第十二讲：数学归纳法与数列的极限
知识小结：
1、数学归纳法用于证明一些与正整数有关的命题, 即通过对有限个正整数证明命题成立, 推广到对一切正整数命题都成立的思想方法, 主要步骤为
(1)证明起始命题成立(即n =1或n =2, 命题成立); (这是证明的基础)
(2)假设n =k (k ≥1, 2, ) 时命题成立, 由假设条件推出当n =k +1时命题成立; (这是递推的关键) (3)由(1)、(2)可知对于n ∈N *,命题均成立. 注意数学归纳法的证明格式！数学归纳法的原理就像多米勒骨牌！
2、证题的关键在于用好归纳假设(2),在一般的情况下，由假设n =k 时命题成立为出发点, 推出n =k +1命题成立即可.
3、数学归纳法在证明过程中要用到许多数学知识, 综合性较强. 有时在解决问题时需要先通过归纳得出结论, 再用数学归纳法证明, 那么要求能正确地归纳.
4. 数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列{a n }中的项无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{a n }的极限，或叫做数列{a n }收敛于A ，记作lim a n =A 。
n →∞
注意点：1）只有无穷数列，当n 趋近于无穷大时，a n 无限趋近于某一常数；
2）对于数列{a n }，当n 无穷增大时，a n 无限趋近于某一定值时c ，是通过a n -c 无限趋近于零来描述的。这里a n -c 无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取n 充分大以后，使a n -c 充分接近于零，如果这个任意小的正数用ε来表示，那么当n 充分大时，总有a n -c
3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。 5. 极限的运算性质性质：1) 如果lim a n =A , lim b n =B , 则
n →∞
x →∞
(1)lim (a n ±b n ) =lim a n ±lim b n =A ±B .
n →∞
n →∞
x →∞
(2)lim (a n ⋅b n ) =lim a n ⋅lim b n =A ⋅B .
n →∞
n →∞
x →∞
(3)lim
a n b n
n →∞
=
lim a n
n →∞
lim b n
x →∞
=
A B
(B ≠0, b n ≠0).
注意：我们只研究极限存在的运算。
0q
C ⎪n
=0; lim q =⎨1q =12）几个重要极限：lim C =C ; lim
n →∞n →∞n n →∞
⎪不存在q >1或q =-1⎩
⎧a k ⎪b l =k l k k -1⎪a n +a k -1n + +a 1n +a 0⎪
l >k lim k l =⎨0l -1
n →∞b l n +b l -1n + +b 1l +b 0
⎪不存在l
6. 无穷等比数列各项和的和的概念：我们把q
a 11-q
(q
注意点：1）只有当q
2）实际上可推出：S =lim S n ；
n →∞
⋅
3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如0.9=
⋅
99
=1；
0.12=
12-190
=
1190
；
例题1、选择题
(1)用数学归纳法证明不等式了______.
111111
（A ；（B +-；（C +
(k +1) +(k +1) （k +1）（+k +1）k +k +1k +1（k +1）（+k +1）k +k +1（D ）以上均错
解：当n =k 时，不等式左边为1k +2
+
1k +31
+ +
1k +k
+
1k +1+k
1k +1++
1k +21k +1+k +1
+
1k +k
；当n =k +1时，不等式左边为
1n +1
+
1n +2
+
1n +n
>1324
的过程中, 由k 推导k +1时, 不等式左边增加
，那么不等式的左边增加了
11
+-，故选B .
（k +1）（+k +1）k +k +1k +1
（2）用数学归纳法证明命题" 当n 为正奇数时，x +y 能被x +y 整除", 在验证n =1正确后, 归纳假设应写成______.
(A ) 假设n =k (k ∈N ) 时命题成立 (B ) 假设n ≤k (k ∈N ) 时命题成立(C ) 假设n =2k +1(k ∈N ) 时命题成立 (D ) 假设n =2k -1(k ∈N ) 时命题成立
解: n 为正奇数, ∴在验证n =1后, 归纳假设应写成n =2k -1(k ∈N ) 时命题成立, 故选D .
(3)某个命题与正整数n 有关, 若当n =k (k ∈N ) 时, 该命题成立, 则可推出n =k +1时, 该命题成立, 现已知当n =5时, 该命题不成立, 那么______.
(A ) 当n =6时该命题不成立 (B ) 当n =6时该命题成立(C ) 当n =4时该命题不成立 (D ) 当n =4时该命题成立
*
*
*
*
*
n
n
提示：逆否命题为“已知n =k +1不成立，推出n =k 不成立”。
解:显然选C , 否则不符合题设.
