空气动力学ch2

2012/3/14

空气动力学 Aerodynamics

第2章流体运动学和动力学基础

武俊梅 2.2 有旋流动

2.1 流体微团运动分析

2.3 流体运动基本方程及应用

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2.1流体微团运动分析

欧拉法

流场

在欧拉参考系中x, y, z, t 是相互间无关系的独立变量。各个空间点的速度不同，同一点的速度又可以随时间变化。速度可以表示为：

场：一个布满了某种物理量的空间。流场：流体运动所进行的空间。包括：速度场、压强场、温度场和密度场 二维流：运动是在平面中进行。 三维流：运动在空间中进行。

u  u ( x, y , z , t ) v  v ( x, y , z , t ) w  w( x, y, z , t )

周期性流动

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u f f f f  u v  w t t x y z

 D     u v  w x y Dt t z

随体导数或实质导数 Material derivative

欧拉法的加速度表达式

即

P(x, y, z)点上瞬时t的流体微团的速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化。原在p点的微团经 t后到了Q点，若Q、P两点速度不同，也会有速度变化。

u u u u u  u v w t t x y z

当地加速度迁徙加速度

u  f  x, y , z , t 

u  u  f ( x  u t , y  vt , z  wt , t  t )  f f f f   f ( x, y , z , t )   ut  vt  wt  t   O( t ) y z t   x

Dw w w w w  u v w Dt t x y z

Du u u u u  u v w Dt t x y z Dv v v v v  u v  w Dt t x y z

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流线概念及方程

流体运动形式

流体运动运动形式包括：平动、转动，变形运动。

流线

变形运动包括：线变形运动：引起体积大小变化的边长伸缩，角变形运动：引起体积形状变化。

曲线上的任何一点，其切线和该点的微团流速指向相一致，这样的曲线称为流线（streamline），同一瞬间，经过不同空间点，可以画无数条流线。流线是对流场的一个几何表达，流线的引入，对定性、形象地刻画流速分布具有重要意义。

流线方程

dx dy dz   u v w

7 8

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以三维流动为例：

已知A点的速度 u A , v A , wA ，邻点P的速度可表示为：

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u P  u A   x x   z y   y z   y z   z y

同理

u p  uA 

u u u x  y  z x y z

v P  v A   y  y   x z   z x   z  x   x z

w P  w A   z  z

  y  x   x y   x y   y x

u

uP  u A 

u 1  u v  1  u w  x     y  2  z  x z  x 2    y x  1  u w  1  v u    y   z   2  z x  2  x y  

 u A   x x   z y   y z   y z   z y

  线变形率： x x 单位长度线 v 段在单位时  y  y 间内的变化 w z 

z

角变形速率：  x  2 ( y  z ) 单位时间内 1 u w 一个直角的  y  (  ) 2 z x 变化速率的 1 v u z  (  ) 一半。

2 x y

1 w

v

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旋转角速度：   1 ( w  v ) x 2 y z 微团中两条相互垂直的   1 ( u  w ) y 直线的旋转 2 z x 角速度的平 1 v u z  (  ) 均值。 2 x y 说明：流体运动存在平动、转动和变形三种形式，变形又包括线变形和角变形。

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散度

3个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度V的散度散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀率。

divV 

u v w   x y z

设六面体微团的三边原长分别是Δx,Δy,Δz，原来体积是（ΔxΔyΔz），经过Δt时间后三个边长分别变为：

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则相对体积膨胀率（单位时间单位体积的增长量）为：

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旋度

角速度是一个矢量，合角速度是某个点上某个微团的瞬时角速度 ε，这个值在向量分析里记为(1/2)rot V, rot V称为速度V的旋度。记为ω。

   场论中的矢性算子——哈密而顿算子：   i j k x x x

divV    V 

u v w   x x x

i  1   1 1  rotV   x i   y j   z k    V   2 2 2 x u      rotV  2

有旋流场：流场中各处的  基本上不等于零。无旋流场：流场中各处的  都等于零。

 y

 z

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位函数

无旋流场中   0，所以有：

有旋流动

无旋流动

u v  y x

v w  z y

w u  x z

自然界中，有旋流动是普遍存在的，如龙卷风、海浪，大气运动，烟气在大气中的扩散，粘性流体在管道里的流动，抽烟的人吐出的烟圈，等等。无旋流动是一种特例，是简化而来的模型，但在空气动力学问题中，绕流物体边界层以外的流场都可以看做无旋流动— —位流或势流。所以势流理论是空气动力学很重要的基础。

