文化与教育技术
2009NO . 5
China New 中国新技术新产品
积分中值定理的证明与应用
王晶岩
（黑龙江工商职业技术学院，黑龙江哈尔滨150000）
摘
要：本文在分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间(a,b)内取得，进一步将这个结论推广到被积函数f 以
并且给出了一些应用。区间端点a 和b 为第一类间断点或瑕点以及在(a,b)内有间断点的情形，
关键词：微分中值定理；积分中值定理；应用1积分中值定理的内容：
积分第一中值定理若f(x)在[a,b]上连续，则在上至少存在一点ξ使得
）（1
对于上述定理，是否可以将条件闭区间[a,b]减弱到开区间(a,b)，是否对间断函数也有上述的积分中值定理？我们将证明这个定理中的ξ一定可以取到开区间(a,b)上，并把这个定理推广到间断函数上去。
定理1若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得
故对于端点为第二类间断点不加以讨论，但若
端点为无穷型断点，且广义积分收敛时，则f(x)在(a,b)上的积分中值定理是否还是成立？
定理3若f(x)在(a,b)上连续，x=a是连续点
x=b为瑕点. 且广义积分或第一类间断点，
收敛，则在(a,b)上仍有ξ使
成立.
证明由广义积分定义知
即：
显然，当g(x)≡1时，（2）式即为（1）式2积分中值定理的应用
由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理。
在应用积分中值定理时应注意以下几点：2．1在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件，否则，结论不一定成立。例如：处间断。
成立. 证明：利用微分中值定理来证明令
所以φ(x)在[a,b]上连因f(x)在[a,b]上连续，续，在(a,b)内可导，且应用拉格朗日微分中值可得：在(a,b)内至少存在一点ξ，使
由题意等式左边存在, 所以等式右边也应存
即亦即
定理2若f(x)在(a,b)上连续, 而在x=a及x=b为第一类间断点，或只有一个第一类间断点而
使另一端点是连续点，则在(a,b)上至少有一点ξ，
在.
记所以有
注：定理3的条件若设为x=a为无穷型断点，x=b是连续点或第一类间断点，而其它不变，则定理3的结论仍成立.
推广的积分第一中值定理若f(x)，g(x)在闭
且g(x)在[a,b]上不变号，则在[a,区间[a,b]上连续，
b]至少存在一点ξ，使得
（2）
证明：
不妨设在[a,b]上g(x)叟0则在[a,b]有其中m,M 分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则有：所以
由于
但在
f(x)≠0，所以，对任何上，
显然f(x)在x=0
都不能使.
2．2定理中的g(x)在[a,b]上不变号这个条件也不能去掉.
例如：令：
成立.
证明设
所以，不存在，使
因为f(x)在x=a及x=b为第一类间断点，所
以F(x)是在[a,b]上的连续函数。对F(x)用积分中值定理并结合定理1有
2．3定理中所指出的ξ并不一定是唯一的，也不一定必须是[a,b]的内点。
例如：令f(x)=1，，则对都有：
这也说明了ξ未必是区间[a,b]的内点。下面给出几道例题：例1假设f(x)为[0，1]上的连续、非负、严格单调减函数，证明
.
证明：由定理1可以得到
由于在(a,b)上以及ξ∈(a,b)所以有
若，则由上式知
从而对[a,b]上任何一点ξ，定理都成立。
故上式即为
若
注：定理2说明了当端点为第一类间断点时
积分中值定理依旧成立，若x=a或x=b为第二类间断点，则因为a 与b 是区间端点，故f(x)在x=a的右极限或在x=b的左极限不存在，所以对于重新定义F(x)使得F(x)在[a,b]上连续不能实现，
则由上式得：
，
由以上两个不等式可以得到
则在[a,b]上至少有一点ξ，使得
中国新技术新产品-191-
中国新技术新产品
2009NO . 5
and Products
文化与教育技术
英语定语从句翻译方法的研究
赵园
（黑龙江电力职工大学，黑龙江哈尔滨150030）
摘要：本文讲述了定语从句翻译的三种方法：合并译法；拆分译法；转换译法。
关键词:合并；拆分；转换
1举例：）A man who doen ’t try to learn from others （1
cannot hope to achieve much.