例2、求极限：
(1)已知a 、b 均为正数, 那么lim
a
n +1+b
n +1n →∞
a n
+b
n
=______.
a +⎛ b ⎫n
解:当a >b 时, 原式=lim
⎝a ⎪⎭⋅b
式n →∞
n
=a ; 当a =b 时, 原=lim
2a
n +1n →∞
1+⎛2a
n
=a ;
b ⎫⎝a ⎪
⎭
n
a ⋅⎛
a ⎫
⎝b ⎪⎭+b 当a
n →∞
,
⎛n
=b a ⎫
⎝b ⎪⎭
+1⎧a , (当a >b 时), 故原式=⎪
⎨a 或b (当a =b 时),
⎪⎩
b , (当a
n →∞
=0. 极限问题的解题思路，很多时候就是想方设法拼凑出q 值。(2)求lim ⎛132n -1n →∞ ⎫⎝n 2+1+n 2+1+ +n 2
+1⎪. ⎭2
解:原式=lim
1+3+ +(2n -1)
n →∞
n 2
+1
=lim
n
n →∞
n 2
+1
=lim
1n →∞
=1.
1+
1
n
2
注意：和的极限要转化成极限和，和式的项数必须是有限的。
(3)lim n →∞
(2n -
=1, 则k 的值等于______.
k -
3解； 2n -=
=k
→4，
∴lim 2n -
=
k 4
, 即得k =1，k =4
n →∞
4
提示：分子有理化。
n
(4)已知lim
3n →∞
3
n +1
+(a +1)
n
=
13
, 求a 的取值范围.
n
解: lim
31
1a +1n →∞
3
n +1
+(a +1)
n
=lim
n →∞
n
=3
, ∴-1
3+⎛ a +1⎫
⎝3⎪
⎭
解不等式, 得-4
例3. 已知等比数列{a n }的首项为a 1, 公比为q (q ≠-1), 前n 项和为S n , 求lim 解:当q =1时,
S n S 2n
=
a 1n a 1(2n )
n
S n S 2n
n →∞
.
=
12
, ∴lim
S n S 2n
n →∞
=
12
.
a 1(1-q )
当q ≠1时,
S n S 2n
=
1-q a 1(1-q 1-q
2n
)
=
11+q
n
.
∴当q
S n S 2n
n →∞
=lim
11+q
n
n →∞
=1. ⎛1⎫ ⎪⎝q ⎭
n
当q >1时, lim
S n S 2n
n →∞
=lim
11+q
n
n
n →∞
=lim
n →∞
=0
.
⎛1⎫1+ ⎪
⎝q ⎭
综上所述, lim
S n S 2n
n →∞
1⎧
, (当q =1时); ⎪2⎪ =⎨1, (当q 1时). ⎪⎩
关键点：
（1）等比数列中的q 一定要分情况讨论，q =1或q ≠1.
（2）求含有q 的极限，也要分三种情况讨论:q 1.
n
例4、定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.
已知无穷等比数列{a n }的首项、公比均为
*
12
.
（1）试求无穷等比子数列{a 3k -1}（k ∈N ）各项的和；
（2）是否存在数列{a n }的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为的通项公式；若不存在，请说明理由；
1
12
3k -1
17
？若存在，求出所有满足条件的子数列
解：（1）依条件得：a 3k -1=
22(k ∈N ) 则无穷等比数列{a 3k -1}各项的和为： ==；
1771-3
28
*
a 2
（2）解法一：设此子数列的首项为a 1，公比为q ，由条件得：0
12
，
则
12
≤1-q
12
m
*
11-q
≤2 ∴a 1=
18, q =
18
17
(1-q ) ∈
11
) 147
而 a 1=(m ∈N ) 则 a 1=
.
1
n
⎛1⎫
所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，其通项公式为a n = ⎪，n ∈N *.
8⎝8⎭
解法二：由条件，可设此子数列的首项为a 1，公比为q =
由m ∈N *⇒0
12
m
12
m
(m ∈N ) .
*
a 11-
12
m
=
17
„„„„ ①
11
又若a 1≤
116
，则对每一m ∈N *都有
a 11-
12
m
≤
≤=1
11871-m 1-
22
从①、②得
116
17
⇒a 1=
18
；
1
则
a 11-
12
m
=1-
812
m
=
17
⇒q =
12
m
=1-
78
=
18
；
因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为
⎛1⎫*
a n = ⎪，n ∈N .
⎝8⎭
n
18
无穷等比子数列，通项公式为
例5：（1）（03年上海数学高考）已知A (0, B (0,
n
2-2n
C (4+
2n
, 0) 其中n 为正整数，设S n 表示∆ABC 外接
圆的面积，则lim S n =。
n →∞
解：此题一般地考虑方法是先求出∆ABC 的外接圆的方程，然后得出圆的面积，最后求得lim S n 的结果，但整
n →∞
个过程的计算比较烦琐，很容易导致计算出错。
但如果从极限的思想出发，首先考虑的是当n →∞时这三个点的变化的位置，A , B 趋于原点，C 点趋于
C (4, 0) 然后看得圆的半径为2，从而所求圆的面积为4π。
（2）（07年上海数学高考卷（文）第12题）如图，A ，B 是直线l 上的两点，且AB =2．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A ，B 点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．
解：当两圆半径r →∞时，点C 趋向直线AB 。
1πππ⎤⎛2
∴S →0. 当两圆相外切时，r =1. ∴S 扇形=π⨯ 1，∴S =2-⨯2=2-. ∴S ∈ 0, 2-
⎥4422⎦⎝
例6、（09上海高考题）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列。 找出所有数列{a n }和{b n }，使对一切n ∈N , [解法一]若
a n +1a n
=b n , 即
*
a n +1a n
=b n ，并说明理由；
a 1+nd a 1+(n -1) d
=b 1q
n -1
（*）
（i ）若d =0，则1=b 1q n -1=b n .