上式为存在某标量函数ϕ，使其全微分满足如下的充

要条件：

d  udx  vdy  wdz

ϕ称为速度位（Velocity potential）或位函数。

u

 x

v

 y

w

 z

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位函数在任意指定方向的偏导数（方向导数）等于在那个方向的速度分量。

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例已知一流场速度分布如右，

1）求通过（0,5）点的流线方程： 2）该流动是有旋还是无旋？ 3）若无旋，求出其速度位函数。

u

Vs 

 dx  dy  dz     x ds y ds z ds s

y x2  y2 x v 2 x  y2

解：

2）流线方程：

流场中任意两点A和B的 ϕ 值之差，等于沿着任意一条连接 A和B两点的曲线进行速度的线积分：

B   A   d    udx  vdy  wdz 

A A

u v  dx dy y x dx   2 dy x2  y2 x  y2 x  dx  y  dy  0 x2  y 2  c

一般流场的速度线积分与积分路线有关，但无旋流场内这个积分值和积分的路线无关，所以可取最方便的路线进行积分。

可见流线为一簇圆，通过（0,5）点，c=25， x 2  y 2  25

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2）旋转角速度：

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y u 2 x  y2 x v 2 x  y2

3）速度位函数。

  z    2  x y   

1  v

u 

x

 y2  x  2x



y

2 2





x

 y2  y  2 y



d  udx  vdy y x  2 dx  2 dy x  y2 x  y2

u

y x2  y2 x v 2 x  y2

 y2



x

 x2  y2  y2

 x



x2  y 2

 y2



0

  arctan  c

可见，速度位函数为经过原点的……。

y x

可见，该流动无旋。存在速度位函数。

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2.2 有旋流动

自然界和工程中常见的涡龙卷风

云层中的涡

海洋表面的旋涡

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气流掠过三角翼前缘形成的涡

翼尖涡

23 24

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环量、涡量的定义

速度环量：在流场中沿一条指定的封闭曲线，做速度的线积分。

AB   V cos ds   udx  vdy  wdz 

A A

积分曲线封闭时：

圆盘绕流尾涡区的涡

有冲角翼型绕流尾涡区的涡

   V cos ds

称为速度环量，规定逆时针方向为正。

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无旋流动

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 AB

B         dx  dy  dz   d  B   A A y z   x  A B

环量与涡的关系

积分曲线封闭时

   d  0

在二维流场中，任取一流体微团 ABCD，面积为dS，A点速度为（ u,v ）

ABCD  AB  BC

 CD  DA  u  1  u   u  dx  dx  x  2  

说明无旋流动中，速度环量处处为0。

旋涡强度：有旋流动中，流场中旋转角速度沿任一曲面的面积分，称为该曲面上的旋涡强度。或称为涡通量

v  v   v 1  v  dx  dy   v  dx     dy  x   x y  2    u   u u  1    u  dy   u  x dx  y dy   dx  y  2       v u  v  1      dy   dxdy v   v  dy  y  2    x y    z dS

沿微小封闭线作速度的线积分，所得环量等于2乘以微团的角速度再乘以围线中的面积。

 J     ds

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围线包含的面积为有限大时，如下图示划分成若干微小分块。沿每个微小面积的围线作速度的线积分。将这些小分块的环量加起来得到的是沿最外一条围线的线积分。

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斯托克斯定理

沿空间任一封闭曲线L的环量，等于穿过张开在L上任意曲面S上的涡通量。所以速度环量也就成为旋涡强度的同义词。

   V cos ds    z dS

L S

   n dS

n为微元面积dS的外法线方向。

如果围线内包含有涡，沿围线的环量不等于0。 如果围线内没有涡，沿围线的环量必为0。

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３

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涡线与涡管

毕奥——萨伐尔定理

涡线：在流场中的一条曲线，线上每一点的切线代表该点旋转角速度方向，即涡的轴线。涡线微分方程

涡线和涡管的强度定义为绕涡线或涡管的一条封闭曲线的环量。

涡线的诱导速度——毕奥－萨伐尔公式

x



y



z

dV 

ds sin  4r 2

涡管：经过一条本身不是涡线的封闭曲线上的每一点的涡线组成的封闭管状表面，称为涡管。涡线是截面积趋于0的涡管

一条直涡线AB对线外一点P的诱导速度：

  

