【摘 要】本文介绍了有关线性矩阵不等式的一些基本概念。对用于求解线性矩阵不等式的MATLAB中的线性矩阵不等式工具箱作了简要说明。为了更加说明线性矩阵不等式的求解过程。文中还给出了相关的程序命令，以及示例。 【关键词】线性矩阵不等式；MATLAB求解 线性矩阵不等式（LMI）在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用，由它的优良性质以及解法的突破。在现行矩阵不等式出现之前， 绝大多数的控制问题都是通过Riccati方程或其不等式的方法来解决的。但是解Riccati 方程或其不等式时， 有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。有时， 即使问题本身是有解的， 也找不出问题的解。这给实际应用问题的解决带来极大不便， 而线性矩阵不等式方法可以很好地弥补Riccati 方程方法的上述不足。在解线性矩阵不等式时， 不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵。这使得它在在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。线性矩阵不等式以及线性矩阵不等式方法（技术）已是控制工程、系统辨识、结构设计等领域的一个强有力的设计工具。 1 线性矩阵不等式的介绍 一个线性矩阵不等式具有如下形式： F（x）=F0+x1F1+x2F2+…+xmFm 式中，x1，…， xm是m个实数变量， 称为是线性矩阵不等式（1）的决策变量， x=（x1，…， xm）T∈Rm是由决策变量构成的向量， 称为决策向量。Fi=FiT∈Rm×m，i=0，1，…， m，是一组给定的实对称矩阵， 式（1）中的“ 2 线性矩阵不等式常用的求解器 LMI 工具箱提供了求解以下3 个问题的线性矩阵不等式求解器。 2.1可行性问题 寻找一个x∈Rn，使得满足线性矩阵不等式系统： A（x） 相应的求解器是feasp。 feasp 函数是在线性矩阵不等式A（x） 2.2具有线性矩阵不等式约束的一个线性目标函数的最小化问题 s.t. A（x） 相应的求解器是mincx。 2.3广义特征值的最小化问题 s.t. C（x） 0 A（x） 相应的求解器是gevp。 3 线性矩阵不等式应用示例 采用MATLAB 中LMI 工具箱求解矩阵不等式的问题。 对给出的系统矩阵A是否存在正定阵P，使得。这是控制问题中常见的判断系统矩阵A是否稳定的常见问题。为了仿真起见，我们给出具体的系统矩阵A。这个LMI对应程序如下： A=[1 -0.5；1 0]； %输入系统矩阵 setlmis（[]）； %建立一个新的LMI P=lmivar（1，[2，1]）； %定义一个2维对称阵P lmiterm（[-1 1 1 P]，1，1） ； %（1，1）分块，P lmiterm（[-1 2 1 P]，1，A） ； %（2，1）分块，PA lmiterm（[-1 2 2 P]，1，1） ； %（2，2）分块，P lmis=getlmis； % 完成LMI的输入 [tmin，xfeas]=feasp（lmis）； %求解可行解的问题 P=dec2mat（lmis， xfeas， P）； %提取可行解 运算结果。上述的计算结果表明， 可找到一个对称的正定矩阵P使线性矩阵不等式成立， 根据线性矩阵不等式稳定性判定条件， 此开环系统稳定。 4 总结 本文结合作者的经验积累给出一些较具体、系统的对线性矩阵不等式和线性矩阵不等式问题在MATLAB文件中的应用说明作了简要描述。并利用MA TLAB软件中的线性矩阵不等式控制工具箱， 结合具体实例， 给出了一个离散时间系统的稳定性分析的例子。这对初学者会是一个很好的借鉴。 参考文献： [1]D’Andrea R.Linear matrix inequality conditions for robustness and control design[J] .International Journal of Robust and Nonlinear Control， 2001， 11（6）： 541-554 [2]俞立.鲁棒控制：线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社，2002：50-55
【摘 要】本文介绍了有关线性矩阵不等式的一些基本概念。对用于求解线性矩阵不等式的MATLAB中的线性矩阵不等式工具箱作了简要说明。为了更加说明线性矩阵不等式的求解过程。文中还给出了相关的程序命令，以及示例。 【关键词】线性矩阵不等式；MATLAB求解 线性矩阵不等式（LMI）在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用，由它的优良性质以及解法的突破。在现行矩阵不等式出现之前， 绝大多数的控制问题都是通过Riccati方程或其不等式的方法来解决的。但是解Riccati 方程或其不等式时， 有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。有时， 即使问题本身是有解的， 也找不出问题的解。这给实际应用问题的解决带来极大不便， 而线性矩阵不等式方法可以很好地弥补Riccati 方程方法的上述不足。在解线性矩阵不等式时， 不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵。这使得它在在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。线性矩阵不等式以及线性矩阵不等式方法（技术）已是控制工程、系统辨识、结构设计等领域的一个强有力的设计工具。 1 线性矩阵不等式的介绍 一个线性矩阵不等式具有如下形式： F（x）=F0+x1F1+x2F2+…+xmFm 式中，x1，…， xm是m个实数变量， 称为是线性矩阵不等式（1）的决策变量， x=（x1，…， xm）T∈Rm是由决策变量构成的向量， 称为决策向量。Fi=FiT∈Rm×m，i=0，1，…， m，是一组给定的实对称矩阵， 式（1）中的“ 2 线性矩阵不等式常用的求解器 LMI 工具箱提供了求解以下3 个问题的线性矩阵不等式求解器。 2.1可行性问题 寻找一个x∈Rn，使得满足线性矩阵不等式系统： A（x） 相应的求解器是feasp。 feasp 函数是在线性矩阵不等式A（x） 2.2具有线性矩阵不等式约束的一个线性目标函数的最小化问题 s.t. A（x） 相应的求解器是mincx。 2.3广义特征值的最小化问题 s.t. C（x） 0 A（x） 相应的求解器是gevp。 3 线性矩阵不等式应用示例 采用MATLAB 中LMI 工具箱求解矩阵不等式的问题。 对给出的系统矩阵A是否存在正定阵P，使得。这是控制问题中常见的判断系统矩阵A是否稳定的常见问题。为了仿真起见，我们给出具体的系统矩阵A。这个LMI对应程序如下： A=[1 -0.5；1 0]； %输入系统矩阵 setlmis（[]）； %建立一个新的LMI P=lmivar（1，[2，1]）； %定义一个2维对称阵P lmiterm（[-1 1 1 P]，1，1） ； %（1，1）分块，P lmiterm（[-1 2 1 P]，1，A） ； %（2，1）分块，PA lmiterm（[-1 2 2 P]，1，1） ； %（2，2）分块，P lmis=getlmis； % 完成LMI的输入 [tmin，xfeas]=feasp（lmis）； %求解可行解的问题 P=dec2mat（lmis， xfeas， P）； %提取可行解 运算结果。上述的计算结果表明， 可找到一个对称的正定矩阵P使线性矩阵不等式成立， 根据线性矩阵不等式稳定性判定条件， 此开环系统稳定。 4 总结 本文结合作者的经验积累给出一些较具体、系统的对线性矩阵不等式和线性矩阵不等式问题在MATLAB文件中的应用说明作了简要描述。并利用MA TLAB软件中的线性矩阵不等式控制工具箱， 结合具体实例， 给出了一个离散时间系统的稳定性分析的例子。这对初学者会是一个很好的借鉴。 参考文献： [1]D’Andrea R.Linear matrix inequality conditions for robustness and control design[J] .International Journal of Robust and Nonlinear Control， 2001， 11（6）： 541-554 [2]俞立.鲁棒控制：线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社，2002：50-55