从蜗牛运动到导弹跟踪轨迹： “聚合线” 关于 与“追踪线”的初探参赛队员：池汉慈， 刘旸， 卢诚君 指导老师：郭兴刚 学校：广州市广外附设外语学校 Abstract: This research starts from a problem excerpted from Baidu, the most famous internet search engine in China, to make a study of two types of movements, “converging curve” and “tracing curve” named by this research group, which really act in a regular pattern. In the research, by applying scores of mathematical methods, we found that the key to converging curve is to spot the unaltered element from the chanceful motion. For tracing curve, we adopt estimating equation to get the solution. Due to the limit of time and the relevant knowledge of the research group, many unexpected problems constantly appeared which are quite far beyond our ability. Yet we still tried to applied some promising mathematical thoughts, and have achieved some exciting results. In the process of discovering and rediscovering, we did not intent to find a complete perfect solution to the problem. After all, being middle school students, and fascinated by mathematics, creating and discovering more are the greatest delight of us all. 摘要： 事物的运动是有规律的，在我们的课题里，我们将从一道在“百度”上发现的题目出发，探 讨两种规律性比较强的运动。我们把这两种运动的运动轨迹分别命名为“聚合线”与“追踪 线” 。在对这两种曲线的研究中，我们尝试了许多数学方法。就“聚合线”而言，我们发现 如何找到不变的量，在运动中找到不动的因素是研究的关键。而在“追踪线”的研究中，我 们采用了估计方程的方法去求得其方程。限于中学的数学工具有限、时间的紧迫，在我们研 究的过程中不断有意想不到的问题出现， 也超出了我们的能力范围。 但是在研究的过程中我 们仍能感受到许多宝贵的数学思想，也得到了一些研究成果。在这个发现问题、完善问题的 过程中，我们虽然不能得到课题的全解。但与队友一道，在数学的世界里尽情探索、发现与 创造，这才是我们最大的快乐。1. 引言在网站“百度”中，有许许多多十分有意思的题目，由于一次偶然的机会，我们在“百 度”的“贴吧” ：http://tieba.baidu.com/f?kz=70699687中看到了一道对我们有很大 启发 的题目： 如图（图 1-1） ，有四只蜗牛，分别标记为 A、B、C、D，分别位于边长为 L 的正方形的 四个顶点。其中 A 一直向着 B 运动，B 一直向着 C 运动，C 一直向着 D 运动，D 一直向着 A 运动，它们都做速率为 v 匀速运动，求每只蜗牛到达对方处后走过的路程是多少？这道问题乍看起来似乎十分困难， 因为伴随着每一只蜗牛的每一次运动， 其他的蜗牛的 运动都会受到牵制， 也就是说每只蜗牛的速度方向都时刻在变化。 但我们不难预测四只蜗牛 的运动轨迹将会是一个从正方形的四个顶点出发， 然后汇聚于正方形中心一点的螺旋线， 我 们给这种螺旋线取名为“聚合线” 。如（图 1-2）但是，聚合线看上去根本不方便我们求得蜗牛运动的相关信息。可以看出，四只蜗牛为 了向自己的目标前进， 必须受到移动的目标的牵制。 于是， 求出相遇后每只蜗牛所走的路程， 仿佛变成了一个极其棘手的问题。1-3不过，当我们换一个视角去思考时，一切就变得大不相同了。让我们以蜗牛 A 的视角去 观察（图 1-3） ，蜗牛 B 就在正前方。无论目标如何运动，蜗牛 A 都会相应地调整方向，使 蜗牛 B 保持在自己的正前方。可以说，蜗牛 A 锁定了蜗牛 B。也正是因为这种锁定，蜗牛 A 保证了每时每刻都在缩小与蜗牛 B 的距离。而四只蜗牛是从正方形的四个顶点同时出发的， 不难看出， 每支蜗牛的速度与目标蜗牛的速度始终保持垂直。 这就保证了蜗牛 B 的运动只会 影响蜗牛 A 速度的方向，而不会缩短或增加它们之间的距离。于是，可以得到两只蜗牛之间 的相对速度为：v′ = v也就是说，蜗牛 A 向蜗牛 B 保持了以 v 速率靠近。而刚开始的时候，每支蜗牛与目标之 间的距离是正方形的边长 L 。如此一来，不难得出，四只蜗牛到达对方处的时间是：t=根据 s = vt ，可以得到蜗牛运动的路程为：L vs=L至此，上述这道难题似乎就得到完美的答案了。但是，原题仅仅局限在正方形的情况， 我们发现， 这题背后的拓展和研究价值非常大。 于是， 我们就这题的延伸进行了相关的探究。 我们的研究问题共有三个： 1. 原题的解法能否拓展到正多边形的情况？ 2. 原题中的正方型如果改成长方形或菱形，顶点有可能同时聚合吗？ 3. 如果一只蜗牛始终朝一个方向做匀速直线运动， 另一只蜗牛在它的速度的垂线上与 它有一定距离处， 以相同速率开始追踪它， 那么追踪的蜗牛走的轨迹的方程是怎么 样的？ 在这三个问题中， 前两个问题是原题从特殊情况到一般情况的拓展， 第三个问题是原题 的变式。在前两个问题中我们可以对不同形状的聚合线进行研究。而从第三个问题，我们可 以与现实中许多问题建立起联系。例如，求出跟踪导弹的路径方程。 