       2  2 ds  d ( h  tan  )  h  sec 2   d

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涡线是半无限长，P点至涡线的垂足N与涡线一端重合（ α＝90° ）

dV 

VP   2 





 cos   d 4h

V

 4h

 (  ) 2

  cos   cos   cos   d  4h 4h

涡线两头无限长（ α＝0° ， β ＝0° ）：

V

涡线一头无限长（β＝0° ）：

 2h

V

 1  cos   4h

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关于理想流体中涡的定

理

2.3 流体运动基本方程

微分形式的质量方程（连续方程—Continuity Equation）

连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律。微分形式的质量方程是针对一流体微团建立的。流出、流入控制体的静流量 = 控制体内质量随时间的减少率。

定理1——亥姆霍兹第一定理同一瞬间，沿涡线或涡管的旋涡强度不变——涡通量守恒。

定理2——亥姆霍兹第二定理一根涡管在流体里不可能中断，可以伸展到无限远去，或自相连接成一个涡环，也可以止于边界，如固体的边界或自由边界。定理3 在理想流体中，涡的强度不随时间变化，既不会增强，也不会削弱或消失。

 u v w  D     0 Dt  x y z 

不可压缩流

u v w   0 x y z

或

divV  0

判断一个流动是否存在，可以通过检验其速度分布是否满足连续方程。连续方程是CFD中的控制方程之一。

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欧拉运动微分方程

N－S方程——粘性流体运动微分方程

1775年，瑞士著名数学家和物理学家欧拉在忽略粘性力的情况下，利用牛顿第二定律推得的流体微团受力和加速度之间的关系，也称理想流体运动微分方程。

1 p u u u u  fx  v w u  x z y x t 1 p v v v v u v w    fy  y t x y z 1 p w w w u  fz  w v u  z z y x t

19世纪中，法国工程师纳维尔和爱尔兰著名数学家斯托克斯先后在考虑粘性力的情况下，推得的流体微团受力和加速度之间的关系，也称粘性流体运动微分方程，或动量方程（Momentum Equation）。

1 p u u u u  u v w   f x   2u  t x y z  x  1 p v v v v  f y   2v u v  w    y  z y x t  u w w w 1 p u v w   f z  2w  z  t x y z

Q2：代表什么？

拉普拉斯算子 Q1：代表什么？

2 

2 2 2   x 2 y 2 z 2

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Attention：不管是欧拉方程还是N－S方程，都可以认为流场中压强的改变是因为质量力作用、速度的改变以及由于流体运动而产生的粘性力引起的。

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1 p u  V  ( )  2(v z  w y)    fx  x t x 2 1 p v  V 2  ( )  2 ( w  x  u z )    fy  y t y 2 1 p u  V 2  ( )  2(u y  v x)    fz  z t z 2

格罗米柯方程

改写欧拉方程中加速度中的迁移项：

u u u u v v

u u w w u v w  (u  v  w )  v(  )  w(  ) x y z x x x x y z x   V 2      2v z  w y  x   2 

带入欧拉方程得：

称为格罗米柯方程。仍然适合于理想流体，可以是无旋流动、也可以是有旋流动，因为没有粘性，所以有旋流动的旋转强度不会改变。

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伯努利方程

对于理想正压流体（压强只是密度的函数），质量力有位 Ω：





V  C' 2

   fx, x

   fy, y

   fz z

伯努利方程的物理意义：对于理想正压流体，全场任一点压强势能、动能、质量力势能合成的总能量守恒，但三者之间可以转化。伯努利方程适用条件： 1. 定常流； 2. 流体不可压缩； 3. 流动无旋；4. 彻体力有位。彻体力只限于重力时，对于气体流动，  可略去：

如果流动无旋，就有速度位ϕ存在，格罗米柯方程中的角速度都为0。格罗米柯方程的三个式子分别乘以dx、dy、dz，然后相加，合并得到：

 1 1 d( )  d ( V 2 )  dp  d  0 t 2 

用于不可压缩定常流时，积分得：伯努利方程





V  C' 2

p

V 2

C

无旋流场上各处是同一个常数

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p

静压

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u u u u 1 p 0 dx  u dy  u dz  x y z  x udu  1 p