当{a n }为非零常数列，{b n }为恒等于1的常数列，满足要求
a 1+nd a 1+(n -1) d
a →∞
（ii ）若d ≠0，（*）式等号左边取极限和lim
=1，
（*）式等号右边的极限只有当q =1时，才可能等于1, 此时等号左边是常数， ∴d =0, 矛盾。
综上所述，只有当{a n }为非零常数列，{b n }为恒等于1的常数列，满足要求
a n +1a n
=b n ，对n ∈N *都成立，且{b n }为等比数列，
*
2
[解法二]设a n =nd +c , 若
则a n +2a n +1
/a n +1a n
=q ，对n ∈N 都成立，即a n a n +2=qa n +1
2
*
∴(dn +c )(dn +2d +c ) =q (dn +d +c ) 对n ∈N 都成立，∴d
2
=qd
2
*
（i ）若d =0，则a n =c ≠0，∴b n =1, n ∈N
（ii ）若d ≠0，则q =1, ∴b n =m （常数）
即
dn +d +c dn +c
=m ，则d =0，矛盾。
*
综上所述，有a n =c ≠0, b n =1, 使对一切n ∈N ,
a n +1a n
=b n
例7、在数列{a n }中, 若a 1, a 2是正整数, 且a n =a n -1-a n -2, n =3, 4, 5 , 则称{a n }为“绝对差数列” (1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”.(只要求写出前十项);
解:a 1=3, a 2=1, a 3=2, a 4=1, a 5=1, a 6=0, a 7=1, a 8=1, a 9=0, a 10=1. (答案不唯一)
提示：周期数列
(2) 若“绝对差数列”{a n }中, a 20=3, a 21=0, 数列{b n }满足b n =a n +a n +1+a n +2, n =1, 2, 3 , 分别判断当
n →∞时, a n 与b n 的极限是否存在, 如果存在, 求出其极限值;
提示：考查极限概念
解:因为在绝对差数列
{a n }中,
a 20=3, a 21=0, 所以自
20项开始, 该数列是
a 20=3, a 21=0, a 22=3, a 23=3, a 24=0, a 25=3, a 26=3, a 27=0, . 即自第20项开始, 每三个相邻的项周期地
取值3,0,3所以当n →∞时, a n 的极限不存在.
当n ≥20时, b n =a n +a n +1+a n +2=6, 所以lim b n =6.
n →∞
例题8、已知点的序列A n (x n , 0), x ∈N *,其中x 1=0, x 2=a , (a >0, A 3是线段A 1A 2的中点, A 4是线段A 2A 3的中点, , A n 是线段A n -2A n -1的中点, . (1)写出x n 与x n -1、x n -2之间的关系(n ≥3); 解:x n =
x n -1+x n -2
2
(2)设a n =x n +1-x n , 计算a 1, a 2, a 3, 由此推测数列{a n }的通项公式, 并且加以证明;
解:a 1=a , a 2=-
a 2
, a 3=
a 4
, 猜想：a n =a (-
12
)
n -1
.
⎛1⎫
用数学归纳法证明： 1）n =1时，a 1=a ⋅ -⎪=a ，等式成立；
⎝2⎭⎛1⎫
2）若n =k (k ≥1) 时等式成立, 即a k = -⎪
⎝2⎭那么a k +1=x k +2-x k +1=1⎛1⎫
=-a k =-⋅ -⎪
22⎝2⎭
1
k -1
k -1
a ,
x k +1+x k
21
-x k +1=-x k +1-x k ）
2
(k +1) -1
⎛1⎫a = -⎪
⎝2⎭
a ,
n +1
⎛1⎫
所以当n =k +1时等式也成立. 根据1) 和2), 对n ∈N , 等式a n =- ⎪
⎝2⎭(3)求lim x n .
n →∞
a 都成立;
提示：相邻两项作差之后成等比，可以用累加法。解:由x k +1
⎛1⎫
-x k =a k 与a k = -⎪
⎝2⎭
k -1
a , 得x 2-x 1=a , x 3-x 2=-
a 2
, x 4-x 3=
a 4
, , x n -x n -1
⎛1⎫= -⎪⎝2⎭
n -2
a .