在研究过程中，我们利用了几何画板 4.06 来绘制所需的图形。2. 聚合线的拓展及方程2.1 聚合线的拓展引言中， 我们讨论了蜗牛在正方形的四个顶点上的情况， 每只蜗牛到相遇时走过的路程 竟然恰好等于正方形的边长！ 这真是一个令人愉快的结果， 复杂的运动依旧能在其中得以体 现，而且结果却是如此简单。然而，问题还是不可避免地出现了。当我们将情景中的蜗牛数 减为两个， 它们之间的距离为 L 时， 两只蜗牛显然在以相同的速率相向而行。 当它们相遇时，每只蜗牛走过的路程肯定是：s=L 2(2.1.1)既然如此，那如果是三只蜗牛呢？是介于 L 和L 之间？还是其他情况？看来，要让这 2公式变得更加完美，我们还需对它做一些调整。 现在让我们看看三只蜗牛的情况。在一开始的时候，三只蜗牛都有如图（2-1-1）2-1-1中所示的运动趋势。而在这之后，三只蜗牛开始运动。速度是有方向的，所以蜗牛之间的相 对速度受到了彼此速度夹角的影响。而且不难看出，在整个运动过程中，三只蜗牛始终处于 某个正三角形的三个顶点上，如图（2-1-2） 。2-1-2现在对其中两只蜗牛进行观察，如图（2-1-3） 。2-1-3不难看出，在整个运动的过程中，它们的速度的夹角一直保持为 120° ，而两蜗牛的相 遇时间并不仅仅受一方的影响，而是由双方的相对速度决定的。三只蜗牛的情况中，相对速 度为：π v ′ = v (1 + cos ) 3相遇时间可以表示为：(2.1.2)t=L v(1 + cos ) 3π(2.1.3)推广到正 n 边形，正 n 边形的一个内角为n2 π，则合速度为： n n2 (2.1.4) v ′ = v (1 + cos π ) n相遇时间可以表示为：t=L n2 v(1 + cos π ) n(2.1.5)根据 s = vt ，每只蜗牛走过的路程可以表示为：s=L n2 (1 + cos π ) n（2.1.6）从这个公式我们可以发现：n 不可以取 0 或 1 。说明当没有蜗牛或只有一只蜗牛时，这 个问题是没有讨论意义的；而当 n 趋近于正无穷时，也就是说有无数只蜗牛时，它们的排列 接近于 0，之间的速度的夹角也接近于 0。而由于速率一直相同，所以在此种情况中，蜗牛 永远聚不到一起。 我们又想， 在上述运动中， 每只蜗牛的运动轨迹是什么样的曲线呢？是渐开线？还是其 他什么我们没学过的曲线？于是，我们对聚合线的方程进行了研究。2.2 正 n 边形聚合线的方程正 n 边形聚合线的方程看起来并不好表示， 但是我们还是可以把握一些不变的东西。 我 们发现，在这种情况中，不但速率始终不变，而且各点的速度之间的夹角也是保持不变的。2-2-1我们拿正三角形的聚合线来观察。 前文讨论过， 在整个运动过程中各点组成的图形始终 保持与原图形相似，也就是速度的夹角维持不变。 假设我们的图形内角为 θ ，边的原长为 L，点的速度为 v，时间间隔为 Δ t （ Δt → 0 ） ， 那么就有可能求出聚合线的方程。而为了求出这种聚合线，我们可以想象在运动的过程中， 点与点之间形成了无数个无限小的扇形。 下面我们把图 2-2-1 的一小部分放大：2-2-2可见，当 Δt 趋于 0 时，图 2-2-2 中的四个角变成了直角，弧AA2 可以用线段AA1和AA2表 示，线段A1D1和A2D2可以近似的看成弧。 ∠1 可以用弧度表示成A1 D1 ，于是，有以下公式： C1 D1∠1 =vΔt sin θ L vΔt (1 + cos θ ) vΔt sin θ L 2vΔt (1 + cos θ ) vΔt sin θ L nvΔt (1 + cos θ )∠2 =依此类推：∠n =现在以 A 为原点，AC 为 x 轴正方向建立坐标系：2-2-3图 2-2-3 中红色线段、紫色线段、绿色线段的长度分别可以表示为：vΔt cosθvΔt cos(θ ∠1) vΔt cos(θ ∠1 ∠2)依此类推，我们可以得到第 n 条线段长度为：vΔt cos[θ ∠1 ∠2 L ∠(n 1)]A点的横坐标为 0，有A1点、A2点的横坐标分别为：vΔt cosθ vΔt cosθ + vΔt cos(θ ∠1)那么，类推下去，An点的横坐标可表示为：vΔt cos θ + vΔt cos(θ ∠1) + vΔt cos(θ ∠1 ∠2) + vΔt cos(θ ∑ ∠i ) L+i =1n 1通过这样的思路，我们可以用同样的方法处理纵坐标2-2-4图 2-2-4 中红色线段、紫色线段、绿色线段的长度分别为：vΔt sin θvΔt sin(θ ∠1) vΔt sin(θ ∠1 ∠ 2)依此类推，则第 n 条线段长度为vΔt sin[θ ∠1 ∠2 L ∠( n 1)]A点纵坐标为 0，则A1点、A2点的纵坐标分别为vΔt sin θ vΔt sin θ + vΔt sin(θ ∠1)如此类推，An点的纵坐标可表示为：n 1 i =1vΔt sin θ + vΔt sin(θ ∠1) + vΔt sin(θ ∠1 ∠2) + vΔt sin(θ ∑ ∠i ) L+则聚合线的方程即为：n 1 i =1x = vΔt cos θ + vΔt cos(θ ∠1) + vΔt cos(θ ∠1 ∠2) + vΔt cos(θ ∑ ∠i ) L+ y = vΔt sin θ + vΔt sin(θ ∠1) + vΔt sin(θ ∠1 ∠2) + vΔt sin(θ ∑ ∠i ) L+i =1 n 1我们现在已经推广到了正 n 边形的情况，这看上去挺令人满意的。然而，这与一般情况 还有着巨大的差距。 因为我们的蜗牛仅仅是在正 n 边形上运动。 那么接下来我们来看看长方 形、菱形这样更一般的图形。3. 长方形与菱形同时聚合的可能性3.1 长方形受原始问题的启发，我们知道，在长方形中，四只蜗牛的速度如果相同，得不到同时相 遇的结果。其中两只蜗牛会提前相遇，然后两两为一组，最后匀速直线运动的相遇在一起。 （如图 3-1-1）3-1-1让我们把运动的过程拆分开来观察，可以看见，当速度相同的时候，蜗牛之间速度的夹 角一只在变化，正是这种变化导致了它们的相遇时间不再能用那个公式表达出来。那么，如 何才能让四肢蜗牛同时聚与一点？既然要保持它们速度的夹角维持在直角， 我们猜想， 当蜗 牛的速度成边长比例的时候，会同时相聚。成边长比例的意思就是，每只蜗牛的速度与这个 速度在一开始时所在的长方形边的边长的比为一个常数。 