高一数学单元测试
一、选择题：（每题5分）
1．若a , b , c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
2．若实数a 、b 满足a +b =2，是3a +3b 的最小值是（ ）
A ．18
2
c 2
>0 D ．(a -b ) c 2≥0 A ．a +c ≥b -c B ．ac >bc C ．
a -b
B ．6
C ．2
D ．23
3．函数y ＝3x +
6
的最小值是( ) 2
x +1
C.62 D.62
-3
A.32-3` B.-3
4．已知x>1，y>1，且lgx+lgy＝4，则lgxlgy 的最大值是( )
A.4 B.2
5．若角α，β满足－π＜α＜β＜π，则2α-β的取值范围是（ ）
2
2
C.1 D.
1 4
A ．（－π，0） B ．（－π，π）
π，π） C ．（－3
2
2
π） D ．（－3π，3
2
2
6．在a >0，b >0的条件下三个结论：①，
2
2
22
2ab a +b
，②a +b ≤a +b ≤
a +b 222
③b +a ≥a +b ，
a b
其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
19
7. 数列a n ＝其前n 项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x ＋y ＋n ＝0
n(n＋1) 10在y 轴上的截距为( )
A ．－10 B．－9 C．10 D．9
8. 已知不等式ax -5x +b >0的解集为{x |-30的解集为( )
A 、{x |-
2
2
1111} 3232
C 、{x |-32} 9. 设a 、b ∈R ＋，且a ＋b ＝4，则有( )
A.
11111≥ B. ≥1ab ≥2 D. 22ab 2a b a ＋b 4
1
10. 在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界) ，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则
y
x －a
( )
2211A. D. 3564
二、填空题：（每题5分）
11111
11．数列1357，…，(2n－1) ＋n ，…的前n 项和S n 的值等于__ ___.
24816212. 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 .
13．已知点(－3，－1) 和(4，－6) 在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为 . 14. a >0, b >
0, 则a +b
三、解答题：
15. （12分） 若∆ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A , ∠B , ∠C 的对边, 且
4sin 2
B +C 7
-cos 2A =．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）若a =7，∆ABC 的面积为10，求22
b +c 的值．
16（10分）设f (x ) =ax 2+bx ，1≤f (-1) ≤2，2≤f (1)≤4，求f (-2) 的取值范
围.
17．（12分）解关于x 的不等式
18. （12分）已知不等式
a (x -1)
>1 (a >0)
x -2
111+++n +1n +2n +3
+
112
>log a (a -1) +对一切大2n 123
于1的正整数n 都成立，求实数a 的取值范围。
19．（12分）一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤. 但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤卖3元. 现该农民手头有400元，两种作物各种多少，才能获得最大收益？
20、（18）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，等差数列{b n }中，b 1=2，点P (b n , b n +1) 在直线y =x +2上． ⑴求a 1和a 2的值；
⑵求数列{a n }, {b n }的通项a n 和b n ； ⑶ 设c n =a n ⋅b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
答案
一．选择题
D B D A C D B B B B
二．填空题 1
11.n 2＋1－
2 13.-7
三解答题
15. 解. （Ⅰ）由4sin
2
7B +C 7
-cos 2A =得：2[1-cos(B +C )]-cos2A =，可得：222
1π
，∴∠A =. 23
4cos 2A -4cos A +1=0，cos A =
π⎧222
7=b +c -2bc cos ⎪⎪3
（Ⅱ）⎨ ∴(b +c ) 2=169，∴b +c =13
1π⎪3=bc sin
⎪23⎩
16.