V

C

动压

全压

该式说明在理想流体无旋流动的整个流场范围内，动压、静压之和保持不变，但两者之间可以相互转化。如果流动是有旋、恒定的，忽略质量力，格罗米柯方程仍可沿流线积分。 x方向欧拉方程×dx，得： u

 x

dx  0

1 1 p d( u 2 )  dx  0 2  x

同理，y方向：

u u u 1 p dx  v dx  w dx  dx  0  x x y z

1 1 p d( v2 )  dy  0 2  y 1 1 p d ( w2 )  dz  0 2  z

流线方程：

u v w   dx dy dz

udy  vdx , udz  wdx

z方向：

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p 1 1  p p  d u 2  v 2  w2   dx  dy  dz  0 y  2 z   x 

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伯努利方程的应用举例

风速管（毕托管——Pitot Tube）测速原理风速管是1732年法国人亨利·皮托发明的一种简易但常用的测量流场点速度的一种仪器





1 1 d V 2  dp  0  2

对不可压流场，可积分： p 

 



V 2  C'

有旋流场中，C′值随流线的改变而改变。沿流线速度为0的点称为滞止点，或称为驻点，该点压强称为滞止压强，或全压。

p0  p 



V 2  p 



V

V∞、 p∞为不受

扰动的来流速度和压强。

空气动力学 Aerodynamics 探头

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托柄

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F-86H 固定在机翼上的毕托管。

Boeing Stratoliner 固定在机头鼻部的毕托管。

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p0  p 

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例： P-35战斗机的机翼上装有毕托管用来测总压，当它在4km



压强系数定义：

V  2( p 0  p ) / 

Cp 

p  p



端，读出 p0-p，即可根据上式算出风速。

V

V   1  V    

的高空飞行时，毕托管测得的压强为6.7×104N/m2，求1）P-35 此时的飞行速度？2）马赫数？已知4km高空处的自由流的静压p∞=6.166 ×104N/m2，密度

托柄引出的总压和静压两根管子分别接到一U型差压计的两由于毕托管对流场的扰动以及实际流体的粘性作用，上式计算出的风速需要乘以一个修正系数ξ，该修正系数是个小于1 但十分接近1的数，一般毕托管在使用之前需要标定其速度系数。

  =0.819kg/m3。

2 p0  p  

解：1）毕托管测得的压强为总压p0。

V 





26.7  6.166 10 4  114.2m / s 0.819

2）4km的高空的声速： c  

V  2 ( p0  p ) / 



p

 1 .4 

6.166 10 4  324.6m / s 0.819

马赫数： Ma  V  114.2  0.35

324.6

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热力学中定义焓： h  e 

能量方程

能量方程是能量守恒与转化定律在流体流动中的表达。

       d  Q   q viscous   ( p V )  d S    f  V d   Wviscous



 t

  e  V

  / 2 d     e  V 2 / 2 V  dS





V2  c pT 2        pV  ( h)    hV  q t      f V  Q viscous  Wviscous

 

 







面积分换成体积分——散度定理

       pV   e  V 2 / 2     e  V 2 / 2 V  q t      f V  Q viscous  Wviscous









 

忽略： 1. 表面力、质量力做功； 2. 忽略粘性耗散、粘性力做功； 3. 忽略内热源，考虑界面热传导带入控制体的热量





 q

 T  T  T ( )  ( )  ( ) x x y y z z

其中：

e  cvT

p  RT

 ( T ) ( T )  ( T )  ( T )  2 w  T u v y x t x cp

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理想流体运动微分方程组：

空气动力学 Aerodynamics

方程求解：由于方程的非线性性，很难直接获得解

析解。但是简化后的方程可以有解析解。两种情况： 1. 维数简化，比如简化成一维的问题，第4章 2. 方程简化，变成线性方程，翼型绕流的小扰动理论，第8章在复杂问题解析解无法获得的情况下，计算流体力学开辟了一条卓有成效的道路，拓展了理论分析计算的范围。

 u v w  D     0 Dt  x y z 

1 p u u u u u v w   fx  x t x y z 1 p v v v v u v w    fy  y t x y z 1 p u w w w u v w   fz  z t x y z

 ( T )  ( T )  ( T )  ( T )  2 u v w  T t x y x cp

p  RT

对于具体问题，给出初始条件、边界条件就可以进行求解。

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空气动力学 Aerodynamics 本章基本要求

 欧拉法下加速度的表达和意义;  掌握流体微团运动形式与刚体运动的异同；掌握流体微团的几种变形和旋转运动及其数学表达，  掌握微分形式的连续性方程（质量方程）、理想和粘性流体运动方程（动量方程）、能量方程的表达和意义；掌握伯努利方程的表达、意义、条件和应用；；  重点需要掌握的概念：流线、涡线、散度、旋度、位函数和流函数、环量与涡的概念、意义、表达、相互之间的关系等.