好比在图 3-1-2 中， 追 B,B 追 C,CA 追 D,D 追 A，则 A、B、C、D 的速度比是 AB:BC:CD:DA。3-1-2很棒的猜想，但是演示的结果出乎意料，它们的速度夹角仍在变化（图 3-1-3） ，这种 变化导致了蜗牛之间的相对速度发生变化， 也就得不到我们想要的简洁的结果。 更令人沮丧 的是，我们尝试了各种各样的速度比例，试图探寻其中的规律，但都失败了。这四个点就是 不愿意同时聚在某个点上。3-1-3于是，我们猜想，在长方形中，这四个点的速度按任何比例都是不可能相遇的。也就是 说，只要它们的运动是匀速率，那就注定不能同时相距到一点。而其中的关键又在于：证明 在匀速率运动的过程中， 四只蜗牛的速度的夹角不可能维持为直角。 因为夹角令它们之间的 相对速度发生了变化，也就将原来它们之间的距离比例破坏了。 现在我们来证明这个猜想：3-1-4如图 3-1-4，矩形 ABCD 中，有矩形 A＇B＇C＇D＇ ，它的顶点分别在大矩形的四条边上， 我们用它来表示运动开始后的一瞬间的位置状况。设 B 蜗牛的速度是 A 蜗牛的 k 倍，AB 长 为 L，BC 长为 L＇,此时有：AA′ = vΔt BB ′ = kvΔt由于 Δt 趋进于 O 时，有：（3.1.1） （3.1.2） （3.1.3） （3.1.4）A′B ′ = L vΔt B ′C ′ = L′ kvΔtkvΔt L vΔt vΔt ∠CB ′C ′ = L kvΔt ∠BA′B ′ = kvΔt vΔt = L vΔt L ′ kvΔt则有： （3.1.5） （3.1.6）有因为我们要保持∠A＇B＇C＇为直角，所以四只蜗牛的偏转角度应该大小相同： （3.1.7）而在下一时刻中，仍有：A′′B ′′ = L 2vΔt B ′′C ′′ = L′ 2kvΔt即有：（3.1.8） （3.1.9）kvΔt vΔt = L 2vΔt L ′ 2kvΔt此时，我们结合两式，不难得到以下这个结论：(3.1.10)(3.1.11) 公式中表示，只要速度相同，就能使速度夹角维持为直角，这显然与我们的实验结果 不相符合。其实，我们从这个结论很快就能推出矛盾，只要将 3.1.11 代入 3.1.10，就会得 到： L = L′ (3.1.12) 也就是说，只有矩形邻边相等，才能使得速度夹角维持为直角，而且要求速度相同。如 此一来，可知，在一般矩形中，若运动速度的速率一定，那么是不可能同时相遇的。只有在 正方形中，四只蜗牛速率相等，才会出现有同时相遇的情况。kvΔt = vΔt3.2 菱形那么，菱形呢？菱形的四条边相等，看起来我们并不需要对速度做什么调整，因为菱 形的四条边都是相等的，于是我们猜想在行进过程中，速度之间的夹角不会变化。仍然可以 套用我们最初求得的速度得出相遇时间。3-2-1然而，我们又错了，在运动过程中，夹角仍在不断变化（图 3-2-1） 。其实，我们在矩 形的运动情况中已经看到了（图 3-2-2） ，在运动途中，四个点有一个时刻排出了一个近似 菱形的形状。3-2-2既然这样，能否说明在菱形中，四点的运动只要是匀速率，那么同时相遇也是不可能 的？下面就让我们来证明这个猜想：3-2-3如图 3-2-3，菱形 ABCD 中，∠ABC 的大小为 θ，有菱形 A＇B＇C＇D＇ ，它的顶点分别在 大菱形的四条边上，我们用它来表示运动开始后的一瞬间的位置状况。设 B 蜗牛的速度是 A 蜗牛的 k 倍，我们依然有： (3.2.1) (3.2.2) 设菱形边长为 L，由于夹角不再是直角，考虑到角度的影响，有：AA′ = vΔt BB ′ = kvΔtA′B ′ = L vΔt kvΔt cosθ B ′C ′ = L kvΔt + vΔt cosθ则有：(3.2.3) (3.2.4)∠B A ′ B ′ =kvΔt L vΔt kvΔt cos θ vΔ t ∠CBC ′ = L kvΔt + vΔt cos θ(3.2.5) (3.2.6)由于要求运动过程中，四点依然保持为菱形，且夹角不变，有：A′B ′ = B ′C ′ ∠BA′B ′ = ∠CBC ′结果我们又得出：(3.2.7) (3.2.8)kvΔt = vΔt (3.2.9) L vΔt kvΔt cosθ = L kvΔt + vΔt cosθ (3.2.10)再将 3.2.9 代入 3.2.10，最后又有： (3.2.11) 也就是说，夹角必须为 90° 。即要求这个菱形必须是正方形！ 通过矩形与菱形两个例子我们可以看出， 角的不同或边的不同都会让我们最初的结论变 的不适用，可见我们的公式是多么脆弱，使用范围仅仅限于正 n 边形的有序排列。cosθ = 04. 追踪线的方程：4-1让我们将原题的情景改变一下：假设蜗牛Ａ以匀速直线运动的方式向正前方的蔬菜Ｃ 奔去。而另一只蜗牛 B 在它的速度的垂线上与它有一定距离处，由于得知蔬菜有农药，所 以用与蜗牛 A 相同的速率去追赶蜗牛 A。那么，蜗牛 B 的运动轨迹如何？如图 4-1 首先，我们可以很轻易地得出一个结论，那就是如果蔬菜距离蜗牛 A 不是无限远的话， 那么蜗牛 A 必然会在蜗牛 B 追到它之前到达蔬菜而被毒死。这是因为两只蜗牛的速率是一 样的。而相对于蜗牛 A 的运动路径来说，蜗牛 B 最终的速度方向将趋近于与它路径平行。 这就意味着，无论蔬菜离起点多么遥远，蜗牛 B 到最后的速度将与蜗牛 A 的速度近乎相等， 如此一来，也就不可能追得上了。如图 4-2。4-2不过，我们还是尝试着将蜗牛 B 的运动轨迹表示出来，我们把这种轨迹命名为“追踪 线” ，通过求出方程我们也许就能知道，蜗牛 B 如何才能追上蜗牛 A。我们打算仍然运用计算聚合线的方法去求得追踪线的方程。这仿佛并不复杂，因为比 起之前的情况，追踪线不变的因素仿佛更加丰富一些，其中有一个点的运动方向维持不便， 求出轨迹方程看起来实在是易如反掌。 然而，事与愿违。微分法下的“追踪线”显得十分棘手。在此之前，不变的角度是我 们求得聚合线方程的重要工具。但在追踪线下，我们可以看到（图 4-3） ，从 ∠1 和 ∠2 两角 的大小对比我们可以得出，两点速度的夹角一直在变化，难以捉摸。我们运用了相似三角形 等方法，最后也只能换来一大堆冗杂而又不容易表示的式子。4-3限于数学工具有限，对于这种情况，我们只好运用建立数学模型的方式求出近似的轨 迹方程。