存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，有一定的难度．为此借用简单的平移坐标法来探究平行四边形的存在性问题．
1. 平移坐标法的探究
1.1 课本习题
题目：（人教版《数学》七年级（下）习题6．2第1题） 如图1，三架飞机P、Q、R保持编队飞行，分别写出他们的坐标．30秒后，飞机P飞到P′ 的位置，飞机Q、R飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标．
图1 图2 图3
分析：三架飞机保持编队飞行，实际上是三架飞机保持相对位置不变，相当于△PQR作了整体的平移，因此当飞机P平移到P′ 的位置时，飞机Q和R与飞机P进行了相同的平移变换．
解：由图中看出四个点坐标分别为P（-1,1）、Q（-3,1）、R（-1,-1）、P′（4,3），点P（-1,1）平移到点P′（4,3），横坐标加了5，纵坐标加了2，所以Q→Q′、R→R′ 的坐标变化也一样，从而Q′点的坐标为（2，3）、R′点的坐标为（4,1）．
本题中求出点Q′、R′ 坐标依据的是平移的性质：对一个图形进行平移，图形上所有点的横、纵坐标都要相应发生相同的变化．
1.2 模型探究
如图2，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点．
（1）画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形．
（2）若A、B、C三点的坐标分别为
、
、
，写出第四个顶点D的坐标．
解：（1）如图3， 过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以A、B、C三点为顶点的平行四边形有三个：以BC为对角线，有□CABD1；以AC为对角线，有□ABCD2；以AB为对角线，有□ACBD3．
（2）在□CABD1中，线段AC平移到BD1，因A→B横坐标增加（
）、纵坐标增加（
），根据坐标平移的性质得D1（
，
）．
同理得D2（
，
）、D3（
，
）．
结论：以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个．由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标．姑且称之为平移坐标法．
2. 平移坐标法的运用
平移坐标法能否用来探究平行四边形的存在性问题呢？
2.1. 三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性．
例1 （2009烟台）如图4，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于C点，且经过点（
，
），对称轴是直线
，顶点是
．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过
两点作直线与
轴交于点
，在抛物线上是否存在这样的点
，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？
图4 图5
解：（1）抛物线的函数表达式为
．
（2）由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A
、 C
、 N
．
下面探讨以三点A、C、N为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标． 如图5，由平移的性质直接写出第四个顶点的坐标：以CN为对角线，第四个顶点坐标为
；以AC为对角线，第四个顶点坐标为
；以AN为对角线，第四个顶点坐标为
．将其分别代入抛物线
中检验，其中只有
在抛物线上．
点评：本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标．值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑．
例2 （2009湖州）已知抛物线
（
）与
轴相交于点
，顶点为
.直线
与
轴相交于
点，与直线
相交于点
．
(1) 填空：试用含
的代数式分别表示点
与
的坐标，则
；
(2) 如图6，在抛物线
（
）上是否存在一点
，使得以
为顶点的四边形是平行四边形？
图6 图7
解：（1）
．
（2） 由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A
、C
、N
．
下面探讨以A、C、N三点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，如图7．
若以CN为对角线，第四个顶点为
，代入解析式得
，即
；
若以AC为对角线，第四个顶点为
，代入解析式得
，即
；
若以AN为对角线，第四个顶点为
，代入解析式得
＞0，不合题意，无解．
∴所以在抛物线上存在点
和
，使得以
为顶点的四边形是平行四边形．
点评：①本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值（含字母a），但依然可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标．②看上去此法冗长，三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨．有些解法通过分析图形认为以AN为对角线显然不可能，其实对于学生来说这个“显然”并不显然．抛物线的走向和弯曲程度学生是难以判断的，更何况这是一个含字母系数的二次函数．这样讨论更严谨！
2.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性。
例3 （2009抚顺） 已知：如图8，关于
的抛物线
与
轴交于点
、点
，与
轴交于点
．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点
，使四边形
为等腰梯形，写出点
的坐标，并求出直线
的解析式；
（3）在（2）中的直线
交抛物线的对称轴于点
，抛物线上有一动点
，
轴上有一动点
．是否存在以
为顶点的平行四边形？
解：（1）抛物线解析式为
，顶点坐标是（2，4）．
（2）点
坐标为
， 直线
的解析式为
．
图8 图9
（3）直线
与抛物线对称轴
的交点坐标为M（2，2）．
假设
轴上动点Q的坐标为
．下面探讨以A、M、Q三点为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标．（图9）．
若以MQ为对角线，第四个顶点坐标为
，代入
得
．
若以AM为对角线，第四个顶点坐标为
，代入
得
．
若以AQ为对角线，第四个顶点坐标为
，代入
得
．
∴存在满足条件的点有四个：
，
，
，
点评：先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照平移的性质，写出第四个顶点的坐标．再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标．
上述例题中总有两个点在同一坐标轴上，尚可通过平移和旋转来探究平行四边形的存在问题．如果题目中没有两点在同一坐标轴上，难么，难以通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题．然而平移坐标法将是解决这一问题的一个法宝．（见附件）
