线性代数§1.1二阶.三阶行列式

本章说明与要求

行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用。在本章里我们主要讨论下面几个问题：

(1) 行列式的定义；

(2) 行列式的基本性质及计算方法；

(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)。

本章的重点：是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式。

计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算。

常用的行列式计算方法和技巧：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法。

行列式在本章的应用：求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件。

。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。

。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

==============================================

§1.1 二阶、三阶行列式

行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解

的公式引出来的。因此我们首先讨论解方程组的问题。

axbyc ------1 设有二元线性方程组dxeyf ------2

用消元法求解：

e1b2: (aebd)xcebf，xcebf， aebd

afdc。 a2d1: (aebd)yafdc，yaebd

cebfxaebd即得方程组的解：。 afdcyaebd

这就是一般二元线性方程组的解公式。

但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。

-------------------------------------------------------------------------------------- ㈠二阶行列式：(课本P1)

⑴定义：由4个数a,b,c,d及双竖线 组成的符号

式。

⑵构成：二阶行列式含有两行，两列。横排的数构成行，纵排的数构成列。行列式中的数称为行列式的元素，相等的行数和列数2称为行列式的阶。 ⑶含义：它按规定的方法表示元素a,b,c,d 的运算结果，即为：由左上至右下的两元素之积ad ，减去右上至左下的两元素之积bc。其中每个积中的两个数均来自不同的行和不同的列。

或者说：二阶行列式是这样的两项的代数和，一项是从左上角到右下角ab称为二阶行列cd

的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一项是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号。即： a

cbdadbc

 +

【例1】求51

32的值。(课本P2例1)

【解】5152(1)313。 32

【例2】当为何值时，行列式D2

31的值为0？(课本P2例2.⑴)

【解】因为D2

3123(3)，

要使(3)0，须使0或3，

即知，当0或3时，行列式D2

31的值为0。

【例3】当为何值时，行列式D

2.⑵)

【解】因为D231的值不等于0？(课本P2例2

3123，

2要使30，须使0且3，

即知，当0且3时，行列式D2

31的值不为0。

⑷规律性表示方法：更一般地，为使行列式的抽象表达更具规律性，习惯

上使用大写英文字母作为行列式的代码，其元素使用该大写英文字母对应的小写英文字母统一表示，并在每一小写英文字母的右下方以更小字号排放两个足码，前一足码代表该元素所在的行，后一足码代表该元素所在的列。如a21表示该元素位于行列式A中第二行第一列。即如：

a11a12b11b12， 等等。 ABa21a22b21b22

这样表达的行列式，形式简便整齐，元素排列的规律性明显，便于记忆。

a11x1a12x2b1于是，将二元线性方程组 的解 axaxb2112222

a22b1a12b2x1aaaa11221221 当中的 xa11b2a21b1

2a11a22a12a21

两个不同分子，以及一个共同的分母，按其在方程组中的排列方法，以及二阶行列式的运算规律，可令：

① 解中的分母，亦称方程组的系数行列式，为

Da11a12

a21a22a11a22a12a21，

② 解中未知数x1的分子，亦称x1的分子行列式，为

D1b1

b2a12a22a22b1a12b2，

③ 解中未知数x2的分子，亦称x2的分子行列式，为

D2a11b1

a21b2a11b2a21b1，

其中，系数行列式Da11a12是由方程组中两未知数x1、x2的系数a21a22

按其原有的相对位置排列而成的；

b1x1的分子行列式D1b2a11a12a12是将系数行列式Da21a22a22

中的第1列换成方程组的常数项而得到，

x2的分子行列式D2a11b1则是把系数行列式a21b2

a11a12中的第2列换成方程组的常数项而得到。 Da21a22

这样用行列式来表示方程组的解，就得到如下简便、整齐，便于记忆与运算的形式：(亦称克莱姆法则，课本P31)

5x4y8 。

4x5y6【例3】求解二元线性方程组

【解】由于系数行列式 D

解，

再由于D154251690，知该方程组有4584402416， 65

5830322， 46

D116D2，x22。 D9D9D2即得方程组的解为x1

似乎这样表示线性方程组的解比原来更为烦琐，但这创造了多元线性方

程组的解的公式及其规律性的解法，并为用电脑程序解多元线性方程组打下了良好的基础。更为下一步学习矩阵知识，为学习高级、大型的管理知识做好了准备。

相应练习见课本

【第四版】习题一(A)中的⒈大题全部和40.大题⑴⑵

==================================================

与二阶行列式相仿，对于三元一次线性方程组作类似的讨论，我们得到三阶行列式：

㈡三阶行列式：(课本P3)