⎛1⎫
以上各式相加，得x n =a -+- + -⎪
24⎝2⎭a a ⎛1⎫
而a ，-， ， -⎪
24⎝2⎭
n -2
a a
n -2
a ，
a ⎛1⎫
1- -⎪
⎝2⎭
2a 3
a ， ，是以-
12
为公比的等比数列。∴lim x n =
n →∞
=
提示：题目的设计是环环相扣的，要善于利用前一步得出的结论来为后面服务。
例9、如图，在边长为l 的等边三角形ABC 中，圆O 1为∆A B C 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、B C
相切，··· ，圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限下去，记圆O n 的面积为a n (n ∈N ) . （1） 证明{a n }是等比数列； 证明：记r n 为圆O n
的半径，r 1=
l 2
tan 30=
6
,
r n -1-r n r n -1+r n
=sin 30=
12
，
2
∴r 1a n n n =
3
r n -1(n ≥2), a 1=πr 2
1,
a =⎛ r ⎫1n -1⎝r ⎪=n -1⎭
9;
故{a n }是等比数列；
（2）求lim (a 1+a 2+ +a n ) 的值。
n →∞
o 1
n -1
解： a ⎛1⎫
n = a N ), ∴lim (a a 1πl 2
⎝9⎪
⎭
1(n ∈n →∞
1+a 2+ +a n ) =
1-
1
=
332
.
D
9
A
注意：这里要用一般的量（如r n , r n -1）来说明问题，而不能简单的只用用r 1, r 2。
例10. 设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，„．
（Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．
解：(Ⅰ) 当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，
于是(a －1) 2－a a 1
11(a 1－1) －1＝0，解得a 1＝2
当n ＝2时，x 2－a a 1
2x －2＝0有一根为S 2－1＝a 22
于是(a 1211
22) －a 2(a 22) －a 2＝0，解得a 2＝6
(Ⅱ) 由题设(S 2a ，即S 2
n －1) －n (S n －1) －a n ＝0n －2S n ＋1－a n S n ＝0． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①
由(Ⅰ) 知S 1112
1＝a 12，S 2＝a 1＋a 2＝26＝3
由①可得S 3n
3＝4．由此猜想S n n ＋1
n ＝1，2，3，„．
提示：先求S n , 再求a n 。
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i ) n ＝1时已知结论成立．
(ii ) 假设n ＝k 时结论成立，即S k
k k ＋1
，
当n ＝k ＋1时，由①得S 1
k ＋1k ＋1＝2－S k S k ＋1＝k ＋2
，
故n ＝k ＋1时结论也成立．
综上，由(i ) 、(ii ) 可知S n
n ＝n ＋1
对所有正整数n 都成立．
于是当n ≥2时，a n n －11
n ＝S n －S n －1n ＋1n ＝n (n ＋1)
又n ＝1时，a 11
1＝21×2
，所以
｛a 1
n ｝的通项公式a n ＝n (n +1) ，n ＝1，2，3，„．
小结：（1）这道题没有紧扣的前奏，需要自己猜想。（2）直接求a n ，还是先求S n , 再求a n ，这是值得考虑的问题。 或者说，当直接求a n 做不下去时，你会不会转向S n 呢？
o 2
B
例11、设曲线C ：y =
13
过P 1做斜率为x 1的直线交x 轴于Q 2，x (x >0) 上的点P 1(x 1, y 1) 在x 轴上的射影为Q 1，
32
2过Q 2作x 轴的垂线交曲线于点P 2(x 2, y 2) ，再过P 2做斜率为x 2的直线交x 轴于Q 3，过Q 3作x 轴的垂线交曲线2于点P 3, , 一般地，过P n (x n , y n ) 做斜率为x n 的直线交x 轴于Q n +1，过Q n +1作x 轴的垂线交曲线于点P n +1，这
样无限作下去得到点P 1, P 2, , P n 和Q 1, Q 2, , Q n ，已知x 1=1。 （1）
求x 2, x 3的值；
1
解：已知x 1=1，所以得P 1(1,) ，Q 1(1,0) ，过P 1做斜率为x 12的
3
12282
直线是y -=x -1，得Q 2(, 0), P 2(, ) ，过P 2做斜率为x 2
33381
4⎛2⎫
的直线是y -= x -⎪，得
819⎝3⎭
446424Q 3(, 0), P 3(, ∴x 2=, x 3=.
99218739
8
23
（2）
证明数列{x n }为等比数列，并求这个数列的通项公式。
13
x n =x n (x -x n )，得Q n +1(
3
2
2
解：过P n (x n , y n ) 做斜率为x n 的直线是y -
x n , 0), ∴x n +1=
23
x n , 故数列{x n }为等
⎛2⎫
比数列，这个数列的通项公式为x n = ⎪
⎝3⎭
n →∞
n -1
。
(3)设∆P n Q n Q n +1的面积为S n , 求lim (S 1+S 2+ +S n ). 解:S n =
12
⋅Q n +1Q n ⋅P n Q n =
111314⋅x n ⋅x n =x n , 23318118
(x 1+x 2+ +x n ) =
4
4
4
118⋅
1⎛2⎫
1- ⎪
⎝3⎭
4
∴lim (S 1+S 2+ +S n ) =lim
n →∞
x →∞
=
9130
.
