绳圈的数学
姜伯驹
所谓绳圈，首先要讲绳子。绳子是有头有尾的，头尾接起来就形成了一个圈。为什么要讲绳圈而不讲绳子呢？
绳子是用来打结和捆东西的，譬如我们系鞋带，是不是打的结都一样呢？使惯左手的人打的结与使惯右手的人打的结可能就不一样。那么怎样研究两个结是不是一样？打结的过程中绳子是挪动的。如果允许绳子自由地挪动，我们总是可以把打好结的绳子按打结的方向抽回来，再拉直，然后重新打成另一个结，这样前后两个结不就一样了吗？所以我们不能允许把绳子抽回来。而“抽回来”这件事是很难说清楚的。
数学家们想了一个办法来表示不允许抽回来。这个办法就是把绳子的两端在远处连起来，变成一个圈。问两个结是不是一样就变成问两个绳圈是不是一样。我们允许绳圈在空间挪来挪去，唯一的条件是不许把绳子割开挪动后再粘上。我们就是在这样的定义下研究两个绳圈。如图1（a 、b ）：第一对，看起来像是不一样的，但实际上是一样的。第二对，确实是不一样的。
图
1
图2
在日常生活中，还可能要同时考虑几个圈。如图2：把两个分开的圈变成套在一起的圈。注意这个中间过程：断开再粘上，这是“违法”的。能否“合法地”从一个变成另一个？日常生活经验告诉我们，这是不可能的，否则所有的挂锁都没用了。
就是这些生活经验，很长时间没有人真正地做数学研究。上个世纪外国出现了《绳结大全》之类的书，主要是总结海员们的经验，在航海中，什么场合也是很有讲究的，结用错了，捆的东西很容易散。
数学上对绳圈的研究始于上个世纪后半期，起因是英国理论物理学家开尔文勋爵（Lord Kelvin ）想要解释为什么有这么化学元素。当时有一种假说，认为宇宙中充斥着一种物质叫“以太”。不同的化学元素是以太的不同表现形式。他就有了这样一个奇特的想法：会不会每种化学元素就是以太的一种涡圈？像人吐出的烟圈一样，空气在周围转动是个涡流，它能保持烟圈的稳定。他想涡圈的轴心线是一个圈，可能会打结，简单的结就是简单的元素，复杂的结就是复杂的元素。
由于开尔文勋爵很有名气，经他一鼓吹，有好几个物理学家顺着他的思路去研究。首先要考虑的问题是到底有多少种结，他们通过大量的试验，经过20多年，到1899年，编了一个表，列出了画在平面上交叉点不超过9的结有多少。这些都是经验数据的积累，并没有证明表中每两个记都是不一样的。
这个世纪拓扑学发展起来了。拓扑学是研究几何形体连续变化的学科。绳圈可以挪动、不许断开、不许粘起来，正是连续变化的意思，研究方式符合拓扑学的思路。拓扑学的发展使对绳圈打结的研究变成数学的研究。
现在谈一下研究的基本想法。研究空间的东西多少有些不可捉摸，通常的办法是画平面投影图。它是来告诉你绳圈在空中的基本形态，在交叉点处一根线在上，一根线在下，前后相差有多远是没有关系的。对投影图还是有些基本要求的，首先的一个要求是三根线不能重在一起，如果三根重在一点上，我们就不知道后边两根哪一个在中间，哪一个在最后。我们要避免这个现象，其实只要把其中一根从交叉点处挪开一点就可以。另一个要求是在交叉的地方都是两根线互相穿越，不是一根碰到另一根有折回来。就是说，我们不要那种“病态”的投影图。
对绳圈，不管是一个圈还是几个圈，都用投影图表示。在数学上通常的术语中，一个圈的叫纽结，几个圈的叫链环。圈的个数叫做分支数。纽结可以看成是只有一个分支的链环。
下面一个难办的问题是怎样把“绳圈可以在空间中连续变形”这句话用投影图表示出来。
图
3
在20年代，德国数学家瑞德迈斯特（Reidemeister ）提出了一个观念，他说
在投影图上允许三种基本的变换。如图3：第一种（R 1）是把一个卷打开或加一个卷，第二种（R 2）是把搭在一起的两根线拉开或把两根线搭上，第三种（R 3）是在三根线互相交叉的地方，前面的两根不动，把最后的一根向上或向下挪一下。三种变换都在投影图的局部进行，明显的一点是它们都可以用绳子在空间的移动来实现。瑞德迈斯特证明了很重要的另一面：如果有两个图形可以用连续变形从一个变到另一个，那么一定可以把这个变形过程分解成一串小步骤，每个小步骤都是上述三种变换之一，这三种变换称为初等变换。
现在我们完全从投影图上来讨论绳圈是否一样，就是要讨论，给了两个投影
图，能不能通过一串初等变换从一个变到另一个。如果可以，我们就说它们等价；如果不可以，就说不等价。
说两个投影图等价，最好的办法就像前面那样给出一个挪动的方法。可要说
两个投影图不等价就不那么好办了。1899年物理学家们编出的有一百多个纽结的表中，其中有一对在75年后有人发现他们实际上是一样的，是可以从一个变到另一个。所以区别不同的结不是一件简单的事情，靠经验是不行的，要用逻辑推理来说明它们的不一样。
最简单的一个问题：系鞋带第一下打的是不是真的一个结。也就是说，它和
标准的圆圈（我们称之为平凡结）是不是一样的。现在一样不一样的意思已经换成了能否用三种初等变换从一个变到另一个。
