基于灰色预测、价格弹性理论、线性支出系统模型
和消费物价指数的阶梯电价问题的研究
【摘要】
我国在国民经济和社会发展第十二个五年规划纲要中提出了积极推行居民用电、用水阶梯价格制度，由此将深化由居民阶梯电价引发的电价改革，电价改革成为电力体制改革的一项核心内容[6]。本文就阶梯电价草案，结合相关专业文献和数据，针对阶梯电价问题进行了建模、求解和相关分析。
对于问题一，需要查阅相关数据就某地居民家庭用电情况来探讨阶梯电价草案能否保证80%的居民家庭电价保持平稳。本文选取北京市作为研究对象，所用数据来源于《北京统计年鉴2011》，利用2005～2010年北京市户籍户数统计数据通过灰色预测来预测出2012年的户籍户数，针对2005～2010年北京市城乡居民生活用电量采用线性回归的方法求出2012年的居民总用电量，然后利用对数曲线对户数百分比与用电量百分比之间的关系进行拟合，最终求得80%的家庭（普通收入）平均每月的用电量为138.66度，小于北京市“一档”电量上限240度，据此可得出如下结论：该阶梯电价草案能保证北京市80%居民家庭的电价保持平稳。
对于问题二，需要探讨如何确定一个电价机制是否“好”的电价，而居民阶梯电价的评估，需要考虑多方面的评估因素。本文选取低收入居民的电力价格弹性、节能降耗量及实施阶梯电价对CPI 的影响等三方面作为主要评估因素，依然以北京市作为研究对象。首先通过低收入居民电力价格弹性的量化，来判断居民阶梯电价是否在低收入居民的承受能力范围内；然后将一定形式的经济效用函数在有预算约束的条件下最大化后建立线性支出系统模型，通过实施居民阶梯电价后减少的用电量来量化节能降耗效果，评估居民阶梯电价所起的节能效果；接着通过居民阶梯电价对CPI 影响的量化来判断实施居民阶梯电价后的CPI 涨幅是否超过国家发改委规定的4%；最后综合三方面的评估结果，得出结论：就北京市而言，居民阶梯电价是比较合理的，优于旧的电价机制。但实施阶梯电价会导致CPI 上升，制定居民阶梯电价时需要考虑对CPI 的影响，避免通货膨胀现象的发生。
对于问题三，需要针对各省市的阶梯电价方案，提出一些完善改进的具体建议。本文从家庭人数、城乡差异、低保人群免费用电量、分档层次、季节差异以及电网公司的计量技术和客户服务等方面进行了分析，并结合现实情况，提出了较为具体可行的改善意见。
关键词：灰色预测价格弹性理论效用函数消费物价指数阶梯电价
1问题重述
1.1问题背景
为建设资源节约型、环境友好型社会，自2003年开始，我国就出台了多项促进节能减排和支持可再生能源发展的政策。2008年，国务院多次指示，要求研究居民生活用电实施阶梯式递增电价。2009年11月。国家发改委明确要求各地对居民用电推行阶梯式电价的改革方案进行研究，促进节能减排。至此，我国居民电价改革正式拉开序幕。阶梯式电价是通过对不同收入和需求特性的用户用电量细分，对不同的用户群体设置不同的电价水平，从而引导用户合理用电，提高资源配置效率。因此，解决电量和电价分档设置问题，成为阶梯电价的关键所在[2]。
2012年3月28日, 中国国家发展和改革委员会确认，居民阶梯电价在将今年上半年推出。居民阶梯电价的改革，体现了资源性产品价格的市场化改革的方向，体现了节能减排的总体要求和根据收入分配适当调控的总体原则。
居民阶梯电价的草案已于去年拟定，并进行了公示以广泛征求社会意见。在公示过程中草案为应对新一轮物价上涨做了进一步调整。
政府要求各地可结合各自情况进行抉择一到三档的标准。
1.2待解决的问题
我国居民用电中，大约5%的高收入家庭消耗了24%左右的居民用电，10%的高收入家庭消耗33%的居民用电。阶梯电价在电量分档上做了长期论证，计划“一档”电价覆盖的80%的居民家庭，这档标准的用户电价收费保持平稳，特别地，对于一定比例的困难群体给予一定的免费电量；对于超出这档标准的电量开始实施“二档”和“三档”的不同电价：“二档”每度电价提高5分钱，“三档”提高3毛钱。标准的拟定通过听证会听取群众意见后实行。
请针对上述阶梯电价草案，解决下列问题：
（1）根据居某地民家庭用电情况并选择附录中相应的草案分析，该草案的阶梯电价是否能保证80%的居民家庭的电价保持平稳？
（2）怎样的电价才是一个“好”的电价，如何评判？具体地讲，你可以讨论（但不限于）下面的问题：与现在的电价相比阶梯电价对于居民的用电支出影响大小如何评价？这些政策和地区的经济发展水平有何相关关系？同一地区的不同草案哪一个更好？随着生活水平的提高，居民用电量也在增加，目前的草案必将会调整，分析目前的草案可以延续实行多长时间？
（3）针对目前各省市的阶梯电价，你有何完善的建议或者意见？
2模型假设
针对本问题，查阅相关专业资料，作出以下合理假设：
（1）假设北京市人口数量、居民收入不发生较大变化，将居民生活用电的分布看作连续变量；
（2）假设在一段时期内，高收入家庭在各地区所占比例与在全国所占比例保持一致，且基本稳定不变；
（3）假定煤炭、燃气等其他商品的价格不变，且居民的消费偏好不发生大的变化；
（4）查阅相关文献资料，低收入居民的电费承受指数为1%，火电机组平均供电煤耗为349克/千瓦时；
（5）假定居民的电力需求由基本需求和非基本需求两部分组成，其中基本需求基本维持稳定，非基本需求则对价格反映较为敏感；
（6）分析《北京统计年鉴2011》中的相关数据，每户居民家庭的月总消费支出约为11328元，每户家庭的月基本生活支出为7231元；
