小稻秧历险记

1．（2014•扬州）设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是 ．

2．（10分）（2014•扬州）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=

=b．

（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组

恰好有3个整数解，求实数p的取

值范围；

（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？

3．如果把一个多边形的边数增加１倍后,它的内角和为２１６０°,那么原来多边形的边数是

( )．

A．５ B．６ C．７ D．８4

22

4.－x+2xy－y的一个因式是x－y，则另一个因式是________.

2

5.若x+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________. 6.阅读下列计算过程：

2222

99×99+199=99+2×99+1=（99+1）=100=10 （1）计算：

999×999+1999=____________=_______________=_____________=_____________；

9999×9999+19999=__________=_______________=______________=_______________。 （2）猜想9999999999×9999999999+[1**********]等于多少？写出计算过程。

2

7.已知代数式3x4x6的值为9，则x

2

4

x6的值为 3

8．海滨外国语学校打算买10~25只随身听，A、B两家商店均有同一品牌的这种商品，且报价均为300元．经过协商，A店表示可按七五折结帐；B店表示可按八折优惠并赠送一只随身听．该学校选择哪家商店购货花费最少?

222

9.因式分解（1）x-2x-8 （2）x+5x+6 （3）x-7x+12

1．如图，D、E、F、G四点在△ABC的三边上，其中DG与EF相交于点H．若 ∠ABC＝∠EFC＝70°，∠ACB＝60°，∠DGB＝40°，则下列三角形相似的是( ) A．△BDG，△CEF B．△ABC，△CEF C．△ABC，△BDG D．△FGH，△

ABC

2．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为 ( ) A．1 B． 2 C．3 D．4

3．下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，则△_______∽△_______，若AC＝2，AD＝1，则DB＝_______．

5．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，试说明： (1)△ABF∽△ACE．

(2)△AEF∽△ACB．

6．如图，在△ABC中，AB＝8 cm．BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm／s

的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm／s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后，△PBQ与△ABC相似？

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，分别以AC、BC为边向三角形外作

等边△ACE和等边△BCF，连接DE、DF．试说明△ADE∽△CDF．

8．一个铝质三角形框架的三条边长分别为24 cm、30 cm、36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm、45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有 ( )

A．0种 B．1种 C．2种 D．3种

9．（2014．宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）

A．1个

B． 2个

C． 3个

D． 4个

10．如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD，CE相交于G．试说明

GEGD1

 CEAD3

11．（2014．玉林）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP． （1）求证：四边形BMNP是平行四边形；

（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．

12．如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F． (1) CA·CE与CB·CF相等吗？为什么？

(2)连接EF，交CD于点O，线段OC、OF、OE、OD成比例吗？

5．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形的对数是( )． A．1对 B．2对

C．3对 D．4对

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有 ( )．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．小明拿了一张正方形的纸片，如图(1)，沿虚线对折一次得图(2)，再对折一次得(3)，然后用剪刀沿图(3)中的虚线（虚线与底、边平行）剪去一个角，打开后的形状是( )．

13．在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝_______．

14．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝150°，

则∠θ＝_______．

16．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以点D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_______个．

24．如图(1)，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

(1)如图(2)，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

(2)如图(3)，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，在(1)中所得结论是否仍然成立？请说明理由．

1．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q． （1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若BC=AG=24，请直接写出S△AEF= ．

2.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为 3.

y20，则xy

2

2014

等于

4.若2a7与3a3是同一个数的平方根，则a的值是

5. 16的平方根是

. 绝对值最小的实数是

6.实数

22



8

中的无理数是 . 7

3

7.请解答：（1

a

b

，求ab （2

）已知：10xy，其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数．

8.（本题满分8分）如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE＝∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ.