⑴定义：由在双竖线││内，排成三行三列的9个数组成的符号：a11a12

a21a22

a31a32a13a23，称为三阶行列式。 a33

⑵构成：三阶行列式含有三行，三列。横排的数构成行，纵排的数构成列。行列式中的数称为行列式的元素，相等的行数和列数3称为行列式的阶。

⑶含义：三阶行列式按规定的方法表示9个元素的运算结果，为6个项的代数和，每个项均为来自不同行不同列的三个元素之积，其符号的确定如下图所示：

从图中可见，三阶行列式是这样的六个项的代数和：从左上角到右下角的每条蓝色连线上，来自不同行不同列的三个元素的乘积，取正号；从右上角到左下角的每条红色连线上，来自不同行不同列的三个元素的乘积，取负号。即

a11a12

a21a22

a31a32a13 （a11a22a33a12a23a31a13a21a32）a23a33

（a11a23a32+a12a21a33+a13a22a31）

运算时，在整体上，应从第一行的a11起，自左向右计算左上到右下方向上的所有的三元乘积，再从第一行的a11起，自左向右计算右上到左下的方向上的所有的三元乘积。对于各项的计算，应按行标的自然数顺序选取相乘的元素。这样较为不容易产生错漏。

123

【例4】求行列式405的值。（课本P3例1） 106

123

【解】405

106[10625(1)340]

[15024630(1)]

104858。

ab0

【例5】a,b满足什么条件时有ba00。（课本P3例2）

101

a

【解】由于bb0a0a2(b2)a2b2，

01

221可见，若要使ab0，必须a与b同时为0，

ab0

因此，当ab0时，ba00。

101

a10

【例6】1a00的充分必要条件是什么？（课本P4例3） 411

a10

【解】因为1a0a21，

411

而a10成立的充分必要条件是a1， 2

a10

因此可得，1a00的充分必要条件是a1。

411

类似于二元线性方程组的行列式解公式，三元线性方程组也有其系数行列式以及相应未知数的分子行列式，得到如下解法（克莱姆法则）：

a11x1a12x2a13x3b1记三元线性方程组a21x1a22x2a23x3b2 的

axaxaxb3333311322

a11a12a13

系数行列式为 Daa22a2，213

a31a32a33

b1

x1的分子行列式为D1b2

b3a12a22a32a13a23， a33

a13

a23，

a33a11b1x2的分子行列式为D2a21b2a31b3

a11a12b1

x3的分子行列式为D3a21a22b2，

a31a32b3

5x1x22x32【例4】求解线性方程组2x1x2x34 。

9x2x5x3231512

【解】由于D2112598(101018)

925

423840

方程组有解，再计算各分子行列式，得

212

D141110316(4206)29301，

325

522

D22411001812(152072)

935

13010723，

512

D321415368(40618)59645，

923

即得方程组的解为：

x1

D5D11D23，x22，x33。 D4D4D4

相应练习见课本：

【第四版】习题一(A)中的⒉大题全部和3.⒋⒌⒍7.大题，40.大题中的⑶⑷⑸。

本章说明与要求

行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用。在本章里我们主要讨论下面几个问题：

(1) 行列式的定义；

(2) 行列式的基本性质及计算方法；

(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)。

本章的重点：是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式。

计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算。

常用的行列式计算方法和技巧：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法。

行列式在本章的应用：求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件。

。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。

。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

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§1.1 二阶、三阶行列式

行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解

的公式引出来的。因此我们首先讨论解方程组的问题。

axbyc ------1 设有二元线性方程组dxeyf ------2

用消元法求解：

e1b2: (aebd)xcebf，xcebf， aebd

afdc。 a2d1: (aebd)yafdc，yaebd

cebfxaebd即得方程组的解：。 afdcyaebd

这就是一般二元线性方程组的解公式。

但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。

-------------------------------------------------------------------------------------- ㈠二阶行列式：(课本P1)

⑴定义：由4个数a,b,c,d及双竖线 组成的符号

式。

⑵构成：二阶行列式含有两行，两列。横排的数构成行，纵排的数构成列。行列式中的数称为行列式的元素，相等的行数和列数2称为行列式的阶。 ⑶含义：它按规定的方法表示元素a,b,c,d 的运算结果，即为：由左上至右下的两元素之积ad ，减去右上至左下的两元素之积bc。其中每个积中的两个数均来自不同的行和不同的列。

或者说：二阶行列式是这样的两项的代数和，一项是从左上角到右下角ab称为二阶行列cd

的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一项是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号。即： a

cbdadbc

 +

【例1】求51

32的值。(课本P2例1)

【解】5152(1)313。 32

【例2】当为何值时，行列式D2

31的值为0？(课本P2例2.⑴)

【解】因为D2

3123(3)，

要使(3)0，须使0或3，

即知，当0或3时，行列式D2

31的值为0。

【例3】当为何值时，行列式D

2.⑵)