（7）依据题设中所给的数据“大约5%的高收入家庭消耗了24%左右的居民用电，大约10%的高收入家庭消耗了33%左右的居民用电”以及阶梯电价要求“一档”电价至少覆盖80%的居民家庭，因此作出假设：一到三档的三个阶梯电价的权重系数依次为0.85、0.10、0.05。
3问题一的建模与求解
3.1问题一的分析
问题一需要查阅相关数据就某地居民家庭用电情况来探讨阶梯电价草案能否保证80%的居民家庭电价保持平稳。不妨选取北京市作为研究对象，通过《北京统计年鉴2011》中的相关数据进行建模分析，求出2012年北京市80%的居民家庭每户每月的平均用电量，与草案中的分档电量进行对比，从而判断草案的合理性与适用性。
3.2数据预处理
首先，将《北京统计年鉴2011》中查到的原始数据进行初步处理，选取北京市2005～2010年户籍户数、城乡居民生活用电量的相关数据，以备后续的建模分析，所得结果如下表3.2—1所示：表3.2—1北京市2005～2010年户数及用电量统计表
年份户籍户数/万户居民生活用电/万度
2005
2006
2007
2008
2009
2010451.7463.65473.02481.18488.7496.[***********][***********]393346
3.3模型的建立与求解
（1）灰色预测GM （1,1）模型预测2012年北京市户籍户数
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
利用MATLAB 软件编程，程序见附录1，运行后得出结果为：2012年北京市户籍户数为513.6433万户。
（2）线性拟合预测2012年北京市居民生活用电量
分析表3.2—1中居民生活用电数据，可看出居民用电量随年份大致呈线性变化的趋势，因此考虑使用线性拟合求解用电量与年份的关系，从而预测2012年北京市居民生活用电量。线性拟合的效果图如下图3.3—1
所示：
图3.3—1居民生活用电量线性拟合效果图
如上图3.3—1所示，回归直线为y =105x +7.7×105，图中“1”代表2005年，后续年份依此类推。从图上可看出拟合的精度为0.9946，精确度很高。因此，根据回归直线方程可得到2012年北京市居民生活用电量约为1570000万度。（3）对数拟合求解户数百分比与用电量百分比之间的关系
根据题设可知，大约5%的高收入家庭消耗量24%的居民用电，大约10%的高收入家庭消耗了33%的居民用电，再结合100%的家庭消耗了100%的居民用电，共计三个点进行对数曲线拟合，横轴表示家庭户数所占总户籍户数的百分比，纵轴表示用电量占年度总居民用电的百分比，所得结果如下图3.3—2
所示：
图3.3—2户数百分比与用电量百分比之间的关系曲线拟合图
如上图3.3—2所示，拟合精度为0.9870，说明精确度很高，符合对数曲线拟合要求，从图上曲线方程可得出20%的高收入家庭消耗了56.45%的居民用电，因此80%的普通家庭消耗了43.55%的居民用电。
（4）求解80%的家庭（普通收入）平均每月的用电量
由前文结果可知2012年北京市户籍户数约为513.6433万户，居民生活用电约为1570000万度，因此，80%的家庭（普通收入）平均每月的用电量为：
1570000×43.55%=138.66度513.6433×80%×12
2012年北京市80%的家庭因此，（普通收入）平均每月的生活基本用电约为138.66度，而从题目附件阶梯电价试行方案中可读出北京市“一档”电量上限为240度，高于138.66度，故北京市至少80%的家庭（普通收入）用电处于“一档”电价范围内，据此认定该阶梯电价草案能保证80%居民家庭的电价保持平稳。
3.4结果分析与模型解释
从上述建模分析可知，2012年北京市80%的家庭平均每月的用电量约为138.66度，低于草案中北京市“一档”电量上限240度，而一档内电价保持原有收费标准不变，因而根据本题所得结果，可判定：草案中北京的阶梯电价能够保证80%的居民电价保持平稳。
4问题二的建模与求解
4.1问题二的分析
问题二需要探讨如何确定一个电价机制是否“好”的电价，而居民阶梯电价的评估，需要考虑多方面的评估因素。居民阶梯电价的评估需要考虑的主要因素包括低收入居民的电力价格弹性、节能降耗量及其对CPI 的影响。
（1）低收入居民的电力价格弹性
居民阶梯电价制度所确定的第一阶梯的用电量应至少满足居民的基本生活用电。由于低收入居民对电价的上涨较为敏感，而电价上涨对高收入居民电力需求的影响较小，对于中等收入家庭的电费支出影响较大。因此，居民阶梯电价的实施，应保障低收入居民的基本用电需求，利于社会福利最大化目标的实现，又需要保障电力企业利益，以缓解当前电力企业亏损的现状[7]。
居民阶梯电价的评估应考虑低收入居民的电力价格弹性，保证制定的居民阶梯电价方案在低收入居民的电价承受能力范围之内，否则此居民阶梯电价方案是不合理的。
（2）节能降耗方面
根据需求价格弹性理论：商品价格越低，消费需求越高；商品价格越高，消费需求越低。因此，电力价格的适当上涨，能够抑制不合理的电力消费，促使居民合理用电，从而起到节约用电的效果。
在传统的平均电价制度下，不同收入居民家庭的电价相同，容易产生高收入居民用电过度现象，造成电力的浪费。然而实行居民阶梯式电价制度，由于电力价格的杠杆作用，一些居民不得不考虑用电成本，因此有助于节约能源，提高能