(1)求证：△PBQ是等腰直角三角形； (2)若PQ＝PB＋PD＋1，求△PAB的面积．

2

2

2

9．（8分）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点 H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明． 第27题图

28．（9分）我们知道，如果两个三角形全等，则它们面积相等，而两个不全等的三角形，

在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE． （1）如图1，当∠BCE=90°时，求证S△ACD=S△BCE

（2）如图2，当0°＜∠BCE＜90°时，上述结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成绩，说明理由．

（3）如图3，在（2）的基础上，作CF⊥BE，延长FC交AD于点G，求证：点G为AD中点．

D D

E

图1 图2

第28题图 27证明：∵AB=AC，∠ACB=90°，D为AB中点 ∴CD⊥AB，CD=AD=DB 又∵BF⊥CE ∴∠CFG=∠BDG ∴∠FGC=∠DGB

由三角的内角和为180° ∴∠FCG=∠GBD 在△CED与△BGD中



DCEDBGCDBD



CDEBDG∴△DCE≌△DGB ∴DE=DG ∴AE=CG

（2）∵∠ACB=90° ∴∠ACH+∠BCF=90° ∵BF⊥CH

∴∠CBF+∠BCF=90° ∴∠ACH=∠CBF 又∵CH⊥AM ∴∠CHA=∠BFC 在△ACH与△CBF中

D

F 图3

ACHCBF

CHABFC ACCB

∴△ACH≌△CBF ∴CH=BF

由（1）可得，

∴∠ACD=∠CBD=45° ∴∠HCM=∠FBE 在△HCM与△FBE中

HCMFBE

CHBF

CHMBFE

∴△HCM≌△FBE ∴CM=BE

28．证明：（1）∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形 ∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE ∵∠BCE=90° ∴∠ACE=∠BCE

在△ACD与△BCE中，

ACBC

ACEBCE DCEC

∴△ACD≌△BCE ∴S△ACE=S△BCE

（2）作AG垂直DC的延长线于点G，作BH⊥CE，垂足为H， ∵∠ACB=∠GCE= 90° ∴∠ACG=∠BCH 在△ACG与△BCF中

AGCBHC

ACGBCH ACBC

∴△ACG≌△BCH ∴AG=BH ∵CD=CE ∴

11

CDAGCEBH 22

即S△ACE=S△BCE

（3）作AM垂直CG的延长线于点M，作DN⊥CG，垂足为N，

∠ACB=90，∠BFC=90°

∠ACM+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90° ∠ACM=∠CBF

在△ACM与△BCF中

AMCCFB

ACMCBF ACCB

△ACM≌△CBF AM=CF 同理可证 △DCN≌△CEF DN=CF AM=DN

又∠AMG=∠DNG ∠AGM=∠DGN △AMG≌△DNG AG=DG

即G为AD中点

1．（2014•扬州）设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是 ．

2．（10分）（2014•扬州）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=

=b．

（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组

恰好有3个整数解，求实数p的取

值范围；

（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？

3．如果把一个多边形的边数增加１倍后,它的内角和为２１６０°,那么原来多边形的边数是

( )．

A．５ B．６ C．７ D．８4

22

4.－x+2xy－y的一个因式是x－y，则另一个因式是________.

2

5.若x+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________. 6.阅读下列计算过程：

2222

99×99+199=99+2×99+1=（99+1）=100=10 （1）计算：

999×999+1999=____________=_______________=_____________=_____________；

9999×9999+19999=__________=_______________=______________=_______________。 （2）猜想9999999999×9999999999+[1**********]等于多少？写出计算过程。

2

7.已知代数式3x4x6的值为9，则x

2

4

x6的值为 3

8．海滨外国语学校打算买10~25只随身听，A、B两家商店均有同一品牌的这种商品，且报价均为300元．经过协商，A店表示可按七五折结帐；B店表示可按八折优惠并赠送一只随身听．该学校选择哪家商店购货花费最少?

222

9.因式分解（1）x-2x-8 （2）x+5x+6 （3）x-7x+12

1．如图，D、E、F、G四点在△ABC的三边上，其中DG与EF相交于点H．若 ∠ABC＝∠EFC＝70°，∠ACB＝60°，∠DGB＝40°，则下列三角形相似的是( ) A．△BDG，△CEF B．△ABC，△CEF C．△ABC，△BDG D．△FGH，△

ABC

2．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为 ( ) A．1 B． 2 C．3 D．4

3．下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，则△_______∽△_______，若AC＝2，AD＝1，则DB＝_______．

5．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，试说明： (1)△ABF∽△ACE．

(2)△AEF∽△ACB．

6．如图，在△ABC中，AB＝8 cm．BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm／s

的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm／s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后，△PBQ与△ABC相似？

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，分别以AC、BC为边向三角形外作

等边△ACE和等边△BCF，连接DE、DF．试说明△ADE∽△CDF．

8．一个铝质三角形框架的三条边长分别为24 cm、30 cm、36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm、45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有 ( )