为了给出证明，数学家们提出了不变量这个意思。先举一个例子，链环的分支数。分支的个数是一个不变量，它在三种初等变换下是不变的。利用这个不变量，我们说分支数不同的链环必定是不一样的。这不过是常识。
下面再谈谈三色性问题。一个投影图上的交叉点把这个图断成好多条线，现在给定三种颜色，例如红、黄、蓝三色，把投影图上的每条线涂上一种颜色。我们规定两条规则，第一条规则是：在每个交叉点处的三条线（上面的一条和底下断开的两条）要么只用一种颜色，要么三种颜色都用上。第二条规则是：不许所有的线都涂成同一种颜色。在这样的规则下，有些结是可以这样上色的，有些却不可以。系鞋带形成的三叶结是可以上色，如图4：只需把投影图上的三条线分别涂上三种不同的颜色，可是平凡结是不能按规则上色的，因为只有一根线，涂一种色总是要违反第二条规则。
图
4
现在看一下三种初等变换对上色的影响。对于第一种初等变换，打卷处实际上是两条线，根据规则一，只能上成同一中颜色，打开后也是一种颜色，也就是说，能不能上色在第一种初等变换前后是不变的。对于第二种初等变换照样可以分析，如图5：如果重叠的时候可以上色，拉开后也可以上色，反过来同样。第三种初等变换的情况也类似。经过上述分析可以发现，如果一个图形是可以用三种颜色上色，那么经一串初等变换得到的另一个图形也是可以上色的。能不能用三种颜色，按上述两条规则上色，我们称为三色性。它是在初等变换下不变的性质，是一个不变量。前面说三叶结有三色性，平凡结没有，所以三叶结和平凡结不一样，是真正的结。大家想一下，这是不是一个证明？
图5
同样地，扣在一起的两个圈是否 变形成两个分开的圈也可以通过三色性来鉴别（见前图2）
。两个分开的圈是可以上色，只要两个圈分别涂上不同的颜色
就可以了。而扣在一起的两个圈却不行，因为图上有两条线，要么涂上一种颜色，要么分别涂上两种不同的颜色，可是用一种颜色违反规则二。用不一样。从这里也看到了日常生活的常识，用数学来证明是怎样做的。
下面再介绍几个数学概念。在此之前考虑的绳圈都是没有方向的，如果我们给每个绳圈指定了方向，在投影图上用箭头标出，如图6：这样的绳圈叫有向绳圈。对于有向绳圈的投影图，每个交叉点我们可以给出正负号。前面一个箭头以最小角度转成后面的箭头，如果是反时针方向转的，我们就称这个交叉点为正交叉点；如果是顺时针方向转的，我们称为负交叉点。
图
6
给了一个有向链环的投影图，我们可以定义投影图的拧数，它是把所有交叉点的正负号（正代表+1，负代表―1）加起变的，但是拧数在第一种初等变换下是变的。如图7中左端的有向纽结的拧数是+3，做一次第一种初等变换，加了一个卷，拧数就变成了+4。所以，很遗憾拧数不是不变量，我们不能根据两个绳圈的拧数不同来说它们不同。
图7
现在我们考虑两个分支的链环。如图8有两个圈K 1和K 2，把K 1和K 2两个圈之间的交叉点的正负号加起来得到的数除以2，最后得到的数叫做环绕数。因为K 1和K 2的交叉点一定有偶数个，正负号加起来一定是个偶数，所以环绕数一定是个整数。我们现在统计的是不同分支的交叉点，第一种初等变换出现的交叉
点是不会被数进去的。因此，对于两个分支的链环，环绕数是一个不变量。
数学家们区别不同的纽结或链环的办法是不变量。一个不变量好不好，主要看它的鉴别力有多大，就是说能鉴别多少种不同的纽结或链环。
三色性的鉴别力
就很弱，所有的投影图只分成行与不行两类，“行”与“不行”的绳圈一定是不一样的，可是“行”与“行”的绳圈也可能不一样，三色性是无法鉴别的。环绕数可以考虑两个分支的有向链环，它的取值范围多些，鉴别力也就强了一些。那么有没有一个不变量能把所有的纽结和链环，首先至少把1899年的纽结表中的纽结区分开来？所以，数学家们要找威力强大的不变量。当然它还要容易计算。
图
8
在1928年，美国数学家阿历山大（Alexander ）提出了一种不变量，后人称之为阿历山大多项式，这是纽结和链环理论的一个很大的进步。这种多项式可以把1899年纽结表中的大部分纽结区别开来。
一件很有戏剧性的事情发生在1984年，新西兰数学家琼斯（Jones ）是研究泛函分析的，一次做学术报告讲解他研究的东西，在黑板上写了一些式子。听众中有位拓扑学家，她看到黑板上的式子同阿历山大多项式的公式非常相似，仅有一点点差别，于是就问两者是不是有点关系。琼斯听后与那位拓扑新的纽结不变量。这是一个很强的不变量，后来被称为“琼斯多项式”。
图9
琼斯多项式的发现在数学界引起了一个轰动，这是因为泛函分析与拓扑学被认为是风马牛不相及的，居然在这个地方发生了联系。于是有很多的泛函分析学家和拓扑学家都来研究纽结，特别是理论物理学家也参加进来研究这个问题。从1984年到1990年这6年间发现了很多新的纽结不变量，而理论物理学的方法同代数又连上了。纽结理论一下子变成了热门话题。在1990年的数学家大会上，
4
位数学家获得了菲乐兹奖，其中之一就是琼斯，因为他的发现引来了许许多多的数学工作。
