15.4.3分组分解法

15.4.3 分组分解法

从前面的分解因式可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，该如何分解因式呢？

思考：你能将多项式mambnanb分解因式吗？

在多项式mambnanb中，既没有公式可用，也没有公因式可以提取．我们可以将第1、2项作为一组，提取公因式m，得到m(ab)；将第3、4项作为一组，提取公因式n，得到n(ab)。而m(ab)和n(ab)中，都含有公因式ab，这样多项式mambnanb就可以分解因式了：

mambnanb(mamb)(nanb)m(ab)n(ab)(ab)(mn)。这种先将多项式分组处理，再进行因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

该多项式分解因式还有其它的分组方法吗？

一、分组后能提取公因式

例1 把2ax10ay5bybx分解因式．

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提取公因式2a与b，这时另一个因式正好都是x5y，这样可以继续提取公因式．

解：2ax10ay5bybx2a(x5y)b(x5y)(x5y)(2ab)

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学们不妨一试．

例2 把ab(cd)(ab)cd分解因式．

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因2222式．

解：ab(cd)(ab)cdabcabdacdbcd

22222222(abc2a2cd)(b2cdabd2) ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)

说明：由例1、例2可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中

所起的作用．

二、分组后能直接运用公式

例3 把x2y2axay分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提取公因式a后，另一个因式也是xy.

解：x2y2axay(xy)(xy)a(xy)(xy)(xya)

例4 把2x24xy2y28z2分解因式．

分析：先将系数2提取后，得到x22xyy24z2，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：2x4xy2y8z2(x2xyy4z)

2222222[(xy)2(2z)2]2(xy2z)(xy2z)

说明：从例3、例4可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．

练习：

1．把下列多项式分解因式：

（1）xyxy1；（2）4x12xx3；

（3）m5mmn5n；（4）x3x2yxy2y3；

（5）3ax4by4ay3bx；（6） a4b12bc9c；

（7）16x28xyy21；（8）m24xy4x2y2。

2．把下列多项式分解因式：

（1）x(x1)(x2)6；（2）ab(x1)x(ab)；

（3）4a4(ab4)b；（4）y(y2)(m1)(m1)。

3．把下列多项式分解因式：

22（1）xaxyay；（2）xa2abb；

[***********]（3）(ac)(ac)b(b2a)；（4）xx2xyyy

33224．已知ab0，求a2bab2ab的值。

5．先化简，再求值：abcabcabcabc，其中a22224，5b25。

6．已知3ba2c，求代数式a9b4c4ac的值

7．课堂上，老师给出了这样一个问题：已知a，b，c是△ABC的三边长，则代数式222(a2b2c2)24a2b2的值一定为负数．请问：这个结论是否正确？说明理由。