取自不同列的n 个元素的乘积的代数和．
010 0002 0
例1：D n =
000 n -n 00 0n ⨯n 解：在n ！项中只有一项a 12a 23a 34 a n -1n a nn +1不为零, 且π(2, 3 n , a ) =n -1 ∴D n =(-1) n -1a 12a 23 a n -1n a nn +1=(-1) n -11⋅2 n -1⋅n =(-1) n -1⋅n !
2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值. 2.1特殊行列式
λ1
(1) 0 00(2)
0 0
00
=
n ⨯n
λ1
0 00=
n ⨯n
0 0
*0
=
n ⨯n
λ1
0*0=
n ⨯n
0 0
00
=λ1λ2 λn
n ⨯n
λ2 λ2 λ2
λn 0 0
λn 0 0
λn 0
对角行列式上三角行列式下三角行列式
λ1
λ1
0 0
λ1
0 0
n ⨯n
λ2
λ2
λ2
=(-1)
n (n -1) 2
λ1λ2 λn
λn λn λn λn
次对角行列式次上三角行列式次下三角行列式
2.2 箭形行列式
1120
例2 D n =03
00
1 0 0
n n ⨯n
1C 1-C j
j
-∑
解：D n
j =2, 3, n
=
1j =2j 00 0
n
11 120 003 0 00 n n ⨯n
1
=n ! (1-∑)
j =2j
n
2.3 可化为箭形的行列式
例3x 1a 1
D n =a 1
a 1
a 2x 2a 2 a 2
a 3a 3x 3 a 3
a n a n a n
x n
x i ≠a i , i =1, 2, , n
n ⨯n
x 1a 1-x 1r i -r 1
解:D n =a 1-x 1
i =2, n
a 1-x 1x 1x 1-a 1
n -1=∏(xi -a i )
-1i =1
-1
a 2x 2-a 2
0 0a 2x 2-a 2
10 0
a 30x 3-a 3
0a 3x 3-a 3
01 0
a n 00
x n -a n a n x n -a n
00 1
a n x k -a k
n n
a k
0=(1+∑) ∏(x i -a i )
k =1x k -a k i =1
1
C 1+C j
+∑
i
j =2, n
=∏(x
-a i ) ⨯
a k
k =1x k -a k
0 0
n a 2x 2-a 2
1 0
3 降阶法 降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列 式转化为低阶行列式进行计算
例4
a b 0 00a b 00b 0 000a b 000a 000b 00
按第一列
D = =a 00 a b +(-1) n +1b
000 a b
b 00 0a +a n +(-1) n +1b n =
展开
00 0a 00 b 000 a b
1
(-1) n -1(n +1)! 2
4 升阶法 将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算
例5
x a a a a x a a D n =
a a x a
a a a
x
1
a
a
a
0 0x -a 0 0 x -a n ⨯n
1a a a
0x a a -1x -a
当x ≠a 时D n =0a x a r 2-r 1, r 3-r 1 r n -r 1-10
0a a x -10
+
c 1+
x -a
n a a x -a 0 0
a a
c 2 c 1+x -a c n
00 0
0 0
na =(1+) ⋅(x -a ) n -1x -a 0
x -a
0 x -a n ⨯n
当x =a 时D n =0
5 递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n -2，
阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值
例6
x a a a x a a 0+a x a a x a a 0x a 0+a a x D n = =0a x = 0+a
a a x a a a a a a x n ⨯n 0a a x -a +a n ⨯n a a x a a a a +
x a a
=(x -a ) D n -1+
x -a 0
00
00
a a
x -a 00
a a
x a
00 0x -a n ⨯n
a a x a a a a a n ⨯n =(x -a ) D n -1+a (x -a ) n -1
x -a a 0a n ⨯n
由此, 得递推公式:D n =(x -a ) D n -1+a (x -a ) n -1由此递推下去, 得:
D n =(x -a )[(x -a ) D n -2+a (x -a ) n -2]+a (x -a ) n -1
=(x -a ) n -1D 1+(n -1) a (x -a ) n -1=(x -a ) n -1[x +(n -1) a ]
6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般
性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值
例7
+a 1
1
D n =
1
1 1
1 1) a 1
11
其中a 1a 2 a n ≠0
1+a 21
1 1+a n
解D 1=1+a 1=a 1(1+
2+a 111
D 2==a 1⋅a 2(1+∑)
11+a 2i =1a i
于是可猜测D n =a 1a 2 a n (1+∑
i =1
n
1
)(n ≥1) 下面证明这一猜测是正确的. 假a i
n -1i =1
设对n -1的情形猜测正确，即D n -1=a 1a 2 a n -1(a +∑