在琼斯多项式发现后不久，人们想出了一个办法，不用高深的数学知识，完全可以用初等的方法建立琼斯多项式。中学生就可以看懂。下面我就用这种方法讲一讲，为什么会有这样一种多项式。
现在我们先把投影图上的箭头忘掉，考虑无向投影图。我们知道，投影图 的复杂程度的一个表现就是交叉点的个数，交叉点数越多越复杂。但交叉点个数不是不变量，我们很容易看出第一、二种初等变换都要改变交叉点的个数。我们画投影图总希望交叉点数尽可能少，简化一个投影图就是想办法把交叉点的个数减少。那么，给一个交叉点，怎样把它抹掉呢？一个办法就是剪断上下两条线，再重新接上如图9，但是要记住这是非法操作。
我们大胆设想对每一个投影图做一个多项式，叫尖括号多项式。其自变量暂不管，是很自由的设想。我们还想把投影图的多项式与抹掉交叉点后简单一些的图的多项式联系起来。
图10
一个投影图L ，它的尖括号多项式记为〈L 〉。看L 一个交叉点的局部，抹掉这个交叉点有两种方式分别得到两个投影图，L 1和L 2，如图10。我们希望 〈L 〉是两个比较简单的多项式分别乘以A 和B 后的和，即〈L 〉=A〈L 1〉+B〈L 2〉。这是我们的第一条假设。那么究竟哪一个乘A ，哪一个乘B 呢？如图11：
图11
一个交叉点、相交的两条线把附近分成四个部分，上边的线反时针转动，转到下边的线，转动过程中扫过的两部分叫做A ，另两部分叫做B 。我们规定：“打通
A 通道”，即抹掉交叉点后使两块A 连起来形成的投影图，它的多项式要乘以A ，“打通B 通道”的投影图的多项式要乘以B 。
还有一条假设是：一个投影图L 加上一个孤立的圆圈，这个圈与原来的图没有交点，如图12。这样得到的投影图L`的多项式是原来的多项式乘以d ，即〈L`〉=d〈L 〉。
图12
第三条假设是给最简单的投影图——圆圈，一个最简单的多项式1。
为什么会有这种想法呢？交叉点越少的投影图越简单，一个投影图，每次抹掉一个交叉点，到最后没有交叉点就变成好多个圈。拿掉一个圈就少一个圈，最后就成了一个圈。一个圈的多项式定义成1，变化中间出现的投影图的多项式彼此之间有联系，那么原来投影图的多项式不就定义好了吗？这是一个听起来合理的想法：想要定义的那个多项式有3个变量A 、B 和d ，并且有上述三条我们希望的性质。
现在我们看图13：将三个交叉点编上号（Ⅰ）。按照“打通A 通道”和“打道B 通道”抹掉交叉点1得到两个图（Ⅱ）；同样地，抹掉交叉点2得到4个图（Ⅲ）；抹掉交叉点3得到8个图（Ⅳ）；每个图都是若干个互不相交的圆圈。每个图总是可以这样化简的。需要说明的一点是：化简的过程是和交叉点的编号有关的，编号次序不一样，化简过程也不一样，但是化简到最后总是一样的。
（Ⅰ）交叉点排顺序： （Ⅱ）抹去交叉点1
（Ⅲ）抹抹交叉点2：
（Ⅳ）抹去交叉点3：
图
13
一个投影图L ，抹掉全部交叉点后所得的每一个图就叫作投影图的一个状态。换句话说，投影图的一个状态就是在每个交叉点指定一个通道打开。对一个状态S ，用i(S)表示A 通道打开数，用j(S)表示B 通道打开数，用|S|表示打开所有通道后的圈的个数。投影图L 的尖括号多项式用公式写出来就是〈L 〉=∑s A i(S) j(S)B d |S|-1, 这里的和式表示对L 的所有状态求和。
图14
现在得到了有三个变量（A ，B ，d ）的多项式。我们希望它是一个不变量，在R 1，R 2和R 3三种初等变换下是不变的。
首先看R 2变换。如图14：投影图L 局部的两个交叉点做R 2
变换打开，得到
投影图L`，我们希望L 和L`的尖括号多项式是一样的。如图所示，先将上边的交叉点A 和B 通道打开，分别得到两个投影图L A 和L B 。再把它们的另一个交叉
点分别打开A 和B 通道，得到图L AA ，L AB ，L BB 。根据第一条假设，有下面的等式 〈L 〉
=A〈L A 〉+B〈L B 〉
= A2〈L AA 〉+ AB〈L AB 〉+BA〈L BA 〉+B2〈L BB 〉
从图中可以看出：L BA 与L`一样，L BB 与L AA 一样，L AB 是L AA 加上一个圈，由尖括号
多项式的第二条假定，知道〈L AB 〉=d〈L AA 〉，所以
〈L 〉= A2〈L AA 〉+ ABd〈L AA 〉+BA〈L`〉+B2〈L AA 〉
=AB〈L`〉+( A2 +B2 +Abd) 〈L AA 〉
由上式可以看出，要想使尖括号多项式在R 2下不改变，也就是要使得〈L 〉=〈L`〉，
A 、B 和d 这几个自变量要有一定的关系。如果选取AB=1，A 2 +B2 +Abd=0，这实际上是选取B=A-1，d=- A2- A-2，那么这种多项式就在R 2下不变了。这时候已
经成了只有一个自变量A 的多项式了。
图15
现在看R 3。如图15：一个投影图L ，在它的局部做R 3变换得到图L`。将L