例4 （2009南平）如图12，已知抛物线：
（1）求抛物线
的顶点坐标．
（2）将
向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线
，求
的解析式．
（3）抛物线
的顶点为P，
轴上有一动点M，在
、
这两条抛物线上是否存在点N，使O、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？
图12 图13
解：（1）
的顶点坐标是（2，2）
（2）
＝
（3）假设
轴上动点M坐标为
．有已知条件易得P
下面探究以O、P、M三点为顶点（OP为边）的平行四边形第四个顶点N的坐标．
如图13，因为P为抛物线
、
的最高点，若以PM为对角线，有PN∥OM，则点N不可能在抛物线
或
上，故不可能存在满足条件的点；若以OM为对角线，用平移坐标法看出点N坐标为
．
若点N 在抛物线
上，可得：
或
；
若点N在抛物线
上，可得：
或
．
∴存在满足条件的N点有四个：
、
、
、
．
点评：①本题中N点可以在抛物线
上，也可以在抛物线
上，运动的范围较大，学生难以探索，用平移坐标法不必分析复杂的图形，降低了分析的难度，体现了平移坐标法强大的解题功效． ②本题中因确定了以OP为一边，所以只有两种情况需要探究．
3 平移坐标法的思考
平移坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等……，而是用动态的观点看待几何图形——把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化——用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想．
平移坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）． 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．
平移坐标法的特点： ①不会遗漏． 平移坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；②不需证明．平移坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；③不限条件．平移坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变．
由课本习题偶然发现可以通过平移直接写出点的坐标，于是笔者进一步研究发现，新课程把“平面直角坐标系”前移，同时新增了“用坐标表示平移”的内容，实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识．
附：（2007·浙江义乌）如图10，抛物线
与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线
与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使得以A、C、F、G这样四点为顶点的四边形是平行四边形？
图10 图11
变式 图11，若已知Q
，点G是抛物线
上的动点，在抛物线
上是否存在点F，使得以Q、C、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？
解题思路： 设F点坐标为（a,
）,那么转化为三个定点问题，三个定点是Q
，C（2，-3），F（a,
），直接写出点G坐标，后代入
中，就可求出a，从而知F点坐标。 也可设G点坐标，再写出F点坐标，代入
也可。
存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，有一定的难度．为此借用简单的平移坐标法来探究平行四边形的存在性问题．
1. 平移坐标法的探究
1.1 课本习题
题目：（人教版《数学》七年级（下）习题6．2第1题） 如图1，三架飞机P、Q、R保持编队飞行，分别写出他们的坐标．30秒后，飞机P飞到P′ 的位置，飞机Q、R飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标．
图1 图2 图3
分析：三架飞机保持编队飞行，实际上是三架飞机保持相对位置不变，相当于△PQR作了整体的平移，因此当飞机P平移到P′ 的位置时，飞机Q和R与飞机P进行了相同的平移变换．
解：由图中看出四个点坐标分别为P（-1,1）、Q（-3,1）、R（-1,-1）、P′（4,3），点P（-1,1）平移到点P′（4,3），横坐标加了5，纵坐标加了2，所以Q→Q′、R→R′ 的坐标变化也一样，从而Q′点的坐标为（2，3）、R′点的坐标为（4,1）．
本题中求出点Q′、R′ 坐标依据的是平移的性质：对一个图形进行平移，图形上所有点的横、纵坐标都要相应发生相同的变化．
1.2 模型探究
如图2，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点．
（1）画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形．
（2）若A、B、C三点的坐标分别为
、
、
，写出第四个顶点D的坐标．
解：（1）如图3， 过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以A、B、C三点为顶点的平行四边形有三个：以BC为对角线，有□CABD1；以AC为对角线，有□ABCD2；以AB为对角线，有□ACBD3．
（2）在□CABD1中，线段AC平移到BD1，因A→B横坐标增加（
）、纵坐标增加（
），根据坐标平移的性质得D1（
，
）．
同理得D2（
，
）、D3（
，
）．
结论：以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个．由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标．姑且称之为平移坐标法．
2. 平移坐标法的运用
平移坐标法能否用来探究平行四边形的存在性问题呢？
2.1. 三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性．
例1 （2009烟台）如图4，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于C点，且经过点（
，
），对称轴是直线
，顶点是
．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过
两点作直线与
轴交于点
，在抛物线上是否存在这样的点
，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？
图4 图5
解：（1）抛物线的函数表达式为
．
（2）由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A
、 C
、 N
．
下面探讨以三点A、C、N为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标． 如图5，由平移的性质直接写出第四个顶点的坐标：以CN为对角线，第四个顶点坐标为
；以AC为对角线，第四个顶点坐标为
；以AN为对角线，第四个顶点坐标为