我们从特殊到一般，假设 B 与 A 的距离为 10 个单位长度，求出在这种情况下的近 似方程。然后再引入初始距离这一参数，对原方程进行修正。 然而，眼前的聚合线十分古怪，中学课本里，我们想不到任何一个函数，自变量取 0 时有意义，在那一点上的斜率是负无穷。并且，这个单调递减函数随着自变量的增大，函数 值逐渐趋近于 0。如图（4-2） 正面不解，只好旁敲侧击。试验显示，追踪线的导数方程显得更为友好，它在自变量 取 0 时的值是负无穷，在自变量趋近于正无穷时函数值趋近于 0。这很容易地就让我们联想 到了反比例函数。于是我们提出了第一个猜测，追踪线的导数方程为：y′ = 10 ( x > 0) x从图（4-4）中我们可以看到，在自变量较小的情况中，追踪线的导数方程一直紧贴估 计中的函数。然而到了后半部分，红色的轨迹开始脱离。比起估计函数，它贴近 x 轴的速度 看上去更快一些。4-4现在，我们必须在观察中找出规律，然后对我们的估计函数加以修正。 如图 4-4 所示，我们的估计函数在后半部分必须“向上翘” ，这要求我们加上一个趋近 于 0 的函数。而在更后面的部分，有要求我们加上去的函数的影响越来越小。这样就能保证 估计函数的贴切。 我们猜测，估计函数必须加上一个形如图 4-5 的函数。4-5这让我们终于有了一份熟悉感，那就是正态分布曲线，只不过这个正态分部曲线的右 边有些变形。于是我们对正态分布曲线中的参数进行改造，终于得到了较为满意的结果，这 个函数就是：y′ = 10 1 + 10 x x( x 10 )10 x2从改进后的图 4-6 看，这个估计方程进步了不少，但还是有缺陷的，它在自变量大于 2 的时候便开始脱离实际轨道，这可不是我们想要的结果。于是我们还要再对它进行调整。我 们尝试着在函数的不同位置上做一些小改变，观察函数图象的变化情况。后来我们发现，控 制函数“翘起程度”的主要因素在于此函数的第二项中1 1 的系数大小。我们发现，当 中 x x的 x 的系数小于 1 时，函数会“向上翘” ，当它的系数大于 1 时，函数会“向下垂” 。为了让 函数“向上翘” ，我们将它的系数改为小于 1 的常数。4-6可见，新的估计函数的确更加贴合于实际轨迹了。但也它有一个不可忽略的缺陷，那就 是它的极限根本不是 0。这与我们实际模拟的情况是向违背的。让我们把估计函数改写为：y′ = 10 1 + 10 x ax ( x 10)10 x2很显然，我们的工作中心从整体来到了局部，那就是 a 。 通过试验不同的小于 1 大于 0 的常数我们发现，各种估计函数与实际轨道往往会产生 一个交点，随着自变量增大，两个函数又分道扬镳。如图 4-7。4-7既然如此，我们干脆多次试验，得出好几个 a 在不同情况下，估计函数与实际轨迹的交 点，随后在坐标上画出点 ( x, a ) ，也就可以估计出 a 随 x 的变化情况。如图 4-8。4-8x 轴上的四个点的分布看上去相当有规律，我们很快可以得到它们所在的函数大概是： 1 g ( x) = + 0.1 0.15 x 2如图 4-9 所示：4-9用这个这个表达式做 a 是可行的，因为它趋进于 0.1，而当 a 为 0.1 时，估计函数也趋 进于 0。于是我们更改了估计函数，得到追踪线轨迹的导数表达式：y′ = 10 + x (1 1 + 0.1) x 0.15x 2 ( x 10)21010 x从图 4-10 中我们可以看出，它的确很符合我们的要求：4-10这真是来之不易。按照这种思路研究下去，未来的方向还是很明确的，那就是换多几个 初始距离，得出不一样的 a 值，随后再将它于 L 联系起来构建函数。这样，我们的公式就更 具有普遍意义了。 于是我们进行了更多的试验，让 L 取不同的整数，然后观察相应的 a 有什么变化。如图 4-114-11然后，我们用前文中求初始距离为 10 的追踪线方程的方法，标出点 ( L, a ) ，如图 4-12，发现其实 a 关于 L 的分部也是近似于一个反比例函数的，我们估计这个参数表达式为：a=2 L4-12我们将这一参数引进，终于得到了追踪线的导数方程为： ( X L )2 Lxy′ = L 10 2 Lx )L +( x 10 L2 + 11 2 x 2其中 L 为初始距离，做参数用。 对于这个导数方程，我们代入了不同的 L 值，进行了多次的检验。不得不承认，当 L 逐渐变大时，其误差也会变得 明显，但是在 1 到 20 左右的范围内，它所表示的导数数值 还是十分贴切的。我们最后只要将这一导数方程求反导，就可以得到追踪线的轨迹方程了， 从而也就可以引入时间这一参数，探究当目标到达目的地时，追踪者的位置以及方向。5. 结论在这次初探中，我们得到以下成果： 1． 将原题拓展到正多边形的情况，从而得出正多边形有序排列的聚合线方程。 2． 在探索过程中，我们证明了长方形与菱形四点同时相遇的不可能性。 3． 在追踪线的研究中，我们虽然没有得到完全精确的函数表达式，但是采用了估 计函数的方法，建立相关的函数模型，得到了较为贴切的近似方程的导数。 本次研究是围绕运动进行的，而在大千世界中，万事万物都在运动，这些理论成果相信 会对解决一些相关问题有帮助。比如在现代军事以及多种行业上都会用到类似的追踪技术。 我们得出的导数方程也许不能做到完全精确， 但是能够在某一范围内可靠地被采纳。 而对于 聚合线， 我们隐约感觉到它将会在群体不规则运动， 也就是在离散不规则追踪中发挥重要作 用。从而可以延伸至人群密度的分布，讨论相关的最优问题。 本次研究也包含了各种各样的的数学思想与数学方法， 为我们开辟了许多解决运动问题 的新思路。也加深了我们对数学研究中的把握不变量、反证法、微分法等技巧的印象。数学 不但是一门解决问题的学科，也是一个发现问题的学科。而在这过程中，我们充分体会到了 发现的乐趣与大自然的奇妙，比其解决问题，我们发现的问题更多，这也让我们对今后要学习的数学内容充满热情。出于能力与时间的限制，我们本次研究只能算是初探。相信在将来 若有机会，我们一定会得到更多令人振奋的成果。参考资料： 原题：http://tieba.baidu.com/f?kz=70699687 画图工具：几何画板 4.06HTU UTH鸣谢： 丘成桐中学数学奖组委会 广州市广外附设外语学校 郭兴刚老师、池龙安先生、吴巧新女士、刘建达先生、杨满珍女士、卢树良先生、吴玉燕女 士、何昊先生在研究过程中给予的支持与帮助