总结：用猜想、归纳、证明来解决问题，是我们所倡导的做题方法，其实这也是认识新事物的思维方法。
第十二讲：数学归纳法与数列的极限
知识小结：
1、数学归纳法用于证明一些与正整数有关的命题, 即通过对有限个正整数证明命题成立, 推广到对一切正整数命题都成立的思想方法, 主要步骤为
(1)证明起始命题成立(即n =1或n =2, 命题成立); (这是证明的基础)
(2)假设n =k (k ≥1, 2, ) 时命题成立, 由假设条件推出当n =k +1时命题成立; (这是递推的关键) (3)由(1)、(2)可知对于n ∈N *,命题均成立. 注意数学归纳法的证明格式！数学归纳法的原理就像多米勒骨牌！
2、证题的关键在于用好归纳假设(2),在一般的情况下，由假设n =k 时命题成立为出发点, 推出n =k +1命题成立即可.
3、数学归纳法在证明过程中要用到许多数学知识, 综合性较强. 有时在解决问题时需要先通过归纳得出结论, 再用数学归纳法证明, 那么要求能正确地归纳.
4. 数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列{a n }中的项无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{a n }的极限，或叫做数列{a n }收敛于A ，记作lim a n =A 。
n →∞
注意点：1）只有无穷数列，当n 趋近于无穷大时，a n 无限趋近于某一常数；
2）对于数列{a n }，当n 无穷增大时，a n 无限趋近于某一定值时c ，是通过a n -c 无限趋近于零来描述的。这里a n -c 无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取n 充分大以后，使a n -c 充分接近于零，如果这个任意小的正数用ε来表示，那么当n 充分大时，总有a n -c
3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。 5. 极限的运算性质性质：1) 如果lim a n =A , lim b n =B , 则
n →∞
x →∞
(1)lim (a n ±b n ) =lim a n ±lim b n =A ±B .
n →∞
n →∞
x →∞
(2)lim (a n ⋅b n ) =lim a n ⋅lim b n =A ⋅B .
n →∞
n →∞
x →∞
(3)lim
a n b n
n →∞
=
lim a n
n →∞
lim b n
x →∞
=
A B
(B ≠0, b n ≠0).
注意：我们只研究极限存在的运算。
0q
C ⎪n
=0; lim q =⎨1q =12）几个重要极限：lim C =C ; lim
n →∞n →∞n n →∞
⎪不存在q >1或q =-1⎩
⎧a k ⎪b l =k l k k -1⎪a n +a k -1n + +a 1n +a 0⎪
l >k lim k l =⎨0l -1
n →∞b l n +b l -1n + +b 1l +b 0
⎪不存在l
6. 无穷等比数列各项和的和的概念：我们把q
a 11-q
(q
注意点：1）只有当q
2）实际上可推出：S =lim S n ；
n →∞
⋅
3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如0.9=
⋅
99
=1；
0.12=
12-190
=
1190
；
例题1、选择题
(1)用数学归纳法证明不等式了______.
111111
（A ；（B +-；（C +
(k +1) +(k +1) （k +1）（+k +1）k +k +1k +1（k +1）（+k +1）k +k +1（D ）以上均错
解：当n =k 时，不等式左边为1k +2
+
1k +31
+ +
1k +k
+
1k +1+k
1k +1++
1k +21k +1+k +1
+
1k +k
；当n =k +1时，不等式左边为
1n +1
+
1n +2
+
1n +n
>1324
的过程中, 由k 推导k +1时, 不等式左边增加
，那么不等式的左边增加了
11
+-，故选B .
（k +1）（+k +1）k +k +1k +1
（2）用数学归纳法证明命题" 当n 为正奇数时，x +y 能被x +y 整除", 在验证n =1正确后, 归纳假设应写成______.
(A ) 假设n =k (k ∈N ) 时命题成立 (B ) 假设n ≤k (k ∈N ) 时命题成立(C ) 假设n =2k +1(k ∈N ) 时命题成立 (D ) 假设n =2k -1(k ∈N ) 时命题成立
解: n 为正奇数, ∴在验证n =1后, 归纳假设应写成n =2k -1(k ∈N ) 时命题成立, 故选D .
(3)某个命题与正整数n 有关, 若当n =k (k ∈N ) 时, 该命题成立, 则可推出n =k +1时, 该命题成立, 现已知当n =5时, 该命题不成立, 那么______.
(A ) 当n =6时该命题不成立 (B ) 当n =6时该命题成立(C ) 当n =4时该命题不成立 (D ) 当n =4时该命题成立
*
*
*
*
*
n
n
提示：逆否命题为“已知n =k +1不成立，推出n =k 不成立”。
解:显然选C , 否则不符合题设.