17. 解. 当0
[5,10]
a -2
， a -1
（2，+∞） 当 a =1时， x ∈，
当a >1时，(-∞,
a -2
) ⋃(2,+∞) a -1
18. 解：设
111
f (n ) =+++
n +1n +2n +312n
(n ∈N , n ≥2)
*
，则
f (n +1) -f (n ) =(
=
11++n +2n +3
+
111
) -(++2n +2n +1n +2
+
1111
) =+-2n 2n +12n +2n +1
1
2n +12n +2>0
，所以
f (n ) 为关于n 的增函数，则
117127
，
要使不等式成
立，只需, 则f (n ) ≥f (2)=+=log a (a -1) +
341212312
log a (a -1)
，
a >1
，
a >1
，
∴a -1
，
∴a 2-a -119.
⎛11⎫
, a ∈ 1, ⎪ 22⎭⎝
解：设该农民种x 亩水稻，y 亩花生时，能获得利润z 元。
则z =(3⨯400-240) x +(5⨯100-80) y =960x +420y
⎧x +y ≤2
⎪240x +80y ≤400⎪
即 ⎨
x ≥0⎪⎪⎩y ≥0
作出可行域如图所示，
⎧x +y ≤2
⎪3x +y ≤5⎪
⎨
x ≥0⎪⎪⎩y ≥0
5，y =0.5时，z max =1650元 故当x =1.
5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元。14分 答：该农民种1.
20. 解：（1）由2a n =S n +2得：2a 1=S 1+2；2a 1=a 1+2；a 1=2； 由2a n =S n +2得：2a 2
x =S 2+2；2a 2=a 1+a 2+2；a 2=4；
（2）由2a n =S n +2┅①得2a n -1=S n -1+2┅②；（n ≥2）
将两式相减得：2a n -2a n -1=S n -S n -1；2a n -2a n -1=a n ；a n =2a n -1（n ≥2
）
所以：当n ≥2时： a n =a 22
n -2
=4⨯2
n -2
n n
=2；故：a n =2；
又由：等差数列{b n }中，b 1=2，点P (b n , b n +1) 在直线y =x +2上． 得：b n +1=b n +2，且b 1=2，所以：b n =2+2(n -1) =2n ； （3）c n =a n b n =n 2
n +1
；利用错位相减法得：T n
=(n -1)2n +2+4
高一数学单元测试
一、选择题：（每题5分）
1．若a , b , c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
2．若实数a 、b 满足a +b =2，是3a +3b 的最小值是（ ）
A ．18
2
c 2
>0 D ．(a -b ) c 2≥0 A ．a +c ≥b -c B ．ac >bc C ．
a -b
B ．6
C ．2
D ．23
3．函数y ＝3x +
6
的最小值是( ) 2
x +1
C.62 D.62
-3
A.32-3` B.-3
4．已知x>1，y>1，且lgx+lgy＝4，则lgxlgy 的最大值是( )
A.4 B.2
5．若角α，β满足－π＜α＜β＜π，则2α-β的取值范围是（ ）
2
2
C.1 D.
1 4
A ．（－π，0） B ．（－π，π）
π，π） C ．（－3
2
2
π） D ．（－3π，3
2
2
6．在a >0，b >0的条件下三个结论：①，
2
2
22
2ab a +b
，②a +b ≤a +b ≤
a +b 222
③b +a ≥a +b ，
a b
其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
19
7. 数列a n ＝其前n 项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x ＋y ＋n ＝0
n(n＋1) 10在y 轴上的截距为( )
A ．－10 B．－9 C．10 D．9
8. 已知不等式ax -5x +b >0的解集为{x |-30的解集为( )
A 、{x |-
2
2
1111} 3232
C 、{x |-32} 9. 设a 、b ∈R ＋，且a ＋b ＝4，则有( )
A.
11111≥ B. ≥1ab ≥2 D. 22ab 2a b a ＋b 4
1
10. 在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界) ，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则
y
x －a
( )
2211A. D. 3564
二、填空题：（每题5分）
11111
11．数列1357，…，(2n－1) ＋n ，…的前n 项和S n 的值等于__ ___.
24816212. 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 .
