数列
一、数列的定义：按一定顺序排列成的一列数叫做数列． 记为：{an }．即{an }: a1, a2, … , an ．
二、通项公式：用项数n 来表示该数列相应项的公式, 叫做数列的通项公式。
1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数． 2、通项公式: an =f(n)是a n 关于n 的函数关系． 三、前n 项之和：S n = a1+a2+…+an
(n =1) ⎧s 1
注求数列通项公式的一个重要方法：a n =⎨s -s (n ≥2)
n -1⎩n
例1、已知数列{100-3n}，
（1）求a 2、a 3；（2）此数列从第几项起开始为负项．
例2已知数列{a n }的前n 项和，求数列的通项公式： （1） S n =n2+2n；（2）S n =n2-2n-1. 解：（1）①当n ≥2时，a n =S n -S n -1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1； ②当n=1时，a 1=S 1=12+2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴a n =2n+1为所求.
（2）①当n ≥2时，a n =S n -S n -1=(n2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，a 1=S 1=12-2×1-1=-2；
⎧-2(n =1) a ③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴n =⎨为所求． 2n -3(n ≥2) ⎩
注：数列前n 项的和S n 和通项a n 是数列中两个重要的量，在运用它们的关
系式a n =S n -S n -1时，一定要注意条件n ≥2，求通项时一定要验证a 1是否适合
例3当数列{100-2n}前n 项之和最大时，求n 的值．
⎧a n ≥0
分析：前n 项之和最大转化为⎨a ≤0．
⎩n +1
等差数列
1. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即：a n +1-a n =d (常数) (n ∈N ∙)
2. 通项：a n =a 1+(n -1) d ，推广：a n =a m +(n -m ) d ．
S n =3. 求和：
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d ．（关于n 的没有常数项的二次函数）． 22
4. 中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c
5. 等差数列的判定方法
(1)定义法: a n +1-a n =d (常数) (n ∈N ∙) (2)中项法:2a n +1=a n +a n +2 (3)通项法:a n =a 1+(n -1) d (4)前n 项和法:S n =An 2+Bn 练习：已知数列{ an }满足：a 1=2,an = an +1+3,求通项a n ．
例1在等差数列{a n }中, 已知a 4=9, a 9=-6, S n =63, 求n .
解:设首项为a 1, 公差为d ,
⎧9=a 1+3d ⎧a 1=183
∴63=S =18n -n (n -1) 得:n =6或n =7 得则⎨-6=a +8d ⎨d =-3n
2⎩1⎩
例2（1）设{an }是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，
求这个数列的首项．
分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a-d ，a ，a+d
拓展：（1）若n+m=2p，则a n +am =2ap ．
推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：a 1, a 4, a 7, a 10, ⋅⋅⋅（下标成等差数列）
（2）等和性：a m +a n =a p +a q (m , n , p , q ∈N *, m +n =p +q ) （3）S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n , 组成公差为n 2d 的等差数列. （4）a n =am +（n-m ）d
例1 （1）已知a 3+a11=20，求a 7．
（2）已知a 3+a 4+a 5+a 6+a 7＝450, 求a 2+a 8及前9项和S 9．
解由等差中项公式：a 3+a 7＝2a 5，a 4+a 6＝2a 5
由条件a 3+a 4+a 5+a 6+a 7＝450, 得：5a 5＝450, ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.
9
S 9＝(a 1+a 9) 810
2
等比数列
1．定义与定义式：从第二项起, 每一项与它前一项的比等于同一个常数的
a n +1
=q (q 为不等于零的常数) a n
2．通项公式：a n =a 1q n -1, 推广形式:a n =a m q n -m ．
⎧na 1(q =1) ⎪n
S =3．前n 项和：n ⎨a 1(1-q ) =a 1-a n q (q ≠0且q ≠1)
⎪1-q ⎩1-q
数列称作等比数列.
注:应用前n 项和公式时, 一定要区分q =1与q ≠1的两种不同情况, 必要的时
候要分类讨论．
4．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 2
=ab （G =． 5．等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列{a n }，若
2
{a n }是等比数列． ②等比中项：对于数列{a n }，若a n a n +2=a n +1，则数列
例1等比数列中a 1=2, a 3=8，求通项公式；
a n +1
=q (q ≠0) ，则数列{a n }是等比数列. a n
解：a 3=a 1q ⇒q 2=4⇒q =±2∴a n =(-2) 2n -1=-2n 或a n =(-2)(-2) n -1=(-2) n 例2在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20.