例2、求极限：
(1)已知a 、b 均为正数, 那么lim
a
n +1+b
n +1n →∞
a n
+b
n
=______.
a +⎛ b ⎫n
解:当a >b 时, 原式=lim
⎝a ⎪⎭⋅b
式n →∞
n
=a ; 当a =b 时, 原=lim
2a
n +1n →∞
1+⎛2a
n
=a ;
b ⎫⎝a ⎪
⎭
n
a ⋅⎛
a ⎫
⎝b ⎪⎭+b 当a
n →∞
,
⎛n
=b a ⎫
⎝b ⎪⎭
+1⎧a , (当a >b 时), 故原式=⎪
⎨a 或b (当a =b 时),
⎪⎩
b , (当a
n →∞
=0. 极限问题的解题思路，很多时候就是想方设法拼凑出q 值。(2)求lim ⎛132n -1n →∞ ⎫⎝n 2+1+n 2+1+ +n 2
+1⎪. ⎭2
解:原式=lim
1+3+ +(2n -1)
n →∞
n 2
+1
=lim
n
n →∞
n 2
+1
=lim
1n →∞
=1.
1+
1
n
2
注意：和的极限要转化成极限和，和式的项数必须是有限的。
(3)lim n →∞
(2n -
=1, 则k 的值等于______.
k -
3解； 2n -=
=k
→4，
∴lim 2n -
=
k 4
, 即得k =1，k =4
n →∞
4
提示：分子有理化。
n
(4)已知lim
3n →∞
3
n +1
+(a +1)
n
=
13
, 求a 的取值范围.
n
解: lim
31
1a +1n →∞
3
n +1
+(a +1)
n
=lim
n →∞
n
=3
, ∴-1
3+⎛ a +1⎫
⎝3⎪
⎭
解不等式, 得-4
例3. 已知等比数列{a n }的首项为a 1, 公比为q (q ≠-1), 前n 项和为S n , 求lim 解:当q =1时,
S n S 2n
=
a 1n a 1(2n )
n
S n S 2n
n →∞
.
=
12
, ∴lim
S n S 2n
n →∞
=
12
.
a 1(1-q )
当q ≠1时,
S n S 2n
=
1-q a 1(1-q 1-q
2n
)
=
11+q
n
.
∴当q
S n S 2n
n →∞
=lim
11+q
n
n →∞
=1. ⎛1⎫ ⎪⎝q ⎭
n
当q >1时, lim
S n S 2n
n →∞
=lim
11+q
n
n
n →∞
=lim
n →∞
=0
.
⎛1⎫1+ ⎪
⎝q ⎭
综上所述, lim
S n S 2n
n →∞
1⎧
, (当q =1时); ⎪2⎪ =⎨1, (当q 1时). ⎪⎩
关键点：
（1）等比数列中的q 一定要分情况讨论，q =1或q ≠1.
（2）求含有q 的极限，也要分三种情况讨论:q 1.
n
例4、定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.
已知无穷等比数列{a n }的首项、公比均为
*
12
.
（1）试求无穷等比子数列{a 3k -1}（k ∈N ）各项的和；
（2）是否存在数列{a n }的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为的通项公式；若不存在，请说明理由；
1
12
3k -1
17
？若存在，求出所有满足条件的子数列
解：（1）依条件得：a 3k -1=
22(k ∈N ) 则无穷等比数列{a 3k -1}各项的和为： ==；
1771-3
28
*
a 2
（2）解法一：设此子数列的首项为a 1，公比为q ，由条件得：0
12
，
则
12
≤1-q
12
m
*
11-q
≤2 ∴a 1=
18, q =
18
17
(1-q ) ∈
11
) 147
而 a 1=(m ∈N ) 则 a 1=
.
1
n
⎛1⎫
所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，其通项公式为a n = ⎪，n ∈N *.
8⎝8⎭
解法二：由条件，可设此子数列的首项为a 1，公比为q =
由m ∈N *⇒0
12
m
12
m
(m ∈N ) .
*
a 11-
12
m
=
17
„„„„ ①
11
又若a 1≤
116
，则对每一m ∈N *都有
a 11-
12
m
≤
≤=1
11871-m 1-
22
从①、②得
116
17
⇒a 1=
18
；
1
则
a 11-
12
m
=1-
812
m
=
17
⇒q =
12
m
=1-
78
=
18
；
因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为
⎛1⎫*
a n = ⎪，n ∈N .
⎝8⎭
n
18
无穷等比子数列，通项公式为
例5：（1）（03年上海数学高考）已知A (0, B (0,
n
2-2n
C (4+
2n
, 0) 其中n 为正整数，设S n 表示∆ABC 外接
圆的面积，则lim S n =。
n →∞
解：此题一般地考虑方法是先求出∆ABC 的外接圆的方程，然后得出圆的面积，最后求得lim S n 的结果，但整
n →∞
个过程的计算比较烦琐，很容易导致计算出错。
但如果从极限的思想出发，首先考虑的是当n →∞时这三个点的变化的位置，A , B 趋于原点，C 点趋于
C (4, 0) 然后看得圆的半径为2，从而所求圆的面积为4π。
（2）（07年上海数学高考卷（文）第12题）如图，A ，B 是直线l 上的两点，且AB =2．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A ，B 点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．
解：当两圆半径r →∞时，点C 趋向直线AB 。
1πππ⎤⎛2
∴S →0. 当两圆相外切时，r =1. ∴S 扇形=π⨯ 1，∴S =2-⨯2=2-. ∴S ∈ 0, 2-
⎥4422⎦⎝
例6、（09上海高考题）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列。 找出所有数列{a n }和{b n }，使对一切n ∈N , [解法一]若
a n +1a n
=b n , 即
*
a n +1a n
=b n ，并说明理由；
a 1+nd a 1+(n -1) d
=b 1q
n -1
（*）
（i ）若d =0，则1=b 1q n -1=b n .