从蜗牛运动到导弹跟踪轨迹： “聚合线” 关于 与“追踪线”的初探参赛队员：池汉慈， 刘旸， 卢诚君 指导老师：郭兴刚 学校：广州市广外附设外语学校 Abstract: This research starts from a problem excerpted from Baidu, the most famous internet search engine in China, to make a study of two types of movements, “converging curve” and “tracing curve” named by this research group, which really act in a regular pattern. In the research, by applying scores of mathematical methods, we found that the key to converging curve is to spot the unaltered element from the chanceful motion. For tracing curve, we adopt estimating equation to get the solution. Due to the limit of time and the relevant knowledge of the research group, many unexpected problems constantly appeared which are quite far beyond our ability. Yet we still tried to applied some promising mathematical thoughts, and have achieved some exciting results. In the process of discovering and rediscovering, we did not intent to find a complete perfect solution to the problem. After all, being middle school students, and fascinated by mathematics, creating and discovering more are the greatest delight of us all. 摘要： 事物的运动是有规律的，在我们的课题里，我们将从一道在“百度”上发现的题目出发，探 讨两种规律性比较强的运动。我们把这两种运动的运动轨迹分别命名为“聚合线”与“追踪 线” 。在对这两种曲线的研究中，我们尝试了许多数学方法。就“聚合线”而言，我们发现 如何找到不变的量，在运动中找到不动的因素是研究的关键。而在“追踪线”的研究中，我 们采用了估计方程的方法去求得其方程。限于中学的数学工具有限、时间的紧迫，在我们研 究的过程中不断有意想不到的问题出现， 也超出了我们的能力范围。 但是在研究的过程中我 们仍能感受到许多宝贵的数学思想，也得到了一些研究成果。在这个发现问题、完善问题的 过程中，我们虽然不能得到课题的全解。但与队友一道，在数学的世界里尽情探索、发现与 创造，这才是我们最大的快乐。1. 引言在网站“百度”中，有许许多多十分有意思的题目，由于一次偶然的机会，我们在“百 度”的“贴吧” ：http://tieba.baidu.com/f?kz=70699687中看到了一道对我们有很大 启发 的题目： 如图（图 1-1） ，有四只蜗牛，分别标记为 A、B、C、D，分别位于边长为 L 的正方形的 四个顶点。其中 A 一直向着 B 运动，B 一直向着 C 运动，C 一直向着 D 运动，D 一直向着 A 运动，它们都做速率为 v 匀速运动，求每只蜗牛到达对方处后走过的路程是多少？这道问题乍看起来似乎十分困难， 因为伴随着每一只蜗牛的每一次运动， 其他的蜗牛的 运动都会受到牵制， 也就是说每只蜗牛的速度方向都时刻在变化。 但我们不难预测四只蜗牛 的运动轨迹将会是一个从正方形的四个顶点出发， 然后汇聚于正方形中心一点的螺旋线， 我 们给这种螺旋线取名为“聚合线” 。如（图 1-2）但是，聚合线看上去根本不方便我们求得蜗牛运动的相关信息。可以看出，四只蜗牛为 了向自己的目标前进， 必须受到移动的目标的牵制。 于是， 求出相遇后每只蜗牛所走的路程， 仿佛变成了一个极其棘手的问题。1-3不过，当我们换一个视角去思考时，一切就变得大不相同了。让我们以蜗牛 A 的视角去 观察（图 1-3） ，蜗牛 B 就在正前方。无论目标如何运动，蜗牛 A 都会相应地调整方向，使 蜗牛 B 保持在自己的正前方。可以说，蜗牛 A 锁定了蜗牛 B。也正是因为这种锁定，蜗牛 A 保证了每时每刻都在缩小与蜗牛 B 的距离。而四只蜗牛是从正方形的四个顶点同时出发的， 不难看出， 每支蜗牛的速度与目标蜗牛的速度始终保持垂直。 这就保证了蜗牛 B 的运动只会 影响蜗牛 A 速度的方向，而不会缩短或增加它们之间的距离。于是，可以得到两只蜗牛之间 的相对速度为：v′ = v也就是说，蜗牛 A 向蜗牛 B 保持了以 v 速率靠近。而刚开始的时候，每支蜗牛与目标之 间的距离是正方形的边长 L 。如此一来，不难得出，四只蜗牛到达对方处的时间是：t=根据 s = vt ，可以得到蜗牛运动的路程为：L vs=L至此，上述这道难题似乎就得到完美的答案了。但是，原题仅仅局限在正方形的情况， 我们发现， 这题背后的拓展和研究价值非常大。 于是， 我们就这题的延伸进行了相关的探究。 我们的研究问题共有三个： 1. 原题的解法能否拓展到正多边形的情况？ 2. 原题中的正方型如果改成长方形或菱形，顶点有可能同时聚合吗？ 3. 如果一只蜗牛始终朝一个方向做匀速直线运动， 另一只蜗牛在它的速度的垂线上与 它有一定距离处， 以相同速率开始追踪它， 那么追踪的蜗牛走的轨迹的方程是怎么 样的？ 在这三个问题中， 前两个问题是原题从特殊情况到一般情况的拓展， 第三个问题是原题 的变式。在前两个问题中我们可以对不同形状的聚合线进行研究。而从第三个问题，我们可 以与现实中许多问题建立起联系。例如，求出跟踪导弹的路径方程。 