解解方程组可得：q 4
=2，a 1
1-q
=-1， 解法2 由S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列计算．
在等比数列{a n }中有如下性质: （1）若n+m=2p，则a n a m =(ap ) 2。
推广：从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：a 1, a 4, a 7, a 10, ⋅⋅⋅（下标成等差数列）
（2）等积性:a m ⋅a n =a p ⋅a q （m +n =p +q , m , n , p , q ∈N *）． （3）a n =am q n -m
例1在等比数列{a n }中，a 1+a 6=33，a 3⋅a 4=32，a n +1
解（1）a 1
11
n =26-n （2）T n =(-2n 2+2
n )lg 2 例2a 1+a 2+a 3=7，a 1⋅a 2⋅a 3=8，求a n .
解：设{a n }的公比为q ，由题意知
⎧⎪⎧a 1⎨a q +a 2
1+a 11q =7, ⎪⎩a 2解得⎧⎨a =1, ⎪
=4,
1n -11n -31⋅a 1q ⋅a 1q =8,
⎩q =2或⎨⎪q =1. ∴a n =2或a n =() ⎩
22
数列综合运用
例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列, 求公比q ．
解: 设等差数列的通项a n = a1+(n-1)d (d≠0).
根据题意得 a 32 = a2a 6即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d),
1
-d +2d
a 3a 1+2d 1
q ====3. a =-d . 所以解得1
1a 2a 1+d 2-d +d 2
例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一
个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．
2
⎧(a +d )
=16⎪a -d +(a +d ) 2
a 解：设这四个数为：a -d , a , a +d , ，则⎨
a ⎪2a +d =12
⎩
⎧a =4⎧a =9
解得：⎨d =8或⎨d =-6，所以所求的四个数为：-4,4,12,36；或15,9,3,1．
⎩⎩
数列
一、数列的定义：按一定顺序排列成的一列数叫做数列． 记为：{an }．即{an }: a1, a2, … , an ．
二、通项公式：用项数n 来表示该数列相应项的公式, 叫做数列的通项公式。
1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数． 2、通项公式: an =f(n)是a n 关于n 的函数关系． 三、前n 项之和：S n = a1+a2+…+an
(n =1) ⎧s 1
注求数列通项公式的一个重要方法：a n =⎨s -s (n ≥2)
n -1⎩n
例1、已知数列{100-3n}，
（1）求a 2、a 3；（2）此数列从第几项起开始为负项．
例2已知数列{a n }的前n 项和，求数列的通项公式： （1） S n =n2+2n；（2）S n =n2-2n-1. 解：（1）①当n ≥2时，a n =S n -S n -1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1； ②当n=1时，a 1=S 1=12+2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴a n =2n+1为所求.
（2）①当n ≥2时，a n =S n -S n -1=(n2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，a 1=S 1=12-2×1-1=-2；
⎧-2(n =1) a ③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴n =⎨为所求． 2n -3(n ≥2) ⎩
注：数列前n 项的和S n 和通项a n 是数列中两个重要的量，在运用它们的关
系式a n =S n -S n -1时，一定要注意条件n ≥2，求通项时一定要验证a 1是否适合
例3当数列{100-2n}前n 项之和最大时，求n 的值．
⎧a n ≥0
分析：前n 项之和最大转化为⎨a ≤0．
⎩n +1
等差数列
1. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即：a n +1-a n =d (常数) (n ∈N ∙)
2. 通项：a n =a 1+(n -1) d ，推广：a n =a m +(n -m ) d ．
S n =3. 求和：
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d ．（关于n 的没有常数项的二次函数）． 22
4. 中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c
5. 等差数列的判定方法
(1)定义法: a n +1-a n =d (常数) (n ∈N ∙) (2)中项法:2a n +1=a n +a n +2 (3)通项法:a n =a 1+(n -1) d (4)前n 项和法:S n =An 2+Bn 练习：已知数列{ an }满足：a 1=2,an = an +1+3,求通项a n ．
例1在等差数列{a n }中, 已知a 4=9, a 9=-6, S n =63, 求n .