1
) a i
1+a 111 1+a 1
11+a 211+a 21 1
D n = +
00111 1a 1
0= 1
0a 2 1
0 00 0 +a n D n -1 1 1
1 1
1 1 0 a n
=a 1a 2 a n -1+a n D n -1
于是又归纳假设得：
n
11
D n =a 1a 2 a n -1+a n a 1a 2 a n -1(1+∑) =a 1a 2 a n (1+∑)
i =1a i i =1a i
n
n -1
故对一切自然数n 猜得正确，即D n =a 1a 2 a n (1+∑
i =1
1
), n ≥1 a i
7 利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式 例8
111 1x 1x 2x 3 x n
D n = n 阶范德蒙行列式为
n -2n -2n -2
x 1n -2x 2x 3 x n
n n n
x 1n x 2x 3 x n
1a 1
a 12 a 1n -1
1a 22a 2
n -1a 2
1a 32a 3
1a n 2
=a n
1≤i
∏(a
j
-a i )
n -1n -1
a 3 a n
解 构造n+1阶范德蒙行列式
1x 1 n -2
f (x ) =x 1
x 1n -1x 1n
1x 2 n -2x 2
n -1x 2n x 21 1x 3 x n n -2n -2x 3 x n n -1n -1
x n x 3n n x 3 x n
1x
x n -2x n -1x n
(n +1) ⨯(n +1)
=A 1, n +1+xA 2, n +1 x n -2A n -2, n +1+x n -1A n , n +1+x n A n +1, n +1
=(x -x 1)(x -x 2) (x -x n ) ⋅
1≤j
∏(x
i
-x j )
D n =M n , n +1=-A n , n +1 由f(x)的表达式知，x n -1的系数为
A n , n +1=-(x 1+x 2+ +x n ) ∴D n =(x 1+x 2+ +x n )
1≤j
∏(x
i
i
-x j )
1≤j
∏(x
-x j )
8 拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n 个简单的行列式加以计算
a 11 a 1n
例9 设D =
a n 1 a nn
a 11+x 1
a 21+x 1
D n =
a n 1+x 1
a 12+x 2a 22+x 2
a 1n +x n a 2n +x n
a n 2+x 2 a nn +x n
a 1n +x n
x 1
a 12+x 2a 22+x 2
a 1n +x n a 2n +x n
解
a 11
D n =
a 21 a n 1a 11a =21
a n 1
a 12+x 2a 22+x 2
a 2n +x n x
+1
x 1
a n 2+x 2 a nn +x n
a 1n +x n
a n 2+x 2 a nn +x n
a 12+x 2a 22+x 2
n a 2n +x n
+x 1∑A i 1 i =1
a n 2+x 2 a nn +x n
n
n
n
n
= =D +x n ∑A in + +x 1∑A i 1=D +∑x j ∑A ij
i =1
i =1
j =1
i =1
9 变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得
例10
21-a 1-a -a 2 1-a
D n =
-a 1-a 2
解令x =1-a ，由（拆项法例题结果）知
+a +1-a D n =
0+1-a 0+1-a
n
n
0+1-a 0+1-a
0+1-a 0+1-a
=
+a 0 0
0 0
00
1+a +1-a 1+a
1+a +1-a
1+a
+(1-a ) ∑∑A ij
i =1j =1
⎛(1-a ) n -1i =j n -1
因为A ij = ∴D =(1+a ) [(n +1) +a (1-n )] n i ≠j 0⎝
10 分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值 例11
a 1+b 1
D n =
a 2+b 1
a n +b 1
a 1+b 2
a 1+b n
a 2+b 2 a 2+b n
a n +b 2 a n +b n
n ⨯n
a 110 01
a 210 0b 1
解D n =a 310 0⋅0
a n 10 00
1b 20 0
10 0
1
0n ≥3⎧
⎪
a 1+b 1n =1 0=⎨
⎪(a -a )(b -b ) n =2 221⎩10
b 3 b n
总结：对于低阶行列式的计算常常采用定义法、三角化法和降阶法，但
降阶法一般用于零元素较多的行列式，或可以化成零元素较多的行列式；而利用升阶法计算的行列式应满足各行（列）含有共同元素的特点，且升降阶的最终目的是为了降阶；而递推法则满足n-1,n-2……阶行列式之间存在一定的递推关系的特点；而归纳法计算行列式则满足当n=1时成立，假设n=k时成立时n=k+1时也成立的特点；而如果运用范氏行列式应满足范氏行列式的形式特点；对于拆项法则行列式中有和的形式。总之，行列式的计算并没有统一的方法，当然计算方法必须根据行列式的特点来选取，并且灵活运用。
参考文献：
张友贵 《掌握线性代数》 大连理工大学出版社 湛少锋 《线性代数习题与分析》 清华大学 冯红 《线性代数大讲堂》 大连理工大学 徐仲 《线性代数》 西北工业大学
行列式的多种计算方法
摘要：行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种
行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.