的这个局部的前面两条线间的交叉点抹掉，按照打开A 通道和打开B 通道分别得到两个投影图L A 和L B 。对L`，抹掉前面两条线的交叉点，同样得到两个图L A `和L B `。我们有式子
〈L 〉=A 〈L A 〉+B〈L B 〉
〈L`〉=A 〈L A `〉+B〈L B `〉
（这时B=A-1）。从图中可以看出L B 和L B `一样，于是〈L B 〉=〈L B `〉。L A 可以经过两次R 2变换变到，而现在的一个自变量的尖括号多项式在R 2变换下是不变的，
所以〈L A 〉=〈L A `〉。这样我们已经得出〈L 〉=〈L `〉，也就是说尖括号多项式在
下R 3是不变的。
图16
对R 1怎样呢？很可惜它变了。如图16所示，与一样，是加上一个圈，所以，
如果真的想要它在 下不变，我们就只好取A 是-1，多项式变成了一个数，它就没有太大的威力了，我们不准备采用这个下策。
现在我们对无向投影图的研究已经取得了成效，得到了尖括号多项式，它在 和 下是不变的，可是它在 下要改变。下面怎么办呢？聪明的人想到了拧数，有向投影图的拧数也是在 和 下不变，在 下改变的，能不能把拧数和尖括号多项式合起来，原来都在 和 下不变，合起来当然也在 和 下不变。而在 下，一个这样变，一个那样变，它们合起来会不会把变化相抵就不变了呢？
的确如此。对于有向投影图L ，忘掉方向得尖括号多项式，
现在我们做些讨论。对有向投影图来讲，方向当然要紧，如果我们把所有的方向都掉个头，琼斯多项式变不变呢？方向都变了，交叉点的正负号是不变的，于是拧数就不变。尖括号多项式当然不变，因为它不管方向。所以如果所有方向都改变，琼斯多项式是不变的。特别地，对于一个分支的绳圈——纽结来讲，它只有两个方向，无论怎么标方向，琼斯多项式没有关系，这是我们的一个结论。
再来考虑一个问题。一个绳圈用镜子一照，它在镜中的像又是一个绳子圈，
我们称它们互为镜像。镜子放在不同位置，镜中的像也只有空间位置上的差别，实际上是一样的。对于一个投影图，我们可以假定镜子就在它所处的平面上。所以，要画一个投影图的镜像如图17，只需把每个交叉点处的两根线上下位置颠倒过来，原来在上面的线画在下面，原来在下面的线画在上面。现在的问题是：一个投影图和它的镜像如图18，它们的琼斯多项式有没有差别？
右手三叶结 左手三叶结
看拧数，它是有变化的，因为每个交叉点的符号都改变了，正变成负，负变成正，拧数变成原来的相反数。尖括号多项式也是有变化的，理由是交叉点处的两根线反了之后，附近的A 部分变成B 部分，B 部分变成A 部分。尖括号多项式的差别就是原来的A 变成了B ，即A -1。到琼斯多项式（―A ）
中来看，拧数与尖括号多项式的改变分别是使（―A ）-3ω（L ）-3ω（L ）〈L 〉Z 与〈L 〉两部分的A 的方幂改变了符号。所以，如果一个投影图的琼斯多项式知道了，它的镜像的琼斯多项式也就知道了，就是把原来式中的A 变成A -1。
我们算了一下三叶结的琼斯多项式。对于右手三叶结L ，由8个状态（图
16），可以计算尖括号多项式
〈L 〉=A 3d+ A2B+ A2B + AB2d + A2B + AB2d
+ AB2d+B3d 2
= A3d+ 3A2B+ 3AB2d + B3d 2
= A3d+ 3A+ 3A-1 d + A -3d 2
= A3（―A 2―A -2）+3A +3A –1（―A 2―A -2）
+ A-3（―A 2―A -2）2
= ―A 5―A -3+ A-7
它的拧数ω（L ）=3，所以它的琼斯多项式
（―A ）-3ω（L ）〈L 〉=（―A ）-3*3（―A 5―A -3+ A-7）
=A4+A -12―A -16
用变量替换A=t -1/4，上式就是t+ t 3―t 4
，这样右手三叶结的镜像——左手三叶
结的琼斯多项式就是A 4+A 12―A 16，或者t -1+t -3―t –4。所以，三叶结与它的镜像是不等价的。我们用琼斯多项式证明了三叶结是有左右手之分的。
镜像
图10
镜像
三叶结有左右手之分，并不是到了琼斯才知道，在20年代就知道了。当时用了拓扑学、代数、群论等相当多的工具，花了很大的力气证明了这一点。前面提到的阿历山大多项式是在琼斯之前最有威力的多项式不变量，但是它没有能力区分左右手三叶结。所以，当琼斯发现它的多项式能区分左右手三叶结时，就知道他发现了新的不变量，而不是阿历山大多项式的变种。要得到一个多项式的变种是很容易的例如一个多项式f(x)，用x 2来代替x 就得到了一个变种f(x2) ，它看起来与f(x)很不一样，但是作为链环的不变量来说两者本质上是一样的。在物理学中，分不分左右手，称为“手征”。物理学家对此是很敏感的。正是由于琼斯发现了能区别左右手的多项式，才引起了物理学家们的很大兴趣。
绳圈的数学
姜伯驹
所谓绳圈，首先要讲绳子。绳子是有头有尾的，头尾接起来就形成了一个圈。为什么要讲绳圈而不讲绳子呢？