解:设首项为a 1, 公差为d ,
⎧9=a 1+3d ⎧a 1=183
∴63=S =18n -n (n -1) 得:n =6或n =7 得则⎨-6=a +8d ⎨d =-3n
2⎩1⎩
例2（1）设{an }是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，
求这个数列的首项．
分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a-d ，a ，a+d
拓展：（1）若n+m=2p，则a n +am =2ap ．
推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：a 1, a 4, a 7, a 10, ⋅⋅⋅（下标成等差数列）
（2）等和性：a m +a n =a p +a q (m , n , p , q ∈N *, m +n =p +q ) （3）S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n , 组成公差为n 2d 的等差数列. （4）a n =am +（n-m ）d
例1 （1）已知a 3+a11=20，求a 7．
（2）已知a 3+a 4+a 5+a 6+a 7＝450, 求a 2+a 8及前9项和S 9．
解由等差中项公式：a 3+a 7＝2a 5，a 4+a 6＝2a 5
由条件a 3+a 4+a 5+a 6+a 7＝450, 得：5a 5＝450, ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.
9
S 9＝(a 1+a 9) 810
2
等比数列
1．定义与定义式：从第二项起, 每一项与它前一项的比等于同一个常数的
a n +1
=q (q 为不等于零的常数) a n
2．通项公式：a n =a 1q n -1, 推广形式:a n =a m q n -m ．
⎧na 1(q =1) ⎪n
S =3．前n 项和：n ⎨a 1(1-q ) =a 1-a n q (q ≠0且q ≠1)
⎪1-q ⎩1-q
数列称作等比数列.
注:应用前n 项和公式时, 一定要区分q =1与q ≠1的两种不同情况, 必要的时
候要分类讨论．
4．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 2
=ab （G =． 5．等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列{a n }，若
2
{a n }是等比数列． ②等比中项：对于数列{a n }，若a n a n +2=a n +1，则数列
例1等比数列中a 1=2, a 3=8，求通项公式；
a n +1
=q (q ≠0) ，则数列{a n }是等比数列. a n
解：a 3=a 1q ⇒q 2=4⇒q =±2∴a n =(-2) 2n -1=-2n 或a n =(-2)(-2) n -1=(-2) n 例2在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20.
解解方程组可得：q 4
=2，a 1
1-q
=-1， 解法2 由S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列计算．
在等比数列{a n }中有如下性质: （1）若n+m=2p，则a n a m =(ap ) 2。
推广：从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：a 1, a 4, a 7, a 10, ⋅⋅⋅（下标成等差数列）
（2）等积性:a m ⋅a n =a p ⋅a q （m +n =p +q , m , n , p , q ∈N *）． （3）a n =am q n -m
例1在等比数列{a n }中，a 1+a 6=33，a 3⋅a 4=32，a n +1
解（1）a 1
11
n =26-n （2）T n =(-2n 2+2
n )lg 2 例2a 1+a 2+a 3=7，a 1⋅a 2⋅a 3=8，求a n .
解：设{a n }的公比为q ，由题意知
⎧⎪⎧a 1⎨a q +a 2
1+a 11q =7, ⎪⎩a 2解得⎧⎨a =1, ⎪
=4,
1n -11n -31⋅a 1q ⋅a 1q =8,
⎩q =2或⎨⎪q =1. ∴a n =2或a n =() ⎩
22
数列综合运用
例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列, 求公比q ．
解: 设等差数列的通项a n = a1+(n-1)d (d≠0).
根据题意得 a 32 = a2a 6即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d),
1
-d +2d
a 3a 1+2d 1
q ====3. a =-d . 所以解得1
1a 2a 1+d 2-d +d 2
例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一
个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．
2
⎧(a +d )
=16⎪a -d +(a +d ) 2
a 解：设这四个数为：a -d , a , a +d , ，则⎨
a ⎪2a +d =12
⎩
⎧a =4⎧a =9
解得：⎨d =8或⎨d =-6，所以所求的四个数为：-4,4,12,36；或15,9,3,1．
⎩⎩