源利用效率。同时，实施居民阶梯电价制度，既能够实现居民基本生活用电保障，让电价更大程度地反映市场供需关系，又能够反映能源价格市场化的改革方向。（3）对CPI 的影响
消费物价指数水平既能够体现消费者的购买能力，又能够反映经济发展状况，如果该指数下跌，反映经济衰退。如果该指数升幅过大，说明通货膨胀已经成为经济不稳定因素，会对经济的发展产生影响。因此，该指数的升幅不能过高。
通过客观分析影响CPI 波动的因素，并采取相应的宏观调控政策，才能维持合理的CPI 水平。为了确保国民经济的健康发展，国家发改委提出了将2011年经济增长目标定为8%左右，CPI 升幅目标不能超过4%。由于居民阶梯电价会造成电价上涨，会增大CPI 的涨幅，因此需要控制CPI 的涨幅在4%以内，否则阶梯电价方案是不合理的。
综上所述，可基于以上三个评估因素建立数学模型进行求解分析。
4.2模型的建立
4.2.1低收入居民电力价格弹性的量化
居民阶梯电价要保证在低收入居民的承受能力范围内，低收入居民电力价格弹性的量化形式如下：
∆A =A −∑q i p i i =1n （1）
式中，q i ——低收入居民在第i 个用电阶梯的用电量；
p i ——第i 个用电阶梯对应的电价；
∑q p ——低收入居民每月的平均用电支出；i i
i =1n
m ——低收入居民每户的月平均收入；
A =电费的支出/实际收入——低收入居民的电费承受指数。
若式（1）结果为正，表示此阶梯电价方案在低收入居民的承受范围内；若结果为负，则反之，此时需要调整居民阶梯电价方案。
4.2.2节能降耗效果量化
线性支出系统模型是将一定形式的效用函数在有预算约束的条件下最大化后得出的[8]，其方程形式如下：
n ⎞c i ⎛p i q i =p i q i +n ⎜Y −∑p j q j ⎟，i =1,2, ⋯, n
∑c i ⎝j =1⎠
i =1（2）
式中，p i ——消费者购买的第i 种商品的价格；
q i ——消费者购买第i 种商品的需求量；
q i ——消费者购买第i 种商品的基本需求量；
p i q i ——消费者购买第i 种商品的消费支出额；
p i i ——满足基本需求条件下消费者购买第i 种商品的消费支出额；
c i ——第i 种商品的边际预算份额，即基本消费需求支出额之外的剩余支
出额追加于第i 种商品需求的比例，∑c i =1。
i =1n
(Y −∑p j q j ) ——总消费支出减去基本需求总额后剩余的消费支出，并按
j =1n
c i (i =1,2, ⋯, n ) 的比例分别被追加到各类消费中。
式（2）两边同时除以p i ，得到
c q i =q i +i
p i n ⎛⎞Y −p q ⎜∑j j ⎟，i =1,2, ⋯, n j =1⎝⎠（3）
假设居民阶梯电价的用电阶梯分为m 个，则每户居民家庭的月平均用电总量可表示为
q 用电总量n ⎞c i ⎛=∑q i =∑q i +∑⎜Y −∑p j q j ⎟
i =1i =1i =1p i ⎝j =1⎠m m m （4）
实施阶梯电价方案前后的每户居民家庭月平均用电总量差为
∆q =q 阶前−q 阶后
式中，q 阶前——实施阶梯电价前每户居民家庭月平均用电总量；（5）
q 阶后——实施阶梯电价后每户居民家庭月平均用电总量。
实施阶梯电价后每户居民家庭月节约的煤炭总量为：
E =∆q ×e （6）
式中，E ——节约煤炭的总量；
e ——每度电的煤耗量。
通过实施居民阶梯电价后减少的煤炭量量化节能降耗效果，评估居民阶梯电价所起的节能效果。
4.2.3居民阶梯电价对CPI 的影响量化
在CPI 的计算中，CPI 居住类指数（权重13%）分为4大类：水电燃料（假
27%、设电的权重33.3%）、建材及装潢类、自有住房和租房，权重分别为40.8%、
21.1%和11.1%[9]。将各个阶梯的电价看作不同的商品，假定在计算CPI 的公式中，除电力价格以外，其他产品和劳务的价格与权重不变，同时CPI 的增幅应不超过4%。约束条件如下：
⎡n ⎤p ×w ×33.3%×40.8%×13%+a ()∑i i ⎢⎥⎛S ⎞i =1∆CPI =4%−⎜−1⎟=4%−⎢−1⎥p ×33.3%×40.8%×13%+a ⎝S ′⎠⎢⎥⎢⎥⎣⎦
式中，S ——某月份的各项产品与劳务的价格加权总和；
S ′——去年同期的各项产品与劳务的价格加权总和；（7）
w i ——第i 个阶梯电价的权重系数；
a ——某月份其它产品劳务价格与权重的乘积；
p ——实施阶梯电价前去年同期的的电价。
若结果为正，则表示实施居民阶梯电价后的CPI 涨幅不超过4%；若为负，则反之，此时需要调整现有的居民阶梯电价方案。
4.3模型的求解
下面仍以北京市为例，结合《北京统计年鉴2011》中的相关数据，以及电力产业专业文献中提供的指标，对阶梯电价草案中北京市电价机制进行评估。
4.3.1居民电力价格弹性检验
由第一问中的结果可知北京市低收入居民在“一档”用电量为q 1=138.66度，“二档”、“三档”用电量均为0，又因为北京市“一档”对应的电价为0.4883元/度，所以∑q i p i =67.708元。
i =13
通过《北京统计年鉴2011》中提供的“城镇单位在岗职工人数及工资总额”、“城镇单位在岗职工平均工资”、“国民经济各行业城镇单位在岗职工平均工资”各数据表格，再结合北京市户籍户数的数据，初步估测北京市低收入居民每户的月平均收入为m =9500元。