如果翻译成“一个人不努力地向别人学习”就不如翻译成“一个不向别人学习的人”那样明确与简炼。同时也是将主句与定语从句合译成一个单句。译成“一个不向别人学习的人是不能指望有多少成就的。”这种定语从句的翻译是将原来的复合句翻译成汉语的简单句。
（2）There have been good results in the experi －ment that have given him great encouragement.
如果把这句话分成两部分翻译“在实验中有好
，就不如“实验中的的结果，这给了他巨大的鼓舞”
良好结果给了他莫大的鼓舞。”那样明确与简洁。这是将主句与定语从句捏合成了一句话，并且将定语从句译作谓语。
（3）I need someone who can instrut me in my English study.
如果翻译成“我需要能指导我英语学习的人”，就显得很牵强，不那么主动，而译成兼语式的句子，“我需要一个人来指导我学英语。”就生动而且富有色彩。这也是将主句与定语从句译成一个单句的译法。
（4）He took a bottle of wine out of his pocket, which he began to drink slowly.
如果将原句翻译成“他从衣袋里取出一个酒瓶
”就不如译成一句话构成连动子，慢慢地喝了起来。
式的句子，“他从衣兜里掏出一瓶酒慢慢地喝起
”那样简洁明了而且还生动形象。还是要将定语来。
从句译成一句话，一个单句。
结论：（1）这一些定语从句的翻译都是将主句和定语从句合译成一个单句的译法。
（2）这种合译成一个单句的译法叫做合并译法。
（3）具体做法是把一些定语从句译成定语、谓语部分、兼语式的一部分、连动式的一部分。
2举例：（1）At dinner, I found myself placed between Mrs Brown and a shy girl, who seemed younger than the others.
如果翻译成“吃饭时，我发现我位于布朗太太与一个看上去比别人都年轻的女孩之间。”捏合成一句话，就不如“席间，我发现自己的座位在布朗夫人和一位腼腆的姑娘之间，这位姑娘看起来比其他
”拆分成两个句子，那样合情合理与符合人都年轻。
汉语表达的习惯。这是将一句话拆分成了两句话的处理。
（2）I planted these apple trees three years ago, which have not borne any fruit.
如果将这句话翻译成“三年前，我种的这些苹果树，那时，还没有任何结果。”就不如译成“这些苹
”那样明确果树是我三年前栽的，还没有结过果实。
与简洁。这个定语从句表面上看是非限定性的，但在意义上已与主句融为一体，在翻译时可以将引导定语从句的关系代词或关系副词，略而不译，连贯叙述。
结论：）这些定语从句的翻译都是将定语从句与主（1句分开，单独成句，或译成复句中的一个分句。
（2）这种译法就是所谓的拆分译法。（3）适于这种译法的主要为较长的非限制性定
这种定语从句，从意思上看，与先行词的关语从句。
系并不紧密，只起着补充说明、叙述或描写的作用。定语从句的存在与否，并不直接影响主句意思的完整性，翻译时与主句分开，使其单独成句，就可避免
累赘的汉语句式。出现冗长、3举例：）I once met with Dr. Li in the street, who (=（1
when he) came back to see his parents in 1995. 如果翻译成“我曾经在大街上遇到过李博士，他在1995年回来看望他的父母。”就不如将定语从句译获证.
例3、估计的值解：由推广的积分第一中值定理：
为时间状语从句“李博士1995年回来看望父母时，
那样流利，明确，而且符我曾在大街上遇到过他。”
合汉语的表达习惯。这就是使用了转换译法。将定语转换成了状语，时间状语。
（2）The old couple were proud of their grandson, who (=becausehe) won three gold medals, two silver medals and one bronze medals at the 23rd Olympic Games.