绳子是用来打结和捆东西的，譬如我们系鞋带，是不是打的结都一样呢？使惯左手的人打的结与使惯右手的人打的结可能就不一样。那么怎样研究两个结是不是一样？打结的过程中绳子是挪动的。如果允许绳子自由地挪动，我们总是可以把打好结的绳子按打结的方向抽回来，再拉直，然后重新打成另一个结，这样前后两个结不就一样了吗？所以我们不能允许把绳子抽回来。而“抽回来”这件事是很难说清楚的。
数学家们想了一个办法来表示不允许抽回来。这个办法就是把绳子的两端在远处连起来，变成一个圈。问两个结是不是一样就变成问两个绳圈是不是一样。我们允许绳圈在空间挪来挪去，唯一的条件是不许把绳子割开挪动后再粘上。我们就是在这样的定义下研究两个绳圈。如图1（a 、b ）：第一对，看起来像是不一样的，但实际上是一样的。第二对，确实是不一样的。
图
1
图2
在日常生活中，还可能要同时考虑几个圈。如图2：把两个分开的圈变成套在一起的圈。注意这个中间过程：断开再粘上，这是“违法”的。能否“合法地”从一个变成另一个？日常生活经验告诉我们，这是不可能的，否则所有的挂锁都没用了。
就是这些生活经验，很长时间没有人真正地做数学研究。上个世纪外国出现了《绳结大全》之类的书，主要是总结海员们的经验，在航海中，什么场合也是很有讲究的，结用错了，捆的东西很容易散。
数学上对绳圈的研究始于上个世纪后半期，起因是英国理论物理学家开尔文勋爵（Lord Kelvin ）想要解释为什么有这么化学元素。当时有一种假说，认为宇宙中充斥着一种物质叫“以太”。不同的化学元素是以太的不同表现形式。他就有了这样一个奇特的想法：会不会每种化学元素就是以太的一种涡圈？像人吐出的烟圈一样，空气在周围转动是个涡流，它能保持烟圈的稳定。他想涡圈的轴心线是一个圈，可能会打结，简单的结就是简单的元素，复杂的结就是复杂的元素。
由于开尔文勋爵很有名气，经他一鼓吹，有好几个物理学家顺着他的思路去研究。首先要考虑的问题是到底有多少种结，他们通过大量的试验，经过20多年，到1899年，编了一个表，列出了画在平面上交叉点不超过9的结有多少。这些都是经验数据的积累，并没有证明表中每两个记都是不一样的。
这个世纪拓扑学发展起来了。拓扑学是研究几何形体连续变化的学科。绳圈可以挪动、不许断开、不许粘起来，正是连续变化的意思，研究方式符合拓扑学的思路。拓扑学的发展使对绳圈打结的研究变成数学的研究。
现在谈一下研究的基本想法。研究空间的东西多少有些不可捉摸，通常的办法是画平面投影图。它是来告诉你绳圈在空中的基本形态，在交叉点处一根线在上，一根线在下，前后相差有多远是没有关系的。对投影图还是有些基本要求的，首先的一个要求是三根线不能重在一起，如果三根重在一点上，我们就不知道后边两根哪一个在中间，哪一个在最后。我们要避免这个现象，其实只要把其中一根从交叉点处挪开一点就可以。另一个要求是在交叉的地方都是两根线互相穿越，不是一根碰到另一根有折回来。就是说，我们不要那种“病态”的投影图。
对绳圈，不管是一个圈还是几个圈，都用投影图表示。在数学上通常的术语中，一个圈的叫纽结，几个圈的叫链环。圈的个数叫做分支数。纽结可以看成是只有一个分支的链环。
下面一个难办的问题是怎样把“绳圈可以在空间中连续变形”这句话用投影图表示出来。
图
3
在20年代，德国数学家瑞德迈斯特（Reidemeister ）提出了一个观念，他说
在投影图上允许三种基本的变换。如图3：第一种（R 1）是把一个卷打开或加一个卷，第二种（R 2）是把搭在一起的两根线拉开或把两根线搭上，第三种（R 3）是在三根线互相交叉的地方，前面的两根不动，把最后的一根向上或向下挪一下。三种变换都在投影图的局部进行，明显的一点是它们都可以用绳子在空间的移动来实现。瑞德迈斯特证明了很重要的另一面：如果有两个图形可以用连续变形从一个变到另一个，那么一定可以把这个变形过程分解成一串小步骤，每个小步骤都是上述三种变换之一，这三种变换称为初等变换。
现在我们完全从投影图上来讨论绳圈是否一样，就是要讨论，给了两个投影
图，能不能通过一串初等变换从一个变到另一个。如果可以，我们就说它们等价；如果不可以，就说不等价。
说两个投影图等价，最好的办法就像前面那样给出一个挪动的方法。可要说
两个投影图不等价就不那么好办了。1899年物理学家们编出的有一百多个纽结的表中，其中有一对在75年后有人发现他们实际上是一样的，是可以从一个变到另一个。所以区别不同的结不是一件简单的事情，靠经验是不行的，要用逻辑推理来说明它们的不一样。
最简单的一个问题：系鞋带第一下打的是不是真的一个结。也就是说，它和
标准的圆圈（我们称之为平凡结）是不是一样的。现在一样不一样的意思已经换成了能否用三种初等变换从一个变到另一个。
为了给出证明，数学家们提出了不变量这个意思。先举一个例子，链环的分支数。分支的个数是一个不变量，它在三种初等变换下是不变的。利用这个不变量，我们说分支数不同的链环必定是不一样的。这不过是常识。