查阅相关专业文献确定低收入居民的电费承受指数为A =1%。因此，由公式（1）可算出∆A =0.29%。由∆A >0可得北京市阶梯电价方案在低收入居民的承受范围内，是合理的。
4.3.2节能降耗量
根据阶梯电价草案中北京市电价机制可知每户居民家庭的月生活基本用电量为240度，即∑q i =240；查阅相关专业文献，并采用类比的方法，c 1=0，
i =13
c 2=0.01，c 3=0.001[10]；由阶梯电价草案读出北京市分档电价为p 1=0.4883、p 2=0.5383、p 3=0.7883；分析《北京统计年鉴2011》中的相关数据，每户居民家庭的月总消费支出约为11328元，即Y =11328，每户家庭的月基本生活支出为7231元，即∑p j q j =7231。因此，若实施阶梯电价，则由公式（4）可算
j =1n
出每户居民家庭月平均用电总量为321.31度，即q 阶后=321.31；若不实施阶梯电
价，则p 1=p 2=p 3=0.4883，由公式（4）可算出每户居民家庭月平均用电总量为332.29度，即q 阶前=332.29。故由公式（5）得到∆q =10.98度。
假设火电机组平均供电煤耗为349克/千瓦时，则每户居民家庭月平均节约煤炭总量为3832.02克。因此，上述结果表明，实施阶梯电价后，每户居民家庭月平均节约煤炭为3832.02克。
4.3.3CPI 检验
依据题设中所给的数据“大约5%的高收入家庭消耗了24%左右的居民用电，大约10%的高收入家庭消耗了33%左右的居民用电”以及阶梯电价要求“一档”电价至少覆盖80%的居民家庭，因此作出假设w 1=0.85，w 2=0.10，w 3=0.05。未实施阶梯电价前的S ′=104%，则某月份其它产品劳务价格与权重的乘积为a =104.19%。从题目附件中可知p =0.4883，故由公式（7）可计算出消费物价指数变化为∆CPI =3.97%。
由于∆CPI 为正，则表示实施居民阶梯电价后的CPI 涨幅不超过4%，说明此阶梯电价方案是合理的。然而，实施阶梯电价会导致CPI 上升，制定阶梯电价时需要考虑对CPI 的影响，避免通货膨胀现象的发生。
4.4结果分析与模型解释
由上述三方面的评估因素可得出：从北京市居民电力价格弹性来看，∆A >0说明北京市阶梯电价方案在低收入居民的承受范围内；从北京市节能降耗来看，实施阶梯电价方案后每户居民家庭月平均节约煤炭为3832.02克；从北京市阶梯
电价对CPI 的影响来看，实施阶梯电价后的CPI 涨幅不超过4%，说明此阶梯电价方案是合理的，但实施阶梯电价会导致CPI 上升，制定阶梯电价时应考虑对CPI 的影响，避免通货膨胀现象的发生。综上三方面的评估结果，就北京市而言，居民阶梯电价是比较合理的，优于旧的电价机制。
5问题三的讨论与思考
5.1问题三的分析
问题三需要针对各省市的阶梯电价方案，提出一些完善改进的具体建议，可以考虑从家庭人数、城乡差异、低保人群免费用电量、分档层次、季节差异以及电网公司的计量技术和客户服务等方面进行分析，结合现实情况，提出较为具体可行的改善意见。
5.2针对各省市阶梯电价的改进建议
（1）用电分档应考虑家庭人数的问题。把家庭人口数量的因素加入到考虑范围来，以家庭为单位来分配基本的标准电量，这样可以避免人口多的家庭用电量超过基本标准，从而使阶梯电价更加公平，更能让民众接受。
（2）应该综合考虑城乡收入、消费、用电支出占总支出百分比等因素，制定出不同的收费标准，更加细化阶梯电价方案，让社会各阶层体会到阶梯电价的公平性。
（3）应该给城镇人口中的低保户及收入偏低的社会弱势群体多一些关爱，分配更低电价或者更多免费的电量，然后适当增加“二档”、“三档”用电单价。
（4）阶梯电价的“阶梯”太少，应该多分几个阶段，这样才能更好的代表社会各阶层民众的需要，才更能让民众接受。
（5）有些地区已经实施了冬夏两套阶梯收费标准，但还有大量省市都需要不同的冬夏阶梯收费标准，甚至需要制定按季度定阶梯收费的标准。
（6）抄表时间问题：理论上，推行居民阶梯电价必须做到准时抄表，精确计量居民用户每月用电量。目前，电网企业对居民用户普遍采用双月抄表模式，且主要计量装置仍为机械仪表，不能实现远程抄表，需要手工抄表。在原来单一电价模式下，抄表方式和抄表时间对居民用户的应交电费不会产生根本性的影响，一旦推行居民阶梯电价。抄表日的提前或推后．都有可能对居民电费支出产生影响。特别是在跨档次电量的计费时。容易造成客户的不满。
6参考文献
【1】《北京统计年鉴2011》，中国统计出版社
【2】阮玮蘋，藤云. 关于我国实行居民阶梯电价的探讨[期刊论文]，会计之友2012年第4期下第38页、第41页
【3】陶庆先. 阶梯电价的效果评价与实施策略研究[期刊论文]，热点关注2012年第05期第11页
【4】姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第四版），高等教育出版社，2011.01
【5】张粒子. 我国居民阶梯式递增电价制度的探讨[期刊论文]，价格理论与实践2010年第2期
【6】曾鸣等. 考虑多元因素的居民阶梯电价评估[期刊论文]，华东电力2012年3月第40卷第3期第359—362页
【7】曾鸣，李娜，刘超. 基于效用函数的居民阶梯电价方案的节电效果评估[期刊论文]，华东电力2011年第39卷第8期第1215—1219页