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第2章流体运动学和动力学基础

武俊梅 2.2 有旋流动

2.1 流体微团运动分析

2.3 流体运动基本方程及应用

空气动力学 Aerodynamics

2.1流体微团运动分析

欧拉法

流场

在欧拉参考系中x, y, z, t 是相互间无关系的独立变量。各个空间点的速度不同，同一点的速度又可以随时间变化。速度可以表示为：

u  u ( x, y , z , t ) v  v ( x, y , z , t ) w  w( x, y, z , t )

周期性流动

空气动力学 Aerodynamics

u f f f f  u v  w t t x y z

 D     u v  w x y Dt t z

随体导数或实质导数 Material derivative

欧拉法的加速度表达式

即

u u u u u  u v w t t x y z

当地加速度迁徙加速度

u  f  x, y , z , t 

Dw w w w w  u v w Dt t x y z

Du u u u u  u v w Dt t x y z Dv v v v v  u v  w Dt t x y z

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流线概念及方程

流体运动形式

流体运动运动形式包括：平动、转动，变形运动。

流线

变形运动包括：线变形运动：引起体积大小变化的边长伸缩，角变形运动：引起体积形状变化。

流线方程

dx dy dz   u v w

7 8

空气动力学 Aerodynamics

以三维流动为例：

已知A点的速度 u A , v A , wA ，邻点P的速度可表示为：

空气动力学 Aerodynamics

u P  u A   x x   z y   y z   y z   z y

同理

u p  uA 

u u u x  y  z x y z

v P  v A   y  y   x z   z x   z  x   x z

w P  w A   z  z

  y  x   x y   x y   y x

u

uP  u A 

 u A   x x   z y   y z   y z   z y

  线变形率： x x 单位长度线 v 段在单位时  y  y 间内的变化 w z 

z

角变形速率：  x  2 ( y  z ) 单位时间内 1 u w 一个直角的  y  (  ) 2 z x 变化速率的 1 v u z  (  ) 一半。

2 x y

1 w

v

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散度

3个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度V的散度散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀率。