关键词：线性代数、行列式、方法 正文：
1定义法：n 阶行列式等于所有取自不同列的n 个元素的乘积的代数和．
010 0002 0
例1：D n =
000 n -n 00 0n ⨯n 解：在n ！项中只有一项a 12a 23a 34 a n -1n a nn +1不为零, 且π(2, 3 n , a ) =n -1 ∴D n =(-1) n -1a 12a 23 a n -1n a nn +1=(-1) n -11⋅2 n -1⋅n =(-1) n -1⋅n !
2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值. 2.1特殊行列式
λ1
(1) 0 00(2)
0 0
00
=
n ⨯n
λ1
0 00=
n ⨯n
0 0
*0
=
n ⨯n
λ1
0*0=
n ⨯n
0 0
00
=λ1λ2 λn
n ⨯n
λ2 λ2 λ2
λn 0 0
λn 0 0
λn 0
对角行列式上三角行列式下三角行列式
λ1
λ1
0 0
λ1
0 0
n ⨯n
λ2
λ2
λ2
=(-1)
n (n -1) 2
λ1λ2 λn
λn λn λn λn
次对角行列式次上三角行列式次下三角行列式
2.2 箭形行列式
1120
例2 D n =03
00
1 0 0
n n ⨯n
1C 1-C j
j
-∑
解：D n
j =2, 3, n
=
1j =2j 00 0
n
11 120 003 0 00 n n ⨯n
1
=n ! (1-∑)
j =2j
n
2.3 可化为箭形的行列式
例3x 1a 1
D n =a 1
a 1
a 2x 2a 2 a 2
a 3a 3x 3 a 3
a n a n a n
x n
x i ≠a i , i =1, 2, , n
n ⨯n
x 1a 1-x 1r i -r 1
解:D n =a 1-x 1
i =2, n
a 1-x 1x 1x 1-a 1
n -1=∏(xi -a i )
-1i =1
-1
a 2x 2-a 2
0 0a 2x 2-a 2
10 0
a 30x 3-a 3
0a 3x 3-a 3
01 0
a n 00
x n -a n a n x n -a n
00 1
a n x k -a k
n n
a k
0=(1+∑) ∏(x i -a i )
k =1x k -a k i =1
1
C 1+C j
+∑
i
j =2, n
=∏(x
-a i ) ⨯
a k
k =1x k -a k
0 0
n a 2x 2-a 2
1 0
3 降阶法 降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列 式转化为低阶行列式进行计算
例4
a b 0 00a b 00b 0 000a b 000a 000b 00
按第一列
D = =a 00 a b +(-1) n +1b
000 a b
b 00 0a +a n +(-1) n +1b n =
展开
00 0a 00 b 000 a b
1
(-1) n -1(n +1)! 2
4 升阶法 将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算
例5
x a a a a x a a D n =
a a x a
a a a
x
1
a
a
a
0 0x -a 0 0 x -a n ⨯n
1a a a
0x a a -1x -a
当x ≠a 时D n =0a x a r 2-r 1, r 3-r 1 r n -r 1-10
0a a x -10
+
c 1+
x -a
n a a x -a 0 0
a a
c 2 c 1+x -a c n
00 0
0 0
na =(1+) ⋅(x -a ) n -1x -a 0
x -a
0 x -a n ⨯n
当x =a 时D n =0
5 递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n -2，
阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值
例6
x a a a x a a 0+a x a a x a a 0x a 0+a a x D n = =0a x = 0+a
a a x a a a a a a x n ⨯n 0a a x -a +a n ⨯n a a x a a a a +
x a a
=(x -a ) D n -1+
x -a 0
00
00
a a
x -a 00
a a
x a
00 0x -a n ⨯n
a a x a a a a a n ⨯n =(x -a ) D n -1+a (x -a ) n -1
x -a a 0a n ⨯n
由此, 得递推公式:D n =(x -a ) D n -1+a (x -a ) n -1由此递推下去, 得:
D n =(x -a )[(x -a ) D n -2+a (x -a ) n -2]+a (x -a ) n -1
=(x -a ) n -1D 1+(n -1) a (x -a ) n -1=(x -a ) n -1[x +(n -1) a ]
6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般
性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值
例7
+a 1
1
D n =
1
1 1
1 1) a 1
11
其中a 1a 2 a n ≠0
1+a 21
1 1+a n
解D 1=1+a 1=a 1(1+
2+a 111
D 2==a 1⋅a 2(1+∑)
11+a 2i =1a i
于是可猜测D n =a 1a 2 a n (1+∑
i =1