当{a n }为非零常数列，{b n }为恒等于1的常数列，满足要求
a 1+nd a 1+(n -1) d
a →∞
（ii ）若d ≠0，（*）式等号左边取极限和lim
=1，
（*）式等号右边的极限只有当q =1时，才可能等于1, 此时等号左边是常数， ∴d =0, 矛盾。
综上所述，只有当{a n }为非零常数列，{b n }为恒等于1的常数列，满足要求
a n +1a n
=b n ，对n ∈N *都成立，且{b n }为等比数列，
*
2
[解法二]设a n =nd +c , 若
则a n +2a n +1
/a n +1a n
=q ，对n ∈N 都成立，即a n a n +2=qa n +1
2
*
∴(dn +c )(dn +2d +c ) =q (dn +d +c ) 对n ∈N 都成立，∴d
2
=qd
2
*
（i ）若d =0，则a n =c ≠0，∴b n =1, n ∈N
（ii ）若d ≠0，则q =1, ∴b n =m （常数）
即
dn +d +c dn +c
=m ，则d =0，矛盾。
*
综上所述，有a n =c ≠0, b n =1, 使对一切n ∈N ,
a n +1a n
=b n
例7、在数列{a n }中, 若a 1, a 2是正整数, 且a n =a n -1-a n -2, n =3, 4, 5 , 则称{a n }为“绝对差数列” (1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”.(只要求写出前十项);
解:a 1=3, a 2=1, a 3=2, a 4=1, a 5=1, a 6=0, a 7=1, a 8=1, a 9=0, a 10=1. (答案不唯一)
提示：周期数列
(2) 若“绝对差数列”{a n }中, a 20=3, a 21=0, 数列{b n }满足b n =a n +a n +1+a n +2, n =1, 2, 3 , 分别判断当
n →∞时, a n 与b n 的极限是否存在, 如果存在, 求出其极限值;
提示：考查极限概念
解:因为在绝对差数列
{a n }中,
a 20=3, a 21=0, 所以自
20项开始, 该数列是
a 20=3, a 21=0, a 22=3, a 23=3, a 24=0, a 25=3, a 26=3, a 27=0, . 即自第20项开始, 每三个相邻的项周期地
取值3,0,3所以当n →∞时, a n 的极限不存在.
当n ≥20时, b n =a n +a n +1+a n +2=6, 所以lim b n =6.
n →∞
例题8、已知点的序列A n (x n , 0), x ∈N *,其中x 1=0, x 2=a , (a >0, A 3是线段A 1A 2的中点, A 4是线段A 2A 3的中点, , A n 是线段A n -2A n -1的中点, . (1)写出x n 与x n -1、x n -2之间的关系(n ≥3); 解:x n =
x n -1+x n -2
2
(2)设a n =x n +1-x n , 计算a 1, a 2, a 3, 由此推测数列{a n }的通项公式, 并且加以证明;
解:a 1=a , a 2=-
a 2
, a 3=
a 4
, 猜想：a n =a (-
12
)
n -1
.
⎛1⎫
用数学归纳法证明： 1）n =1时，a 1=a ⋅ -⎪=a ，等式成立；
⎝2⎭⎛1⎫
2）若n =k (k ≥1) 时等式成立, 即a k = -⎪
⎝2⎭那么a k +1=x k +2-x k +1=1⎛1⎫
=-a k =-⋅ -⎪
22⎝2⎭
1
k -1
k -1
a ,
x k +1+x k
21
-x k +1=-x k +1-x k ）
2
(k +1) -1
⎛1⎫a = -⎪
⎝2⎭
a ,
n +1
⎛1⎫
所以当n =k +1时等式也成立. 根据1) 和2), 对n ∈N , 等式a n =- ⎪
⎝2⎭(3)求lim x n .
n →∞
a 都成立;
提示：相邻两项作差之后成等比，可以用累加法。解:由x k +1
⎛1⎫
-x k =a k 与a k = -⎪
⎝2⎭
k -1
a , 得x 2-x 1=a , x 3-x 2=-
a 2
, x 4-x 3=
a 4
, , x n -x n -1
⎛1⎫= -⎪⎝2⎭
n -2
a .
