课 题：共面向量定理
江苏省泰州中学 宋健 教学目标：
知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理；
利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；
过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件,并能灵活运用；
情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理
性思维的力量。
教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理
教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题 教学过程： 一。问题情景
1、关于空间向量线性运算的理解
（1）
C
（2）
问题：如图（1），MN可以由哪些向量相加得到？图（2）中呢？
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面到空间，类比是常用的推理方法。 二、建构数学 师生共同活动
如图：在长方体中，由相等向量的定义可知a=AB,b=AD,p=
AC，而AB、AC、AD在同
一平面内，此时我们称a、b、p是共面向量。
1.共面向量的定义
一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量（coplanar vector）； 类比1：共面向量与共线向量的定义在形式上有何相同之处?
都是将向量问题转化为直线与直线或直线与平面之间的位置关系来研究.
探究1：(1)我们已经知道空间中任意两个向量一定可以共面，那么空间中任意三个向量一定
是共面向量吗？请举例说明．
例如：对于四面体ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．
(2)空间三个向量p,a,b具备怎样的条件时才是共面向量呢？ 2.共面向量的判定
联想：在平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是
结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．
=λ，类比到空间向量，探究得到
共面向量定理 如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在有
序实数组(x,y)，使得p=xa+yb
这就是说，向量可以由不共线的两个向量a,
b
分析定理
类比2:空间共线向量定理和平面共线定理是相同的,那么,空间共面向量定理是否和平面向量的某个定理相联系呢?
空间向量中的共面定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的,而且在本质上也是一致的.这是因为任意两个空间向量a,b都可以平移到同一个平面,当a,b不共线时,可以作为基向量,向量与它们共面,也就是向量可以平移到这个平面,所以就能用a,b线性表示. 三、数学运用 问题:如图，已知两堵矩形墙壁ABCD和ADEF所在平面垂直于地面，有两只蚂蚁分别从D、E两点沿对角线BD,AE向上爬，当它们都爬到对角线的地面CDE的高度一样，你能告诉它们这是为什么吗？
1
处时，它们惊奇的发现它们距离3
分析：即要证MN//平面CDE，只要证明向量MN可以用平面CDE内的两个不共线的向量CD
A
F
和DE线性表示.
B
N
证明：因为M在BD上，且BM=
1BD 3
D
E
1 1 1
DB=DA+AB 所以MB=333 1 1
AD+DE 同理AN=33
C
又CD=BA=-AB
所以=++=+ 又与不共线
根据共面向量定理，可知,,共面。
由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.
思考：你能用综合法来证明吗？试比较这两种方法的差异。
231 3
探究:对于空间任意一点O,试问满足向量关系OP=xOA+yOB（其中x+y=1）的三点P、
A、B是否共线?
类比3:设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系
=x+y+z（其中x+y+z=1）
试问：P、A、B、C四点是否共面？
分析：要判断P、A、B、C四点是否共面，可考察三个共起点的向量,,是否共面。
解：由x+y+z=1( 不妨设x≠0),可得x=1-y-z,则
OP=xOA+yOB+zOC=(1-y-z)OA+yOB+zOC
=OA+y(OB-OA)+z(OC-OA)
所以 OP-OA=yAB+zAC，即=y+z
由 A,B,C三点不共线，可知与AC不共线，所以,,AC共面且具有公共起点A. 从而P,A,B,C四点共面。 思考：①为什么要不妨设x≠0？
②反过来成立吗？
设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若P、A、B、C四点共面，且点P满足向量关系=x+y+z，则x+y+z=1一定成立吗？
③如果将x+y+z=1整体代入，由(x+y+z)OP=xOA+yOB+zOC出发，你能得
到什么结论？
四、回顾反思（学生回答） 1、知识点：共面向量定理；
2、我们能用共面向量定理解决哪些常用问题呢？ 3、思想方法：类比方法的运用。 五、课后作业
P74 1,2,3，4 P82 习题3，4
课 题：共面向量定理
江苏省泰州中学 宋健 教学目标：
知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理；
利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；
过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件,并能灵活运用；
情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理
性思维的力量。
教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理
教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题 教学过程： 一。问题情景
1、关于空间向量线性运算的理解
（1）
C
（2）
问题：如图（1），MN可以由哪些向量相加得到？图（2）中呢？
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面到空间，类比是常用的推理方法。 二、建构数学 师生共同活动
如图：在长方体中，由相等向量的定义可知a=AB,b=AD,p=
AC，而AB、AC、AD在同
一平面内，此时我们称a、b、p是共面向量。
1.共面向量的定义
一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量（coplanar vector）； 类比1：共面向量与共线向量的定义在形式上有何相同之处?