如果翻译成“老两口为他们的孙子感到骄傲，他们的孙子在第二十三届奥林匹克运动会上得到了三枚金牌，两枚银牌和一枚铜牌。”就不如将定语从句翻译成原因状语从句“老两口为他们的孙子感到骄傲，因为他在第二十三届奥运会上获得了三枚
两枚银牌和一枚铜牌。”那样智慧与高超，更金牌、
加明确地阐明主句。这就是使用了转换译法。将定语从句译成状语，原因状语。
结论：（1）这些定语从句从形式上看是定语，但在深层意义上却含有状语的意思，它起着状语的作用，
原因、目的、条件、让步、结果等关用以说明时间、
系。
（2）翻译这类定语从句时应体会其深层含义，采用相应的译法，也就是将其转换成状语来译。这就是转换译法。
总结论：（1）定语从句的翻译，归纳起来大致有以下三①合并译法；②拆分译法；③转换译法。种：（2）当然，定语从句的翻译还有更深的译法与技巧有待于进一步探讨，我们要不受束缚，解放思想，运作每一句话的翻译，灵活运用汉语中表达同类意思的句式，在忠实于原文的基础上，寻求更新、更灵活的翻译表达。
参考文献
[1]孙萍. 2001《实用英汉翻译新法》. 长春：吉林大学出版社.
对等式右边第一个积分用中值定理，对第二个积分的被积函数用不等式
则得:
两边乘以得
，其中
当n>N时便有
因为所以
为[0，1]上的连续，非负函数
所以所以例2求证证明:
其中
, 于是由
，又由于f(x)
即：
所以
使用积分中值定理对某些问题处理较为方便。
参考文献
例4求证：
即可
[1]《数学分析》刘玉琏, 傅沛仁编，高等教育出版
社，上海1988年出版。
[2]《高等数学解题方法指导》，马玲主编，大连理工大学出版社，大连1996年出版。[3]《积分中值定理证明的一点注记》, 阎政平主编, 安徽师范大学学报.1996（4）[4]《高等数学题库精编》，薛嘉庆主编，东北大学出版社，沈阳2000年3月出版。
-192-中国新技术新产品
文化与教育技术
2009NO . 5
China New 中国新技术新产品
积分中值定理的证明与应用
王晶岩
（黑龙江工商职业技术学院，黑龙江哈尔滨150000）
摘
要：本文在分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间(a,b)内取得，进一步将这个结论推广到被积函数f 以
并且给出了一些应用。区间端点a 和b 为第一类间断点或瑕点以及在(a,b)内有间断点的情形，
关键词：微分中值定理；积分中值定理；应用1积分中值定理的内容：
积分第一中值定理若f(x)在[a,b]上连续，则在上至少存在一点ξ使得
）（1
对于上述定理，是否可以将条件闭区间[a,b]减弱到开区间(a,b)，是否对间断函数也有上述的积分中值定理？我们将证明这个定理中的ξ一定可以取到开区间(a,b)上，并把这个定理推广到间断函数上去。
定理1若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得
故对于端点为第二类间断点不加以讨论，但若
端点为无穷型断点，且广义积分收敛时，则f(x)在(a,b)上的积分中值定理是否还是成立？
定理3若f(x)在(a,b)上连续，x=a是连续点
x=b为瑕点. 且广义积分或第一类间断点，
收敛，则在(a,b)上仍有ξ使
成立.
证明由广义积分定义知
即：
显然，当g(x)≡1时，（2）式即为（1）式2积分中值定理的应用
由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理。
在应用积分中值定理时应注意以下几点：2．1在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件，否则，结论不一定成立。例如：处间断。
成立. 证明：利用微分中值定理来证明令
所以φ(x)在[a,b]上连因f(x)在[a,b]上连续，续，在(a,b)内可导，且应用拉格朗日微分中值可得：在(a,b)内至少存在一点ξ，使
由题意等式左边存在, 所以等式右边也应存
即亦即
定理2若f(x)在(a,b)上连续, 而在x=a及x=b为第一类间断点，或只有一个第一类间断点而
使另一端点是连续点，则在(a,b)上至少有一点ξ，
在.