下面再谈谈三色性问题。一个投影图上的交叉点把这个图断成好多条线，现在给定三种颜色，例如红、黄、蓝三色，把投影图上的每条线涂上一种颜色。我们规定两条规则，第一条规则是：在每个交叉点处的三条线（上面的一条和底下断开的两条）要么只用一种颜色，要么三种颜色都用上。第二条规则是：不许所有的线都涂成同一种颜色。在这样的规则下，有些结是可以这样上色的，有些却不可以。系鞋带形成的三叶结是可以上色，如图4：只需把投影图上的三条线分别涂上三种不同的颜色，可是平凡结是不能按规则上色的，因为只有一根线，涂一种色总是要违反第二条规则。
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现在看一下三种初等变换对上色的影响。对于第一种初等变换，打卷处实际上是两条线，根据规则一，只能上成同一中颜色，打开后也是一种颜色，也就是说，能不能上色在第一种初等变换前后是不变的。对于第二种初等变换照样可以分析，如图5：如果重叠的时候可以上色，拉开后也可以上色，反过来同样。第三种初等变换的情况也类似。经过上述分析可以发现，如果一个图形是可以用三种颜色上色，那么经一串初等变换得到的另一个图形也是可以上色的。能不能用三种颜色，按上述两条规则上色，我们称为三色性。它是在初等变换下不变的性质，是一个不变量。前面说三叶结有三色性，平凡结没有，所以三叶结和平凡结不一样，是真正的结。大家想一下，这是不是一个证明？
图5
同样地，扣在一起的两个圈是否 变形成两个分开的圈也可以通过三色性来鉴别（见前图2）
。两个分开的圈是可以上色，只要两个圈分别涂上不同的颜色
就可以了。而扣在一起的两个圈却不行，因为图上有两条线，要么涂上一种颜色，要么分别涂上两种不同的颜色，可是用一种颜色违反规则二。用不一样。从这里也看到了日常生活的常识，用数学来证明是怎样做的。
下面再介绍几个数学概念。在此之前考虑的绳圈都是没有方向的，如果我们给每个绳圈指定了方向，在投影图上用箭头标出，如图6：这样的绳圈叫有向绳圈。对于有向绳圈的投影图，每个交叉点我们可以给出正负号。前面一个箭头以最小角度转成后面的箭头，如果是反时针方向转的，我们就称这个交叉点为正交叉点；如果是顺时针方向转的，我们称为负交叉点。
图
6
给了一个有向链环的投影图，我们可以定义投影图的拧数，它是把所有交叉点的正负号（正代表+1，负代表―1）加起变的，但是拧数在第一种初等变换下是变的。如图7中左端的有向纽结的拧数是+3，做一次第一种初等变换，加了一个卷，拧数就变成了+4。所以，很遗憾拧数不是不变量，我们不能根据两个绳圈的拧数不同来说它们不同。
图7
现在我们考虑两个分支的链环。如图8有两个圈K 1和K 2，把K 1和K 2两个圈之间的交叉点的正负号加起来得到的数除以2，最后得到的数叫做环绕数。因为K 1和K 2的交叉点一定有偶数个，正负号加起来一定是个偶数，所以环绕数一定是个整数。我们现在统计的是不同分支的交叉点，第一种初等变换出现的交叉
点是不会被数进去的。因此，对于两个分支的链环，环绕数是一个不变量。
数学家们区别不同的纽结或链环的办法是不变量。一个不变量好不好，主要看它的鉴别力有多大，就是说能鉴别多少种不同的纽结或链环。
三色性的鉴别力
就很弱，所有的投影图只分成行与不行两类，“行”与“不行”的绳圈一定是不一样的，可是“行”与“行”的绳圈也可能不一样，三色性是无法鉴别的。环绕数可以考虑两个分支的有向链环，它的取值范围多些，鉴别力也就强了一些。那么有没有一个不变量能把所有的纽结和链环，首先至少把1899年的纽结表中的纽结区分开来？所以，数学家们要找威力强大的不变量。当然它还要容易计算。
图
8
在1928年，美国数学家阿历山大（Alexander ）提出了一种不变量，后人称之为阿历山大多项式，这是纽结和链环理论的一个很大的进步。这种多项式可以把1899年纽结表中的大部分纽结区别开来。
一件很有戏剧性的事情发生在1984年，新西兰数学家琼斯（Jones ）是研究泛函分析的，一次做学术报告讲解他研究的东西，在黑板上写了一些式子。听众中有位拓扑学家，她看到黑板上的式子同阿历山大多项式的公式非常相似，仅有一点点差别，于是就问两者是不是有点关系。琼斯听后与那位拓扑新的纽结不变量。这是一个很强的不变量，后来被称为“琼斯多项式”。
图9
琼斯多项式的发现在数学界引起了一个轰动，这是因为泛函分析与拓扑学被认为是风马牛不相及的，居然在这个地方发生了联系。于是有很多的泛函分析学家和拓扑学家都来研究纽结，特别是理论物理学家也参加进来研究这个问题。从1984年到1990年这6年间发现了很多新的纽结不变量，而理论物理学的方法同代数又连上了。纽结理论一下子变成了热门话题。在1990年的数学家大会上，
4
位数学家获得了菲乐兹奖，其中之一就是琼斯，因为他的发现引来了许许多多的数学工作。