【8】戚其荟等. 扩展线性支出系统用于居民电力需求分析与预测[期刊论文]，现代电力2002年第19卷第2期第76—82页
【9】高艳云. CPI 编制及公布的国际比较[期刊论文]，统计研究2009年第26卷第9期第15—20页
【10】周焯华，张宗益，杨俊. 线性支出系统（LES ）的参数估计[期刊论文]，重庆大学学报（社会科学版），1999（5）：6—8
基于灰色预测、价格弹性理论、线性支出系统模型
和消费物价指数的阶梯电价问题的研究
【摘要】
我国在国民经济和社会发展第十二个五年规划纲要中提出了积极推行居民用电、用水阶梯价格制度，由此将深化由居民阶梯电价引发的电价改革，电价改革成为电力体制改革的一项核心内容[6]。本文就阶梯电价草案，结合相关专业文献和数据，针对阶梯电价问题进行了建模、求解和相关分析。
对于问题一，需要查阅相关数据就某地居民家庭用电情况来探讨阶梯电价草案能否保证80%的居民家庭电价保持平稳。本文选取北京市作为研究对象，所用数据来源于《北京统计年鉴2011》，利用2005～2010年北京市户籍户数统计数据通过灰色预测来预测出2012年的户籍户数，针对2005～2010年北京市城乡居民生活用电量采用线性回归的方法求出2012年的居民总用电量，然后利用对数曲线对户数百分比与用电量百分比之间的关系进行拟合，最终求得80%的家庭（普通收入）平均每月的用电量为138.66度，小于北京市“一档”电量上限240度，据此可得出如下结论：该阶梯电价草案能保证北京市80%居民家庭的电价保持平稳。
对于问题二，需要探讨如何确定一个电价机制是否“好”的电价，而居民阶梯电价的评估，需要考虑多方面的评估因素。本文选取低收入居民的电力价格弹性、节能降耗量及实施阶梯电价对CPI 的影响等三方面作为主要评估因素，依然以北京市作为研究对象。首先通过低收入居民电力价格弹性的量化，来判断居民阶梯电价是否在低收入居民的承受能力范围内；然后将一定形式的经济效用函数在有预算约束的条件下最大化后建立线性支出系统模型，通过实施居民阶梯电价后减少的用电量来量化节能降耗效果，评估居民阶梯电价所起的节能效果；接着通过居民阶梯电价对CPI 影响的量化来判断实施居民阶梯电价后的CPI 涨幅是否超过国家发改委规定的4%；最后综合三方面的评估结果，得出结论：就北京市而言，居民阶梯电价是比较合理的，优于旧的电价机制。但实施阶梯电价会导致CPI 上升，制定居民阶梯电价时需要考虑对CPI 的影响，避免通货膨胀现象的发生。
对于问题三，需要针对各省市的阶梯电价方案，提出一些完善改进的具体建议。本文从家庭人数、城乡差异、低保人群免费用电量、分档层次、季节差异以及电网公司的计量技术和客户服务等方面进行了分析，并结合现实情况，提出了较为具体可行的改善意见。
关键词：灰色预测价格弹性理论效用函数消费物价指数阶梯电价
1问题重述
1.1问题背景
为建设资源节约型、环境友好型社会，自2003年开始，我国就出台了多项促进节能减排和支持可再生能源发展的政策。2008年，国务院多次指示，要求研究居民生活用电实施阶梯式递增电价。2009年11月。国家发改委明确要求各地对居民用电推行阶梯式电价的改革方案进行研究，促进节能减排。至此，我国居民电价改革正式拉开序幕。阶梯式电价是通过对不同收入和需求特性的用户用电量细分，对不同的用户群体设置不同的电价水平，从而引导用户合理用电，提高资源配置效率。因此，解决电量和电价分档设置问题，成为阶梯电价的关键所在[2]。
2012年3月28日, 中国国家发展和改革委员会确认，居民阶梯电价在将今年上半年推出。居民阶梯电价的改革，体现了资源性产品价格的市场化改革的方向，体现了节能减排的总体要求和根据收入分配适当调控的总体原则。
居民阶梯电价的草案已于去年拟定，并进行了公示以广泛征求社会意见。在公示过程中草案为应对新一轮物价上涨做了进一步调整。
政府要求各地可结合各自情况进行抉择一到三档的标准。
1.2待解决的问题
我国居民用电中，大约5%的高收入家庭消耗了24%左右的居民用电，10%的高收入家庭消耗33%的居民用电。阶梯电价在电量分档上做了长期论证，计划“一档”电价覆盖的80%的居民家庭，这档标准的用户电价收费保持平稳，特别地，对于一定比例的困难群体给予一定的免费电量；对于超出这档标准的电量开始实施“二档”和“三档”的不同电价：“二档”每度电价提高5分钱，“三档”提高3毛钱。标准的拟定通过听证会听取群众意见后实行。
请针对上述阶梯电价草案，解决下列问题：
（1）根据居某地民家庭用电情况并选择附录中相应的草案分析，该草案的阶梯电价是否能保证80%的居民家庭的电价保持平稳？
（2）怎样的电价才是一个“好”的电价，如何评判？具体地讲，你可以讨论（但不限于）下面的问题：与现在的电价相比阶梯电价对于居民的用电支出影响大小如何评价？这些政策和地区的经济发展水平有何相关关系？同一地区的不同草案哪一个更好？随着生活水平的提高，居民用电量也在增加，目前的草案必将会调整，分析目前的草案可以延续实行多长时间？
（3）针对目前各省市的阶梯电价，你有何完善的建议或者意见？
2模型假设
针对本问题，查阅相关专业资料，作出以下合理假设：
（1）假设北京市人口数量、居民收入不发生较大变化，将居民生活用电的分布看作连续变量；
（2）假设在一段时期内，高收入家庭在各地区所占比例与在全国所占比例保持一致，且基本稳定不变；
（3）假定煤炭、燃气等其他商品的价格不变，且居民的消费偏好不发生大的变化；