divV 

u v w   x y z

设六面体微团的三边原长分别是Δx,Δy,Δz，原来体积是（ΔxΔyΔz），经过Δt时间后三个边长分别变为：

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则相对体积膨胀率（单位时间单位体积的增长量）为：

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旋度

角速度是一个矢量，合角速度是某个点上某个微团的瞬时角速度 ε，这个值在向量分析里记为(1/2)rot V, rot V称为速度V的旋度。记为ω。

   场论中的矢性算子——哈密而顿算子：   i j k x x x

divV    V 

u v w   x x x

i  1   1 1  rotV   x i   y j   z k    V   2 2 2 x u      rotV  2

有旋流场：流场中各处的  基本上不等于零。无旋流场：流场中各处的  都等于零。

 y

 z

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位函数

无旋流场中   0，所以有：

有旋流动

无旋流动

u v  y x

v w  z y

w u  x z

上式为存在某标量函数ϕ，使其全微分满足如下的充

要条件：

d  udx  vdy  wdz

ϕ称为速度位（Velocity potential）或位函数。

u

 x

v

 y

w

 z

空气动力学 Aerodynamics

位函数在任意指定方向的偏导数（方向导数）等于在那个方向的速度分量。

空气动力学 Aerodynamics

例已知一流场速度分布如右，

1）求通过（0,5）点的流线方程： 2）该流动是有旋还是无旋？ 3）若无旋，求出其速度位函数。

u

Vs 

 dx  dy  dz     x ds y ds z ds s

y x2  y2 x v 2 x  y2

解：

2）流线方程：

流场中任意两点A和B的 ϕ 值之差，等于沿着任意一条连接 A和B两点的曲线进行速度的线积分：

B   A   d    udx  vdy  wdz 

A A

u v  dx dy y x dx   2 dy x2  y2 x  y2 x  dx  y  dy  0 x2  y 2  c

一般流场的速度线积分与积分路线有关，但无旋流场内这个积分值和积分的路线无关，所以可取最方便的路线进行积分。

可见流线为一簇圆，通过（0,5）点，c=25， x 2  y 2  25

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2）旋转角速度：

空气动力学 Aerodynamics

y u 2 x  y2 x v 2 x  y2

3）速度位函数。

  z    2  x y   

1  v

u 

x

 y2  x  2x



y

2 2





x

 y2  y  2 y



d  udx  vdy y x  2 dx  2 dy x  y2 x  y2

u

y x2  y2 x v 2 x  y2

 y2



x

 x2  y2  y2

 x



x2  y 2

 y2



0

  arctan  c

可见，速度位函数为经过原点的……。

y x

可见，该流动无旋。存在速度位函数。

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2.2 有旋流动

自然界和工程中常见的涡龙卷风

云层中的涡

海洋表面的旋涡

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气流掠过三角翼前缘形成的涡

翼尖涡

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环量、涡量的定义

速度环量：在流场中沿一条指定的封闭曲线，做速度的线积分。

AB   V cos ds   udx  vdy  wdz 

A A

积分曲线封闭时：

圆盘绕流尾涡区的涡

有冲角翼型绕流尾涡区的涡

   V cos ds

称为速度环量，规定逆时针方向为正。

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无旋流动

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 AB

B         dx  dy  dz   d  B   A A y z   x  A B

环量与涡的关系

积分曲线封闭时

   d  0

在二维流场中，任取一流体微团 ABCD，面积为dS，A点速度为（ u,v ）

ABCD  AB  BC

 CD  DA  u  1  u   u  dx  dx  x  2  

说明无旋流动中，速度环量处处为0。

旋涡强度：有旋流动中，流场中旋转角速度沿任一曲面的面积分，称为该曲面上的旋涡强度。或称为涡通量

沿微小封闭线作速度的线积分，所得环量等于2乘以微团的角速度再乘以围线中的面积。

 J     ds

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斯托克斯定理

沿空间任一封闭曲线L的环量，等于穿过张开在L上任意曲面S上的涡通量。所以速度环量也就成为旋涡强度的同义词。

   V cos ds    z dS

L S

   n dS

n为微元面积dS的外法线方向。

如果围线内包含有涡，沿围线的环量不等于0。 如果围线内没有涡，沿围线的环量必为0。

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３

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涡线与涡管

毕奥——萨伐尔定理

涡线：在流场中的一条曲线，线上每一点的切线代表该点旋转角速度方向，即涡的轴线。涡线微分方程

涡线和涡管的强度定义为绕涡线或涡管的一条封闭曲线的环量。

涡线的诱导速度——毕奥－萨伐尔公式

x



y



z

dV 

ds sin  4r 2

涡管：经过一条本身不是涡线的封闭曲线上的每一点的涡线组成的封闭管状表面，称为涡管。涡线是截面积趋于0的涡管

一条直涡线AB对线外一点P的诱导速度：

  

       2  2 ds  d ( h  tan  )  h  sec 2   d

空气动力学 Aerodynamics

涡线是半无限长，P点至涡线的垂足N与涡线一端重合（ α＝90° ）

dV 

VP   2 





 cos   d 4h

V

 4h

 (  ) 2

  cos   cos   cos   d  4h 4h

涡线两头无限长（ α＝0° ， β ＝0° ）：

V

涡线一头无限长（β＝0° ）：

 2h

V

 1  cos   4h

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关于理想流体中涡的定

理

2.3 流体运动基本方程

微分形式的质量方程（连续方程—Continuity Equation）

定理1——亥姆霍兹第一定理同一瞬间，沿涡线或涡管的旋涡强度不变——涡通量守恒。

 u v w  D     0 Dt  x y z 

不可压缩流

u v w   0 x y z

或

divV  0

判断一个流动是否存在，可以通过检验其速度分布是否满足连续方程。连续方程是CFD中的控制方程之一。

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欧拉运动微分方程

N－S方程——粘性流体运动微分方程

Q2：代表什么？

拉普拉斯算子 Q1：代表什么？

2 

2 2 2   x 2 y 2 z 2

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Attention：不管是欧拉方程还是N－S方程，都可以认为流场中压强的改变是因为质量力作用、速度的改变以及由于流体运动而产生的粘性力引起的。