在琼斯多项式发现后不久，人们想出了一个办法，不用高深的数学知识，完全可以用初等的方法建立琼斯多项式。中学生就可以看懂。下面我就用这种方法讲一讲，为什么会有这样一种多项式。
现在我们先把投影图上的箭头忘掉，考虑无向投影图。我们知道，投影图 的复杂程度的一个表现就是交叉点的个数，交叉点数越多越复杂。但交叉点个数不是不变量，我们很容易看出第一、二种初等变换都要改变交叉点的个数。我们画投影图总希望交叉点数尽可能少，简化一个投影图就是想办法把交叉点的个数减少。那么，给一个交叉点，怎样把它抹掉呢？一个办法就是剪断上下两条线，再重新接上如图9，但是要记住这是非法操作。
我们大胆设想对每一个投影图做一个多项式，叫尖括号多项式。其自变量暂不管，是很自由的设想。我们还想把投影图的多项式与抹掉交叉点后简单一些的图的多项式联系起来。
图10
一个投影图L ，它的尖括号多项式记为〈L 〉。看L 一个交叉点的局部，抹掉这个交叉点有两种方式分别得到两个投影图，L 1和L 2，如图10。我们希望 〈L 〉是两个比较简单的多项式分别乘以A 和B 后的和，即〈L 〉=A〈L 1〉+B〈L 2〉。这是我们的第一条假设。那么究竟哪一个乘A ，哪一个乘B 呢？如图11：
图11
一个交叉点、相交的两条线把附近分成四个部分，上边的线反时针转动，转到下边的线，转动过程中扫过的两部分叫做A ，另两部分叫做B 。我们规定：“打通
A 通道”，即抹掉交叉点后使两块A 连起来形成的投影图，它的多项式要乘以A ，“打通B 通道”的投影图的多项式要乘以B 。
还有一条假设是：一个投影图L 加上一个孤立的圆圈，这个圈与原来的图没有交点，如图12。这样得到的投影图L`的多项式是原来的多项式乘以d ，即〈L`〉=d〈L 〉。
图12
第三条假设是给最简单的投影图——圆圈，一个最简单的多项式1。
为什么会有这种想法呢？交叉点越少的投影图越简单，一个投影图，每次抹掉一个交叉点，到最后没有交叉点就变成好多个圈。拿掉一个圈就少一个圈，最后就成了一个圈。一个圈的多项式定义成1，变化中间出现的投影图的多项式彼此之间有联系，那么原来投影图的多项式不就定义好了吗？这是一个听起来合理的想法：想要定义的那个多项式有3个变量A 、B 和d ，并且有上述三条我们希望的性质。
现在我们看图13：将三个交叉点编上号（Ⅰ）。按照“打通A 通道”和“打道B 通道”抹掉交叉点1得到两个图（Ⅱ）；同样地，抹掉交叉点2得到4个图（Ⅲ）；抹掉交叉点3得到8个图（Ⅳ）；每个图都是若干个互不相交的圆圈。每个图总是可以这样化简的。需要说明的一点是：化简的过程是和交叉点的编号有关的，编号次序不一样，化简过程也不一样，但是化简到最后总是一样的。
（Ⅰ）交叉点排顺序： （Ⅱ）抹去交叉点1
（Ⅲ）抹抹交叉点2：
（Ⅳ）抹去交叉点3：
图
13
一个投影图L ，抹掉全部交叉点后所得的每一个图就叫作投影图的一个状态。换句话说，投影图的一个状态就是在每个交叉点指定一个通道打开。对一个状态S ，用i(S)表示A 通道打开数，用j(S)表示B 通道打开数，用|S|表示打开所有通道后的圈的个数。投影图L 的尖括号多项式用公式写出来就是〈L 〉=∑s A i(S) j(S)B d |S|-1, 这里的和式表示对L 的所有状态求和。
图14
现在得到了有三个变量（A ，B ，d ）的多项式。我们希望它是一个不变量，在R 1，R 2和R 3三种初等变换下是不变的。
首先看R 2变换。如图14：投影图L 局部的两个交叉点做R 2
变换打开，得到
投影图L`，我们希望L 和L`的尖括号多项式是一样的。如图所示，先将上边的交叉点A 和B 通道打开，分别得到两个投影图L A 和L B 。再把它们的另一个交叉
点分别打开A 和B 通道，得到图L AA ，L AB ，L BB 。根据第一条假设，有下面的等式 〈L 〉
=A〈L A 〉+B〈L B 〉
= A2〈L AA 〉+ AB〈L AB 〉+BA〈L BA 〉+B2〈L BB 〉
从图中可以看出：L BA 与L`一样，L BB 与L AA 一样，L AB 是L AA 加上一个圈，由尖括号
多项式的第二条假定，知道〈L AB 〉=d〈L AA 〉，所以
〈L 〉= A2〈L AA 〉+ ABd〈L AA 〉+BA〈L`〉+B2〈L AA 〉
=AB〈L`〉+( A2 +B2 +Abd) 〈L AA 〉
由上式可以看出，要想使尖括号多项式在R 2下不改变，也就是要使得〈L 〉=〈L`〉，
A 、B 和d 这几个自变量要有一定的关系。如果选取AB=1，A 2 +B2 +Abd=0，这实际上是选取B=A-1，d=- A2- A-2，那么这种多项式就在R 2下不变了。这时候已
经成了只有一个自变量A 的多项式了。
图15
现在看R 3。如图15：一个投影图L ，在它的局部做R 3变换得到图L`。将L