（4）查阅相关文献资料，低收入居民的电费承受指数为1%，火电机组平均供电煤耗为349克/千瓦时；
（5）假定居民的电力需求由基本需求和非基本需求两部分组成，其中基本需求基本维持稳定，非基本需求则对价格反映较为敏感；
（6）分析《北京统计年鉴2011》中的相关数据，每户居民家庭的月总消费支出约为11328元，每户家庭的月基本生活支出为7231元；
（7）依据题设中所给的数据“大约5%的高收入家庭消耗了24%左右的居民用电，大约10%的高收入家庭消耗了33%左右的居民用电”以及阶梯电价要求“一档”电价至少覆盖80%的居民家庭，因此作出假设：一到三档的三个阶梯电价的权重系数依次为0.85、0.10、0.05。
3问题一的建模与求解
3.1问题一的分析
问题一需要查阅相关数据就某地居民家庭用电情况来探讨阶梯电价草案能否保证80%的居民家庭电价保持平稳。不妨选取北京市作为研究对象，通过《北京统计年鉴2011》中的相关数据进行建模分析，求出2012年北京市80%的居民家庭每户每月的平均用电量，与草案中的分档电量进行对比，从而判断草案的合理性与适用性。
3.2数据预处理
首先，将《北京统计年鉴2011》中查到的原始数据进行初步处理，选取北京市2005～2010年户籍户数、城乡居民生活用电量的相关数据，以备后续的建模分析，所得结果如下表3.2—1所示：表3.2—1北京市2005～2010年户数及用电量统计表
年份户籍户数/万户居民生活用电/万度
2005
2006
2007
2008
2009
2010451.7463.65473.02481.18488.7496.[***********][***********]393346
3.3模型的建立与求解
（1）灰色预测GM （1,1）模型预测2012年北京市户籍户数
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
利用MATLAB 软件编程，程序见附录1，运行后得出结果为：2012年北京市户籍户数为513.6433万户。
（2）线性拟合预测2012年北京市居民生活用电量
分析表3.2—1中居民生活用电数据，可看出居民用电量随年份大致呈线性变化的趋势，因此考虑使用线性拟合求解用电量与年份的关系，从而预测2012年北京市居民生活用电量。线性拟合的效果图如下图3.3—1
所示：
图3.3—1居民生活用电量线性拟合效果图
如上图3.3—1所示，回归直线为y =105x +7.7×105，图中“1”代表2005年，后续年份依此类推。从图上可看出拟合的精度为0.9946，精确度很高。因此，根据回归直线方程可得到2012年北京市居民生活用电量约为1570000万度。（3）对数拟合求解户数百分比与用电量百分比之间的关系
根据题设可知，大约5%的高收入家庭消耗量24%的居民用电，大约10%的高收入家庭消耗了33%的居民用电，再结合100%的家庭消耗了100%的居民用电，共计三个点进行对数曲线拟合，横轴表示家庭户数所占总户籍户数的百分比，纵轴表示用电量占年度总居民用电的百分比，所得结果如下图3.3—2
所示：
图3.3—2户数百分比与用电量百分比之间的关系曲线拟合图
如上图3.3—2所示，拟合精度为0.9870，说明精确度很高，符合对数曲线拟合要求，从图上曲线方程可得出20%的高收入家庭消耗了56.45%的居民用电，因此80%的普通家庭消耗了43.55%的居民用电。
（4）求解80%的家庭（普通收入）平均每月的用电量
由前文结果可知2012年北京市户籍户数约为513.6433万户，居民生活用电约为1570000万度，因此，80%的家庭（普通收入）平均每月的用电量为：
1570000×43.55%=138.66度513.6433×80%×12
2012年北京市80%的家庭因此，（普通收入）平均每月的生活基本用电约为138.66度，而从题目附件阶梯电价试行方案中可读出北京市“一档”电量上限为240度，高于138.66度，故北京市至少80%的家庭（普通收入）用电处于“一档”电价范围内，据此认定该阶梯电价草案能保证80%居民家庭的电价保持平稳。
3.4结果分析与模型解释
从上述建模分析可知，2012年北京市80%的家庭平均每月的用电量约为138.66度，低于草案中北京市“一档”电量上限240度，而一档内电价保持原有收费标准不变，因而根据本题所得结果，可判定：草案中北京的阶梯电价能够保证80%的居民电价保持平稳。
4问题二的建模与求解
4.1问题二的分析
问题二需要探讨如何确定一个电价机制是否“好”的电价，而居民阶梯电价的评估，需要考虑多方面的评估因素。居民阶梯电价的评估需要考虑的主要因素包括低收入居民的电力价格弹性、节能降耗量及其对CPI 的影响。
（1）低收入居民的电力价格弹性
居民阶梯电价制度所确定的第一阶梯的用电量应至少满足居民的基本生活用电。由于低收入居民对电价的上涨较为敏感，而电价上涨对高收入居民电力需求的影响较小，对于中等收入家庭的电费支出影响较大。因此，居民阶梯电价的实施，应保障低收入居民的基本用电需求，利于社会福利最大化目标的实现，又需要保障电力企业利益，以缓解当前电力企业亏损的现状[7]。
居民阶梯电价的评估应考虑低收入居民的电力价格弹性，保证制定的居民阶梯电价方案在低收入居民的电价承受能力范围之内，否则此居民阶梯电价方案是不合理的。
（2）节能降耗方面