13．已知点(－3，－1) 和(4，－6) 在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为 . 14. a >0, b >
0, 则a +b
三、解答题：
15. （12分） 若∆ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A , ∠B , ∠C 的对边, 且
4sin 2
B +C 7
-cos 2A =．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）若a =7，∆ABC 的面积为10，求22
b +c 的值．
16（10分）设f (x ) =ax 2+bx ，1≤f (-1) ≤2，2≤f (1)≤4，求f (-2) 的取值范
围.
17．（12分）解关于x 的不等式
18. （12分）已知不等式
a (x -1)
>1 (a >0)
x -2
111+++n +1n +2n +3
+
112
>log a (a -1) +对一切大2n 123
于1的正整数n 都成立，求实数a 的取值范围。
19．（12分）一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤. 但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤卖3元. 现该农民手头有400元，两种作物各种多少，才能获得最大收益？
20、（18）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，等差数列{b n }中，b 1=2，点P (b n , b n +1) 在直线y =x +2上． ⑴求a 1和a 2的值；
⑵求数列{a n }, {b n }的通项a n 和b n ； ⑶ 设c n =a n ⋅b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
答案
一．选择题
D B D A C D B B B B
二．填空题 1
11.n 2＋1－
2 13.-7
三解答题
15. 解. （Ⅰ）由4sin
2
7B +C 7
-cos 2A =得：2[1-cos(B +C )]-cos2A =，可得：222
1π
，∴∠A =. 23
4cos 2A -4cos A +1=0，cos A =
π⎧222
7=b +c -2bc cos ⎪⎪3
（Ⅱ）⎨ ∴(b +c ) 2=169，∴b +c =13
1π⎪3=bc sin
⎪23⎩
16.
17. 解. 当0
[5,10]
a -2
， a -1
（2，+∞） 当 a =1时， x ∈，
当a >1时，(-∞,
a -2
) ⋃(2,+∞) a -1
18. 解：设
111
f (n ) =+++
n +1n +2n +312n
(n ∈N , n ≥2)
*
，则
f (n +1) -f (n ) =(
=
11++n +2n +3
+
111
) -(++2n +2n +1n +2
+
1111
) =+-2n 2n +12n +2n +1
1
2n +12n +2>0
，所以
f (n ) 为关于n 的增函数，则
117127
，
要使不等式成
立，只需, 则f (n ) ≥f (2)=+=log a (a -1) +
341212312
log a (a -1)
，
a >1
，
a >1
，
∴a -1
，
∴a 2-a -119.
⎛11⎫
, a ∈ 1, ⎪ 22⎭⎝
解：设该农民种x 亩水稻，y 亩花生时，能获得利润z 元。
则z =(3⨯400-240) x +(5⨯100-80) y =960x +420y
⎧x +y ≤2
⎪240x +80y ≤400⎪
即 ⎨
x ≥0⎪⎪⎩y ≥0
作出可行域如图所示，
⎧x +y ≤2
⎪3x +y ≤5⎪
⎨
x ≥0⎪⎪⎩y ≥0
5，y =0.5时，z max =1650元 故当x =1.
5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元。14分 答：该农民种1.
20. 解：（1）由2a n =S n +2得：2a 1=S 1+2；2a 1=a 1+2；a 1=2； 由2a n =S n +2得：2a 2
x =S 2+2；2a 2=a 1+a 2+2；a 2=4；
（2）由2a n =S n +2┅①得2a n -1=S n -1+2┅②；（n ≥2）
将两式相减得：2a n -2a n -1=S n -S n -1；2a n -2a n -1=a n ；a n =2a n -1（n ≥2
）
所以：当n ≥2时： a n =a 22
n -2
=4⨯2
n -2
n n
=2；故：a n =2；
又由：等差数列{b n }中，b 1=2，点P (b n , b n +1) 在直线y =x +2上． 得：b n +1=b n +2，且b 1=2，所以：b n =2+2(n -1) =2n ； （3）c n =a n b n =n 2
n +1
；利用错位相减法得：T n
=(n -1)2n +2+4