【解】因为D231的值不等于0？(课本P2例2

3123，

2要使30，须使0且3，

即知，当0且3时，行列式D2

31的值不为0。

⑷规律性表示方法：更一般地，为使行列式的抽象表达更具规律性，习惯

上使用大写英文字母作为行列式的代码，其元素使用该大写英文字母对应的小写英文字母统一表示，并在每一小写英文字母的右下方以更小字号排放两个足码，前一足码代表该元素所在的行，后一足码代表该元素所在的列。如a21表示该元素位于行列式A中第二行第一列。即如：

a11a12b11b12， 等等。 ABa21a22b21b22

这样表达的行列式，形式简便整齐，元素排列的规律性明显，便于记忆。

a11x1a12x2b1于是，将二元线性方程组 的解 axaxb2112222

a22b1a12b2x1aaaa11221221 当中的 xa11b2a21b1

2a11a22a12a21

两个不同分子，以及一个共同的分母，按其在方程组中的排列方法，以及二阶行列式的运算规律，可令：

① 解中的分母，亦称方程组的系数行列式，为

Da11a12

a21a22a11a22a12a21，

② 解中未知数x1的分子，亦称x1的分子行列式，为

D1b1

b2a12a22a22b1a12b2，

③ 解中未知数x2的分子，亦称x2的分子行列式，为

D2a11b1

a21b2a11b2a21b1，

其中，系数行列式Da11a12是由方程组中两未知数x1、x2的系数a21a22

按其原有的相对位置排列而成的；

b1x1的分子行列式D1b2a11a12a12是将系数行列式Da21a22a22

中的第1列换成方程组的常数项而得到，

x2的分子行列式D2a11b1则是把系数行列式a21b2

a11a12中的第2列换成方程组的常数项而得到。 Da21a22

这样用行列式来表示方程组的解，就得到如下简便、整齐，便于记忆与运算的形式：(亦称克莱姆法则，课本P31)

5x4y8 。

4x5y6【例3】求解二元线性方程组

【解】由于系数行列式 D

解，

再由于D154251690，知该方程组有4584402416， 65

5830322， 46

D116D2，x22。 D9D9D2即得方程组的解为x1

似乎这样表示线性方程组的解比原来更为烦琐，但这创造了多元线性方

程组的解的公式及其规律性的解法，并为用电脑程序解多元线性方程组打下了良好的基础。更为下一步学习矩阵知识，为学习高级、大型的管理知识做好了准备。

相应练习见课本

【第四版】习题一(A)中的⒈大题全部和40.大题⑴⑵

==================================================

与二阶行列式相仿，对于三元一次线性方程组作类似的讨论，我们得到三阶行列式：

㈡三阶行列式：(课本P3)

⑴定义：由在双竖线││内，排成三行三列的9个数组成的符号：a11a12

a21a22

a31a32a13a23，称为三阶行列式。 a33

⑵构成：三阶行列式含有三行，三列。横排的数构成行，纵排的数构成列。行列式中的数称为行列式的元素，相等的行数和列数3称为行列式的阶。

⑶含义：三阶行列式按规定的方法表示9个元素的运算结果，为6个项的代数和，每个项均为来自不同行不同列的三个元素之积，其符号的确定如下图所示：

从图中可见，三阶行列式是这样的六个项的代数和：从左上角到右下角的每条蓝色连线上，来自不同行不同列的三个元素的乘积，取正号；从右上角到左下角的每条红色连线上，来自不同行不同列的三个元素的乘积，取负号。即

a11a12

a21a22

a31a32a13 （a11a22a33a12a23a31a13a21a32）a23a33

（a11a23a32+a12a21a33+a13a22a31）

运算时，在整体上，应从第一行的a11起，自左向右计算左上到右下方向上的所有的三元乘积，再从第一行的a11起，自左向右计算右上到左下的方向上的所有的三元乘积。对于各项的计算，应按行标的自然数顺序选取相乘的元素。这样较为不容易产生错漏。

123

【例4】求行列式405的值。（课本P3例1） 106

123

【解】405

106[10625(1)340]

[15024630(1)]

104858。

ab0

【例5】a,b满足什么条件时有ba00。（课本P3例2）

101

a

【解】由于bb0a0a2(b2)a2b2，

01

221可见，若要使ab0，必须a与b同时为0，

ab0

因此，当ab0时，ba00。

101

a10

【例6】1a00的充分必要条件是什么？（课本P4例3） 411

a10

【解】因为1a0a21，

411

而a10成立的充分必要条件是a1， 2

a10

因此可得，1a00的充分必要条件是a1。

411

类似于二元线性方程组的行列式解公式，三元线性方程组也有其系数行列式以及相应未知数的分子行列式，得到如下解法（克莱姆法则）：

a11x1a12x2a13x3b1记三元线性方程组a21x1a22x2a23x3b2 的

axaxaxb3333311322

a11a12a13

系数行列式为 Daa22a2，213

a31a32a33

b1

x1的分子行列式为D1b2

b3a12a22a32a13a23， a33

a13

a23，

a33a11b1x2的分子行列式为D2a21b2a31b3

a11a12b1

x3的分子行列式为D3a21a22b2，

a31a32b3

5x1x22x32【例4】求解线性方程组2x1x2x34 。

9x2x5x3231512

【解】由于D2112598(101018)

925

423840

方程组有解，再计算各分子行列式，得

212

D141110316(4206)29301，

325

522

D22411001812(152072)

935

13010723，

512

D321415368(40618)59645，

923

即得方程组的解为：

x1

D5D11D23，x22，x33。 D4D4D4

相应练习见课本：

【第四版】习题一(A)中的⒉大题全部和3.⒋⒌⒍7.大题，40.大题中的⑶⑷⑸。