根据需求价格弹性理论：商品价格越低，消费需求越高；商品价格越高，消费需求越低。因此，电力价格的适当上涨，能够抑制不合理的电力消费，促使居民合理用电，从而起到节约用电的效果。
在传统的平均电价制度下，不同收入居民家庭的电价相同，容易产生高收入居民用电过度现象，造成电力的浪费。然而实行居民阶梯式电价制度，由于电力价格的杠杆作用，一些居民不得不考虑用电成本，因此有助于节约能源，提高能
源利用效率。同时，实施居民阶梯电价制度，既能够实现居民基本生活用电保障，让电价更大程度地反映市场供需关系，又能够反映能源价格市场化的改革方向。（3）对CPI 的影响
消费物价指数水平既能够体现消费者的购买能力，又能够反映经济发展状况，如果该指数下跌，反映经济衰退。如果该指数升幅过大，说明通货膨胀已经成为经济不稳定因素，会对经济的发展产生影响。因此，该指数的升幅不能过高。
通过客观分析影响CPI 波动的因素，并采取相应的宏观调控政策，才能维持合理的CPI 水平。为了确保国民经济的健康发展，国家发改委提出了将2011年经济增长目标定为8%左右，CPI 升幅目标不能超过4%。由于居民阶梯电价会造成电价上涨，会增大CPI 的涨幅，因此需要控制CPI 的涨幅在4%以内，否则阶梯电价方案是不合理的。
综上所述，可基于以上三个评估因素建立数学模型进行求解分析。
4.2模型的建立
4.2.1低收入居民电力价格弹性的量化
居民阶梯电价要保证在低收入居民的承受能力范围内，低收入居民电力价格弹性的量化形式如下：
∆A =A −∑q i p i i =1n （1）
式中，q i ——低收入居民在第i 个用电阶梯的用电量；
p i ——第i 个用电阶梯对应的电价；
∑q p ——低收入居民每月的平均用电支出；i i
i =1n
m ——低收入居民每户的月平均收入；
A =电费的支出/实际收入——低收入居民的电费承受指数。
若式（1）结果为正，表示此阶梯电价方案在低收入居民的承受范围内；若结果为负，则反之，此时需要调整居民阶梯电价方案。
4.2.2节能降耗效果量化
线性支出系统模型是将一定形式的效用函数在有预算约束的条件下最大化后得出的[8]，其方程形式如下：
n ⎞c i ⎛p i q i =p i q i +n ⎜Y −∑p j q j ⎟，i =1,2, ⋯, n
∑c i ⎝j =1⎠
i =1（2）
式中，p i ——消费者购买的第i 种商品的价格；
q i ——消费者购买第i 种商品的需求量；
q i ——消费者购买第i 种商品的基本需求量；
p i q i ——消费者购买第i 种商品的消费支出额；
p i i ——满足基本需求条件下消费者购买第i 种商品的消费支出额；
c i ——第i 种商品的边际预算份额，即基本消费需求支出额之外的剩余支
出额追加于第i 种商品需求的比例，∑c i =1。
i =1n
(Y −∑p j q j ) ——总消费支出减去基本需求总额后剩余的消费支出，并按
j =1n
c i (i =1,2, ⋯, n ) 的比例分别被追加到各类消费中。
式（2）两边同时除以p i ，得到
c q i =q i +i
p i n ⎛⎞Y −p q ⎜∑j j ⎟，i =1,2, ⋯, n j =1⎝⎠（3）
假设居民阶梯电价的用电阶梯分为m 个，则每户居民家庭的月平均用电总量可表示为
q 用电总量n ⎞c i ⎛=∑q i =∑q i +∑⎜Y −∑p j q j ⎟
i =1i =1i =1p i ⎝j =1⎠m m m （4）
实施阶梯电价方案前后的每户居民家庭月平均用电总量差为
∆q =q 阶前−q 阶后
式中，q 阶前——实施阶梯电价前每户居民家庭月平均用电总量；（5）
q 阶后——实施阶梯电价后每户居民家庭月平均用电总量。
实施阶梯电价后每户居民家庭月节约的煤炭总量为：
E =∆q ×e （6）
式中，E ——节约煤炭的总量；
e ——每度电的煤耗量。
通过实施居民阶梯电价后减少的煤炭量量化节能降耗效果，评估居民阶梯电价所起的节能效果。
4.2.3居民阶梯电价对CPI 的影响量化
在CPI 的计算中，CPI 居住类指数（权重13%）分为4大类：水电燃料（假
27%、设电的权重33.3%）、建材及装潢类、自有住房和租房，权重分别为40.8%、
21.1%和11.1%[9]。将各个阶梯的电价看作不同的商品，假定在计算CPI 的公式中，除电力价格以外，其他产品和劳务的价格与权重不变，同时CPI 的增幅应不超过4%。约束条件如下：
⎡n ⎤p ×w ×33.3%×40.8%×13%+a ()∑i i ⎢⎥⎛S ⎞i =1∆CPI =4%−⎜−1⎟=4%−⎢−1⎥p ×33.3%×40.8%×13%+a ⎝S ′⎠⎢⎥⎢⎥⎣⎦
式中，S ——某月份的各项产品与劳务的价格加权总和；
S ′——去年同期的各项产品与劳务的价格加权总和；（7）
w i ——第i 个阶梯电价的权重系数；
a ——某月份其它产品劳务价格与权重的乘积；
p ——实施阶梯电价前去年同期的的电价。
若结果为正，则表示实施居民阶梯电价后的CPI 涨幅不超过4%；若为负，则反之，此时需要调整现有的居民阶梯电价方案。
4.3模型的求解
下面仍以北京市为例，结合《北京统计年鉴2011》中的相关数据，以及电力产业专业文献中提供的指标，对阶梯电价草案中北京市电价机制进行评估。
4.3.1居民电力价格弹性检验
由第一问中的结果可知北京市低收入居民在“一档”用电量为q 1=138.66度，“二档”、“三档”用电量均为0，又因为北京市“一档”对应的电价为0.4883元/度，所以∑q i p i =67.708元。