都是将向量问题转化为直线与直线或直线与平面之间的位置关系来研究.
探究1：(1)我们已经知道空间中任意两个向量一定可以共面，那么空间中任意三个向量一定
是共面向量吗？请举例说明．
例如：对于四面体ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．
(2)空间三个向量p,a,b具备怎样的条件时才是共面向量呢？ 2.共面向量的判定
联想：在平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是
结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．
=λ，类比到空间向量，探究得到
共面向量定理 如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在有
序实数组(x,y)，使得p=xa+yb
这就是说，向量可以由不共线的两个向量a,
b
分析定理
类比2:空间共线向量定理和平面共线定理是相同的,那么,空间共面向量定理是否和平面向量的某个定理相联系呢?
空间向量中的共面定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的,而且在本质上也是一致的.这是因为任意两个空间向量a,b都可以平移到同一个平面,当a,b不共线时,可以作为基向量,向量与它们共面,也就是向量可以平移到这个平面,所以就能用a,b线性表示. 三、数学运用 问题:如图，已知两堵矩形墙壁ABCD和ADEF所在平面垂直于地面，有两只蚂蚁分别从D、E两点沿对角线BD,AE向上爬，当它们都爬到对角线的地面CDE的高度一样，你能告诉它们这是为什么吗？
1
处时，它们惊奇的发现它们距离3
分析：即要证MN//平面CDE，只要证明向量MN可以用平面CDE内的两个不共线的向量CD
A
F
和DE线性表示.
B
N
证明：因为M在BD上，且BM=
1BD 3
D
E
1 1 1
DB=DA+AB 所以MB=333 1 1
AD+DE 同理AN=33
C
又CD=BA=-AB
所以=++=+ 又与不共线
根据共面向量定理，可知,,共面。
由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.
思考：你能用综合法来证明吗？试比较这两种方法的差异。
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探究:对于空间任意一点O,试问满足向量关系OP=xOA+yOB（其中x+y=1）的三点P、
A、B是否共线?
类比3:设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系
=x+y+z（其中x+y+z=1）
试问：P、A、B、C四点是否共面？
分析：要判断P、A、B、C四点是否共面，可考察三个共起点的向量,,是否共面。
解：由x+y+z=1( 不妨设x≠0),可得x=1-y-z,则
OP=xOA+yOB+zOC=(1-y-z)OA+yOB+zOC
=OA+y(OB-OA)+z(OC-OA)
所以 OP-OA=yAB+zAC，即=y+z
由 A,B,C三点不共线，可知与AC不共线，所以,,AC共面且具有公共起点A. 从而P,A,B,C四点共面。 思考：①为什么要不妨设x≠0？
②反过来成立吗？
设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若P、A、B、C四点共面，且点P满足向量关系=x+y+z，则x+y+z=1一定成立吗？
③如果将x+y+z=1整体代入，由(x+y+z)OP=xOA+yOB+zOC出发，你能得
到什么结论？
四、回顾反思（学生回答） 1、知识点：共面向量定理；
2、我们能用共面向量定理解决哪些常用问题呢？ 3、思想方法：类比方法的运用。 五、课后作业
P74 1,2,3，4 P82 习题3，4