二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题专题
必记知识点
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
必明易误点
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
[试一试]
x－y＋1≥0，
1．(2013·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件x＋y－1≥0，
x≤3，则z＝2x－3y的最小值是( ) A．－7 C．－5
B．－6 D．－3
2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．
必会方法
1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法
二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．
2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法
azz
将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：yx＋bbb求出z的最值．
zz
(1)当b>0时，截距取最大值时，zz也取最小值；
bbzz
(2)当b
bb[练一练]
1.若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域， 则2x－y的最小值是( ) A．－6 C．0 热点考点：
x≥0，
1.不等式组x＋3y≥4，
3x＋y≤4
B．－2 D．2
所表示的平面区域的面积等于( )
3
243
x－y≥0，
2．若满足条件x＋y－2≤0，
y≥a
2
B.
33 D.
4
的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是
整数的点，则整数a的值为( )
A．－3 C．－1
B．－2 D．0
3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为
________．
[类题通法]
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．
线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：
1求线性目标函数的最值； 2求非线性目标的最值； 3求线性规划中的参数.
角度一 求线性目标函数的最值
y≤2x，
1．(1)若变量x，y满足约束条件x＋y≤1，
y≥－1，5
A．－
253
则x＋2y的最大值是( )
B．0 5 D.
2
x－y＋1≥0，
(2)如果函数x、y满足条件y＋1≥0，
x＋y＋1≤0，A．2 C．－2
角度二 求非线性目标的最值
那么z＝2x－y的最大值为( )
B．1 D．－3
2x＋3y－6≤0，
2．(1)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组x＋y－2≥0，
y≥0
所表示的区域上一
动点，则|OM|的最小值是________．
x－y＋2≤0，
(2)已知变量x，y满足约束条件x≥1，
2x＋y－8≤0，
角度三 求线性规划中的参数
x≥2，
3．(1)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x－2y＋4≥0，若z的最大值为12，则实数k
2x－y－4≤0.＝________.
x－y＋1≥0，
(2)已知实数x，y满足x＋2y－8≤0，
x≤3.行解，则实数a的取值范围为________．
[类题通法]
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z＝ax＋by.
az
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求
bbz
直线的截距z的最值．
b
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2. y－b
(3)斜率型：形如zx－a注意：转化的等价性及几何意义．
y
则________． x
5
3，是使ax－y取得最小值的唯一的可若点2[典例] 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 C．36 800元
B．36 000元 D．38 400元
[类题通法]
求解线性规划应用题的注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]
某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 C．2 800元
[课堂练通考点]
x－3y＋6≥0，
1．不等式组表示的平面区域是(
)
x－y＋2
B．2 400元 D．3 100元
x≥1
2．不等式组x＋y－4≤0
kx－y≤0
表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为( )
A．－2 C．0
B．－1 D．1
x＋|y|≤1，
3．已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝
x≥0，
OA·OP的最大值为( )
A．－2 C．1
B．－1 D．2
x＋y≤8，2y－x≤4，
4．若变量x，y满足约束条件x≥0，
y≥0，则a－b的值是( )
A．48 C．24
且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，
B．30 D．16
x－y≥－1，
5．若非负变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为________．
x＋2y≤4，
x≥0，
6．设D为不等式组2x－y≤0，
x＋y－3≤0距离的最小值为________．
所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的
二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题专题
必记知识点
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
必明易误点
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
[试一试]
x－y＋1≥0，
1．(2013·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件x＋y－1≥0，
x≤3，则z＝2x－3y的最小值是( ) A．－7 C．－5
B．－6 D．－3
2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．
必会方法
1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法
二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．
2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法
azz
将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：yx＋bbb求出z的最值．
zz
(1)当b>0时，截距取最大值时，zz也取最小值；
bbzz
(2)当b
bb[练一练]
1.若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域， 则2x－y的最小值是( ) A．－6 C．0 热点考点：
x≥0，
1.不等式组x＋3y≥4，
3x＋y≤4
B．－2 D．2
所表示的平面区域的面积等于( )
3
243
x－y≥0，
2．若满足条件x＋y－2≤0，
y≥a
2
B.
33 D.
4
的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是
整数的点，则整数a的值为( )
A．－3 C．－1
B．－2 D．0
3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为
________．
[类题通法]
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．
线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：
1求线性目标函数的最值； 2求非线性目标的最值； 3求线性规划中的参数.
角度一 求线性目标函数的最值
y≤2x，
1．(1)若变量x，y满足约束条件x＋y≤1，
y≥－1，5
A．－
253
则x＋2y的最大值是( )
B．0 5 D.
2
x－y＋1≥0，
(2)如果函数x、y满足条件y＋1≥0，
x＋y＋1≤0，A．2 C．－2
角度二 求非线性目标的最值
那么z＝2x－y的最大值为( )
B．1 D．－3
2x＋3y－6≤0，
2．(1)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组x＋y－2≥0，
y≥0
所表示的区域上一
动点，则|OM|的最小值是________．
x－y＋2≤0，
(2)已知变量x，y满足约束条件x≥1，
2x＋y－8≤0，
角度三 求线性规划中的参数
x≥2，
3．(1)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x－2y＋4≥0，若z的最大值为12，则实数k
2x－y－4≤0.＝________.
x－y＋1≥0，
(2)已知实数x，y满足x＋2y－8≤0，
x≤3.行解，则实数a的取值范围为________．
[类题通法]
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z＝ax＋by.
az
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求
bbz
直线的截距z的最值．
b
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2. y－b
(3)斜率型：形如zx－a注意：转化的等价性及几何意义．
y
则________． x
5
3，是使ax－y取得最小值的唯一的可若点2[典例] 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 C．36 800元
B．36 000元 D．38 400元
[类题通法]
求解线性规划应用题的注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]
某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 C．2 800元
[课堂练通考点]
x－3y＋6≥0，
1．不等式组表示的平面区域是(
)
x－y＋2
B．2 400元 D．3 100元
x≥1
2．不等式组x＋y－4≤0
kx－y≤0
表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为( )
A．－2 C．0
B．－1 D．1
x＋|y|≤1，
3．已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝
x≥0，
OA·OP的最大值为( )
A．－2 C．1
B．－1 D．2
x＋y≤8，2y－x≤4，
4．若变量x，y满足约束条件x≥0，
y≥0，则a－b的值是( )
A．48 C．24
且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，
B．30 D．16
x－y≥－1，
5．若非负变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为________．
x＋2y≤4，
x≥0，
6．设D为不等式组2x－y≤0，
x＋y－3≤0距离的最小值为________．
所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的