空气动力学 Aerodynamics

格罗米柯方程

改写欧拉方程中加速度中的迁移项：

u u u u v v

带入欧拉方程得：

称为格罗米柯方程。仍然适合于理想流体，可以是无旋流动、也可以是有旋流动，因为没有粘性，所以有旋流动的旋转强度不会改变。

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伯努利方程

对于理想正压流体（压强只是密度的函数），质量力有位 Ω：





V  C' 2

   fx, x

   fy, y

   fz z

如果流动无旋，就有速度位ϕ存在，格罗米柯方程中的角速度都为0。格罗米柯方程的三个式子分别乘以dx、dy、dz，然后相加，合并得到：

 1 1 d( )  d ( V 2 )  dp  d  0 t 2 

用于不可压缩定常流时，积分得：伯努利方程





V  C' 2

p

V 2

C

无旋流场上各处是同一个常数

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空气动力学 Aerodynamics

p

静压

空气动力学 Aerodynamics

u u u u 1 p 0 dx  u dy  u dz  x y z  x udu  1 p

V

C

动压

全压

 x

dx  0

1 1 p d( u 2 )  dx  0 2  x

同理，y方向：

u u u 1 p dx  v dx  w dx  dx  0  x x y z

1 1 p d( v2 )  dy  0 2  y 1 1 p d ( w2 )  dz  0 2  z

流线方程：

u v w   dx dy dz

udy  vdx , udz  wdx

z方向：

空气动力学 Aerodynamics

p 1 1  p p  d u 2  v 2  w2   dx  dy  dz  0 y  2 z   x 

空气动力学 Aerodynamics

伯努利方程的应用举例

风速管（毕托管——Pitot Tube）测速原理风速管是1732年法国人亨利·皮托发明的一种简易但常用的测量流场点速度的一种仪器





1 1 d V 2  dp  0  2

对不可压流场，可积分： p 

 



V 2  C'

有旋流场中，C′值随流线的改变而改变。沿流线速度为0的点称为滞止点，或称为驻点，该点压强称为滞止压强，或全压。

p0  p 



V 2  p 



V

V∞、 p∞为不受

扰动的来流速度和压强。

空气动力学 Aerodynamics 探头

空气动力学 Aerodynamics

托柄

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空气动力学 Aerodynamics

F-86H 固定在机翼上的毕托管。

Boeing Stratoliner 固定在机头鼻部的毕托管。

49 50

空气动力学 Aerodynamics

p0  p 

空气动力学 Aerodynamics

例： P-35战斗机的机翼上装有毕托管用来测总压，当它在4km



压强系数定义：

V  2( p 0  p ) / 

Cp 

p  p



端，读出 p0-p，即可根据上式算出风速。

V

V   1  V    

的高空飞行时，毕托管测得的压强为6.7×104N/m2，求1）P-35 此时的飞行速度？2）马赫数？已知4km高空处的自由流的静压p∞=6.166 ×104N/m2，密度

  =0.819kg/m3。

2 p0  p  

解：1）毕托管测得的压强为总压p0。

V 





26.7  6.166 10 4  114.2m / s 0.819

2）4km的高空的声速： c  

V  2 ( p0  p ) / 



p

 1 .4 

6.166 10 4  324.6m / s 0.819

马赫数： Ma  V  114.2  0.35

324.6

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热力学中定义焓： h  e 

能量方程

能量方程是能量守恒与转化定律在流体流动中的表达。

       d  Q   q viscous   ( p V )  d S    f  V d   Wviscous



 t

  e  V

  / 2 d     e  V 2 / 2 V  dS





V2  c pT 2        pV  ( h)    hV  q t      f V  Q viscous  Wviscous

 

 







面积分换成体积分——散度定理

       pV   e  V 2 / 2     e  V 2 / 2 V  q t      f V  Q viscous  Wviscous









 

忽略： 1. 表面力、质量力做功； 2. 忽略粘性耗散、粘性力做功； 3. 忽略内热源，考虑界面热传导带入控制体的热量





 q

 T  T  T ( )  ( )  ( ) x x y y z z

其中：

e  cvT

p  RT

 ( T ) ( T )  ( T )  ( T )  2 w  T u v y x t x cp

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理想流体运动微分方程组：

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方程求解：由于方程的非线性性，很难直接获得解

 u v w  D     0 Dt  x y z 

 ( T )  ( T )  ( T )  ( T )  2 u v w  T t x y x cp

p  RT

对于具体问题，给出初始条件、边界条件就可以进行求解。

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空气动力学 Aerodynamics 本章基本要求

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