圆心角和圆周角
一、经典考题赏析
例1. （成都）如图， ABC 内接于 O ，AB=BC，∠ABC =120,AD 为 O 的直径，AD=6，那么
BD=
变式题组：
1. （河北）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形的顶点， O 的半径为1，P 是 O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 。 2. （芜湖）如图，已知点E 是 O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 上的三等分点，∠BOC =46，则∠AED 的度数为 。
40，3. 如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70、则∠1的度数为。
例2. （盐城）如图，A 、B 、C 、D 为 O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O
路线作匀速运动。设运动时间为t (s )，∠APB =y 关系最恰当的是（ ）
00
()，则下列图象中表示y 与t 之间函数
变式题组：
4. 如图所示，在 O 内有折线OABC ，其中OA=8,AB=12,∠A =∠B =60, 则BC 的长为（ ） A.19 B.16 C.18 D.20
OD AC ，5. （威海）如图，AB 是 O 的直径，点C 、D 在 O 上，下列结论错误的是（ ） A. ∠BOD =∠BAC B.∠BOD =∠COD
C. ∠BAD =∠CAD D.∠C =∠D
6. （青岛）如图，AB 为 O 的直径，CD 为 O 的弦，∠ACD =42，则∠BAD =。 例3. （柳州）如图，AB 为 O 的直径，C 为弧BD 的中点，CE ⊥AB , 垂足为E ，BD 交CE 于点F 。
（1）求证：
CF=BF
（2）若AD=2， O 的半径是3，求BC 的长。
变式题组：
7. （广州）如图，在 O 中∠ACB =BDC =
60，AC =（1）求∠BAC 的度数；（2）求 O 的周长
8. （潍坊）如图， O 是 ABC 的外接圆，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点I ，延长AI 交 O 于点D ，连接BD 、CD 。 （1）求证：BD =DC =DI
（2）若 O 的半径为10cm ，∠BAC =120，求 BDC 的面积。
例4. 如图，在 ABC 中，∠B =36，∠ACB =128，∠CAB 平分线交BC 于M ， ABC 的
N M 的最小角等于 。外接圆的切线AN 交BC 的延长线于N ，则 A
变式题组：9. 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在 O 上，AB=BD，BM ⊥AC 于M ， 求证：AM =DC +CM
二、演练巩固，反馈提高
1. （孝感）如图， O 是 ABC 的外接圆，已知∠B =60，则∠CAO 的度数是（ ） A. 15 B.30 C.45 D.60
00
2. （泰安）如图， O 的半径为1，AB 为
O 的一条弦，且AB =AB 所对圆周角的度数为（ ）
A. 30 B.60 C.30或150 D.60或120
C P O 是正三角形ABC 的外接圆，∠ABP =22，3. （绍兴）如图，点P 在劣弧AB 上，则∠B
的度数为 。
4. （啟庆）如图， O 是正方形ABCD 的外接圆, 点P 在 O 上，∠APB 等于（ ）
A. 30 B.45 C.55 D．60
5. （泰州）如图 O 的半径为1cm ，弦AB 、CD
，1cm ，则AC 、BD 所夹的锐角α= 。
6. （安徽） ABC 中，AB =AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为 ACD 的内切圆的圆心，则∠AIB 的度数是（ ）
A. 120 B．125 C．135 D.150
ABC 内接于 O ，7. （十堰）如图，连接OA 、OB ，若∠ABO =25, 则∠C 的度数为（ ）
A. 55 B.60 C.65 D.70
的中点，已知∠AOB =98，8. （丽水）如图， ABC 是 O 的内接三角形，点D 是BC
∠COB =1200。则∠ABD 的度数是 .
9. （云南）如图，A 、D 是 O 上的两个点，BC 是直径，若∠D =35，则∠OAC 的度数是
（ ）
A. 35 B.55 C.65 D.70
10. （荆门）如图，如图，MN 是半径为1的 O 的直径，点A 在 O 上，
∠AMN =300，B 为 AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA +PB 的
最小值是（ ）
A.