i =13
通过《北京统计年鉴2011》中提供的“城镇单位在岗职工人数及工资总额”、“城镇单位在岗职工平均工资”、“国民经济各行业城镇单位在岗职工平均工资”各数据表格，再结合北京市户籍户数的数据，初步估测北京市低收入居民每户的月平均收入为m =9500元。
查阅相关专业文献确定低收入居民的电费承受指数为A =1%。因此，由公式（1）可算出∆A =0.29%。由∆A >0可得北京市阶梯电价方案在低收入居民的承受范围内，是合理的。
4.3.2节能降耗量
根据阶梯电价草案中北京市电价机制可知每户居民家庭的月生活基本用电量为240度，即∑q i =240；查阅相关专业文献，并采用类比的方法，c 1=0，
i =13
c 2=0.01，c 3=0.001[10]；由阶梯电价草案读出北京市分档电价为p 1=0.4883、p 2=0.5383、p 3=0.7883；分析《北京统计年鉴2011》中的相关数据，每户居民家庭的月总消费支出约为11328元，即Y =11328，每户家庭的月基本生活支出为7231元，即∑p j q j =7231。因此，若实施阶梯电价，则由公式（4）可算
j =1n
出每户居民家庭月平均用电总量为321.31度，即q 阶后=321.31；若不实施阶梯电
价，则p 1=p 2=p 3=0.4883，由公式（4）可算出每户居民家庭月平均用电总量为332.29度，即q 阶前=332.29。故由公式（5）得到∆q =10.98度。
假设火电机组平均供电煤耗为349克/千瓦时，则每户居民家庭月平均节约煤炭总量为3832.02克。因此，上述结果表明，实施阶梯电价后，每户居民家庭月平均节约煤炭为3832.02克。
4.3.3CPI 检验
依据题设中所给的数据“大约5%的高收入家庭消耗了24%左右的居民用电，大约10%的高收入家庭消耗了33%左右的居民用电”以及阶梯电价要求“一档”电价至少覆盖80%的居民家庭，因此作出假设w 1=0.85，w 2=0.10，w 3=0.05。未实施阶梯电价前的S ′=104%，则某月份其它产品劳务价格与权重的乘积为a =104.19%。从题目附件中可知p =0.4883，故由公式（7）可计算出消费物价指数变化为∆CPI =3.97%。
由于∆CPI 为正，则表示实施居民阶梯电价后的CPI 涨幅不超过4%，说明此阶梯电价方案是合理的。然而，实施阶梯电价会导致CPI 上升，制定阶梯电价时需要考虑对CPI 的影响，避免通货膨胀现象的发生。
4.4结果分析与模型解释
由上述三方面的评估因素可得出：从北京市居民电力价格弹性来看，∆A >0说明北京市阶梯电价方案在低收入居民的承受范围内；从北京市节能降耗来看，实施阶梯电价方案后每户居民家庭月平均节约煤炭为3832.02克；从北京市阶梯
电价对CPI 的影响来看，实施阶梯电价后的CPI 涨幅不超过4%，说明此阶梯电价方案是合理的，但实施阶梯电价会导致CPI 上升，制定阶梯电价时应考虑对CPI 的影响，避免通货膨胀现象的发生。综上三方面的评估结果，就北京市而言，居民阶梯电价是比较合理的，优于旧的电价机制。
5问题三的讨论与思考
5.1问题三的分析
问题三需要针对各省市的阶梯电价方案，提出一些完善改进的具体建议，可以考虑从家庭人数、城乡差异、低保人群免费用电量、分档层次、季节差异以及电网公司的计量技术和客户服务等方面进行分析，结合现实情况，提出较为具体可行的改善意见。
5.2针对各省市阶梯电价的改进建议
（1）用电分档应考虑家庭人数的问题。把家庭人口数量的因素加入到考虑范围来，以家庭为单位来分配基本的标准电量，这样可以避免人口多的家庭用电量超过基本标准，从而使阶梯电价更加公平，更能让民众接受。
（2）应该综合考虑城乡收入、消费、用电支出占总支出百分比等因素，制定出不同的收费标准，更加细化阶梯电价方案，让社会各阶层体会到阶梯电价的公平性。
（3）应该给城镇人口中的低保户及收入偏低的社会弱势群体多一些关爱，分配更低电价或者更多免费的电量，然后适当增加“二档”、“三档”用电单价。
（4）阶梯电价的“阶梯”太少，应该多分几个阶段，这样才能更好的代表社会各阶层民众的需要，才更能让民众接受。
（5）有些地区已经实施了冬夏两套阶梯收费标准，但还有大量省市都需要不同的冬夏阶梯收费标准，甚至需要制定按季度定阶梯收费的标准。
（6）抄表时间问题：理论上，推行居民阶梯电价必须做到准时抄表，精确计量居民用户每月用电量。目前，电网企业对居民用户普遍采用双月抄表模式，且主要计量装置仍为机械仪表，不能实现远程抄表，需要手工抄表。在原来单一电价模式下，抄表方式和抄表时间对居民用户的应交电费不会产生根本性的影响，一旦推行居民阶梯电价。抄表日的提前或推后．都有可能对居民电费支出产生影响。特别是在跨档次电量的计费时。容易造成客户的不满。
6参考文献
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【6】曾鸣等. 考虑多元因素的居民阶梯电价评估[期刊论文]，华东电力2012年3月第40卷第3期第359—362页
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【10】周焯华，张宗益，杨俊. 线性支出系统（LES ）的参数估计[期刊论文]，重庆大学学报（社会科学版），1999（5）：6—8