记所以有
注：定理3的条件若设为x=a为无穷型断点，x=b是连续点或第一类间断点，而其它不变，则定理3的结论仍成立.
推广的积分第一中值定理若f(x)，g(x)在闭
且g(x)在[a,b]上不变号，则在[a,区间[a,b]上连续，
b]至少存在一点ξ，使得
（2）
证明：
不妨设在[a,b]上g(x)叟0则在[a,b]有其中m,M 分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则有：所以
由于
但在
f(x)≠0，所以，对任何上，
显然f(x)在x=0
都不能使.
2．2定理中的g(x)在[a,b]上不变号这个条件也不能去掉.
例如：令：
成立.
证明设
所以，不存在，使
因为f(x)在x=a及x=b为第一类间断点，所
以F(x)是在[a,b]上的连续函数。对F(x)用积分中值定理并结合定理1有
2．3定理中所指出的ξ并不一定是唯一的，也不一定必须是[a,b]的内点。
例如：令f(x)=1，，则对都有：
这也说明了ξ未必是区间[a,b]的内点。下面给出几道例题：例1假设f(x)为[0，1]上的连续、非负、严格单调减函数，证明
.
证明：由定理1可以得到
由于在(a,b)上以及ξ∈(a,b)所以有
若，则由上式知
从而对[a,b]上任何一点ξ，定理都成立。
故上式即为
若
注：定理2说明了当端点为第一类间断点时
积分中值定理依旧成立，若x=a或x=b为第二类间断点，则因为a 与b 是区间端点，故f(x)在x=a的右极限或在x=b的左极限不存在，所以对于重新定义F(x)使得F(x)在[a,b]上连续不能实现，
则由上式得：
，
由以上两个不等式可以得到
则在[a,b]上至少有一点ξ，使得
中国新技术新产品-191-
中国新技术新产品
2009NO . 5
and Products
文化与教育技术
英语定语从句翻译方法的研究
赵园
（黑龙江电力职工大学，黑龙江哈尔滨150030）
摘要：本文讲述了定语从句翻译的三种方法：合并译法；拆分译法；转换译法。
关键词:合并；拆分；转换
1举例：）A man who doen ’t try to learn from others （1
cannot hope to achieve much.
如果翻译成“一个人不努力地向别人学习”就不如翻译成“一个不向别人学习的人”那样明确与简炼。同时也是将主句与定语从句合译成一个单句。译成“一个不向别人学习的人是不能指望有多少成就的。”这种定语从句的翻译是将原来的复合句翻译成汉语的简单句。
（2）There have been good results in the experi －ment that have given him great encouragement.
如果把这句话分成两部分翻译“在实验中有好
，就不如“实验中的的结果，这给了他巨大的鼓舞”
良好结果给了他莫大的鼓舞。”那样明确与简洁。这是将主句与定语从句捏合成了一句话，并且将定语从句译作谓语。
（3）I need someone who can instrut me in my English study.
如果翻译成“我需要能指导我英语学习的人”，就显得很牵强，不那么主动，而译成兼语式的句子，“我需要一个人来指导我学英语。”就生动而且富有色彩。这也是将主句与定语从句译成一个单句的译法。
（4）He took a bottle of wine out of his pocket, which he began to drink slowly.
如果将原句翻译成“他从衣袋里取出一个酒瓶
”就不如译成一句话构成连动子，慢慢地喝了起来。
式的句子，“他从衣兜里掏出一瓶酒慢慢地喝起
”那样简洁明了而且还生动形象。还是要将定语来。
从句译成一句话，一个单句。
结论：（1）这一些定语从句的翻译都是将主句和定语从句合译成一个单句的译法。
（2）这种合译成一个单句的译法叫做合并译法。
（3）具体做法是把一些定语从句译成定语、谓语部分、兼语式的一部分、连动式的一部分。
2举例：（1）At dinner, I found myself placed between Mrs Brown and a shy girl, who seemed younger than the others.