在研究过程中，我们利用了几何画板 4.06 来绘制所需的图形。2. 聚合线的拓展及方程2.1 聚合线的拓展引言中， 我们讨论了蜗牛在正方形的四个顶点上的情况， 每只蜗牛到相遇时走过的路程 竟然恰好等于正方形的边长！ 这真是一个令人愉快的结果， 复杂的运动依旧能在其中得以体 现，而且结果却是如此简单。然而，问题还是不可避免地出现了。当我们将情景中的蜗牛数 减为两个， 它们之间的距离为 L 时， 两只蜗牛显然在以相同的速率相向而行。 当它们相遇时，每只蜗牛走过的路程肯定是：s=L 2(2.1.1)既然如此，那如果是三只蜗牛呢？是介于 L 和L 之间？还是其他情况？看来，要让这 2公式变得更加完美，我们还需对它做一些调整。 现在让我们看看三只蜗牛的情况。在一开始的时候，三只蜗牛都有如图（2-1-1）2-1-1中所示的运动趋势。而在这之后，三只蜗牛开始运动。速度是有方向的，所以蜗牛之间的相 对速度受到了彼此速度夹角的影响。而且不难看出，在整个运动过程中，三只蜗牛始终处于 某个正三角形的三个顶点上，如图（2-1-2） 。2-1-2现在对其中两只蜗牛进行观察，如图（2-1-3） 。2-1-3不难看出，在整个运动的过程中，它们的速度的夹角一直保持为 120° ，而两蜗牛的相 遇时间并不仅仅受一方的影响，而是由双方的相对速度决定的。三只蜗牛的情况中，相对速 度为：π v ′ = v (1 + cos ) 3相遇时间可以表示为：(2.1.2)t=L v(1 + cos ) 3π(2.1.3)推广到正 n 边形，正 n 边形的一个内角为n2 π，则合速度为： n n2 (2.1.4) v ′ = v (1 + cos π ) n相遇时间可以表示为：t=L n2 v(1 + cos π ) n(2.1.5)根据 s = vt ，每只蜗牛走过的路程可以表示为：s=L n2 (1 + cos π ) n（2.1.6）从这个公式我们可以发现：n 不可以取 0 或 1 。说明当没有蜗牛或只有一只蜗牛时，这 个问题是没有讨论意义的；而当 n 趋近于正无穷时，也就是说有无数只蜗牛时，它们的排列 接近于 0，之间的速度的夹角也接近于 0。而由于速率一直相同，所以在此种情况中，蜗牛 永远聚不到一起。 我们又想， 在上述运动中， 每只蜗牛的运动轨迹是什么样的曲线呢？是渐开线？还是其 他什么我们没学过的曲线？于是，我们对聚合线的方程进行了研究。2.2 正 n 边形聚合线的方程正 n 边形聚合线的方程看起来并不好表示， 但是我们还是可以把握一些不变的东西。 我 们发现，在这种情况中，不但速率始终不变，而且各点的速度之间的夹角也是保持不变的。2-2-1我们拿正三角形的聚合线来观察。 前文讨论过， 在整个运动过程中各点组成的图形始终 保持与原图形相似，也就是速度的夹角维持不变。 假设我们的图形内角为 θ ，边的原长为 L，点的速度为 v，时间间隔为 Δ t （ Δt → 0 ） ， 那么就有可能求出聚合线的方程。而为了求出这种聚合线，我们可以想象在运动的过程中， 点与点之间形成了无数个无限小的扇形。 下面我们把图 2-2-1 的一小部分放大：2-2-2可见，当 Δt 趋于 0 时，图 2-2-2 中的四个角变成了直角，弧AA2 可以用线段AA1和AA2表 示，线段A1D1和A2D2可以近似的看成弧。 ∠1 可以用弧度表示成A1 D1 ，于是，有以下公式： C1 D1∠1 =vΔt sin θ L vΔt (1 + cos θ ) vΔt sin θ L 2vΔt (1 + cos θ ) vΔt sin θ L nvΔt (1 + cos θ )∠2 =依此类推：∠n =现在以 A 为原点，AC 为 x 轴正方向建立坐标系：2-2-3图 2-2-3 中红色线段、紫色线段、绿色线段的长度分别可以表示为：vΔt cosθvΔt cos(θ ∠1) vΔt cos(θ ∠1 ∠2)依此类推，我们可以得到第 n 条线段长度为：vΔt cos[θ ∠1 ∠2 L ∠(n 1)]A点的横坐标为 0，有A1点、A2点的横坐标分别为：vΔt cosθ vΔt cosθ + vΔt cos(θ ∠1)那么，类推下去，An点的横坐标可表示为：vΔt cos θ + vΔt cos(θ ∠1) + vΔt cos(θ ∠1 ∠2) + vΔt cos(θ ∑ ∠i ) L+i =1n 1通过这样的思路，我们可以用同样的方法处理纵坐标2-2-4图 2-2-4 中红色线段、紫色线段、绿色线段的长度分别为：vΔt sin θvΔt sin(θ ∠1) vΔt sin(θ ∠1 ∠ 2)依此类推，则第 n 条线段长度为vΔt sin[θ ∠1 ∠2 L ∠( n 1)]A点纵坐标为 0，则A1点、A2点的纵坐标分别为vΔt sin θ vΔt sin θ + vΔt sin(θ ∠1)如此类推，An点的纵坐标可表示为：n 1 i =1vΔt sin θ + vΔt sin(θ ∠1) + vΔt sin(θ ∠1 ∠2) + vΔt sin(θ ∑ ∠i ) L+则聚合线的方程即为：n 1 i =1x = vΔt cos θ + vΔt cos(θ ∠1) + vΔt cos(θ ∠1 ∠2) + vΔt cos(θ ∑ ∠i ) L+ y = vΔt sin θ + vΔt sin(θ ∠1) + vΔt sin(θ ∠1 ∠2) + vΔt sin(θ ∑ ∠i ) L+i =1 n 1我们现在已经推广到了正 n 边形的情况，这看上去挺令人满意的。然而，这与一般情况 还有着巨大的差距。 因为我们的蜗牛仅仅是在正 n 边形上运动。 那么接下来我们来看看长方 形、菱形这样更一般的图形。3. 长方形与菱形同时聚合的可能性3.1 长方形受原始问题的启发，我们知道，在长方形中，四只蜗牛的速度如果相同，得不到同时相 遇的结果。其中两只蜗牛会提前相遇，然后两两为一组，最后匀速直线运动的相遇在一起。 （如图 3-1-1）3-1-1让我们把运动的过程拆分开来观察，可以看见，当速度相同的时候，蜗牛之间速度的夹 角一只在变化，正是这种变化导致了它们的相遇时间不再能用那个公式表达出来。那么，如 何才能让四肢蜗牛同时聚与一点？既然要保持它们速度的夹角维持在直角， 我们猜想， 当蜗 牛的速度成边长比例的时候，会同时相聚。成边长比例的意思就是，每只蜗牛的速度与这个 速度在一开始时所在的长方形边的边长的比为一个常数。 