的这个局部的前面两条线间的交叉点抹掉，按照打开A 通道和打开B 通道分别得到两个投影图L A 和L B 。对L`，抹掉前面两条线的交叉点，同样得到两个图L A `和L B `。我们有式子
〈L 〉=A 〈L A 〉+B〈L B 〉
〈L`〉=A 〈L A `〉+B〈L B `〉
（这时B=A-1）。从图中可以看出L B 和L B `一样，于是〈L B 〉=〈L B `〉。L A 可以经过两次R 2变换变到，而现在的一个自变量的尖括号多项式在R 2变换下是不变的，
所以〈L A 〉=〈L A `〉。这样我们已经得出〈L 〉=〈L `〉，也就是说尖括号多项式在
下R 3是不变的。
图16
对R 1怎样呢？很可惜它变了。如图16所示，与一样，是加上一个圈，所以，
如果真的想要它在 下不变，我们就只好取A 是-1，多项式变成了一个数，它就没有太大的威力了，我们不准备采用这个下策。
现在我们对无向投影图的研究已经取得了成效，得到了尖括号多项式，它在 和 下是不变的，可是它在 下要改变。下面怎么办呢？聪明的人想到了拧数，有向投影图的拧数也是在 和 下不变，在 下改变的，能不能把拧数和尖括号多项式合起来，原来都在 和 下不变，合起来当然也在 和 下不变。而在 下，一个这样变，一个那样变，它们合起来会不会把变化相抵就不变了呢？
的确如此。对于有向投影图L ，忘掉方向得尖括号多项式，
现在我们做些讨论。对有向投影图来讲，方向当然要紧，如果我们把所有的方向都掉个头，琼斯多项式变不变呢？方向都变了，交叉点的正负号是不变的，于是拧数就不变。尖括号多项式当然不变，因为它不管方向。所以如果所有方向都改变，琼斯多项式是不变的。特别地，对于一个分支的绳圈——纽结来讲，它只有两个方向，无论怎么标方向，琼斯多项式没有关系，这是我们的一个结论。
再来考虑一个问题。一个绳圈用镜子一照，它在镜中的像又是一个绳子圈，
我们称它们互为镜像。镜子放在不同位置，镜中的像也只有空间位置上的差别，实际上是一样的。对于一个投影图，我们可以假定镜子就在它所处的平面上。所以，要画一个投影图的镜像如图17，只需把每个交叉点处的两根线上下位置颠倒过来，原来在上面的线画在下面，原来在下面的线画在上面。现在的问题是：一个投影图和它的镜像如图18，它们的琼斯多项式有没有差别？
右手三叶结 左手三叶结
看拧数，它是有变化的，因为每个交叉点的符号都改变了，正变成负，负变成正，拧数变成原来的相反数。尖括号多项式也是有变化的，理由是交叉点处的两根线反了之后，附近的A 部分变成B 部分，B 部分变成A 部分。尖括号多项式的差别就是原来的A 变成了B ，即A -1。到琼斯多项式（―A ）
中来看，拧数与尖括号多项式的改变分别是使（―A ）-3ω（L ）-3ω（L ）〈L 〉Z 与〈L 〉两部分的A 的方幂改变了符号。所以，如果一个投影图的琼斯多项式知道了，它的镜像的琼斯多项式也就知道了，就是把原来式中的A 变成A -1。
我们算了一下三叶结的琼斯多项式。对于右手三叶结L ，由8个状态（图
16），可以计算尖括号多项式
〈L 〉=A 3d+ A2B+ A2B + AB2d + A2B + AB2d
+ AB2d+B3d 2
= A3d+ 3A2B+ 3AB2d + B3d 2
= A3d+ 3A+ 3A-1 d + A -3d 2
= A3（―A 2―A -2）+3A +3A –1（―A 2―A -2）
+ A-3（―A 2―A -2）2
= ―A 5―A -3+ A-7
它的拧数ω（L ）=3，所以它的琼斯多项式
（―A ）-3ω（L ）〈L 〉=（―A ）-3*3（―A 5―A -3+ A-7）
=A4+A -12―A -16
用变量替换A=t -1/4，上式就是t+ t 3―t 4
，这样右手三叶结的镜像——左手三叶
结的琼斯多项式就是A 4+A 12―A 16，或者t -1+t -3―t –4。所以，三叶结与它的镜像是不等价的。我们用琼斯多项式证明了三叶结是有左右手之分的。
镜像
图10
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三叶结有左右手之分，并不是到了琼斯才知道，在20年代就知道了。当时用了拓扑学、代数、群论等相当多的工具，花了很大的力气证明了这一点。前面提到的阿历山大多项式是在琼斯之前最有威力的多项式不变量，但是它没有能力区分左右手三叶结。所以，当琼斯发现它的多项式能区分左右手三叶结时，就知道他发现了新的不变量，而不是阿历山大多项式的变种。要得到一个多项式的变种是很容易的例如一个多项式f(x)，用x 2来代替x 就得到了一个变种f(x2) ，它看起来与f(x)很不一样，但是作为链环的不变量来说两者本质上是一样的。在物理学中，分不分左右手，称为“手征”。物理学家对此是很敏感的。正是由于琼斯发现了能区别左右手的多项式，才引起了物理学家们的很大兴趣。