．将其分别代入抛物线
中检验，其中只有
在抛物线上．
点评：本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标．值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑．
例2 （2009湖州）已知抛物线
（
）与
轴相交于点
，顶点为
.直线
与
轴相交于
点，与直线
相交于点
．
(1) 填空：试用含
的代数式分别表示点
与
的坐标，则
；
(2) 如图6，在抛物线
（
）上是否存在一点
，使得以
为顶点的四边形是平行四边形？
图6 图7
解：（1）
．
（2） 由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A
、C
、N
．
下面探讨以A、C、N三点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，如图7．
若以CN为对角线，第四个顶点为
，代入解析式得
，即
；
若以AC为对角线，第四个顶点为
，代入解析式得
，即
；
若以AN为对角线，第四个顶点为
，代入解析式得
＞0，不合题意，无解．
∴所以在抛物线上存在点
和
，使得以
为顶点的四边形是平行四边形．
点评：①本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值（含字母a），但依然可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标．②看上去此法冗长，三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨．有些解法通过分析图形认为以AN为对角线显然不可能，其实对于学生来说这个“显然”并不显然．抛物线的走向和弯曲程度学生是难以判断的，更何况这是一个含字母系数的二次函数．这样讨论更严谨！
2.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性。
例3 （2009抚顺） 已知：如图8，关于
的抛物线
与
轴交于点
、点
，与
轴交于点
．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点
，使四边形
为等腰梯形，写出点
的坐标，并求出直线
的解析式；
（3）在（2）中的直线
交抛物线的对称轴于点
，抛物线上有一动点
，
轴上有一动点
．是否存在以
为顶点的平行四边形？
解：（1）抛物线解析式为
，顶点坐标是（2，4）．
（2）点
坐标为
， 直线
的解析式为
．
图8 图9
（3）直线
与抛物线对称轴
的交点坐标为M（2，2）．
假设
轴上动点Q的坐标为
．下面探讨以A、M、Q三点为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标．（图9）．
若以MQ为对角线，第四个顶点坐标为
，代入
得
．
若以AM为对角线，第四个顶点坐标为
，代入
得
．
若以AQ为对角线，第四个顶点坐标为
，代入
得
．
∴存在满足条件的点有四个：
，
，
，
点评：先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照平移的性质，写出第四个顶点的坐标．再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标．
上述例题中总有两个点在同一坐标轴上，尚可通过平移和旋转来探究平行四边形的存在问题．如果题目中没有两点在同一坐标轴上，难么，难以通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题．然而平移坐标法将是解决这一问题的一个法宝．（见附件）
例4 （2009南平）如图12，已知抛物线：
（1）求抛物线
的顶点坐标．
（2）将
向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线
，求
的解析式．
（3）抛物线
的顶点为P，
轴上有一动点M，在
、
这两条抛物线上是否存在点N，使O、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？
图12 图13
解：（1）
的顶点坐标是（2，2）
（2）
＝
（3）假设
轴上动点M坐标为
．有已知条件易得P
下面探究以O、P、M三点为顶点（OP为边）的平行四边形第四个顶点N的坐标．
如图13，因为P为抛物线
、
的最高点，若以PM为对角线，有PN∥OM，则点N不可能在抛物线
或
上，故不可能存在满足条件的点；若以OM为对角线，用平移坐标法看出点N坐标为
．
若点N 在抛物线
上，可得：
或
；
若点N在抛物线
上，可得：
或
．
∴存在满足条件的N点有四个：
、
、
、
．
点评：①本题中N点可以在抛物线
上，也可以在抛物线
上，运动的范围较大，学生难以探索，用平移坐标法不必分析复杂的图形，降低了分析的难度，体现了平移坐标法强大的解题功效． ②本题中因确定了以OP为一边，所以只有两种情况需要探究．
3 平移坐标法的思考
平移坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等……，而是用动态的观点看待几何图形——把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化——用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想．
平移坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）． 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．
平移坐标法的特点： ①不会遗漏． 平移坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；②不需证明．平移坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；③不限条件．平移坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变．
由课本习题偶然发现可以通过平移直接写出点的坐标，于是笔者进一步研究发现，新课程把“平面直角坐标系”前移，同时新增了“用坐标表示平移”的内容，实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识．
附：（2007·浙江义乌）如图10，抛物线
与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线
与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使得以A、C、F、G这样四点为顶点的四边形是平行四边形？
图10 图11
变式 图11，若已知Q
，点G是抛物线
上的动点，在抛物线
上是否存在点F，使得以Q、C、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？
解题思路： 设F点坐标为（a,
）,那么转化为三个定点问题，三个定点是Q
，C（2，-3），F（a,
），直接写出点G坐标，后代入
中，就可求出a，从而知F点坐标。 也可设G点坐标，再写出F点坐标，代入
也可。