n
1
)(n ≥1) 下面证明这一猜测是正确的. 假a i
n -1i =1
设对n -1的情形猜测正确，即D n -1=a 1a 2 a n -1(a +∑
1
) a i
1+a 111 1+a 1
11+a 211+a 21 1
D n = +
00111 1a 1
0= 1
0a 2 1
0 00 0 +a n D n -1 1 1
1 1
1 1 0 a n
=a 1a 2 a n -1+a n D n -1
于是又归纳假设得：
n
11
D n =a 1a 2 a n -1+a n a 1a 2 a n -1(1+∑) =a 1a 2 a n (1+∑)
i =1a i i =1a i
n
n -1
故对一切自然数n 猜得正确，即D n =a 1a 2 a n (1+∑
i =1
1
), n ≥1 a i
7 利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式 例8
111 1x 1x 2x 3 x n
D n = n 阶范德蒙行列式为
n -2n -2n -2
x 1n -2x 2x 3 x n
n n n
x 1n x 2x 3 x n
1a 1
a 12 a 1n -1
1a 22a 2
n -1a 2
1a 32a 3
1a n 2
=a n
1≤i
∏(a
j
-a i )
n -1n -1
a 3 a n
解 构造n+1阶范德蒙行列式
1x 1 n -2
f (x ) =x 1
x 1n -1x 1n
1x 2 n -2x 2
n -1x 2n x 21 1x 3 x n n -2n -2x 3 x n n -1n -1
x n x 3n n x 3 x n
1x
x n -2x n -1x n
(n +1) ⨯(n +1)
=A 1, n +1+xA 2, n +1 x n -2A n -2, n +1+x n -1A n , n +1+x n A n +1, n +1
=(x -x 1)(x -x 2) (x -x n ) ⋅
1≤j
∏(x
i
-x j )
D n =M n , n +1=-A n , n +1 由f(x)的表达式知，x n -1的系数为
A n , n +1=-(x 1+x 2+ +x n ) ∴D n =(x 1+x 2+ +x n )
1≤j
∏(x
i
i
-x j )
1≤j
∏(x
-x j )
8 拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n 个简单的行列式加以计算
a 11 a 1n
例9 设D =
a n 1 a nn
a 11+x 1
a 21+x 1
D n =
a n 1+x 1
a 12+x 2a 22+x 2
a 1n +x n a 2n +x n
a n 2+x 2 a nn +x n
a 1n +x n
x 1
a 12+x 2a 22+x 2
a 1n +x n a 2n +x n
解
a 11
D n =
a 21 a n 1a 11a =21
a n 1
a 12+x 2a 22+x 2
a 2n +x n x
+1
x 1
a n 2+x 2 a nn +x n
a 1n +x n
a n 2+x 2 a nn +x n
a 12+x 2a 22+x 2
n a 2n +x n
+x 1∑A i 1 i =1
a n 2+x 2 a nn +x n
n
n
n
n
= =D +x n ∑A in + +x 1∑A i 1=D +∑x j ∑A ij
i =1
i =1
j =1
i =1
9 变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得
例10
21-a 1-a -a 2 1-a
D n =
-a 1-a 2
解令x =1-a ，由（拆项法例题结果）知
+a +1-a D n =
0+1-a 0+1-a
n
n
0+1-a 0+1-a
0+1-a 0+1-a
=
+a 0 0
0 0
00
1+a +1-a 1+a
1+a +1-a
1+a
+(1-a ) ∑∑A ij
i =1j =1
⎛(1-a ) n -1i =j n -1
因为A ij = ∴D =(1+a ) [(n +1) +a (1-n )] n i ≠j 0⎝
10 分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值 例11
a 1+b 1
D n =
a 2+b 1
a n +b 1
a 1+b 2
a 1+b n
a 2+b 2 a 2+b n
a n +b 2 a n +b n
n ⨯n
a 110 01
a 210 0b 1
解D n =a 310 0⋅0
a n 10 00
1b 20 0
10 0
1
0n ≥3⎧
⎪
a 1+b 1n =1 0=⎨
⎪(a -a )(b -b ) n =2 221⎩10
b 3 b n
总结：对于低阶行列式的计算常常采用定义法、三角化法和降阶法，但
降阶法一般用于零元素较多的行列式，或可以化成零元素较多的行列式；而利用升阶法计算的行列式应满足各行（列）含有共同元素的特点，且升降阶的最终目的是为了降阶；而递推法则满足n-1,n-2……阶行列式之间存在一定的递推关系的特点；而归纳法计算行列式则满足当n=1时成立，假设n=k时成立时n=k+1时也成立的特点；而如果运用范氏行列式应满足范氏行列式的形式特点；对于拆项法则行列式中有和的形式。总之，行列式的计算并没有统一的方法，当然计算方法必须根据行列式的特点来选取，并且灵活运用。
参考文献：
张友贵 《掌握线性代数》 大连理工大学出版社 湛少锋 《线性代数习题与分析》 清华大学 冯红 《线性代数大讲堂》 大连理工大学 徐仲 《线性代数》 西北工业大学