⎛1⎫
以上各式相加，得x n =a -+- + -⎪
24⎝2⎭a a ⎛1⎫
而a ，-， ， -⎪
24⎝2⎭
n -2
a a
n -2
a ，
a ⎛1⎫
1- -⎪
⎝2⎭
2a 3
a ， ，是以-
12
为公比的等比数列。∴lim x n =
n →∞
=
提示：题目的设计是环环相扣的，要善于利用前一步得出的结论来为后面服务。
例9、如图，在边长为l 的等边三角形ABC 中，圆O 1为∆A B C 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、B C
相切，··· ，圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限下去，记圆O n 的面积为a n (n ∈N ) . （1） 证明{a n }是等比数列； 证明：记r n 为圆O n
的半径，r 1=
l 2
tan 30=
6
,
r n -1-r n r n -1+r n
=sin 30=
12
，
2
∴r 1a n n n =
3
r n -1(n ≥2), a 1=πr 2
1,
a =⎛ r ⎫1n -1⎝r ⎪=n -1⎭
9;
故{a n }是等比数列；
（2）求lim (a 1+a 2+ +a n ) 的值。
n →∞
o 1
n -1
解： a ⎛1⎫
n = a N ), ∴lim (a a 1πl 2
⎝9⎪
⎭
1(n ∈n →∞
1+a 2+ +a n ) =
1-
1
=
332
.
D
9
A
注意：这里要用一般的量（如r n , r n -1）来说明问题，而不能简单的只用用r 1, r 2。
例10. 设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，„．
（Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．
解：(Ⅰ) 当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，
于是(a －1) 2－a a 1
11(a 1－1) －1＝0，解得a 1＝2
当n ＝2时，x 2－a a 1
2x －2＝0有一根为S 2－1＝a 22
于是(a 1211
22) －a 2(a 22) －a 2＝0，解得a 2＝6
(Ⅱ) 由题设(S 2a ，即S 2
n －1) －n (S n －1) －a n ＝0n －2S n ＋1－a n S n ＝0． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①
由(Ⅰ) 知S 1112
1＝a 12，S 2＝a 1＋a 2＝26＝3
由①可得S 3n
3＝4．由此猜想S n n ＋1
n ＝1，2，3，„．
提示：先求S n , 再求a n 。
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i ) n ＝1时已知结论成立．
(ii ) 假设n ＝k 时结论成立，即S k
k k ＋1
，
当n ＝k ＋1时，由①得S 1
k ＋1k ＋1＝2－S k S k ＋1＝k ＋2
，
故n ＝k ＋1时结论也成立．
综上，由(i ) 、(ii ) 可知S n
n ＝n ＋1
对所有正整数n 都成立．
于是当n ≥2时，a n n －11
n ＝S n －S n －1n ＋1n ＝n (n ＋1)
又n ＝1时，a 11
1＝21×2
，所以
｛a 1
n ｝的通项公式a n ＝n (n +1) ，n ＝1，2，3，„．
小结：（1）这道题没有紧扣的前奏，需要自己猜想。（2）直接求a n ，还是先求S n , 再求a n ，这是值得考虑的问题。 或者说，当直接求a n 做不下去时，你会不会转向S n 呢？
o 2
B
例11、设曲线C ：y =
13
过P 1做斜率为x 1的直线交x 轴于Q 2，x (x >0) 上的点P 1(x 1, y 1) 在x 轴上的射影为Q 1，
32
2过Q 2作x 轴的垂线交曲线于点P 2(x 2, y 2) ，再过P 2做斜率为x 2的直线交x 轴于Q 3，过Q 3作x 轴的垂线交曲线2于点P 3, , 一般地，过P n (x n , y n ) 做斜率为x n 的直线交x 轴于Q n +1，过Q n +1作x 轴的垂线交曲线于点P n +1，这
样无限作下去得到点P 1, P 2, , P n 和Q 1, Q 2, , Q n ，已知x 1=1。 （1）
求x 2, x 3的值；
1
解：已知x 1=1，所以得P 1(1,) ，Q 1(1,0) ，过P 1做斜率为x 12的
3
12282
直线是y -=x -1，得Q 2(, 0), P 2(, ) ，过P 2做斜率为x 2
33381
4⎛2⎫
的直线是y -= x -⎪，得
819⎝3⎭
446424Q 3(, 0), P 3(, ∴x 2=, x 3=.
99218739
8
23
（2）
证明数列{x n }为等比数列，并求这个数列的通项公式。
13
x n =x n (x -x n )，得Q n +1(
3
2
2
解：过P n (x n , y n ) 做斜率为x n 的直线是y -
x n , 0), ∴x n +1=
23
x n , 故数列{x n }为等
⎛2⎫
比数列，这个数列的通项公式为x n = ⎪
⎝3⎭
n →∞
n -1
。
(3)设∆P n Q n Q n +1的面积为S n , 求lim (S 1+S 2+ +S n ). 解:S n =
12
⋅Q n +1Q n ⋅P n Q n =
111314⋅x n ⋅x n =x n , 23318118
(x 1+x 2+ +x n ) =
4
4
4
118⋅
1⎛2⎫
1- ⎪
⎝3⎭
4
∴lim (S 1+S 2+ +S n ) =lim
n →∞
x →∞
=
9130
.
总结：用猜想、归纳、证明来解决问题，是我们所倡导的做题方法，其实这也是认识新事物的思维方法。