A．0种 B．1种 C．2种 D．3种

9．（2014．宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）

A．1个

B． 2个

C． 3个

D． 4个

10．如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD，CE相交于G．试说明

GEGD1

 CEAD3

11．（2014．玉林）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP． （1）求证：四边形BMNP是平行四边形；

（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．

12．如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F． (1) CA·CE与CB·CF相等吗？为什么？

(2)连接EF，交CD于点O，线段OC、OF、OE、OD成比例吗？

5．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形的对数是( )． A．1对 B．2对

C．3对 D．4对

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有 ( )．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．小明拿了一张正方形的纸片，如图(1)，沿虚线对折一次得图(2)，再对折一次得(3)，然后用剪刀沿图(3)中的虚线（虚线与底、边平行）剪去一个角，打开后的形状是( )．

13．在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝_______．

14．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝150°，

则∠θ＝_______．

16．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以点D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_______个．

24．如图(1)，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

(1)如图(2)，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

(2)如图(3)，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，在(1)中所得结论是否仍然成立？请说明理由．

1．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q． （1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若BC=AG=24，请直接写出S△AEF= ．

2.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为 3.

y20，则xy

2

2014

等于

4.若2a7与3a3是同一个数的平方根，则a的值是

5. 16的平方根是

. 绝对值最小的实数是

6.实数

22



8

中的无理数是 . 7

3

7.请解答：（1

a

b

，求ab （2

）已知：10xy，其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数．

8.（本题满分8分）如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE＝∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ.

(1)求证：△PBQ是等腰直角三角形； (2)若PQ＝PB＋PD＋1，求△PAB的面积．

2

2

2

9．（8分）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点 H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明． 第27题图

28．（9分）我们知道，如果两个三角形全等，则它们面积相等，而两个不全等的三角形，

在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE． （1）如图1，当∠BCE=90°时，求证S△ACD=S△BCE

（2）如图2，当0°＜∠BCE＜90°时，上述结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成绩，说明理由．

（3）如图3，在（2）的基础上，作CF⊥BE，延长FC交AD于点G，求证：点G为AD中点．

D D

E

图1 图2

第28题图 27证明：∵AB=AC，∠ACB=90°，D为AB中点 ∴CD⊥AB，CD=AD=DB 又∵BF⊥CE ∴∠CFG=∠BDG ∴∠FGC=∠DGB

由三角的内角和为180° ∴∠FCG=∠GBD 在△CED与△BGD中



DCEDBGCDBD



CDEBDG∴△DCE≌△DGB ∴DE=DG ∴AE=CG

（2）∵∠ACB=90° ∴∠ACH+∠BCF=90° ∵BF⊥CH

∴∠CBF+∠BCF=90° ∴∠ACH=∠CBF 又∵CH⊥AM ∴∠CHA=∠BFC 在△ACH与△CBF中

D

F 图3

ACHCBF

CHABFC ACCB

∴△ACH≌△CBF ∴CH=BF

由（1）可得，

∴∠ACD=∠CBD=45° ∴∠HCM=∠FBE 在△HCM与△FBE中

HCMFBE

CHBF

CHMBFE

∴△HCM≌△FBE ∴CM=BE

28．证明：（1）∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形 ∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE ∵∠BCE=90° ∴∠ACE=∠BCE

在△ACD与△BCE中，

ACBC

ACEBCE DCEC

∴△ACD≌△BCE ∴S△ACE=S△BCE

（2）作AG垂直DC的延长线于点G，作BH⊥CE，垂足为H， ∵∠ACB=∠GCE= 90° ∴∠ACG=∠BCH 在△ACG与△BCF中

AGCBHC

ACGBCH ACBC

∴△ACG≌△BCH ∴AG=BH ∵CD=CE ∴

11

CDAGCEBH 22

即S△ACE=S△BCE

（3）作AM垂直CG的延长线于点M，作DN⊥CG，垂足为N，

∠ACB=90，∠BFC=90°

∠ACM+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90° ∠ACM=∠CBF

在△ACM与△BCF中

AMCCFB

ACMCBF ACCB

△ACM≌△CBF AM=CF 同理可证 △DCN≌△CEF DN=CF AM=DN

又∠AMG=∠DNG ∠AGM=∠DGN △AMG≌△DNG AG=DG

即G为AD中点