好比在图 3-1-2 中， 追 B,B 追 C,CA 追 D,D 追 A，则 A、B、C、D 的速度比是 AB:BC:CD:DA。3-1-2很棒的猜想，但是演示的结果出乎意料，它们的速度夹角仍在变化（图 3-1-3） ，这种 变化导致了蜗牛之间的相对速度发生变化， 也就得不到我们想要的简洁的结果。 更令人沮丧 的是，我们尝试了各种各样的速度比例，试图探寻其中的规律，但都失败了。这四个点就是 不愿意同时聚在某个点上。3-1-3于是，我们猜想，在长方形中，这四个点的速度按任何比例都是不可能相遇的。也就是 说，只要它们的运动是匀速率，那就注定不能同时相距到一点。而其中的关键又在于：证明 在匀速率运动的过程中， 四只蜗牛的速度的夹角不可能维持为直角。 因为夹角令它们之间的 相对速度发生了变化，也就将原来它们之间的距离比例破坏了。 现在我们来证明这个猜想：3-1-4如图 3-1-4，矩形 ABCD 中，有矩形 A＇B＇C＇D＇ ，它的顶点分别在大矩形的四条边上， 我们用它来表示运动开始后的一瞬间的位置状况。设 B 蜗牛的速度是 A 蜗牛的 k 倍，AB 长 为 L，BC 长为 L＇,此时有：AA′ = vΔt BB ′ = kvΔt由于 Δt 趋进于 O 时，有：（3.1.1） （3.1.2） （3.1.3） （3.1.4）A′B ′ = L vΔt B ′C ′ = L′ kvΔtkvΔt L vΔt vΔt ∠CB ′C ′ = L kvΔt ∠BA′B ′ = kvΔt vΔt = L vΔt L ′ kvΔt则有： （3.1.5） （3.1.6）有因为我们要保持∠A＇B＇C＇为直角，所以四只蜗牛的偏转角度应该大小相同： （3.1.7）而在下一时刻中，仍有：A′′B ′′ = L 2vΔt B ′′C ′′ = L′ 2kvΔt即有：（3.1.8） （3.1.9）kvΔt vΔt = L 2vΔt L ′ 2kvΔt此时，我们结合两式，不难得到以下这个结论：(3.1.10)(3.1.11) 公式中表示，只要速度相同，就能使速度夹角维持为直角，这显然与我们的实验结果 不相符合。其实，我们从这个结论很快就能推出矛盾，只要将 3.1.11 代入 3.1.10，就会得 到： L = L′ (3.1.12) 也就是说，只有矩形邻边相等，才能使得速度夹角维持为直角，而且要求速度相同。如 此一来，可知，在一般矩形中，若运动速度的速率一定，那么是不可能同时相遇的。只有在 正方形中，四只蜗牛速率相等，才会出现有同时相遇的情况。kvΔt = vΔt3.2 菱形那么，菱形呢？菱形的四条边相等，看起来我们并不需要对速度做什么调整，因为菱 形的四条边都是相等的，于是我们猜想在行进过程中，速度之间的夹角不会变化。仍然可以 套用我们最初求得的速度得出相遇时间。3-2-1然而，我们又错了，在运动过程中，夹角仍在不断变化（图 3-2-1） 。其实，我们在矩 形的运动情况中已经看到了（图 3-2-2） ，在运动途中，四个点有一个时刻排出了一个近似 菱形的形状。3-2-2既然这样，能否说明在菱形中，四点的运动只要是匀速率，那么同时相遇也是不可能 的？下面就让我们来证明这个猜想：3-2-3如图 3-2-3，菱形 ABCD 中，∠ABC 的大小为 θ，有菱形 A＇B＇C＇D＇ ，它的顶点分别在 大菱形的四条边上，我们用它来表示运动开始后的一瞬间的位置状况。设 B 蜗牛的速度是 A 蜗牛的 k 倍，我们依然有： (3.2.1) (3.2.2) 设菱形边长为 L，由于夹角不再是直角，考虑到角度的影响，有：AA′ = vΔt BB ′ = kvΔtA′B ′ = L vΔt kvΔt cosθ B ′C ′ = L kvΔt + vΔt cosθ则有：(3.2.3) (3.2.4)∠B A ′ B ′ =kvΔt L vΔt kvΔt cos θ vΔ t ∠CBC ′ = L kvΔt + vΔt cos θ(3.2.5) (3.2.6)由于要求运动过程中，四点依然保持为菱形，且夹角不变，有：A′B ′ = B ′C ′ ∠BA′B ′ = ∠CBC ′结果我们又得出：(3.2.7) (3.2.8)kvΔt = vΔt (3.2.9) L vΔt kvΔt cosθ = L kvΔt + vΔt cosθ (3.2.10)再将 3.2.9 代入 3.2.10，最后又有： (3.2.11) 也就是说，夹角必须为 90° 。即要求这个菱形必须是正方形！ 通过矩形与菱形两个例子我们可以看出， 角的不同或边的不同都会让我们最初的结论变 的不适用，可见我们的公式是多么脆弱，使用范围仅仅限于正 n 边形的有序排列。cosθ = 04. 追踪线的方程：4-1让我们将原题的情景改变一下：假设蜗牛Ａ以匀速直线运动的方式向正前方的蔬菜Ｃ 奔去。而另一只蜗牛 B 在它的速度的垂线上与它有一定距离处，由于得知蔬菜有农药，所 以用与蜗牛 A 相同的速率去追赶蜗牛 A。那么，蜗牛 B 的运动轨迹如何？如图 4-1 首先，我们可以很轻易地得出一个结论，那就是如果蔬菜距离蜗牛 A 不是无限远的话， 那么蜗牛 A 必然会在蜗牛 B 追到它之前到达蔬菜而被毒死。这是因为两只蜗牛的速率是一 样的。而相对于蜗牛 A 的运动路径来说，蜗牛 B 最终的速度方向将趋近于与它路径平行。 这就意味着，无论蔬菜离起点多么遥远，蜗牛 B 到最后的速度将与蜗牛 A 的速度近乎相等， 如此一来，也就不可能追得上了。如图 4-2。4-2不过，我们还是尝试着将蜗牛 B 的运动轨迹表示出来，我们把这种轨迹命名为“追踪 线” ，通过求出方程我们也许就能知道，蜗牛 B 如何才能追上蜗牛 A。我们打算仍然运用计算聚合线的方法去求得追踪线的方程。这仿佛并不复杂，因为比 起之前的情况，追踪线不变的因素仿佛更加丰富一些，其中有一个点的运动方向维持不便， 求出轨迹方程看起来实在是易如反掌。 然而，事与愿违。微分法下的“追踪线”显得十分棘手。在此之前，不变的角度是我 们求得聚合线方程的重要工具。但在追踪线下，我们可以看到（图 4-3） ，从 ∠1 和 ∠2 两角 的大小对比我们可以得出，两点速度的夹角一直在变化，难以捉摸。我们运用了相似三角形 等方法，最后也只能换来一大堆冗杂而又不容易表示的式子。4-3限于数学工具有限，对于这种情况，我们只好运用建立数学模型的方式求出近似的轨 迹方程。