11. （株洲）如图，点A 、B 、C 是 O 上的三点，AB OC 。 （1）求证：AC 平分∠OAB ;
（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P 。若AB=2，∠AOE =30，求PE 的长。
三、培优升级
1. （武汉）如图，已知 O 的半径为1，锐角 ABC 内接于 O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于
1. （眉山）如图，AB 、CD 是 O 的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC =130，AD 、CB 的延长线相交于点P ，则∠P = 度。
2. （成都）如图，A 、B 、C 是 O 上的三点，以BC 为一边，作∠CBD =∠ABC ，过BC 上一点P ，作PE AB 交BD 于点E 。∠AOC =60，BE=3，则点P 到弦AB 的距离是 。
3. （铁岭）如图所示，AB 为 O 的直径，P 点为其半圆上一点，∠POA =40，C 为另一半圆上任意一点（不含A 、B ），则∠PCB = 度。 4. （衢州）如图，AD 是 O 的直径，（1）如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1, B 2C 2把圆周四等分，则∠B 1的度数是∠B 2的度数是。
（2）如图②, 垂直于AD 的三条弦B 1C 1, B 2C 2，B 3C 3把圆6等分，分别求∠B 1, ∠B 2, ∠B 3的度数。
（3）如图③, 垂直于AD 的n 条弦B 1C 1, B 2C 2B 3C 3, ……B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数（只需直接写出答案）
6. 如图，在平面直角坐标系中，M 是x 轴正半轴上一点，⊙M 与x 轴交于A 、
B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，A 、M 的坐标分别是（-1，0），（1，0）. （1）求C 点坐标．
（2）如图，P 是BC 上的一个动点，Q 为PC 中点，直线BP 、DQ 交于点K ，当点P 在BC 上运动时（不包括B 、C 两点）BK 的长度是否发生变化？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值．
圆心角和圆周角
一、经典考题赏析
例1. （成都）如图， ABC 内接于 O ，AB=BC，∠ABC =120,AD 为 O 的直径，AD=6，那么
BD=
变式题组：
1. （河北）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形的顶点， O 的半径为1，P 是 O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 。 2. （芜湖）如图，已知点E 是 O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 上的三等分点，∠BOC =46，则∠AED 的度数为 。
40，3. 如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70、则∠1的度数为。
例2. （盐城）如图，A 、B 、C 、D 为 O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O
路线作匀速运动。设运动时间为t (s )，∠APB =y 关系最恰当的是（ ）
00
()，则下列图象中表示y 与t 之间函数
变式题组：
4. 如图所示，在 O 内有折线OABC ，其中OA=8,AB=12,∠A =∠B =60, 则BC 的长为（ ） A.19 B.16 C.18 D.20
OD AC ，5. （威海）如图，AB 是 O 的直径，点C 、D 在 O 上，下列结论错误的是（ ） A. ∠BOD =∠BAC B.∠BOD =∠COD
C. ∠BAD =∠CAD D.∠C =∠D
6. （青岛）如图，AB 为 O 的直径，CD 为 O 的弦，∠ACD =42，则∠BAD =。 例3. （柳州）如图，AB 为 O 的直径，C 为弧BD 的中点，CE ⊥AB , 垂足为E ，BD 交CE 于点F 。
（1）求证：
CF=BF
（2）若AD=2， O 的半径是3，求BC 的长。
变式题组：
7. （广州）如图，在 O 中∠ACB =BDC =
60，AC =（1）求∠BAC 的度数；（2）求 O 的周长
8. （潍坊）如图， O 是 ABC 的外接圆，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点I ，延长AI 交 O 于点D ，连接BD 、CD 。 （1）求证：BD =DC =DI