如果翻译成“吃饭时，我发现我位于布朗太太与一个看上去比别人都年轻的女孩之间。”捏合成一句话，就不如“席间，我发现自己的座位在布朗夫人和一位腼腆的姑娘之间，这位姑娘看起来比其他
”拆分成两个句子，那样合情合理与符合人都年轻。
汉语表达的习惯。这是将一句话拆分成了两句话的处理。
（2）I planted these apple trees three years ago, which have not borne any fruit.
如果将这句话翻译成“三年前，我种的这些苹果树，那时，还没有任何结果。”就不如译成“这些苹
”那样明确果树是我三年前栽的，还没有结过果实。
与简洁。这个定语从句表面上看是非限定性的，但在意义上已与主句融为一体，在翻译时可以将引导定语从句的关系代词或关系副词，略而不译，连贯叙述。
结论：）这些定语从句的翻译都是将定语从句与主（1句分开，单独成句，或译成复句中的一个分句。
（2）这种译法就是所谓的拆分译法。（3）适于这种译法的主要为较长的非限制性定
这种定语从句，从意思上看，与先行词的关语从句。
系并不紧密，只起着补充说明、叙述或描写的作用。定语从句的存在与否，并不直接影响主句意思的完整性，翻译时与主句分开，使其单独成句，就可避免
累赘的汉语句式。出现冗长、3举例：）I once met with Dr. Li in the street, who (=（1
when he) came back to see his parents in 1995. 如果翻译成“我曾经在大街上遇到过李博士，他在1995年回来看望他的父母。”就不如将定语从句译获证.
例3、估计的值解：由推广的积分第一中值定理：
为时间状语从句“李博士1995年回来看望父母时，
那样流利，明确，而且符我曾在大街上遇到过他。”
合汉语的表达习惯。这就是使用了转换译法。将定语转换成了状语，时间状语。
（2）The old couple were proud of their grandson, who (=becausehe) won three gold medals, two silver medals and one bronze medals at the 23rd Olympic Games.
如果翻译成“老两口为他们的孙子感到骄傲，他们的孙子在第二十三届奥林匹克运动会上得到了三枚金牌，两枚银牌和一枚铜牌。”就不如将定语从句翻译成原因状语从句“老两口为他们的孙子感到骄傲，因为他在第二十三届奥运会上获得了三枚
两枚银牌和一枚铜牌。”那样智慧与高超，更金牌、
加明确地阐明主句。这就是使用了转换译法。将定语从句译成状语，原因状语。
结论：（1）这些定语从句从形式上看是定语，但在深层意义上却含有状语的意思，它起着状语的作用，
原因、目的、条件、让步、结果等关用以说明时间、
系。
（2）翻译这类定语从句时应体会其深层含义，采用相应的译法，也就是将其转换成状语来译。这就是转换译法。
总结论：（1）定语从句的翻译，归纳起来大致有以下三①合并译法；②拆分译法；③转换译法。种：（2）当然，定语从句的翻译还有更深的译法与技巧有待于进一步探讨，我们要不受束缚，解放思想，运作每一句话的翻译，灵活运用汉语中表达同类意思的句式，在忠实于原文的基础上，寻求更新、更灵活的翻译表达。
参考文献
[1]孙萍. 2001《实用英汉翻译新法》. 长春：吉林大学出版社.
对等式右边第一个积分用中值定理，对第二个积分的被积函数用不等式
则得:
两边乘以得
，其中
当n>N时便有
因为所以
为[0，1]上的连续，非负函数
所以所以例2求证证明:
其中
, 于是由
，又由于f(x)
即：
所以
使用积分中值定理对某些问题处理较为方便。
参考文献
例4求证：
即可
[1]《数学分析》刘玉琏, 傅沛仁编，高等教育出版
社，上海1988年出版。
[2]《高等数学解题方法指导》，马玲主编，大连理工大学出版社，大连1996年出版。[3]《积分中值定理证明的一点注记》, 阎政平主编, 安徽师范大学学报.1996（4）[4]《高等数学题库精编》，薛嘉庆主编，东北大学出版社，沈阳2000年3月出版。
-192-中国新技术新产品