我们从特殊到一般，假设 B 与 A 的距离为 10 个单位长度，求出在这种情况下的近 似方程。然后再引入初始距离这一参数，对原方程进行修正。 然而，眼前的聚合线十分古怪，中学课本里，我们想不到任何一个函数，自变量取 0 时有意义，在那一点上的斜率是负无穷。并且，这个单调递减函数随着自变量的增大，函数 值逐渐趋近于 0。如图（4-2） 正面不解，只好旁敲侧击。试验显示，追踪线的导数方程显得更为友好，它在自变量 取 0 时的值是负无穷，在自变量趋近于正无穷时函数值趋近于 0。这很容易地就让我们联想 到了反比例函数。于是我们提出了第一个猜测，追踪线的导数方程为：y′ = 10 ( x > 0) x从图（4-4）中我们可以看到，在自变量较小的情况中，追踪线的导数方程一直紧贴估 计中的函数。然而到了后半部分，红色的轨迹开始脱离。比起估计函数，它贴近 x 轴的速度 看上去更快一些。4-4现在，我们必须在观察中找出规律，然后对我们的估计函数加以修正。 如图 4-4 所示，我们的估计函数在后半部分必须“向上翘” ，这要求我们加上一个趋近 于 0 的函数。而在更后面的部分，有要求我们加上去的函数的影响越来越小。这样就能保证 估计函数的贴切。 我们猜测，估计函数必须加上一个形如图 4-5 的函数。4-5这让我们终于有了一份熟悉感，那就是正态分布曲线，只不过这个正态分部曲线的右 边有些变形。于是我们对正态分布曲线中的参数进行改造，终于得到了较为满意的结果，这 个函数就是：y′ = 10 1 + 10 x x( x 10 )10 x2从改进后的图 4-6 看，这个估计方程进步了不少，但还是有缺陷的，它在自变量大于 2 的时候便开始脱离实际轨道，这可不是我们想要的结果。于是我们还要再对它进行调整。我 们尝试着在函数的不同位置上做一些小改变，观察函数图象的变化情况。后来我们发现，控 制函数“翘起程度”的主要因素在于此函数的第二项中1 1 的系数大小。我们发现，当 中 x x的 x 的系数小于 1 时，函数会“向上翘” ，当它的系数大于 1 时，函数会“向下垂” 。为了让 函数“向上翘” ，我们将它的系数改为小于 1 的常数。4-6可见，新的估计函数的确更加贴合于实际轨迹了。但也它有一个不可忽略的缺陷，那就 是它的极限根本不是 0。这与我们实际模拟的情况是向违背的。让我们把估计函数改写为：y′ = 10 1 + 10 x ax ( x 10)10 x2很显然，我们的工作中心从整体来到了局部，那就是 a 。 通过试验不同的小于 1 大于 0 的常数我们发现，各种估计函数与实际轨道往往会产生 一个交点，随着自变量增大，两个函数又分道扬镳。如图 4-7。4-7既然如此，我们干脆多次试验，得出好几个 a 在不同情况下，估计函数与实际轨迹的交 点，随后在坐标上画出点 ( x, a ) ，也就可以估计出 a 随 x 的变化情况。如图 4-8。4-8x 轴上的四个点的分布看上去相当有规律，我们很快可以得到它们所在的函数大概是： 1 g ( x) = + 0.1 0.15 x 2如图 4-9 所示：4-9用这个这个表达式做 a 是可行的，因为它趋进于 0.1，而当 a 为 0.1 时，估计函数也趋 进于 0。于是我们更改了估计函数，得到追踪线轨迹的导数表达式：y′ = 10 + x (1 1 + 0.1) x 0.15x 2 ( x 10)21010 x从图 4-10 中我们可以看出，它的确很符合我们的要求：4-10这真是来之不易。按照这种思路研究下去，未来的方向还是很明确的，那就是换多几个 初始距离，得出不一样的 a 值，随后再将它于 L 联系起来构建函数。这样，我们的公式就更 具有普遍意义了。 于是我们进行了更多的试验，让 L 取不同的整数，然后观察相应的 a 有什么变化。如图 4-114-11然后，我们用前文中求初始距离为 10 的追踪线方程的方法，标出点 ( L, a ) ，如图 4-12，发现其实 a 关于 L 的分部也是近似于一个反比例函数的，我们估计这个参数表达式为：a=2 L4-12我们将这一参数引进，终于得到了追踪线的导数方程为： ( X L )2 Lxy′ = L 10 2 Lx )L +( x 10 L2 + 11 2 x 2其中 L 为初始距离，做参数用。 对于这个导数方程，我们代入了不同的 L 值，进行了多次的检验。不得不承认，当 L 逐渐变大时，其误差也会变得 明显，但是在 1 到 20 左右的范围内，它所表示的导数数值 还是十分贴切的。我们最后只要将这一导数方程求反导，就可以得到追踪线的轨迹方程了， 从而也就可以引入时间这一参数，探究当目标到达目的地时，追踪者的位置以及方向。5. 结论在这次初探中，我们得到以下成果： 1． 将原题拓展到正多边形的情况，从而得出正多边形有序排列的聚合线方程。 2． 在探索过程中，我们证明了长方形与菱形四点同时相遇的不可能性。 3． 在追踪线的研究中，我们虽然没有得到完全精确的函数表达式，但是采用了估 计函数的方法，建立相关的函数模型，得到了较为贴切的近似方程的导数。 本次研究是围绕运动进行的，而在大千世界中，万事万物都在运动，这些理论成果相信 会对解决一些相关问题有帮助。比如在现代军事以及多种行业上都会用到类似的追踪技术。 我们得出的导数方程也许不能做到完全精确， 但是能够在某一范围内可靠地被采纳。 而对于 聚合线， 我们隐约感觉到它将会在群体不规则运动， 也就是在离散不规则追踪中发挥重要作 用。从而可以延伸至人群密度的分布，讨论相关的最优问题。 本次研究也包含了各种各样的的数学思想与数学方法， 为我们开辟了许多解决运动问题 的新思路。也加深了我们对数学研究中的把握不变量、反证法、微分法等技巧的印象。数学 不但是一门解决问题的学科，也是一个发现问题的学科。而在这过程中，我们充分体会到了 发现的乐趣与大自然的奇妙，比其解决问题，我们发现的问题更多，这也让我们对今后要学习的数学内容充满热情。出于能力与时间的限制，我们本次研究只能算是初探。相信在将来 若有机会，我们一定会得到更多令人振奋的成果。参考资料： 原题：http://tieba.baidu.com/f?kz=70699687 画图工具：几何画板 4.06HTU UTH鸣谢： 丘成桐中学数学奖组委会 广州市广外附设外语学校 郭兴刚老师、池龙安先生、吴巧新女士、刘建达先生、杨满珍女士、卢树良先生、吴玉燕女 士、何昊先生在研究过程中给予的支持与帮助