（2）若 O 的半径为10cm ，∠BAC =120，求 BDC 的面积。
例4. 如图，在 ABC 中，∠B =36，∠ACB =128，∠CAB 平分线交BC 于M ， ABC 的
N M 的最小角等于 。外接圆的切线AN 交BC 的延长线于N ，则 A
变式题组：9. 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在 O 上，AB=BD，BM ⊥AC 于M ， 求证：AM =DC +CM
二、演练巩固，反馈提高
1. （孝感）如图， O 是 ABC 的外接圆，已知∠B =60，则∠CAO 的度数是（ ） A. 15 B.30 C.45 D.60
00
2. （泰安）如图， O 的半径为1，AB 为
O 的一条弦，且AB =AB 所对圆周角的度数为（ ）
A. 30 B.60 C.30或150 D.60或120
C P O 是正三角形ABC 的外接圆，∠ABP =22，3. （绍兴）如图，点P 在劣弧AB 上，则∠B
的度数为 。
4. （啟庆）如图， O 是正方形ABCD 的外接圆, 点P 在 O 上，∠APB 等于（ ）
A. 30 B.45 C.55 D．60
5. （泰州）如图 O 的半径为1cm ，弦AB 、CD
，1cm ，则AC 、BD 所夹的锐角α= 。
6. （安徽） ABC 中，AB =AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为 ACD 的内切圆的圆心，则∠AIB 的度数是（ ）
A. 120 B．125 C．135 D.150
ABC 内接于 O ，7. （十堰）如图，连接OA 、OB ，若∠ABO =25, 则∠C 的度数为（ ）
A. 55 B.60 C.65 D.70
的中点，已知∠AOB =98，8. （丽水）如图， ABC 是 O 的内接三角形，点D 是BC
∠COB =1200。则∠ABD 的度数是 .
9. （云南）如图，A 、D 是 O 上的两个点，BC 是直径，若∠D =35，则∠OAC 的度数是
（ ）
A. 35 B.55 C.65 D.70
10. （荆门）如图，如图，MN 是半径为1的 O 的直径，点A 在 O 上，
∠AMN =300，B 为 AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA +PB 的
最小值是（ ）
A.
11. （株洲）如图，点A 、B 、C 是 O 上的三点，AB OC 。 （1）求证：AC 平分∠OAB ;
（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P 。若AB=2，∠AOE =30，求PE 的长。
三、培优升级
1. （武汉）如图，已知 O 的半径为1，锐角 ABC 内接于 O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于
1. （眉山）如图，AB 、CD 是 O 的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC =130，AD 、CB 的延长线相交于点P ，则∠P = 度。
2. （成都）如图，A 、B 、C 是 O 上的三点，以BC 为一边，作∠CBD =∠ABC ，过BC 上一点P ，作PE AB 交BD 于点E 。∠AOC =60，BE=3，则点P 到弦AB 的距离是 。
3. （铁岭）如图所示，AB 为 O 的直径，P 点为其半圆上一点，∠POA =40，C 为另一半圆上任意一点（不含A 、B ），则∠PCB = 度。 4. （衢州）如图，AD 是 O 的直径，（1）如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1, B 2C 2把圆周四等分，则∠B 1的度数是∠B 2的度数是。
（2）如图②, 垂直于AD 的三条弦B 1C 1, B 2C 2，B 3C 3把圆6等分，分别求∠B 1, ∠B 2, ∠B 3的度数。
（3）如图③, 垂直于AD 的n 条弦B 1C 1, B 2C 2B 3C 3, ……B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数（只需直接写出答案）
6. 如图，在平面直角坐标系中，M 是x 轴正半轴上一点，⊙M 与x 轴交于A 、
B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，A 、M 的坐标分别是（-1，0），（1，0）. （1）求C 点坐标．
（2）如图，P 是BC 上的一个动点，Q 为PC 中点，直线BP 、DQ 交于点K ，当点P 在BC 上运动时（不包括B 、C 两点）BK 的长度是否发生变化？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值．